3-复变函数的积分习题课

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一、重点与难点重点：1. 复积分的基本定理；2. 柯西积分公式与高阶导数公式

难点：复合闭路定理与复积分的计算

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二、内容提要有向曲线积分的性质 柯西积分 公 式 高阶导数公式

复积分

积分存在的 条件及计算

柯西积分定理 复合闭路 定 理 原函数 的定义 调和函数和 共轭调和函数3

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1.有向曲线设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑 )曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向,y

B

那么B到A就是曲线C的负向, 记为 C .o

A

x

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2.积分的定义设函数 w f ( z ) 定义在区域 D 内, C 为区域 D 内起点为 A 终点为 B的一条光滑的有向曲线, 把曲线 C 任意分成 n 个弧段, 设分点为 A z0 , z1 , , zk 1 , zk , , zn B ,在每个弧段 zk 1 zk ( k 1,2, , n) 上任意取一点 k ,oA

y k z k zk 1

B

C z n 1

1 2

z1 z2

x5

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作和式 S n f ( k ) ( zk zk 1 ) f ( k ) zk ,k 1 k 1

n

n

这里 zk zk zk 1 , sk zk 1 zk的长度,

记 max { sk }, 当 n 无限增加且 0 时,1 k n

如果不论对 C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯 一极限, 那么称这极限值为 函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分, 记为n

y k z k zk 1

B

C z n 1

C f ( z )dz lim 1 f ( k ) zk . n k o

A

1 2

z1 z2

x6

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3.积分存在的条件及计算(1)化成线积分 设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 沿逐段光滑的曲线C

C f ( z )dz C u( x, y)dx v( x, y)dy i C v( x, y)dx u( x, y)dy.(2)用参数方程将积分化成定积分 设简单光滑曲线C 的参数方程是z z( t ) x( t ) iy( t ) (a t b)

连续, 则积分 f ( z )dz 存在, 且C

则

C f ( z )dz a f [ z(t )] z (t )dt .7

b

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4. 积分的性质设 f ( z ), g( z )沿曲线C连续.

(1) f ( z )dz C C

C C

f ( z )dz;

( 3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz;C C C

( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)

(4) 设C由C1 , C 2连结而成, 则

C f ( z )dz C

1

f ( z )dz f ( z )dz;C2

(5) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足 f ( z ) M , 那末

C f ( z )dz C

f ( z ) ds ML.8

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5. 柯西-古萨基本定理(柯西积分定理)如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析, 那末函数 f ( z ) 沿 B 内的任何一条封闭曲线C 的积分为零 :

c f ( z )dz 0.

定理1 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解 析, 那末积分 f ( z )dz 与连结起点及终点的路C

线 C 无关.

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由定理得C1

f ( z )dz f ( z )dz zC2

z10

f ( z )

dzB

B

z0

C1 C2

z1

C1

z0 C2

z1

定理2

如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解z z0

析, 那末函数 F ( z ) f ( )d 必为 B 内的一个 解析函数, 并且 F ( z ) f ( z ).10

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6.原函数的定义如果函数 ( z ) 在区域 B 内的导数为f ( z ), 即 ( z ) f ( z ), 那末称 ( z ) 为 f ( z ) 在区域 B 内 的原函数.

因此 F ( z ) f ( )d 是 f ( z ) 的一个原函数.

z

f ( z ) 的任何两个原函数相差一个常数.定理 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析, G ( z ) 为 f ( z ) 的一个原函数, 那末

z0

z

z10

f ( z )dz G ( z1 ) G ( z0 )

这里 z0 , z1 为域 B 内的两点.(牛顿-莱布尼兹公式)11

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7. 闭路变形原理一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲 线在区域内作连续变形而改变它的值. 复合闭路定理 设 C 为 多连通域 D 内的一条简单闭曲线,C1 , C 2 , , C n 是在 C 内部的简单闭曲线, 它们 互不包含也互不相交, 并且以 C , C1 , C 2 , , C n 为边界的区域全含于 D ,如果 f ( z ) 在 D 内解析,CC1

C2

C3

那末

D

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(1) f ( z )dz f ( z )dz ,C k 1 Ck

n

( 2) f ( z )dz 0.

其中 C 及 C k 均取正方向 ;这里 为由 C , C1 , C 2 , , C n 组成的复合闭路 (其方向是 : C 按逆时针进行, C1 , C 2 , , C n按 顺时针进行).

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8.柯西积分公式如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含 于 D , z0 为 C 内任一点, 那末 1 f (z) f ( z0 ) C z z0 dz . 2 i如果 C 是圆周 z z0 R e i , 则有 1 2π f ( z0 ) f ( z0 R e i )d . 2π 0 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值.14

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9. 高阶导数公式解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数, 它的 n 阶 导数为 : f(n)

n! f (z) ( z0 ) ( z z0 )n 1 dz (n 1,2, ) 2 i C

其中 C 为在函数 f ( z ) 的解析区域 D 内围绕 z0 的 任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D .

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10.调和函数和共轭调和函数如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具 有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 0, 2 x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.

任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部 都是 D 内的调和函数.

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共轭调和函数设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数, 我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数.

u v u v 即 在 D 内满足方程 , 的两个调 x y y x 和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数.

定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共 轭调和函数.17

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三、典型例题例1 计算 czdz 的值，其中C

为 x 1)沿从 (0,0) 到(1,1) 的线段： t , y t ,0 t 1; C 2)沿从 (0,0) 到 (1,0) 的线段：1 : x t , y 0,0 t 1, 与从 (1,0) 到 (1,1) 的线段 C 2 : x 1, y t ,0 t 1 所接成的折线. y 解

zdz (t it )d(t it )c

1

(1,1)

0

0 1

( t it )(1 i )dt

C

C2

0 2tdt 1;

1

O

C1 (1,0)

x18

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2) zdz zdz zdzc c1 c2

tdt (1 it )idt0 0

1

1

1 1 i 1 i. 2 2

说明

同一函数沿不同路径所得积分值不同.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vpwi.html