数学思维训练导引五年级 - 图文

第1讲 分数计算与比较大小

内容概述

理解分数的概念，熟练掌握分数四则运算中的通分、约分等技巧，了解分数运算中的一些速算方法；学会比较分数大小的各种方法，包括通分母、通分子、交叉相乘、倒数比较法、间接比较法等等。

典型问题

兴趣篇 1. 计算：(1)

2. 计算：13

3. 计算：(? 4. 计算：

5. 计算：9

6. 计算：(1)403?

7. 计算：

220200111??;(2)1???? 3737372202008153?(3?2)?? 11411414151?4)??1?1? 513124361?54?16??27???3. 75758888888888?99?999?9999? 9999999999123113;(2)155??

1561245?6?7?8?9?1?2?3?4?5?

5?6?7?8?98. 将下列分数由小到大排列起来：

9. 比较下列分数的大小：(1)

10. 比较下列分数的大小：(1)

拓展篇 1. 计算： (3

2. 计算： (2

3. 要使算式2

4. 计算：124?

5. 计算：(1?

6. 计算：76?(1413141513,,,,? 1924231923397920与;(2)与? 1340320799819941111044443与;(2)与? 991995222218888712317?6?1?8)?(2?). 4343202121?1?5)?3?1? 5353151?(0.7?□ )??2成立，方框内应填入的数是多少？ 467724?18?? 2525111111111111?3)?(3??5)?(5??7)?(7??9)?(9??11)?(11??13). 363636363636111111?)?23?(?)?53?(?). 2353537623767. 比较2006?

20042003与2005?的大小，并计算它们的差。 200520048. 计算：(1)238?238

2382255;(2)(9?7)?(?). 23979799. 比较下列分数的大小：(1)与

10. 比较大小： （1）把3个数

（2）把5个数

11. 比较下列分数的大小：(1)

12. 比较下列分数的大小：(1)

超越篇 1. 计算：8

2. 计算：

378812331679;(2)与;(3)与;(4)与? 19274135172228131831,,由小到大排列起来； 2435591012152060,,,,由小到大排列起来； 1719233310112345123462005200520052与;(2)与? 567895679020062006200622222222222222222222222222222与;(2)与;(3)与

999999999999999999999999999912221??19?13? 13191319363636636636??

3633636363633. 计算：[(

1111111111111111???)?(???)]?[(???)?(???)]. 24683691248121651015204. 计算：(?

5. 已知A? 6. A?(1211222333889???)?(????)?(????)???(?)?? 31034104510910102008200720062005?,B???试比较A、B的大小。 2007200820052006111111?)?1001,B?(?)?1003,C?(?)?1005,请将A、B、200120032005200720092011C按从大到小的顺序排列起来。

7. 计算：(2?3?43?4?54?5?65?6?710?11?1211?12?13???????)? 123491011111(1???????).

234910

8. 计算：(1?2?2?3)?(1111?)?(2?3?3?4)?(?)???(19?20?20?21)? 1?22?32?33?411(?). 19?2020?21

第2讲 整除

内容概述

掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。

曲型问题

兴趣篇

1. 下面有9个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125。在这些自然数中，请问：

（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？ （2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？

2. 有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？

3. 一个三位数6□ 4的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值： （1）如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于多少？ （2）如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于多少？ （3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“□”可能等于多少？

4. 新学年开始了，同学们要改穿新的校服。小悦收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费2?38元”，其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清楚了。冬冬看了看，很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？

9□ 能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数. 5. 四位数2□

4□ 能被11整除，求出所有满足要求的四位数． 6. 四位偶数6□

7. 多位数3232?321能被11整除，满足条件的n最小是多少？ ?????n个32

8．一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话，服务人员告诉他，目前只有形如“1234口6口8”的号码可以申请，也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动，王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码．请问：他申请的号码可能是多少？

9．一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除，这个四位数最大是多少？

10．(1)一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0．如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？

(2)一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？

拓展篇

1．判断下面11个数的整除性：

23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.

