北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学文试题 Word版含答案

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北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷

高三数学（文科） 2016.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项．

1．设集合错误！未找到引用源。，集合错误！未找到引用源。，若错误！未找到引用源。，

则实数错误！未找到引用源。的取值范围是（ ）

（A）错误！未找到引用源。 （B）错误！未找到引用源。 （C）错误！未找到引用源。

（D）错误！未找到引用源。

2. 下列函数中，值域为错误！未找到引用源。的偶函数是（ ）

（A）错误！未找到引用源。 （B）错误！未找到引用源。 （C）错误！未

找到引用源。 （D）错误！未找到引用源。

3．设错误！未找到引用源。是错误！未找到引用源。所在平面内一点，且错误！未找到引用

源。，则错误！未找到引用源。（ ）

（A）错误！未找到引用源。 （B）错误！未找到引用源。 （C）错误！未

找到引用源。 （D）错误！未找到引用源。

4．设命题p：“若错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。”，命题q：“若错误！

未找到引用源。，则错误！未找到引用源。”，则（ ）

（A）“错误！未找到引用源。”为真命题 （B）“错误！未找到引用

源。”为真命题

（C）“错误！未找到引用源。”为真命题 （D）以上都不对

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（A）错误！未找到引用源。

（B）错误！未找到引用源。

（C）错误！未找到引用源。

（D）错误！未找到引用源。

6. “错误！未找到引用源。”是“曲线错误！未找到引用源。是焦点在x轴上的双曲线”的

（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

7. 设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。满足约束条件错误！未找到引用源。 若

错误！未找到引用源。的最大值与最小值的差为7，则实数错误！未找到引用源。（ ）

（A）错误！未找到引用源。 （B）错误！未找到引用源。 （C）

错误！未找到引用源。 （D）错误！未找到引用源。

8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：

相应系统收费的程序框图如图所示，其中错误！未找到引用源。（单位：千米）为行驶

里程，错误！未找到引用源。（单位：元）为所收

费用，用表示不大于x的最大整数，则图中○1处应

填（ ）

（A）错误！未找到引用源。

（B）错误！未找到引用源。

（C）错误！未找到引用源。

（D）错误！未找到引用源。

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第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 已知复数错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，那么错误！未找到引用源。

____.

10．若抛物线错误！未找到引用源。的焦点在直线错误！未找到引用源。上，则实数错误！

未找到引用源。____；抛物线C的准线方程为____.

11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时

间均在区间错误！未找到引用源。内（单位：小时），现将这100

人完成家庭作业的时间分为3组：错误！未找到引用源。，错误！

未找到引用源。，错误！未找到引用源。加以统计，得到如图所

示的频率分布直方图.

在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视O 0.5 1.5 2.5 3.5 时间(小时) 力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.

12．已知函数错误！未找到引用源。的部分图象如图所示，若不等式

错误！未找到引用源。的解集为错误！未找到引用源。，则实数错

误！未找到引用源。的值为____.

13. 在错误！未找到引用源。ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若错误！未找到

引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。____；

错误！未找到引用源。ABC的面积为____.

14. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（恒温，单位：错误！未找到引用源。）

满足函数关系错误！未找到引用源。 且该食品在错误！未找到引用源。的保鲜时间是16小

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在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否

过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知数列错误！未找到引用源。是等比数列，并且错误！未找到引用源。是公差为错误！

未找到引用源。的等差数列.

（Ⅰ）求数列错误！未找到引用源。的通项公式；

（Ⅱ）设错误！未找到引用源。，记错误！未找到引用源。为数列错误！未找到引用源。

的前n项和，证明：错误！未找到引用源。.

16．（本小题满分13分）

已知函数，错误！未找到引用源。.

错误！未找到引用源。

（Ⅰ）求函数错误！未找到引用源。的最小正周期；

（Ⅱ）若错误！未找到引用源。，求函数错误！未找到引用源。的单调增区间.

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥错误！未找到引用源。中，底面错误！未找到引用源。是平行四边形，

错误！未找到引用源。，侧面错误！未找到引用源。底面错误！未找到引用源。，错误！未

找到引用源。,错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。分别为错误！未找到引用源。

的中点，点错误！未找到引用源。在线段错误！未找到引用源。上.

