大学物理_上海交通大学_第四版-下册课后题全部答案

习题11

11-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷C

10

8.19

1

-

?

=

q，B点上有电荷C

10

8.49

2

-

?

-

=

q，试求C点的电场强度(设0.04m

BC=，

0.03m

AC=)。

解：1q在C点产生的场强：

1

12

4

AC

q

E i

r

πε

=

，

2

q在C点产生的场强：

2

22

4

BC

q

E j

r

=

，

∴C点的电场强度：44

12

2.710 1.810

E E E i j

=+=

?+?；

C点的合场强：4

3.2410V

E m

==?，

方向如图：

1.8

arctan33.73342'

2.7

α===。

11-2．用细的塑料棒弯成半径为cm

50的圆环，两端间空隙为cm

2，电量为C

10

12

.39-

?

电场强度的大小和方向。

解：∵棒长为2 3.12

l r d m

π

=-=，

∴电荷线密度：91

1.010

q C m

l

λ--

==??

可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去m

d02

.0

=长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。

解法1：利用微元积分：

2

1

cos

4

O x

Rd

dE

R

λθ

θ

πε

=?

，

∴2

000

cos2sin2

444

O

d

E d

R R R

α

α

λλλ

θθαα

πεπεπε

-

==?≈?=

?1

0.72V m-

=?；

解法2：直接利用点电荷场强公式：

由于d r

<<，该小段可看成点电荷：11

2.010

q d C

λ-

'==?，

则圆心处场强：

11

91

22

2.010

9.0100.72

4(0.5)

O

q

E V m

R

πε

-

-

'?

==??=?

。

方向由圆心指向缝隙处。

i

x

11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀

分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强。

解：以O 为坐标原点建立xOy 坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A ∞在O 点的场强：

有：00(cos cos )42(sin sin )42Ax A y E R E R λπππελπππε=-=-?

???

???

②对于半无限长导线B ∞在O 点的场强：

有：00(sin sin )42(cos cos )42B x B y E R E R λπππελπππε=-=-?

???

???

③对于AB 圆弧在O 点的场强：有：

20

00

2000cos (sin sin )442sin (cos cos )442AB x AB y E d R R E d R R π

π

λλπθθππεπελλπθθππεπε==-=??????=--???

∴总场强：

04O x E R λπε=

，04O y E R λπε=，得：0()

4O E i j R λ

πε=+。

或写成场强：04E R λ

πε==

，方向45

。

11-4．一个半径为R 的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为λ，求环心处O 点的场强E 。 解：电荷元dq

产生的场为：

204d q

d E R πε=

；

根据对称性有：0y d E =?，则：

20

0sin sin 4x R d E dE d E R πλθθθπε===???

02R λ

πε=

，

方向沿x 轴正向。即：02E i R

λ

πε=

。

11-5．带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度

λ

x

y

E

为0sin λλ?=，式中0λ为一常数，?为半径R 与x 轴 所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度。

解：如图，02

0sin 44d dl

dE R R λ??λπεπε==， cos sin x y dE dE dE dE ?

?==?????考虑到对称性，有：0=x E ；

∴

200000000sin (1cos 2)sin 4428y d d E dE dE R R R π

πλ??λλ??

?πεπεε-=====

???

?，

方向沿y 轴负向。

11-6．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度。

解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为d l Rd θ=，所带电荷：2dq r d l πσ=。

利用例11-3结论，有：3

32

22

024()

x dq r xdl

d E x r σππε?

=

=

+∴

32

22

02cos sin 4[(sin )(cos )]

R R Rd dE R R σπθθθ

πεθθ???=

+，

化简计算得：2

01sin 2224E d πσσθθεε=

=?

