高一数学不等式证明经典例题

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典型例题一

例1 若0?x?1，证明loga(1?x)?loga(1?x)（a?0 且a?1）．

分析1 用作差法来证明．需分为a?1和0?a?1两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．

解法1 （1）当a?1时，

因为 0?1?x?1,1?x?1， 所以 loga(1?x)?loga(1?x) ??loga(1?x)?loga(1?x) ??loga(1?x2)?0． （2）当0?a?1时， 因为 0?1?x?1,1?x?1 所以 loga(1?x)?loga(1?x) ?loga(1?x)?loga(1?x) 2 ?loga(1?x)?0． 综合（1）（2）知loga(1?x)?loga(1?x)． 分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号． 解法2 作差比较法． 因为 loga(1?x)?loga(1?x) ?lg(1?x)lg(1?x) ?lgalga1?lg(1?x)?lg(1?x)? lga1??lg(1?x)?lg(1?x)? lga?1lg(1?x2)?0， lga???所以loga(1?x)?loga(1?x)．

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说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．

典型例题二

例2 设a?b?0，求证：ab?ab.

分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．

abbaaabbaa?b?bb?a?()a?b 证明：ba?abab∵a?b?0，∴a?1,a?b?0. baa?baabb?1. ∴ba?1. ∴()bab又∵ab?0， ∴ab?ab.. 说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小. abbaba典型例题三

a4?b4a?b4?()（当且仅当a?b时取等号） 例3 对于任意实数a、b，求证22分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有(22a?b4)，2展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：a?b?2ab出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。

证明：∵ a?b?2ab（当且仅当a?b时取等号） 两边同加(a?b):2(a?b)?(a?b)，

44442222222a4?b4a2?b22?() （1） 即：

2222又：∵ a?b?2ab（当且仅当a?b时取等号）

两边同加(a?b):2(a?b)?(a?b)

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222223eud教育网 http://www.3edu.net 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！

a2?b2a?b2?() ∴

22a2?b22a?b4)?() （2） ∴ (22a4?b4a?b4?()（当且仅当a?b时取等号）由（1）和（2）可得． 22说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，

要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．

典型例题四

111???9. abc111分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把??通分，则会把不等式变得较复abc例4 已知a、b、c?R，a?b?c?1，求证?杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如ba?，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”ab的技巧．

证明：∵a?b?c?1 111a?b?ca?b?ca?b?c????? abcabcbcacab ?(1??)?(?1?)?(??1) aabbccbacacb ?3?(?)?(?)?(?) abacbc∴ ∵

cacbbaba??2??2，同理：??2，??2。 acbcabab∴

111???3?2?2?2?9. abc说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的．

典型例题五

例５ 已知a?b?c，求证：

111??＞0. a?bb?cc?a分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.

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证明一：(分析法书写过程)

111??＞0 a?bb?cc?a111?只需要证明＞ a?bb?ca?c∵a?b?c

为了证明

∴a?c?a?b?0,b?c?0

111?,＞0 a?ba?cb?c111?∴＞成立 a?bb?ca?c111??∴＞0成立 a?bb?cc?a∴

证明二：(综合法书写过程) ∵a?b?c ∴a?c?a?b?0,b?c?0 111＞ ＞0 a?ba?cb?c111?∴＞成立 a?bb?ca?c111??∴＞0成立 a?bb?cc?a∴

说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚. 典型例题六

例6 若a?0,b?0，且2c?a?b，求证： c?c2?ab?a?c?c2?ab. 分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径．但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）．

证明：为要证c?c2?ab?a?c?c2?ab. 只需证?c2?ab?a?c?c2?ab， 即证a?c?2c2?ab，

2也就是(a?c)?c?ab，

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即证a?2ac??ab， 即证2ac?a(a?b)， ∵a?0,2c?a?b,b?0， ∴c?2a?b?ab，故c2?ab即有c2?ab?0， 2又 由2c?a?b可得2ac?a(a?b)成立，

