椭圆性质总结及习题

椭 圆

重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程及椭圆的参数方程； 难点：用椭圆的定义及基本性质求椭圆的方程。 1 椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a?F1F2的点的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（2a?F1F2时为线段F1F2，2a?F1F2无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集

??d2 标准方程：

M={P|

PF?e，0＜e＜1的常数

（e?1为抛物线；e?1为双曲线） ?。

x2y2（1）焦点在x轴上，中心在原点：2?2?1（a＞b＞0）；

ab焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中c?a2?b2（一个Rt?）

y2x2（2）焦点在y轴上，中心在原点：2?2?1（a＞b＞0）；

ab焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中c?a2?b2 注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，c? a2?b2并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜

B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。

x2y23．参数方程 ：椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程

ab ?s?x?aco? (?为参数) ??y?bsin224.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：x?y?1（a＞b＞0）有以下性质：

a2b2坐标系下的性质：

① 范围：|x|≤a，|y|≤b；

② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）； ③ 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；

（a半长轴长，b半短轴长）；

a2④ 准线方程：x??ca2；或y??

c⑤ 焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=r左=a+ex0，|PF2|=r右=a-ex0；

|PF1|=r下=a+ey0，|PF2|=r上=a-ey0;PF?a?c,PFmin?a?c max平面几何性质： ⑥ 离心率：e=

c（焦距与长轴长之比）??0,1?；e越大越______，e?0是_____。 ab22a2⑦ 焦准距p?；准线间距?

cc二、焦点三角形

x2y2结论一：若F1、F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，P是椭圆上一点，且

ab?F1PF2??，当点P位于___________时?最大，cos?=______________.

|PF1||PF2|的最大值为______________. S?F1PF2?btan2?2

结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。

三．中点弦问题

x2y2AB是椭圆2?2?1(a?b?0)的一条弦，中点M坐标为(x0,y0)，则直线的斜率

ab为 。

四．弦长问题.

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则所得的弦长 或 .

(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；

(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用 ，往往比利用弦长公式简单。 五．X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)，则点(m ，O)到椭圆的最短距离为：_________________.

ab六．过椭圆上点切线问题

x0xy0yx2y2?2?1??1222P(x,y)Pbb若000在椭圆a上，则过0的椭圆的切线方程是a.

习 题

1、 求椭圆16x2?25y2?400的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标。 2、已知椭圆的焦点为F1(?1,0)和F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则该椭圆的方程为__________________。

x2y2??1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON的长是3、 椭圆

259___________________。

4、 如果方程kx2?y2?2表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是

______________。

x2y25、 过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，

ab?若?F1PF2?60，则椭圆的离心率为__________。

x2y26、 设F1,F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，以F1为圆心且过椭圆中心的圆与椭

ab圆的一个焦点为M，若直线F2M与圆F1相切，则该椭圆的离心率为____________________。

x2y2??125167、点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径

为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_______________.

x2y2C:2?2?1FFab8、（2009年上海卷理）已知1、2是椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，P1F2的面积为9，则b=____________. 1?PF2.若?PF为椭圆C上一点，且PFx2y2??1F,F|PF1|?4，则29、（2009北京文）椭圆9的焦点为12，点P在椭圆上，若

|PF2|? ；?F1PF2的大小为 .

x2y2??1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一10、已知椭圆

169个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为_________。

x2y2??1， 11、设点P（x，y）在椭圆（1）试求点P到直线x?y?5?0的距离d的最169大值和最小值。(2) 求x+2y的最小值。

x2?y2?112、设F1、F2分别是椭圆4的左、右焦点.