，∴

4E σ

ε。

11-7．图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x 变化的图线，即x E -图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板)。

解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1S 为高斯面，

当2d x ≤时，由

1

2S E dS E S ?=???和2q x S ρ=?∑， 有：

0x E ρε=

； 当

2d x >

时，由2

2S E dS E S ?=???和2q d S ρ=?∑， x

有：0

2d E ρε=。图像见右。

11-8．在点电荷q 的电场中，取一半径为R 的圆形平面(如图

所示)，

平面到q 的距离为d ，试计算通过该平面的E 的通量. 解：通过圆平面的电通量与通过与A 为圆心、AB 为半径、圆的平面

为周界的球冠面的电通量相同。

【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r

球冠面一条微元同心圆带面积为：2sin dS r πθ=?∴球冠面的面积：

200cos 2sin 2cos S r rd r θθπθθπθ=?=?22(1)d r r π=-】 ∵球面面积为：

24S r π=球面，通过闭合球面的电通量为：0q εΦ=闭合球面，

由：S S Φ=Φ球冠球面球面球冠

，∴001(1)(122d q q r εεΦ=-?=-球冠。

11-9．在半径为R 的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E ~r 关系曲线。

解：由高斯定律01i S S E dS q ε?=∑??内，考虑以圆柱体轴为中轴，半

径为r ，长为l 的高斯面。

（1）当r R <时，202r l r l E ρππε?=，有02E r ρε=；

（2）当r R >时，20

2R l r l E ρππε?=，则：E =即：020()2()2r r R E R r R r ρερε???； θr

图见右。

11-10．半径为1R 和2R （21R R <）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量λ和λ-，试求：（1）1R r <；（2）21R r R <<；（3）2R r >处各点的场强。

解：利用高斯定律：

1

i

S

S E dS q

ε?=

∑??内

。

（1）1r R <时，高斯面内不包括电荷，所以：10E =；

（2）12R r R <<时，利用高斯定律及对称性，有：

202l r l E λπε=

，

则：

202E r λ

πε=

；

（3）2r R >时，利用高斯定律及对称性，有：320rlE π=，则：30E =；

即：11202

?20

E r R E r R r R r E r R E λπε?=

?

=<

==>?。

11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r 的一个小球体，球心为O '，两球心间距离d O O ='，

如图所示。求：

（1）在球形空腔内，球心O '处的电场强度0E ；

（2）在球体内P 点处的电场强度E ，设O '、O 、P 三点在同一直径上，且d OP =。

解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为ρ的大球和带有电荷体密度为ρ-的小球的合成。

（1）以O 为圆心，过O '点作一个半径为d 的高斯面，根据高斯定理有： 1

3043S E d S d ρπε?=

??

?

003d E ρε=，方向从O 指向O '；

（2）过P 点以O 为圆心，作一个半径为d 的高斯面。根据高斯定理有：

1

3043S E d S d ρπε?=

??

?

103P d E ρε=，方向从O 指向P ，

过P 点以O '为圆心，作一个半径为d 2的高斯面。根据

高斯定理有：

2

3

043S E d S r

ρπε?=-??

?

32203P r E d ρε=-， ∴1

2

3

20

()

34P P r E E E d d ρε=+=-，方向从O 指向P 。

11-12．设真空中静电场E 的分布为E cxi =，式中c 为常量，求空间电荷的分布。

解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面，有：0S E d S cx S ?=????

由高斯定理：

1

S

S E d S q

ε?=

∑??内

，

设空间电荷的密度为()x ρ，有：

()x x Sd x cx S ρε???=

?

∴0

000()x x x d x cd x

ρε=??，可见()x ρ为常数?0c ρε=。

11-13．如图所示，一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别

为1R 和2R ，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O 的电势．(以无穷远处为电势零点) 解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x 轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半

径为：

tan

2r x θ

=，环面圆宽：

cos

2

d x d l θ

=

22tan 2cos 2

d x

dS r d l x θππθ

=?=??

，

利用带电量为q 的圆环在垂直环轴线上0x 处电势的表达式：

14U πε=

环，

x

cos

2

dx θ

有：

02tan 2

cos

1tan 422d x

x dU d x

θσπθσθπεε??

=

=?，

考虑到圆台上底的坐标为：11cot

2

x R θ

=，22cot

2

x R θ

=，

∴U =2

1

0tan 22x x

d x σθ

ε??

