（数学分析教案）第四章

第四章

? 引言

函数的连续性 （14学时）

在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。从今天开始，我们就来看看这类函数的特点。主要讲以下几个问题：

１．什么是“函数的连续性”？

２．“间断”或“不连续”有哪些情形？ ３．连续函数有哪些性质？

４．初等函数的连续性有何特点？

§１ 连续性概念

教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。

教学要求：（１）使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数

在一点连续的各种等价叙述；（２）应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；（３）明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。

教学重点：函数连续性概念。 教学难点：函数连续性概念。 学时安排: 4学时 教学程序：

? 引言

“连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的。例如下图１中的函数

y?f(x)，我们说它是连续的，而图２中的函数在x0处是间断的。

由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了。

当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性。

例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman函数）。

因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究。

从图２看出，在x0处，函数值有一个跳跃，当自变量从x1左侧的近傍变到x1右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化。而在其它点处（如x1处），情况则完全相反。：当自变量从x1向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量x靠近x1时，函数值就靠近f(x1)，而当x?x1时，f(x)?f(x1)。换句话说，limf(x)?f(x1)f(x)x?xf(x)11当时，以为极限，即x?x1。

根据这一分析，引入下面的定义：

一 函数在一点的连续性

１．

x函数f在点0连续的定义

limf(x)?f(x0)xU(x)ffx00定义１（在点连续）设函数在某内有定义，若?x0，则称f在点x0连续。

注

x?x0limf(x)?f(x0)?f(limx)x?x0，即“f在点x0连续”意味着“极限运算与对应

法则f 可交换。 ２．例子

例１．?x0?R,sinx,cosx在x0处连续。 例２．x?2lim(2x?1)?5?f(2)。

,x?0,x?0例３．讨论函数

1?xsin?f(x)??x?0?在点x=0处连续性。

３．函数f在点x0连续的等价定义

１） 记号：?x?x?x0——自变量x在点的增量或改变量。设y0?f(x0)，

?y?f(x)?f(x0)?f(x0??x)?f(x0)?y?y0——函数y在点x0的增量。

注：自变量的增量?x或函数的增量?y可正、可负、也可为零。（区别于“增加”）。

lim?y?0２） 等价定义１：函数f在点x0连续??x?0。

３） 等价定义２：函数f在点x0连续????0,???0，当|x?x0|??时，

|f(x)?f(x)?|?。 0注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。如用三种定义，可以证明以下命题：

例４．证明函数f(x)?xD(x)在点x?0连续，其中D(x)为Dirichlet函数。

xx４．函数f在点0有极限与函数f在点0连续之间的关系

0１） 从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定f在U(x0)内不定义（f在点x0可以没

有定义）。而f在点x0连续则要求f在某U(x0)内有定义（包括x0）。

２） 在极限中，要求0?|x?x0|??，而当“f在点x0连续”时，由于x=x0时，

|f(x)?f(x0)?|?恒成立。所以换为：|x?x0|??.

３） 从对极限的要求看：“f在点x0连续”不仅要求“f在点x0有极限”，而且

x?x0limf(x)?f(x0)；而在讨论

x?x0limf(x)时，不要求它等于f(x0)，甚至于f(x0)可以不

存在。

limf(x)xxf(x)x00总的来讲，函数在点连续的要求是：①在点有定义；②?x0存在；

③. 任何一条不满足，f在点x0就不连续。同时，由定义可知，函数在

某点是可连续，是函数在这点的局部性质。

x?x0limf(x)?f(x0)x５．f在点0左（右）连续定义

① 定义２：设函数f在点U?(x0)（U?(x0)内有定义），若

x?xx?xlim?f(x)?f(x0)0（

lim?f(x)?f(x0)0），则称f在点x0右（左）连续。

②

f在点x0连续的等价刻划

定理4.1 函数f在点x0连续?f在点x0既是右连续，又是左连续。 如上例４：x?0（左连续）。

lim?xD(x)?lim?x?0?f(0)x?0（右连续），x?0lim?xD(x)?lim?x?0?f(0)x?0?x?2,f(x)???x?2,例５．讨论函数

x?0x?0在点x?0的连续性。

二 区间上的连续函数

１．定义

若函数f在区间Ｉ上每一点都连续，则称f为Ｉ上的连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续。若函数f在区间[a,b]上仅有有限个第一类间断点，则称f在[a,b]上分段连续。