∴ 所求不等式c?c2?ab?a?c?c2?ab成立．

说明：此题考查了用分析法证明不等式．在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证??需证??”，综合法的书写过程是：“因为（∵）??所以（∴）??”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混．

典型例题七

例7 若a3?b3?2，求证a?b?2．

分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法．

证法一：假设a?b?2，则a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)?2(a2?ab?b2)， 而a?b?2，故(a2?ab?b2)?1． ∴1?ab?a?b?2ab．从而ab?1， ∴a?b?1?ab?2． ∴(a?b)2?a2?b2?2ab?2?2ab?4． ∴a?b?2． 这与假设矛盾，故a?b?2．

证法二：假设a?b?2，则a?2?b，

故2?a3?b3?(2?b)3?b3，即2?8?12b?6b2，即(b?1)2?0， 这不可能．从而a?b?2．

证法三：假设a?b?2，则(a?b)3?a3?b3?3ab(a?b)?8． 由a3?b3?2，得3ab(a?b)?6，故ab(a?b)?2． 又a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)?2，

2222333eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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∴ab(a?b)?(a?b)(a2?ab?b2)． ∴a2?ab?b2?ab，即(a?b)2?0．

这不可能，故a?b?2．

说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾． 一般说来，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法．

典型例题八

例8 设x、y为正数，求证x2?y2?3x3?y3． 分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法． 证明：要证x2?y2?3x3?y3，只需证(x2?y2)3?(x3?y3)2， 即证x6?3x4y2?3x2y4?y6?x6?2x3y3?y6， 化简得3x4y2?3x2y4?2x3y3，x2y2(3x2?2xy?3y2)?0． ∵??4y2?4?3?3y2?0， ∴3x2?2xy?3y2?0． ∴x2y2(3x2?2xy?3y2)?0． ∴原不等式成立． 说明：1．本题证明易出现以下错误证法：x2?y2?2xy，3x3?y3?332x23y2，然后分(1)x?y?1；(2)x?y?1；(3)x?1且0?y?1；(4)y?1且0?x?1来讨论，结果无效． 2．用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是A?B，前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以． 典型例题九

例9 已知1?x2?y2?2，求证

1?x2?xy?y2?3． 2分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明． 证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数r． ∵1?x2?y2?2，

∴可设x?rcos?，y?rsin?，其中1?r?2，0???2?．

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1sin2?)． 2113113由?1?sin2??，故r2?r2(1?sin2?)?r2． 2222221113而r2?，r2?3，故?x2?xy?y2?3．

2222∴x2?xy?y2?r2?r2sin?cos??r2(1?说明：1．三角代换是最常见的变量代换，当条件为x2?y2?r2或x2?y2?r2或

x2y2??1时，均可用三角代换．2．用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的变a2b2量和取值的变化会影响其结果的正确性． 典型例题十

1111??????1． 2n?1n?22n111分析：要求一个n项分式的范围，它的和又求不出来，可以采用“化????n?1n?22n例10 设n是正整数，求证整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围． 证明：由2n?n?k?n(k?1,2,?,n)，得111??． 2nn?kn111??； 2nn?1n111当k?2时，?? 2nn?2n当k?1时，?? 111??． 2nn?nn1n111n∴????????1． 22nn?1n?22nn当k?n时，说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明1117111???????．由，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第1222n24k2k?1k2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．

2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．

典型例题十一

(a?b)2a?b(a?b)2??ab?例11 已知a?b?0，求证：． 8a28b分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证

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明较好．

(a?b)2a?b(a?b)2??ab?证明：欲证， 8a28b(a?b)2(a?b)2?a?b?2ab?只须证． 4a4b?a?b??a?b?2即要证?????(a?b)?????，