21cot 2cot 02tan 22R R d x θθσθε=

??210()2R R σε-=。

11-14．电荷量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求：离球心r 处（r R <）P 点的电势。

解：利用高斯定律：

01

S

S E dS q

ε?=

∑??内

（1）r R <时，

3

2

3

04Q r r E R πε=?内；有：

E （2）r R >时，

204Q r E πε=外；有：0E =

外离球心r 处（r R <）的电势：R

r r

R

U E dr E dr

∞

=?+???外内，即：

320044R r r

R Q r Q

U dr dr R r πεπε∞=?+??

?2300

388Q Q r R R πεπε=-。

11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为ρ，球

壳内表面半径为1R ，外表面半径为2R ．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。 解：当1r R <时，因高斯面内不包围电荷，有：10E =，

当12R r R <<时，有：

203132

031323)(4)

(3

4

r R r r R r E ερπεπρ-=

-=

，

当2r R >时，有：

2031322

0313

233)(4)

(3

4r R R r R R E ερπεπρ-=

-=

，

以无穷远处为电势零点，有：

2

1

2

23R R R U E d r E d r ∞

=?+?????∞-+-=2

R dr r R R dr r R r R R

2031

32203133)(3)(2

1

ερερ)(221220R R -=ερ。

11-16．电荷以相同的面密度σ 分布在半径为110r cm =和220r cm =的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为V 3000=U 。

（1）求电荷面密度σ；

（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度σ'为多少？

（212120m N C 1085.8---??=ε）

解：（1）当1r r <

当12r r r <<时，利用高斯定理可求得：21220r E r σε=当

2r r >时，可求得：2212320()r r E r σε+=， ∴212023r r r U E d r E d r ∞=?+???212

2221122200()r r r r r r d r d r r r σσεε∞+=+??)(210r r +=εσ 那么：2

9312210

01085.810303001085.8m C r r U ---?=???=+=εσ （2）设外球面上放电后电荷密度'σ，则有：

0120'(')/0U r r σσε=+=，∴1

2'2r r σσσ=-=-

则应放掉电荷为：

2'22234()42

q r r πσσσπ?=-=?124 3.148.85103000.2-=?????96.6710C -=?。

11-17．如图所示，半径为R 的均匀带电球面，带有电荷q ，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为λ，长度为l ，细线左端离球心距离为0r 。设球和线上的电荷分布不

受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在

该电场中的电势能（设无穷远处的电势为

零）。

解：（1）以O 点为坐标原点，有一均匀带电

细线的方向为x 轴，

均匀带电球面在球面外的场强分布为：

204q E r πε=（r R >）。

取细线上的微元：dq dl dr λλ==，有：d F E dq =， ∴0020000?44()r l

r q

ql r F dr x r r l λλπεπε+==+?（?r 为r 方向上的单位矢量） （2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：

04q

U r πε=（r R >，∞为电势零点）。

对细线上的微元dq dr λ=，所具有的电势能为：

04q dW d r r λπε=?， ∴000000ln 44r l r r l q dr q W r r λλπεπε++==?。

11-18. 一电偶极子的电矩为p ，放在场强为E 的匀强电场中，

p 与E 之间夹角为θ，如图所示．若将此偶极子绕通过其中心且垂直于p 、E 平面的轴转 180，外力需作功多少？

解：由功的表示式：d A Md θ= 考虑到：M p E =?，有：sin 2cos A pE d pE πθθθθθ+==?。

11-19．如图所示，一个半径为R 的均匀带电圆板，其电荷面密度为σ(＞0)今有一质量为m ，电荷为q -的粒子(q ＞0)沿圆

板轴线(x 轴)方向向圆板运动，已知在距圆心O （也是x 轴原点）为b 的位置上时，粒子的速度为0v ，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的