２．例子

（１）函数y?C,y?x,y?sinx,y?cosx是Ｒ上的连续函数；

（２）函数y?1?x在(?1,1)内每一点都连续。在x?1处为左连续，在x??1处为右连续，因而它在[?1,1]上连续。

命题：初等函数在其定义区间上为连续函数。

函数y?[x]，y?sgnx在[?1,1]上是分段连续的y?[x]在Ｒ上是分段连续吗？

sgnx在Ｒ上是分段连续吗？

2三 间断点及其分类

１．不连续点（间断点）定义

定义３ 设函数f在某U(x0)内有定义，若f在点x0无定义，或f在点x0有定义而不２，不则称点x0为函数f的间断点或不连续点。

注 这个定义不好；还不如说：设f在U(x0)内不定义，如果f(x)在x0不连续，则称x0是f(x)的不连续点（或间断点）。由上述分析可见，若x0为函数f的间断点，则必出现下列情形之一：①f(x)在点x0无定义；②

x?x0x?x000limfx()不存在；③

limfx(?)fx0()。据此，对函数的间断点作如下分类： limf(x)?A２．间断点分类 １） 可去间断点 若

x?x0，而f在点x0无定义，或有定义但f(x0)?A，则

称x0为f的可去间断点。 例如：x?0是函数

f(x)?|sgnx|,g(x)?sinxx的可去间断点。

“可去间断点”名称何来？通过一定的手段，可以“去掉”。设x0是f(x)的可去间断点，?f(x),x?x0f(x)??limf(x)?Ax?x?A,x?x0则x0是f(x)的连续点。 0且。

?sinx,x?0?g(x)??x?1,x?0?例如，对

g(x)?sinxx，定义

，则g(x)在x?0连续。

２） 跳跃间断点 若

x?xlim?f(x),lim?f(x)0x?x0存在，但f(x0?0),f(x0?0)，则称点x0为

函数f的跳跃间断点。

lim[x]?0,lim[x]??1x?0例如，对y?[x]，x?0故x?0是它的跳跃间断点。

??再如x?0是sgnx的跳跃间断点。

可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点，其特点的函数在该点处的左、右极限都存在。 ３） 第二类间断点 函数的所有其它形式的间断点（即使称函数至少有一侧极限不存在

的点）称为函数的第二类间断点。

1例如，x?0是函数x，

sin1x的第二类间断点。

§２ 连续函数的性质

教学目的：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。

教学要求：（１）掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能

加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质；（２）掌握闭区间上连续函数的主要性质 ，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用；（３）理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。

教学重点：闭区间上连续函数的性质； 教学难点：一致连续的概念。 学时安排:4学时 教学程序：

? 引言

函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来。

一 连续函数的局部性质

性质１（局部有界性）若f在x0连续。则f在某U(x0)有界。

?性质２（局部保号性）若f在x0连续，且f(x0)?0(or0则)对任何正数

r?(0,f(x)()r?(f(x),0，存在某))U(x0)有f(x)?r?0(f(x)?r?0)。 00r取一些特殊值，注 ①在具体应用局部保号性时，如当f(x0)?0时，可取

r?f(x0)2，

则存在U(x0)，使得当x?U(x0)有

f(x)?f(x0)2；②与极限相应的性质做比较可见，这

0里只是把“极限存在”，改为“连续”，把U(x0)改为U(x0)其余一致。

性质３。（四则运算）若f和g在x0点连续，则

x0连续。

f?g,f?g,fg(g(x0)?0)也都在点

问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？

性质４（复合函数的连续性）若f在点x0连续，记f(x0)?u0，函数g在u0连续，则

复合函数g?f在点x0连续。

limg[f(x)]?g[f(x0)]?g[limf(x)]x?x0注 1) 据连续性定义，上述定理可表为：x?x0.（即函数运算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限。）

例１． 求

limsin(1?x)x?12.

2) 若复合函数g?f的内函数f当x?x0时极限为a，又外函数g在u?a连续，上面的等式仍成立。（因此时若

x?x0limf(x)?a?f(x0)的话是显然的；若

x?x0limf(x)?a?f(x0)，

或f(x)在x?x0无定义，即x0是f的可去间断点时，只需对性质４的证明做修改：“|x?x0|??”为“0?|x?x0|??”即可）。故可用来求一些函数的极限。

lim2?sinxxlim2?sinxx例２ 求极限（１）x?0;（２）x??.

?1性质５（反函数的连续性）若函数f在[a,b]上严格单调并连续，则反函数f义域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上连续。

在其定

二、初等函数的连续性

１．复习（关于初等函数）

（１）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数。 （２）基本初等函数： 常量函数y?C； 幂函数y?x；

指数函数y?a(a?0,a?1)； 对数函数y?logax(a?0,a?1)； 三角函数y?sinx,cosx,tgx,ctgx；

反三角函数y?arcsinx,arccosx,arctgx,arcctgx。 ２．初等函数的连续

定理１ 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。

定理２ 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数。 ３．利用初等函数的连续性可计算极限

例３．设x?x0例４．求x?0例５ 求x?0limlimx?limu(x)?a?0ln(1?x)x2，x?x0limv(x)?b，证明：x?xlimu(x)0v(x)?ab。

。 。

ln(1?x)cosx三 区间上连续函数的基本性质

?

引 言

闭区间上的连续函数具有一些重要的性质。现将将基本的列举如下。从几何上看，这些性质都是十分明显的。但要严格证明它们，还需其它知识，将在第七章§２给出。先给出下面的关于“最大大值”的定义：

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