(1)这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？ (2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ (3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？ (4)哪些数能被11整除？

2. 173□ 是一个四位数．数学老师说：―我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9、11、8整除，‖问：数学老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？

3. 五位数3□ 07□ 能同时被11和25整除，这个五位数是多少？

4．牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上，但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下―67□ 8□ ‖，其中方框表示被烧出的洞．牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元，请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？

2008□ 能同时被9和11整除．这个六位数是多少？ 5．六位数□

6．请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数．这个五位数最大是多少？

7．小悦写了一个两位数59，冬冬写了一个两位数89，他们让阿奇写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数59□ 89 ，使得这个五位数能被7整除，请问：阿奇写的数是多少？

?5□ 99?9能被13整除，中间方格内的数字是多少？ 8. 已知55??????25个525个9

9．用数字6、7、8各两个，要组成能同时被6、7、8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．

10. 冬冬和阿奇玩一个数字游戏，冬冬先将一个三位数的百位与个位填好，然后阿奇来填写这个三位数的十位，如果最后这个三位数能被11整除，那么阿奇获胜，否则冬冬获胜．冬冬想了一会，想到了一个必胜的办法，请问：冬冬想到的办法是什么？

11．对于一个自然数N，如果具有以下的性质就称为―破坏数‖：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除．请问：一共有多少个不大于10的破坏数？

12. 一个五位数，它的末三位为999.如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？

超越篇

1．在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？

2．将自然数1，2，3，?，依次写下去形成一个多位数―123456789101112?‖．当写到某个数N时，所形成的多位数恰好第一次能被90整除．请问：N是多少？

3．小悦的爸爸买回来两箱杯子．两个箱子上各贴有一张价签，分别写着―总价117.口△元‖、―总价127.○◇元‖（口、△、○、◇四个数字已辨认不清，但是它们互不相同）．爸爸告诉小悦，其中一箱装了99只A型杯子，另一箱装了75只B型杯子，每只杯子的价格都是整数分．

但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不记得哪个箱子装的是A型杯子，哪个箱子装的是B型杯子了，爸爸知道小悦的数学水平很厉害，于是他想考考小悦，

小悦看了看，说：“这呵难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了．” 同学们，你能像小悦一样把价签上的数分辨出来吗？

4．冬冬在一张纸条上依次写下2、3、4、5、6、7这6个数字，形成一个六位数．阿奇把这张纸条撕成了三节．这三节纸条上的数加起来得到的和（如图2-1，三节纸条上的和为23 + 456 +7 = 486）能被55整除．请问：阿奇可能是在什么位置撕断的这张纸条？

5．将一个自然数N接在任一自然数的右面（例如将2接在13的右面得到132），如果所得的新数都能被N整除，那么称N为―神奇数‖．请求出所有的两位―神奇数‖．

□ □ 11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除．方框中的两位6．在六位数11数是多少？

7．多位数A由数字l、3、5、7、9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中任意一个数字整除，求这样的A的最小值． 8．有一些自然数，从左向右读与从右向左读是完全一样的，我们将这样的数称作―回文数‖．比如2332、181、77都是回文数．如果一个六位回文数除以95的商也是回文数，那么这个六位数是多少？

第3讲 质数与合数

内容概述

掌握质数与合数的概念；熟悉常用酌质数，并掌握质数酌判定方法；能够利用分锯质固数酌方法锯决相关酌整教问题；学会计算乘积末尾零酌个数．

典型问题

兴趣篇

1．(1)如果两个质数相加等于16，这两个质数有可能等于多少？ (2)如果两个质数相加等于25，这两个质数有可能等于多少？ (3)如果两个质数相加等于29，这样的两个质数存在吗？

2．有人说：―任何7个连续整数中一定有质数．‖请你举一个例子，说明这句话是错的．

3．请写出5个质数，使得它们正好构成一个公差为12的等差数列．

4．请把下面的数分解质因数：(1) 160；(2) 598；(3) 211.

5．三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数，请求出这三个数．

6．用一个两位数除330，结果正好能整除，请写出所有可能的两位数．

7．三个连续自然数的乘积等于39270.这三个连续自然数的和等于多少？

8．请将2、5、14、24、27、55、56、99这8个数分成两组，使得这两组数的乘积相等．

9．请问：算式l x2 x3×…×15的计算结果的末尾有几个连续的0?

10．请问：连续两个两位数乘积的末尾最多有几个连续的0?

拓展篇

1．一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数．

2．9个连续的自然数中，最多有多少个质数？

3．(1)两个质数的和是39，这两个质数的差是多少？

(2)三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数分别是多少？

4．一请把下面的数分解质因数：(1) 360; (2) 539; (3) 373; (4) 12660.