（Ⅰ）求证：错误！未找到引用源。平面错误！

未找到引用源。；

（Ⅱ）若错误！未找到引用源。为错误！未找到B E

D F C

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引用源。的中点，求证：错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。；

（Ⅲ）当错误！未找到引用源。时，求四棱锥错误！未找到引用源。的体积.

18．（本小题满分13分）

甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中

目标得0分. 两人4局的得分情况如下：

（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4

局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求错误！未找到引用源。的值；

（Ⅱ）如果错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，从甲、乙两人的4局比赛

中随机各选取1局，并将其得分分别记为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，

求错误！未找到引用源。的概率；

（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出错误！

未找到引用源。的所有可能取值.（结论不要求证明）

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19．（本小题满分14分）

已知椭圆错误！未找到引用源。:错误！未找到引用源。的离心率为错误！未找到引用源。，

点错误！未找到引用源。在椭圆C上，O为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆错误！未找到引用源。的方程；

（Ⅱ）设动直线错误！未找到引用源。与椭圆错误！未找到引用源。有且仅有一个公共

点，且错误！未找到引用源。与圆错误！未找到引用源。的相交于不在坐标轴上的两点错误！

未找到引用源。，错误！未找到引用源。，记直线错误！未找到引用源。，错误！未找到引

用源。 的斜率分别为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，求证：错误！未找到

引用源。为定值.

20．（本小题满分13分）

已知函数，直线错误！未找到引用源。.

错误！未找到引用源。

（Ⅰ）求函数错误！未找到引用源。的极值；

（Ⅱ）求证：对于任意错误！未找到引用源。，直线错误！未找到引用源。都不是曲线

错误！未找到引用源。的切线；

（Ⅲ）试确定曲线错误！未找到引用源。与直线错误！未找到引用源。的交点个数，并

说明理由.

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末

高三数学（文科）参考答案及评分标准

2016.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D 2．C 3．D 4．B

5．B 6．B 7．C 8．D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

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9．错误！未找到引用源。 10．错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

11. 9 12．错误！未找到引用源。

13．错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 14．4 是

注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设等比数列错误！未找到引用源。的公比为错误！未找到引用源。，

因为错误！未找到引用源。是公差为错误！未找到引用源。的等差数列，

所以错误！未找到引用源。

2分

即错误！未找到引用源。

3分

解得错误 ！未找到引用

源。. 5 分

所以错误！未找到引用源。． 7分

（Ⅱ）证明：因为错误！未找到引用源。，

所以数列错误！未找到引用源。是以错误！未找到引用源。为首项，错误！未找到引

用源。为公比的等比数列. 8分

所以错误！未找到引用源。

11分

. 13

错误！未找到引用源。

分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

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4

错误！未找到引用源。

分

错误！未找到引用

， 6分

源。

所以函数错误！未找到引用源。的最小正周期错误！未找到引用源。. 8分

（Ⅱ）解：由，错误！未找到引用错误！未找到引用源。

源。， 9分

得，

错误！未找到引用源。

所以函数错误！未找到引用源。的单调递增区间为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。. 11分

所以当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。的增区间为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。. 13分

（注：或者写成增区间为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。. ）

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：在平行四边形错误！未找到引用源。中，因为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，

所以错误！未找到引用源。.

由错误！未找到引用源。分别为错误！未找到引用源。的中点，得错误！未找到引用源。，

所以错误！未找到引用源。. 1分

因为侧面错误！未找到引用源。底面错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。， 所以错误！未找到引用源。底面错误！未找到引用

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源。. 2分

又因为错误！未找到引用源。底面错误！未找到引用源。，

所以错误！未找到引用源。. 3分

又因为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，

所以错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。. 5分

（Ⅱ）证明：因为错误！未找到引用源。为错误！未找到引用源。的中点，错误！未找到引用源。分别为错误！未找到引用源。的中点，

所以错误！未找到引用源。，

又因为错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，

所以错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。. 7分

同理，得错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。. D F

又因为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，C B E

错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，

所以平面错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。. 9分

又因为错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，

所以错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。. 10分

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（Ⅲ）解：在错误！未找到引用源。中，过错误！未找到引用源。作错误！未找到引用源。交错误！未找到引用源。于点错误！未找到引用源。（图略），