?2a??2b?即要证

22a?b2a?a?b?a?b2b．

即要证a?b2a?1?a?b2b， 即要证a?baba?2?a?bb． 即要证1??2?ab?1，即b?1?aa． b即要证ba?1? （*） ab∵a?b?0，∴（*）显然成立， (a?b)2a?b(a?b)2??ab?故 8a28b说明：分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件．分析法通常采用“欲证——只要证——即证——已知”的格式． 典型例题十二

例12 如果x，y，z?R，求证：x8?y8?z8?x2y3z3?y2z3x3?z2x3y3． 分析：注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态，而右边却结合在一起，因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能（保持两边项数相同），由

(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0，易得a2?b2?c2?ab?bc?ca，此式的外形特征符合要求，

因此，我们用如下的结合法证明．

证明：∵x8?y8?z8?(x4)2?(y4)2?(z4)2

?x4y4?y4x4?z4x4

?(x2y2)2?(y2z2)2?(z2x2)2

?x2y2?y2z2?y2z2?z2x2?z2x2?x2y2

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?(xy2z)2?(yz2x)2?(zx2y)2 ?xy2z?yz2x?yz2x?zx2y?zx2y?xy2z ?x2y3z3?y2z3x3?z2x3y3．

∴x8?y8?z8?x2y3z3?y2z3x3?z2x3y3．

说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式a2?b2?2ab而得到的．左右两边都是三项，实质上是a2?b2?c2?ab?bc?ca公式的连续使用．

111如果原题限定x，y，z?R?，则不等式可作如下变形：x8?y8?z8?x3y3z3(??)xyzx5y5z5111进一步可得到：33?33?33???． xyzyzxzxy显然其证明过程仍然可套用原题的思路，但比原题要难，因为发现思路还要有一个转化的过程．

典型例题十三

(1?b)c，(1?c)a三数中，不例13 已知0?a?1，0?b?1，0?c?1，求证：在(1?a)b，可能都大于1． 4分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明．假设命题不成立，则

(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a三数都大于1，从这个结论出发，进一步去导出矛盾． 41(1?b)c，(1?c)a三数都大于， 证明：假设(1?a)b，4111即(1?a)b?，(1?b)c?，(1?c)a?． 444又∵0?a?1，0?b?1，0?c?1，

111∴(1?a)b?，(1?b)c?，(1?c)a?．

2223∴(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a? ①

21?a?b1?b?c1?c?a又∵(1?a)b?，(1?b)c?，(1?c)a?．

222以上三式相加，即得：

(1?a)?b?(1?b)?c?(1?c)?a?3 ② 23eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证． 说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想．

典型例题十四

例14 已知a、b、c都是正数，求证：2??a?b??a?b?c3??ab??3??abc?．

3?2???分析：用分析法去找一找证题的突破口．要证原不等式，只需证?2ab?c?33abc，即只需证c?2ab?33abc．把2ab变为ab?ab，问题就解决了．或有分析法的途径，也很容易用综合法的形式写出证明过程． ?a?b??a?b?c3??abc?， 证法一：要证2???ab?3?3?2???只需证a?b?2ab?a?b?c?33abc， 即?2ab?c?33abc，移项，得c?2ab?33abc． 由a、b、c为正数，得c?2ab?c?ab?ab?33abc． ∴原不等式成立． 证法二：∵a、b、c为正数， ?c?ab?ab?33cab?ab?33abc． 即c?2ab?33abc，故?2ab?c?33abc． ?a?b?2ab?a?b?c?33abc， ?a?b??a?b?c3??2??abc?． ??ab?3?3?2???说明：题中给出的

a?b?c3a?b，ab，，abc，只因为a、b、c都是正数，形式

32同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，

问题就不好解决了．

原不等式中是用“不大于”连结，应该知道取等号的条件，本题当且仅当c?ab时取“＝”号．证明不等式不论采用何种方法，仅仅是一个手段或形式问题，我们必须掌握证题的关键．本题的关键是证明c?2ab?33abc．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vq37.html