5．有一些最简真分数，它们的分子与分母的乘积都等于140．把所有这样的分数从小到大排列，其中第三个分数是多少？

6．冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字5看成了8，由此得乘积为1104．正确的乘积是多少？

7．甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪．三人各自中靶的环数之积都是60，且环数是不超过10的自然数．把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙．请问：靶子上4环的那一枪是谁打的？

8．975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，方框内最小应填什么数？

9．(1)算式1×2×3×?×29×30的计算结果的末尾有几个连续的0？ (2)算式31×32×33×?×150的计算结果的末尾有几个连续的0？

10．把从l开始的若干个连续的自然数1，2，3，?，乘到一起．已知这个乘积的末尾13位恰好都是0．请问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？

11．168乘以一个大于0的整数后正好是一个平方数．乘的这个整数至少是多少？所得乘积又是多少的平方？

6．五年级一班有22人参加语文竞赛，32人参加数学竞赛，27人参加英语竞赛，其中同时参加语文竞赛和数学竞赛的有12人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有14人，同时参加数学竞赛和英语竞赛的有15人．请问：五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少？

7．在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问：

(1)恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？ (2)恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？

8．一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米划一个刻度，每隔3厘米划一个刻度，每隔5厘米划一个刻度，每隔7厘米划一个刻度，如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？

第5讲 分数与循环小数

内容概述

掌握分数与小数互相转化酌方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数酌形式判断相应酌小数类型；注意利用圄期性分析循环小数的小数部分．

典型问题

兴趣篇

1．把下列分数化为小数：

31313234557234(1),,;(2),,;(3),,;(4),,? 4825911336229071337

2．把下列循环小数转化为分数：

?,0.4?;(2)0.0?1?,0.3?5?,0.38?. ?;(3)0.08(1)0.1

?2?,0.1?23?,0.12?3? ?,0.13．把下列循环小数转化为分数：0.7

??0.2??0.3?;(2)0.2??0.3??0.4?;(3)0.3??0.5??0.7?; 4．计算：(1)0.1??0.12??0.123?;(5)0.12??0.2?3?. (4)0.1

?2345?3451??0.3?4512??0.4?5123??0.5?. ??0.2?12345．0.1

?6??0.3?51?;(2)0.38??0.5?. ?186．计算下列各式，并用小数表示计算结果：(1)1.8

??0.6??0.3??0.6??0.3??0.6?的计算结果用循环小数表示是多少？ 7．将算式0.3

8．将算式

1111???的计算结果用循环小数表示是多少？ 9101112?乘以一个数口时，把1.23?误看成1. 23，使乘积比正确结果减少0. 3．则正确结果应9．冬冬将1.23该是多少？

10．真分数

拓展篇

1．将下列分数化为小数：,,

a化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是2000．a应该是多少？ 73544210,,?

869713?8?,0.1?353?,3.17?,6.365?. ?03?38462．把下列循环小数转化为分数：0.413．(1)把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数：

33121517188413511,,,,,,,,; 4501777150192308625111131412,,? (2)把下列分数化成循环小数：

3537143

?2??0.3?1??0.4?5??0.12??0.123?4?; ?;(2)0.14．计算：(1)0.0?2??0.5??0.6?9?;(4)0.6?7?12??0.1?1102?. ?3??0.2(3.)0.10

?1??0.1?2??0.2?3??0.3?4????0.7??0.8?9?;(2)0.01??0.12??0.23??0.34??0.78??0.89?. ?85．计算：(1)0.0

??0.4?8?)?2.05?32??(0.13?5?;(2)0.1??0.135?). 6．计算：(1)(4.2

?169??0.1?8?)?2.0?981?.（将结果表示为分数和小数两种形式） 7．计算：(1.2

8．计算：1?

9．将最简真分数

11111?????（结果用循环小数表示） 357911a化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n位数之和为9006，a与n分别为多7少？

10．冬冬写了一个错误的不等式：0.2008?0.2008?0.2008?0.2008.请给式子中每个小数都添加循环点，使不等号成立．请问：添加循环点后这四个数中最大数与最小数的和等于多少？

1388和化成小数后，两个循环小数的小数点后第2008位数字的和是多少？ 1011011325683和(2)把化成小数后，两个循环小数的小数点后第2008位数字的和是多少？ 2008200811．(1)

?1?乘以一个数a时，看丢了一个循环点，使得乘积比正确结果减少了0.0?3?正确结果12．冬冬将0.32应该是多少？

超越篇

?27?7967?相乘，取近似值，要求保留一百位小数．该近似值的最后一位小?与0.121．将循环小数0.0数是多少？

2．有一个算式

□ □ □ ???1.37，算式左边的方格中都是整数，右边的结果为四舍五入到百分位2511后的近似值，那么方格中填人的三个数分别是多少？

3．划去0.5738367981的小数点后的六个数字，再添上表示循环节的两个圆点，可以得到一个循环小数．这样的小数中最大的数为多少？最小的数为多少？

4．给小数0.2138045976添加表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数，要使得这个循环小数的小数点后第100位数字是7，应该怎么添加？