由，得，

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

又因为错误！未找到引用源。，

所以错误！未找到引用源。， 12分

因为错误！未找到引用源。底面错误！未找到引用源。，

所以错误！未找到引用源。底面错误！未找到引用源。，

所以四棱锥错误！未找到引用源。的体积. 14分

错误！未找到引用源。

18．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由题意，得，即错误！. 未找到引用源。错误！未找到引用源。

2分

因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零，

所以错误！未找到引用源。中至少有一个小于6， 4分

又因为 错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。，

所以错误！未找到引用源。，

所以错误！未找到引用源。. 5分

（Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足错误！未找到引用源。”为事件错误！未找到引用源。，

6分 记甲的4局比赛为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛

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为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，各局的得分分别是7，9，6，10.

则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：错误！未找到引用源。，

错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，

错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。. 7分

而事件错误！未找到引用源。的结果有8种，它们是：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。， 8分

因此事件错误！未找到引用源。的概率

. 10分

源。

（Ⅲ）解：错误！未找到引用源。的可能取值为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。. 13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由题意，得

错误！未找到引用源。

源。， 2分

又因为点在椭圆错误！未找到引用源。上，

错误！未找到引用源。

所以

错误！未找到引用，错误！未找到引用错误！未找到引用

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， 3分

源。

解得错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。， 所以椭圆C的方程为错误！未找到引用源。. 5分

（Ⅱ）证明：当直线错误！未找到引用源。的斜率不存在时，由题意知错误！未找到引用源。的方程为错误！未找到引用源。，

易得直线错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 的斜率之积错误！未找到引用源。. 6分

当直线错误！未找到引用源。的斜率存在时，设错误！未找到引用源。的方程为错误！未找到引用源。. 7分

由方程组

错误！未找到引用源。

分

因为直线错误！未找到引用源。与椭圆C有且只有一个公共点，

所以错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。. 9分 由方程组 得错误！未找到引用源。， 10

错误！未找到引用源。

分

设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则，

错误！未找到引用源。错误！

， 11分

未找到引用源。

所以错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

将错误！未找到引用源。代入上式，

得.

错误！未找到引用源。

综上，错误！未找到引用源。为定值错误！未找到引用， 13分 得错误！未找到引用源。， 8

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源。. 14分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：函数错误！未找到引用源。定义域为错误！未找到引用源。， 1分

求导，得错误！未找到引用源。， 2分

令错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。．

当错误！未找到引用源。变化时，错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的变化情况如下表所示：

所以函数错误！未找到引用源。的单调增区间为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，单调减区间为错误！未找到引用源。，

3分 所以函数错误！未找到引用源。有极小值错误！未找到引用源。，无极大值． 4分

（Ⅱ）证明：假设存在某个错误！未找到引用源。，使得直线错误！未找到引用源。与曲线错误！未找到引用源。相切， 5分

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设切点为错误！未找到引用源。，又因为错误！未找到引用源。，

所以切线满足斜率错误！未找到引用源。，且过点错误！未找到引用源。，

所以错误！未找到引用源。， 7分 即错误！未找到引用源。，此方程显然无解，

所以假设不成立．

所以对于任意错误！未找到引用源。，直线错误！未找到引用源。都不是曲线错误！未找到引用源。的切线. 8分

（Ⅲ）解：“曲线错误！未找到引用源。与直线错误！未找到引用源。的交点个数”等价于“方程错误！未找到引用源。的根的个数”.

由方程错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。. 9分

令错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。.

考察函数错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。，

因为错误！未找到引用源。时，

所以函数错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。单调递增，且错误！未找到引用源。. 11分

而方程错误！未找到引用源。中， 错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。. 所以当错误！未找到引用源。时，方程错误！未找到引用源。无根；当错误！未找到引用源。时，方程错误！未找到引用源。有且仅有一

根，

故当错误！未找到引用源。时，曲线错误！未找到引用源。与直线错误！未找到引用源。没有交点，而当错误！未找到引用源。时，曲线错误！未找到引用源。与直线错误！未找到引用源。有

且仅有一个交点. 13分

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