均匀性始终不变)。

解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上0x 处产生的电势为：

00)2U x σε=，那么，

0(2Ob O b U U U R b σε=-=+，

由能量守恒定律，222000111()(2222Ob q m v mv qU mv R b σε=--=++，

有：

)(22020b R b R m q v v +-++=εσ

思考题11

11-1．两个点电荷分别带电q 和q 2，相距l ，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零? 答：由2200244()qQ qQ x l x πεπε=-

，解得：1)x l =，即离点电荷q 的

距离为1)l 。

11-2．下列几个说法中哪一个是正确的？

（A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；

（B ）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；

（C ）场强方向可由q /F E =定出，其中q 为试验电荷的电量，q 可正、可负，F 为试验电荷所受的电场力；

（D ）以上说法都不正确。

答：（C ）

11-3．真空中一半径为R 的的均匀带电球面,总电

量为q (q ＜0)，今在球面面上挖去非常小的一块

面积S ?(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分

布，则挖去S ?后球心处的电场强度大小和方向. 答：题意可知：

204q R σπε=，利用补偿法，将挖去部分看成点电荷， 有：204S E R σπε?=，方向指向小面积元。

11-4．三个点电荷1q 、2q 和3q -在一直线上，相距均为R 2，以1q 与2q 的中心O 作一半径为R 2的球面，A 为球面与直线的一个交点，如图。求：

(1)通过该球面的电通量???S

E d；

(2)A点的场强A E。

解：(1)

12

S

q q

E dS

ε

+

?=

??

；(2)2

3

2

2

2

1

4

4

)

3(

4R

πε

q

R

πε

q

R

πε

q

E

A

-

+

=

。

11-5．有一边长为a的正方形平面，在其中垂线

上距中心O点2/a处，

有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量

为多少？

解：设想一下再加5个相同的正方形平面将q围在正方体的中心，

通过此正方体闭合外表面的通量为：0/qε

Φ=

闭合，那么，

通过该平面的电场强度通量为：0

6

q

ε

Φ=

。

11-6．对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？

(A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷；

(B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷；

(C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零；

(D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。

答：(A)

11-7．由真空中静电场的高斯定理0

1

S

E d S q

ε

?=∑

?

可知

(A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零；

(B )闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零；

(C )闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零；

(D )闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。 答：(C )

11-8．图示为一具有球对称性分布的静电场的

r E ~关系曲线．

请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。

(A )半径为R 的均匀带电球面；

(B )半径为R 的均匀带电球体；

(C )半径为R 、电荷体密度Ar =ρ(A 为常数）的非均匀带电球体；

(D )半径为R 、电荷体密度r A /=ρ(A 为常数)的非均匀带电球体。

答：(D )

11-9．如图，在点电荷q 的电场中，选取以q 为中心、R 为半径的球面上一点P 处作电势零点，则与点电荷q 距离为r 的P'点的电势为

(A )r q

04επ

(B )??? ??-πR r q 1140ε (C )()R r q

-π04ε (D )??? ??-πr R q

1140ε

答：(B )

11-10．密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生．实验中，半径为r 、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为12U ．当电势差增加到412U 时，半径为2r 的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少？

解：g r πρq d U 31234?=┄①，g r πρq d U 312)2(344?='┄②

∴①②联立有：e q q 42=='。

11-11．设无穷远处电势为零，则半径为R 的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的0U 和b 皆为常量)：

答：(C )

11-12．无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？ 答：不能。见书中例11-12。 大学物理第12章课后习

题

12-1．一半径为10.0米的孤立导体球，已知其电势为V 100(以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。

解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，∴电势为：00

4Q

R U R σπεε==， 则：129208.85101008.85100.1U

C m R εσ--??===?。

12-2．两个相距很远的导体球，半径分别为cm 0.61=r ，cm 0.122=r ，都带有C 1038-?的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。

解：半径分别为1r 的电量为1q ，2r 电量为2q ， 由题意，有：

1201

02

44q q r r πεπε=

┄①，821106-?=+q q ┄②，

①②联立，有：81210q C -=?，82410q C -=?。

12-3．

有一外半径为1R ，内半径2R 的金属球壳，在壳内有一半径

为3R 的金属球，球壳和内球均带电量q ，求球心的电势． 解：由高斯定理，可求出场强分布：

132322032141

2004024E r R q E R r R r E R r R q E r R r πεπε=

<

=<

>???