5．有两个循环小数a和b，a的循环节有3位，b的循环节有6位．这两个数之和的循环节最多有多少位？最少有多少位？ 6．只用数字1、2、3各一次可以组成很多不含重复数字的循环小数（循环点和小数点可以任意添加，

?2?，12.3?，3.12?）例如1.3．这些小数的总和是多少？

7．写出一个最简真分数，它的分子是2，并且化成小数后是一个混循环小数，不循环部分为2位，循环带为3位，那么这个分数最大是多少？

?7?、77.007都是―特殊数‖，如果我们将l8．我们把由数字0和7组成的小数叫做―特殊数‖，例如7.0写成若干个―特殊数‖的和，最少要写成多少个？

第6讲 和差倍分问题

内容概述

在和差倍问题中引入―分数倍‖酌概念，并理解其含义．解题中应合理选取单位―1‖，题目中隐藏的不变量或公共量往往是关键．

典型问题

兴趣篇

1．运输连要将450枚弹药送到前线，其中炮弹占了失了

5其余都是手榴弹．由于遇上敌军伏击，炮弹损923，而手榴弹只剩下，送到时还剩多少枚弹药？ 58

2．学校举行新年自助餐会，一共准备了1000瓶饮料，其中一部分是可乐，剩下的全是果汁，一个小时后，果汁已经减少了量是多少瓶？

3．口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球，其中红球占总球数的多50个．口袋里一共有几个球？

4．游戏公司计划生产一批限量版的游戏机．现在已完成计划的超过计划的

1，但可乐的数量却没有改变．如果此时饮料还剩872瓶，那么可乐的数511，黄球占总球数的，绿球比黄球345，如果再生产340台，总产量就121，原计划生产多少台？ 8

5．一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的完成了56个．请问：这批零件共有几个？

11，第二天完成了剩下部分的，前两天一共536．红星机械厂有三个车间，第一车间的人数是第二、三车间人数和的三车间人数和的

7．甲桶中的水比乙桶中的多

1，第二车间的人数是第一、21，第三车间有105人．求该厂工人的总数． 311，丙桶中的水比甲桶中的少．请问：乙、丙两桶哪桶水多？如果把55三桶水倒人一个大缸里，甲桶中的水占其中的几分之几？

8．图6-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的

35，竹林占圆形的，正方形和圆形的公共部47分是水池．已知竹林的面积比草地的面积少450平方米，问：水池的面积是多少平方米？

9．阿奇和小悦都有很多科普书，阿奇的科普书数量是小悦的奇的科普书数量就变成了小悦的

10．课间同学们都在操场上活动，其中女生占总人数的到男生人数的

3．后来小悦送给阿奇l l本书后，阿84．原来阿奇比小悦少多少本书？ 72，后来又来了12个女生，使得女生人数达93．操场上现在有多少名同学？ 7

拓展篇

1．等候公共汽车的人整齐地排成一列，阿奇也在其中，他数了一下人数，发现排在他前面的人数占

总人数的

21，排在他后面的人数占总人数的．从前往后数，阿奇排在第几个？ 342．五年级原来有学生325人，新学期男生增加25人，女生减少了

1，结果总人数增加了16人．请20问：现有男生多少人？

3．冬冬、阿奇两人玩电子游戏，通过第一关后，冬冬得了120分，阿奇得了200分．接下来，他们俩在第二关得到了相同的分数，累加两关总得分，冬冬的得分是阿奇的少分？

4．有一堆砖，搬走总数的

5．用一批纸装订一种练习本．第一天装订了120本，还剩全部纸张的

3．两人在第二关各得了多411后又运来306块．这时这堆砖比最开始还多了．这堆砖原来有多少块？ 452；第二天又装订了65本，5还剩下1350张纸．这批纸原来一共有多少张？

6．刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的

1111，第三口则喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五口喝了剩下的．此时瓶3456子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？

7．现有苹果、桔子、梨、菠萝四种水果各若干个，苹果的数目是其他三种水果总数的目是其他三种水果总数的多少个？

1，桔子的数652，梨的数目是其他三种水果总数的，菠萝有56个，这些水果一共有1658．2008年5月，某爱心慈善组织向四川大地震中受灾严重的汶川地区捐赠帐篷，他们第一次向汶川运来了全部帐篷的

