3.1泛函与变分法的基本概念

第三章最优控制中的变分法 3.1泛函与变分法的基本概念一、泛函的定义函数：若对于变量 x的某一集合中的每个 x值，变量y均有一值与之对应，则称变量y是变量x的函数,记做 y f ( x ),其中x是自变量，y是因变量。泛函：若对于函数 y( x )的某一集合中的每一函数y( x ),记做J J y( x ) ,其中y( x )也称为宗量。变量J均有一值与之对应，则称变量J是函数y( x )的泛函,

容许函数类(空间):规定宗量取值范围的集合称为泛函的容许函数类(空间)。最优控制问题中性能指标泛函的一般形式： J u( ) x ( t f ), t f L x ( t ), u( t ), t dttf t0

二、泛函的变分求泛函极值的问题称为变分问题。求泛函极值的方法称为变分法。 1.宗量的变分泛函J[ y( x )]的宗量y( x )的变分指的是两个宗量函数之间的差，也即

y( x ) y( x ) y 0 ( x )2.泛函的连续性时，有 J y( x ) J y0 ( x ) ,则称J y( x ) 在y0 ( x )处是连续的。若对于任意给定的 0,存在 0,当 y(x ) y( 0 x)

3.线性泛函

连续泛函J y( x ) 如果满足下列两个条件： J y1 ( x ) y2 ( x ) J y1 ( x ) J y2 ( x ) J cy( x ) cJ y( x )

其中c是任意常数，则称为线性泛函。

4.泛函的变分函数的微分：如果函数 y f ( x )具有连续的导数，那么它的增量可以表示为 y f ( x x ) f ( x ) f ( x ) x r ( x, x ) 等式右边第一项 f ( x ) x是 x的线性函数，第二项是 x的 高阶无穷小；第一项 f ( x ) x称为函数增量的线性主部，也 叫做函数的微分，记做 dy f ( x ) x

泛函的变分：如果连续泛函J[ y ( x )]的增量可表示为： J J[ y ( x ) y ( x )] J[ y ( x )] L[ y ( x ), y ( x )] R[ y ( x ), y ( x )]其中等式右边第一项L[ y ( x ), y ( x )]是 y ( x )的线性连续泛函，第二项R[ y ( x ), y ( x )]是 y ( x )的高阶无穷小，那么我们将第一项叫做泛函的变分，记做 J L[ y ( x ), y ( x )]泛函的变分是泛函增量的线性主部，所以泛函的变分也称为泛函的微分。当泛函具有变分时，则称泛函是可微的。泛函的变分与函数的微分类似，也有二阶、三阶 等高阶变分。

定理3.1

J J[ y ( x ) y ( x )], 为实变参数。 0

三、泛函的极值泛函J y( x ) 的增量 J J y( x ) J y0 ( x ) 0,则称泛函 J J y( x ) J y0 ( x ) 0,则称泛函J y( x ) 在点y0 ( x )处有极大值。 J y( x ) 在点y0 ( x )处有极小

值。反之，若若存在 0,对满足 y( x ) y0 ( x ) 的一切y( x ).

定理3.2 (泛函极值定理)

若可微泛函J y( x ) 在y0 ( x )上达到极值(极小值或极大值)则在y=y0 ( x )上的变分等于零，即

J y0 ( x ) 0

泛函极值的充分条件：极小值： J 0, 2 J 0极大值： J 0, 2 J 0在实际问题中，根据问题的性质容易判断是极大值还是极小值，所以一般不计算 2 J。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vpx1.html