∴32

1

3

2

1

012340R R R R R R U E d r E d r E d r E d r ∞

=

?+?+?+??

???

2

3

1

2

2

00244R R R q q dr dr r r

πεπε∞

=+?

?

321

112

(

)4q R R R πε=-+。

12-4

．一电量为q 的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径

分别为1R 、2R ．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出r E ~和r V ~曲线. 解：由高斯定理，可求出场强分布：

112

021232

200404q E r R r E R r R q E r R r πεπε?=<

=<

?=

>??

∴电势的分布为： 当10r R <≤时，12

12

2

0044R r

R q q U dr

r r πεπε∞

=

+?

?

012

111

()4q

r R R πε=

-+； 当12R r R <≤时，2

22

002

44R q q U dr r

R πεπε∞

=

=

?

；

r

r

12

当2R r ≥时，320044r q q U dr r r πεπε∞

==?。

12-5．半径10.05,R m =，带电量8310C q -=?的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径20.07R m =，外半径30.09R m =，带电量8210C Q -=-?。试求距球心r 处的P 点的场强与电势。（1）0.10r m =（2）0.06r m =（3）0.03r m =。

解：由高斯定理，可求出场强分布：

112122032343

20040

4E r R q E R r R r E R r R Q q E r R r πεπε=??? ∴电势的分布为： 当1r R ≤时，2

1312

20044R R R q Q q U dr dr r r πεπε∞

+=+??0120311()44q Q q R R R πεπε+=-+， 当12R r R <≤时，232220044R r R q Q q U dr dr r r πεπε∞+=

+??020311()44q Q q r R R πεπε+=-+， 当23R r R <≤时，33204R Q q U dr r πε∞+=?034Q q R πε+=， 当3r R >时，420044r Q q Q q U dr r r

πεπε∞++==?， ∴（1）0.10r m =，适用于3r R >情况，有：

3420910N 4Q q E r πε+=

=?，40900V 4Q q U r

πε+==； （2）0.06r m =，适用于12R r R <<情况，有： 42207.510N 4q E r πε==?，32020311() 1.6410V 44q

Q q U r R R πεπε+=-+=?； （3）0.03r m =，适用于1r R <情况，有：

10E =，3101203

11() 2.5410V 44q

Q q U R R R πεπε+=-+=?。

12-6．两块带有异号电荷的金属板A 和B ，相距mm 0.5，两板面积都是2cm 150，电量分别为C 1066.28-?±，A 板接地，略去边缘效应，求：（1）B 板的电势；（2）AB 间离A 板mm 0.1处的电势。 解：（1）由0E σε=有：0q E S ε=， 则：0AB qd U Ed S ε==，而0A U =， ∴83

1222.661051010008.8510 1.510B U V ----???=-=-???，

B

5mm

离A 板mm 0.1处的电势：31

(10)2005

P U V =

?-=-

12-7．平板电容器极板间的距离为d ，保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度为t (t

无金属板时电势差为：0100

U E d d σ

ε=?=，

有金属板时电势差为：0200

()()U E d t d t σ

ε=?-=-，

电势差比为：0

01020

()d U d

U d t

d t σεσε==--；

（2）设无金属板时极板带电量为0Q ，面电荷密度为0σ， 有金属板时极板带电量为Q ，面电荷密度为σ。

由于12U U =，有0()E d E d t ?=?-，即000

()d d t σσ

εε?=-

∴00Q d t Q d

σσ-==。 解法二：

无金属板时的电容为：00S

C d

ε=

，有金属板时的电容为：00S

C d t

ε=

-。那么：

（1）当极板电荷保持不变时，利用Q C U =

知：12U d

U d t

=-； （2）当极板电压保持不变时，利用Q C U =知：0Q d t

Q d

-=。

12-8．实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E 垂直于地面向下，大小约为V/m 130.在离地面km 5.1的高空的场强也是垂直向下，大小约为5V/m 2. （1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)； （2）计算从地面到km 5.1高空的空气中的平均电荷密度．

解：（1）因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用00

E σ

ε=考察，选竖直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为0130E V =-，所以：

129208.8510(130) 1.1510E C m σε--==??-=-?；

（2）如图，由高斯定理

01

i

S

S E dS q ε?=

∑??