35，第二次运了50顶帐篷．这时，已运来的帐篷数恰好是没运来的，请问：87还有多少顶帐篷没有运来？

9．如图6-2，甲、乙、丙三根木棒插在水池中，它们的长度之和是360厘米．甲木棒有上，乙木棒有

10．阿奇和冬冬一起玩游戏牌，开始时阿奇手里的牌数是冬冬手里牌数的赢了冬冬的20张牌，此时阿奇手里的牌数反而是冬冬手里牌数的牌？

11．口袋里有若干个球，其中红球占了总球数的

3露在水面442露在水面上外，丙木棒有露在水面上．请问：水深是多少厘米？ 753；玩了若干局后，阿奇57．请问：阿奇此时一共有多少张55．后来又放了8个红球，这时红球占了总球数的121，现在口袋里有多少个球？ 2

12．水池中立着长短两根木桩．长木桩露出水面部分比短木桩露出部分长短木桩露出水面的部分比长木桩露出部分短是长木桩露出水面长度的

2，当水面升高11厘米后，53．如果水面再升高多少厘米，短木桩露出水面长度将51? 12

超越篇

1．装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局，每包中装的书一样多．第一次，他们领来这批书的

7，结果打了14个包还多35本．第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次多出的零头一起，12刚好又打了11包．请问：这批书共有多少本？

2．劳动小学五年级选出女生总人数的

1和22名男生参加数学竞赛，剩下的女生人数是剩下男生人11数的2倍，如果女生的总人数比男生的总人数多2人，那么劳动小学五年级共有多少人？

3．有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子，已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的分之几？

4．某工厂有A、B、C、D、E五个车间，人数各不相等．由于工作需要，把B车间工人的车间，C车间工人的

2．把这三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的几51调入A2111调入B车间，D车间工人的调入C车间，E车间工人的调入D车间，现346在五个车间都是30人．原来每个车间各有多少人？

5．从飞机的窗口向外望去，阿奇看见部分海岛、部分白云以及不大的一片海域．其中白云占去了窗口画面的一半，它遮住了全部海岛的

11，因此海岛只占窗口画面的，请问：被白云遮住的那部分44海洋占窗口画面的几分之几？

6．有A、B、C、D四根材料相同的蜡烛，其中A和B一样粗，C和D一样粗，A和C一样长，B和D一样长．把四根蜡烛同时点燃，过了6小时，D首先烧完，此时B所剩长度是C的2倍；再过l小时40分钟，C正好烧完．请问：A、B还可以再燃烧多久？

7．如图6-3所示，两根粗细相同、材质相同但长度不同的蜡烛竖直地漂在水面上．一开始，长蜡烛露出水面的部分是短蜡烛总长度的一半；将两根蜡烛同时点燃1小时后，长蜡烛露出水面的部分与短蜡烛总长度相等，已知蜡烛漂在水面上时，露出水面的长度始终等于蜡烛在水下长度的

1，那么9短蜡烛还可再烧多久，长蜡烛还可再烧多久？

8．甲、乙、丙三个好朋友去超市买了100元的商品．如果甲付钱，那么甲剩下的钱将是乙、丙剩下

29；如果乙付钱，那么乙剩下的钱将是甲、丙剩下钱的；如果丙付钱，丙用他的会员卡就13161可以享受9折优惠，只需付90元，那么丙剩下的钱将是甲、乙剩下钱的，问：甲、乙、丙开始时

3钱的

一共带了多少钱？

第7讲 行程问题四

内容概述

流水行船问题与环形问题．流水行船问题中，注意水速对实际速度酌影响，初步了解速度酌相对性；环形问题中，注意相遇和逼及酌同期性．

典型问题

兴趣篇

1．一条船顺流行驶40千米需要2小时．水流速度为每小时2千米．这条船逆流行驶40千米需要多少小时？

2．7两地相距480千米，一艘轮船在两地之间往返航行，顺流行驶一次需要16小时，逆流返回需要20小时，该轮船在静水中的速度是多少？水流速度是多少？

3．A、B两港相距560千米，甲船在两港间往返一次需105小时，其中逆流航行比顺流航行多用了35小时，乙船的静水速度是甲船静水速度的2倍，乙船在两港间往返一次需要多少小时？

4．A、B两个码头间的水路为90千米，其中A码头在上游，B码头在下游，第一天，水速为每小时3千米，甲、乙两船分别从A、B两码头同时起航同向而行，3小时后乙船追上甲船，已知甲船的静水速度为每小时18千米，乙船的静水速度是多少？第二天由于涨水，水速变为每小时5千米，甲、乙两船分别从A、B两码头同时起航相向而行，出发多长时间后相遇？