1·PF2的最大值和最小值; (Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点，求PF（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

13、已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，点A（?23,0)是其左顶点，点C在椭圆

上，且AC?CO?0，|AC|?|CO|． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若平行于CO的直线l和椭圆交于M,N两个不同点，求?CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

6x2y2??1(a?b?0)2b214、 已知椭圆a的离心率为3，长轴长为23，直线l:y?kx?m

椭圆于不同的两点A，B． （Ⅰ）求椭圆的方程；

????????（Ⅱ）若m?1，且OA?OB?0，求k的值（O点为坐标原点）；

3（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为2，求?AOB面积的最大值．

15、在直角坐标系xOy中，点M到F1(?3,0)、F2(3,0)的距离之和是4，点M的轨迹

C 与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l：y?kx?b与轨迹C交于不同的两

点P和Q．

（1）求轨迹C的方程；

????????（2）当AP?AQ?0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．

x2y2?2?1(a?b?0)2A(1,1)b16、已知点是椭圆a上的一点，F1,F2是椭圆的两个焦点,

且满足

AF1?AF2?4.

(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;

(Ⅱ)设点C,D是椭圆上的两点,直线AC,AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜

率是否为定值?并说明理由.

y2?1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标17、设椭圆方程为x?4????1????????11原点，点P满足OP?(OA?OB)，点N的坐标为(,)，当l绕点M旋转

222????时，求（1）动点P的轨迹方程；（2）|NP|的最小值与最大值.

2x2y2318、已知椭圆2?2?1（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的

ab2面积为4.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. （i）若|AB|=42，求直线l的倾斜角； 5???????? （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且QA?（0，y0）QB=4.求y0的值.

17、解：（1）法1：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1. 记A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点A、B的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组

① ?y?kx?1? 的解. 将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0， ?2y2?1?x?② 4?2k?x?x??,2??14?k2所以?

8?y?y?.122?4?k?x?x2y1?y21?k4,)?(,). 于是OP?(OA?OB)?(1222224?k4?k设点P的坐标为(x,y), 则

?k?x?,??4?k2消去参数k得4x2+y2-y=0 ③ ??y?4.?4?k2?当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，

22

所以点P的轨迹方程为4x+y-y=0

解法二：设点P的坐标为(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以

2y12y22x??1, ④ x2??1. ⑤

4412222④—⑤得x1?x2?(y1?y2)?0，

41所以(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0.

4y?y21当x1?x2时，有x1?x2?(y1?y2)?1?0. ⑥

4x1?x221?x1?x2x?,?2?y?y2?并且?y?1, ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x2+y2-y=0 ⑧

2??y?1y1?y2?x?x?x.12?当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为

12(y?)x22?1. （0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为?111641112,即??x?.所以 （2）由点P的轨迹方程知x?1644111117|NP|2?(x?)2?(y?)2?(x?)2??4x2??3(x?)2?

222461211，|NP|取得最小值，最小值为; 44121当x??时，|NP|取得最大值，最大值为.

66故当x?

18.【解析】（Ⅰ）解：由e=由题意可知

c322222，得3a?4c.再由c?a?b，解得a=2b. ?a21?2a?2b?4，即ab=2. 2?a?2b,x2?y2?1. 解方程组?得a=2，b=1，所以椭圆的方程为4?ab?2,(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为(x1,y1)，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.

?y?k(x?2),?于是A、B两点的坐标满足方程组?x2消去y并整理，得 2??y?1.?4(1?4k2)x2?16k2x?(16k2?4)?0.

4k16k2?42?8k2y?x?由?2x1?，得.从而. 111?4k21?4k21?4k2?2?8k??4k?41?k2所以|AB|???2?. ???2?2?21?4k1?4k1?4k????222

2k1?8k2?（2）当k?0时，线段AB的垂直平分线方程为y?。 ???x?22?1?4kk?1?4k?6k。

1?4k2????????由QA???2,?y0?，QB??x1,y1?y0?，

令x?0，解得y0???????????2?2?8k2?6k?4k6k?QA?QB??2x1?y0?y1?y0??????

1?4k21?4k2?1?4k21?4k2??4?16k4?15k2?1??1?4k?222?4，

14214。所以y0??。 75214。 5整理得7k?2。故k??综上，y0??22或y0??

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