内

，有：

00

'()h S

E S E S ρε??+-?=，则：312

1.51025(130)8.8510ρ-??---=?， 得：1336.210C

m ρ-=?。

+

U

km

'25

E =-

12-9．同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆柱半径为1R ，电势为1V ，外圆筒的内半径为2R ，电势为2V .求其离轴为r 处(1R

解：∵1R

， ∴内外圆柱间电势差为：21212001ln 22R R R V V dr r R λλπεπε-=

=? 则：12021()2ln()

V V R R λπε-= 同理，r 处的电势为：2

2200ln 22R r r R U V dr r r

λλπεπε-==?（*） ∴220ln 2r R U V r

λπε=+212221ln()()ln()R r V V V R R =-+。 【注：上式也可以变形为：r U =111221ln()()

ln()r R V V V R R =--，与书后答案相同，或将（*）式用：11001

ln 22r r R r V U dr r R λλπεπε-=

=?计算，结果如上】 12-10

．半径分别为a 和b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q ，求： （1）每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容。 解：（1）首先考虑a 和b 的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等：0044a b

a b q q r r πεπε=┄①，再由系统电荷为Q ，有：a b q q Q +=┄② 两式联立得：a Qa q a b =+，b Qb q a b

=+； （2）根据电容的定义：04a Q Q C U q a πε==（或04b

Q Q C U q b

πε==），将（1）结论代入， 有：04()C a b πε=+。

12-11．图示一球形电容器，在外球壳的半径b 及内外导体间的电势差U 维持恒定的条件下，内球半径a 为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。 解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为：204Q

E r πε=，

2

而电势差：200

44b b a a Q Q b a U E d r d r r ab πεπε-=?==?

??， ∴04Q Uab b a

πε=-，那么，场强表达式可写为：2a b U E b a r =?-。 因为要考察内球表面附近的场强，可令a r =，有：()a bU E b a a

=-， 将a 看成自变量，若有0a dE da =时，出现极值，那么：22

(2)0()bU b a ab a --=- 得：2b a =，此时：min 4a U E b =。

12-12．一空气平板电容器，极板B 、A 的面积都是S ，极板间距离为

d ．接上电源后，A 板电势V U =A ，B 板电势0B =U ．现将一带有

电荷q 、面积也是S 而厚度可忽略的导体片C 平行插在两极板的中间位

置，如图所示，试求导体片C 的电势。 解：由题意，22AB BC d d V E E =?

+?，而：0

A A

B E σε=，0A B

C E σσε+= 且q S σ=，∴002A d q d V S σεε=+，则：00()2A q d V S d

εσε=-。 导体片C 的电势：022

A C C

B CB d d U U E σσε+==?=?， ∴01()22

C q U V d S ε=+。

12-13．两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：（1）设小球1r R =，大球24r R =，两球各自带有电量为q ，有： 接触之前的电势能：2

2

000444q q W R R πεπε=+；

（2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为1q ，大金属球带电为2q ， 有：1

2010244q q R R πεπε=┄①和122q q q +=┄②，①②联立解得：125q q =，285q q =。 那么，电势能为：222

2120000046416252544444425

q q q q W W R R R R πεπεπεπε=+=+=。

思考题12

12-1．一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有q +和q -的

电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认

为电场线应如何分布。

答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交，

两板的电场线接近板面时应该垂直板面。

12-2．在“无限大”均匀带电平面A 附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度为σ+，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少？ 答：2

1σ

σ-

=，2

2σ

σ=

。

12-3．充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F 与两极板间的电压U 之间的关系是怎样的？

答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。

12-4．一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的 距离为d 处(d

πεq

d πεq U 00044-+

=

12-5．在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A 内，放一 带有电荷为Q +的带电导体B ，如图所示，则比较空腔导体A 的 电势A U 和导体B 的电势B U 时，可得什么结论？ 答：A U 和B U 都是等势体，3

04R Q U A πε=

；

???