5．一条小河流过A、B、C三镇，其中A、B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时11千米；B、C两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时3：5千米．已知A、C两镇水路相距45千米，水流速度为每小时1.5千米．某人从A镇上船顺流而下到B镇，吃午饭用去1小时，接着乘木船又顺流而下到C镇，共用了7小时．请问：A、B两镇间的距离是多少于米？

6．甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行，这条公路长2400米，甲骑一圈需要10分钟．如果第一次相遇时甲骑了1440米，请问：乙骑一圈需要多少分钟？再过多久他们第二次相遇？

7．甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步．甲以每分钟300米的速度从起点跑出．1分钟后，乙从起点同向跑出．又过了5分钟，甲追上乙．请问：乙每分钟跑多少米？如果他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第二次追上乙？

8．甲、乙两人在环形跑道上训练，他们从同一地点同时出发，背向而行．两人相遇后立即调头，继续前进，一开始甲的速度是每分钟160米，乙的速度是每分钟120米，调头后甲的速度提高了一半，乙的速度提高了三分之一．若跑道长500米，甲、乙两人第一次相遇地点与第二次相遇地点相距多远？（环形路线上两点的距离指沿跑道的最短距离）

9．如图7-1，四边形ABCD是一个边长为100米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲沿逆时针方向每分钟行75米，乙沿顺时针方向每分钟行45米．请问：两人第一次在CD边（不包括C、D两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？

10．如图7-2，学校操场的400米跑道中套着300米小跑道，大跑道与小跑道有200米路程相重，甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点A处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？

拓展篇

1．甲河是乙河的支流，甲河水速为每小时3千米，乙河水速为每小时2千米．一艘船沿甲河顺水7小时后到达乙河，共航行133千米．这艘船在乙河逆水航行84千米，需要花多少小时？ 2．一艘飞艇，顺风6小时行驶了900公里；在同样的风速下，逆风行驶600公里，也用了6小时．那么在无风的时候，这艘飞艇行驶1000公里要用多少小时？

3．甲、乙两船分别从A港出发逆流而上驶向180千米外的B港，静水中甲船每小时航行15千米，乙船每小时航行12千米，水流速度是每小时3千米．乙船出发后两小时，甲船才出发，当甲船追上乙船的时候，甲已离开A港多少千米？若甲船到达廖港之后立即返回，则甲、乙两船相遇地点离刚才甲船追上乙船的地点多少千米？

4．轮船从A城行驶到B城需要3天，而从B城回到A城需要4天．请问：在A城放出一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？

5．一艘游艇装满油，能够航行180个小时．已知游艇在静水中的速度为每小时24千米，水速为每小时4千米，现在要求这艘游艇开出之后沿原路回港，而且中途没有油料补给．请问：这艘游艇最多能够开出多远？

6．某人在河里游泳，逆流而上．他在A处丢失一只水壶，向前又游了20分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到．假定此人在静水中的游泳速度为每分钟60米，求水流速度．

7．黑、白两只小猫在周长为300米的湖边赛跑，黑猫的速度为每秒5米，白猫的速度为每秒7米，若两只小猫同时从同一地点出发，背向而行．多少秒后两只小猫第一次相遇？如果它们继续不停跑下去，2分钟内一共相遇多少次？

8．在400米长的环形跑道上，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，同向而行．4分钟后，甲第一次追上乙，又经过10分钟甲第二次追上乙．已知甲的速度是每秒3米，那么乙的速度是多少？A、B两地相距多少米？

9．有一个周长40米的圆形水池．甲沿着水池边散步，每秒钟走1米；乙沿着水池边跑步，每秒跑3.5米．甲、乙两人从同一地点同时出发，同向而行，当乙第8次追上甲时，他还需要跑多少米才能回到出发点？

10．甲、乙两人在一条圆形跑道上锻炼，他们分别从跑道某条直径的两端同时出发，相向而行，当乙走了100米时，他们第一次相遇．相遇后两人继续前进，在甲走完一周前60米处第二次相遇，求

这条圆形跑道的周长．

11．如图7-3，甲、乙两辆汽车在周长为360米的圆形道上行驶，甲车每分钟行驶20米．它们分别从相距90米的A、B两点同时出发，背向而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车经过B点后恰好又回到A点，此时甲车立即调头前进，乙车经过B点继续行驶，请问：再过多少分钟甲车与乙车再次相遇？

12．如图7-4，一个正方形房屋的边长为10米，甲、乙两人分别从房屋的两个墙角同时出发，沿顺时针方向前进．甲每秒行5米，乙每秒行3米．问：出发后经过多长时间甲第一次看见乙？

超越篇 1．甲、乙两艘游船顺水航行的速度均是每小时7千米，逆水航行的速度均是每小时5千米．现在甲、乙两船从某地同时出发，甲先逆流而上再顺流而下，乙先顺流而下再逆流而上，1小时后它们都回到了出发点．请问：在这1小时内有多少分钟两船的行进方向相同？

2．甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时相向而行，甲船顺流而下，乙船逆流而上．相遇时，甲、乙两船的航程是相等的，相遇后两船继续前进．甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来的路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1000米，如果从两船第一次相遇到第二次相遇间隔1小时20分，那么河水的流速为每小时多少千米？

3．一条河上有甲、乙两个码头，甲码头在乙码头的上游50千米处，一艘客船和一艘货船分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相同，客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物品距客船5千米，客船在行驶20千米后掉头追赶此物品，追上时恰好和货船相遇，求水流的速度．

4．在一条圆形跑道上，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，反向而行．6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达B点，又过8分钟两人再次相遇，甲、乙两人绕跑道环行一周各需要多少分钟？

5．有一条长度为4200米的环形车道，甲车从A点出发35秒后，乙车从A点反向出发，两车在B点第一次迎面相遇，如果乙车出发的时候变换方向，即出发的时候和甲车保持同向，那么乙车将行驶完一圈之前追上甲车，并且追上甲车的地点恰好还在B点．乙车追上甲车之后立刻折返，甲车继续前进，那么两车会在距离A点300米的地方迎面相遇．求乙车的速度．

6．如图7-5，8时10分，甲、乙两人分别从相距60米的A、B两地出发，按顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点，甲、乙两人的速度相同．甲8时20分到D点后，丙、丁两人立即从D点出发．丙由D向A走去，8时24分与乙在E点相遇；丁由D向C走去，8时30分在F点被乙追上．丙、丁两人的速度也相同．问：三角形BEF的面积是多少平方米？

7．A地位于河流的上游，B地位于河流的下游．每天早上，甲船从A地、乙船从B地同时出发相向而行，从12月1号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原来的1.5倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了1千米．由于天气原因，今天（12月6号）的水速变为平时的2倍．试问：今天两船的相遇地点与12月2号相比，将变化多少千米？

8．有甲、乙两名选手在一条河中进行划船比赛．如图7-6，赛道是在河中央的长方形ABCD，其中，AD=100米，AB= 80米．已知水流从左到右，速度为每秒l米．甲、乙两名选手从A处同时出发，甲沿A→B→C→D→A的方向划行，乙沿A→D→C→B→A的方向划行，若已知甲船在静水中的速度比乙船在静水中的速度每秒快1米（注：两船在AB和CD上的划行速度视为静水速度），且两人第一次相遇在图中CD的P处，且CP=

1CD．问：在比赛开始5分钟内两人一共相遇多少次？ 4第8讲 直线形计算二

内容概述

进一步学习直线形面积公式酌运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转T七；初步学习添加辅助线酌分析方法．

典型问题

兴趣篇

1．如图8-1，四边形ABCD是直角梯形，其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC= 15（厘米），且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米？

2．一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图8-2所示（单位：平方米），剩下一块的面积应该是多少平方米？

3．如图8-3，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍，三角形DEC的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？

4．如图8-4，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍，三角形ABC的面积为36平方厘水．三角形BDE的面积是多少平方厘米？

5．如图8-5所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近日点的四等分点，三角形AED的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF的面积是多少平方厘米？

6．如图8-6，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8．三角形BOC的面积为多少？

7．如图8-7，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是多少平方厘米？

8．如图8-8，将一个长为18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角形的5倍．三角形ABE的边BE的长是多少？

9．如图8-9，把一个正方形的相邻两边分别增加3和5厘米，结果面积增加了71平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？

10．如图8-10，四边形ABCD内有一点D，D点到四条边的垂线都是4厘米，四边形的周长是36厘米，四边形的面积是多少平方厘米？

拓展篇

1．如图8-11，有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20平方米．其余4个长方形的面积分别是多少平方米？

2．图8-12中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD是AE的3倍，三角形ABE的面积是多少平方厘米？