?

??-+=210301144R R Q R Q

U B πεπε 习题13

13-1

．

如图为半径为R 的介质球，试分别计算下列两种情况下球表

面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P (沿x

轴)。

（1）0P P =；（2）

R

x

P P 0

=。

解：可利用公式'cos S S q P d S P d S θ=-?=-????

首先考虑一个球的环形面元，有：2sin ()d S R Rd πθθ=，（1）0P P =时，由'cos P σθ=知10'cos P σθ=，

22

100

'cos 2sin sin 220

2

R P q P R d d π

π

πθπθθθθ=-?=-

=??

；

（2）

R

x

P P 0

=时，

220

00cos 'cos cos cos x R P P P R R

θσθθθ===，P

sin θ

222

22000

'cos 2sin 2cos cos q P R d R P d π

π

θπθθπθθ

=-?=??

223000

24cos 3

3

R P R P πππθ

==-

。

13-2．平行板电容器，板面积为2cm 100，带电量C 109.87-?±，在两板间充满电介质后，其场强为V/m 104.16?，试求：（1）介质的相对介电常数r ε；(2)介质表面上的极化电荷密度。

解：（1）由0r

E σεε=

，有：18.710100104.11085.8109.84

6127

0=??????==---ES Q r εε

（2）520'(1)7.6610r P E C m σεε-==-=?

13-3

．面积为S 的平行板电容器，两板间距

为d ，求：（1）插入厚度为3

d

，相对介电常数为r ε的电介质，

其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为3

d 的导电板，

其电容量又变为原来的多少倍？ 解：（1）电介质外的场强为：00

E σ

ε=

，

而电介质内的场强为：

0r r

E σεε=

，

所以，两板间电势差为：00233r d

U d σσεεε=

?+?，

那么，

03(21)r r S Q S

C U U d

εεσε=

==+，而

00S

C d ε=

，∴0321r r C

C εε=+； （2）插入厚度为3

d

的导电板，可看成是两个电容的串联， 有：

00123/3

S

S C C d d

εε==

=

，

∴

0021212323C d S C C C C C ==+=ε?032C C =

。 13-4

．在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质

3

d

3

d 3

d

后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为0σ与σ'(绝对值)，试求：（1）电介质内的场强E ；（2）相对介电常数r ε。

解：（1）由：

1

(')

S

E d S q q ε?=

+∑??，有：

00

'E σσε-=

（∵'σ给出的是绝对值）

（2）又由00r

E σεε=

，有：0000

0000''r E σσεσεεεσσσσ=

=?=

--。

13-5．在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。若导体内表面的自由电荷面密度为σ，则电介质表面的极化电荷面密度为多少？(已知电介质的相对介电常数为r ε) 解：由'S q P d S =-???，考虑到0(1)r P E εε=-，

有：0'(1)

S

r q E d S εε?=-

-??

，

与

0'

S

q q E d S ε+?=??

联立，有：00''

(1)r q q q εεε+-

=

-，

得：(1)'r r

q

q εε-=-

，∴

1'r r εσσε-=-

。

13-6

．如图所示，半径为0R 的

导体球带有电荷Q ，球外有一层均匀介质同心

球壳，其内、外半径分别为1R 和2R ，相对电容率

为r ε，求：介质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小。

解：利用介质中的高斯定理

i

S

S D dS q ?=∑??内

。

（1）导体内外的电位移为：0r R >，

2

4Q D r π=

；0r R <，0D =。

（2）由于0r D

E εε=

，所以介质内外的电场强度为： 0

r R < 时，10E =；时，第四/

σ

+σ

-

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