3．如图8-13，在四边形ABCD中，已知CD=3DF，AE=3ED，而且三角形BFC的面积为6平方厘米，四边形BEDF的面积为7平方厘米．大四边形ABCD的面积是多少？

4．如图8-14，把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面积为1．三角形DEF的面积是多少？ 5．如图8-15，E是AB边上靠近A点的三等分点，梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的5倍．请问：梯形的下底长是上底长的几倍？

6．如图8-16，一个长方形被分成4个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三

角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？

7．图8-17中，正方形ABCD的面积为1．把每条边都3等分，然后将这8个等分点与正方形内部的某一点P相连接，形成4个阴影的四边形和4个空白的三角形，阴影部分的总面积是多少？

8．如图8-18，在梯形ABCD中，E是AB的中点．已知梯形ABCD的面积为35平方厘米，三角形ABD的面积为13平方厘米．三角形BCE的面积为多少平方厘米？

9．在图8-19中，正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6和4．三角形ACG和三角形BDF的面积分别是多少？

10．图8-20是由边长分别为10厘米、12厘米、8厘米的正方形构成，有一条与AB边平行的直线EF将此图形分成面积相等的两部分，那么BF的长度为多少厘米？

11．(1)如8-21中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米，结果面积增加了50平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？

(2)如8-21中右图所示，把一个正方形的相邻两边分别减少3厘米和5厘米，结果面积减少了65平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？

12.如图8-22，直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF，E点恰好在AB边上，直角边AC长20厘米，BC长12厘米．正方形的边长为多少厘米？

超越篇

1．如图8-23，三角形ABC的每边长都是96厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形．请求出CE和CF的长度之和．

2．如图8 -24，把四边形ABCD的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFGH.如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米？

3．图8-25中ABCD是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：厘米）．过，点的线段IM将五边形EFGHI分成面积相等的两部分．线段BM的长度是多少厘米？

4．如图8 -26，在钝角三角形ABC中，M为AB边的中点，MD、EC都垂直于BC边．若三角形BDE的面积是3平方厘米，则三角形ABC的面积是多少？

5．在图8 -27中，大正方形面积比小正方形面积大40平方厘米，大正方形面积是多少平方厘米？

6．如图8-28，直角三角形ABC的三边长分别为AC= 30（分米），AB=18（分米），BC= 24（分米），ED垂直于AC，且ED= 95（厘米）．问正方形BFEG的边长是多少厘米？

7．菜鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位，三百回合大战后，两人不分胜负．突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖，说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见―瞠‖的一声，飞镖被劈成了两半，如图8-29，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为5．被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几？

8．如图8-30，将三个边长为l的正方形组合在一起，中间的正方形的两个顶点恰好是另外两个正方形的中心．请问：图中阴影部分的面积是多少？

第9讲 比较与估算

内容概述

与小数和分数相关的比较问题，涉及多个数之间的比较，以及算式之闻酌比较．需兽进行估算酌计算问题，例如求近似值或求整数部分等，估算酌关键是进行恰当的放缩．

典型问题

兴趣篇

1．分别比较下面每组中两个数的大小：(1)0.375与

7?3?与3;(3)1.347?与31? ;(2)0.4219723?、、、?、、是其中的6个，?，?10.50.512．有8个数，如果按从小到大的顺序排列，第4个数是0.51那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？

3．在不等式

4．在大于

253924134725253??的方框中填入一个自然数，使得不等式成立． 3□ 413且小于的最简真分数中，分子不超过3的共有多少个？ 711

5．A?1111111111?,B??,C??,D??,E??,请将A、B、C、D、E按从小112913271426931733到大的顺序排列起来．

6．下面的4个算式中，哪个算式的结果最大？

11111111①(?)?20;②(?)?30;③(?)?40;④(?)?50.

1719242931374147

??0.1?42857?,结果保留三位小数． ??0.125?0.17．计算0.16

8．某次考试中，13名同学的平均分四舍五入到十分位后等于85.4，且每名同学的得分都是整数，请问：这13名同学的总分是多少？计算平均分时四舍五入到百分位等于多少？

9．求下述算式计算结果的整数部分：(?

10．算式1

拓展篇

1211111????)?385. 357111310101010?2?3???11的计算结果的整数部分是多少？ 100101102110?35?1．分别比较下面每组中两个数的大小：(1)0.1

3?9?与15;(3)0.97与1949? ;(2)0.4019372008?4?,3,2．现有7个数，其中5个是3.1三个数是

1116?5?,337,如果将这7个数按照从小到大排列，第,3.1737273116．请问：位于中间的数是多少？ 37

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