孙斌-工程数学教案

线性代数

课 程 教 案

授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式

§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n阶行列式的定义 §4 对换

本授课单元教学目标或要求：

1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。 2. 知道n阶行列式的定义。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法

设p1p2?pn是1,2,?,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 先看有多少个比p1大的数排在p1前面，记为t1； 再看有多少个比p2大的数排在p2前面，记为t2； ??

最后看有多少个比pn大的数排在pn前面，记为tn； 则此排列的逆序数为t?t1?t2???tn。

2. n阶行列式

a11D?a21?an1a12??a1n??(p1p2?pn)a22?a2nan2?ann?(?1)ta1p1a2p2?anpn

其中p1p2?pn为自然数1,2,?,n的一个排列，t为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列

(p1p2?pn)求和。

n阶行列式D中所含n2个数叫做D的元素，位于第i行第j列的元素aij，叫做D的(i,j)元。

3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用

D?a11a12a21a22?a11a22?a12a21

a11D?a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32a33?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32

重点和难点：理解行列式的定义

行列式的定义中应注意两点：

(1) 和式中的任一项是取自D中不同行、不同列的n个元素的乘积。由排列知识可知，D中这样的

乘积共有n!项。 (2) 和式中的任一项都带有符号(?1)t，即当p1p2?pn是偶排列时，t为排列(p1p2?pn)的逆序数，

对应的项取正号；当p1p2?pn是奇排列时，对应的项取负号。

综上所述，n阶行列式D恰是D中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和，其中一半带正号，一半带负号。

例：写出4阶行列式中含有a11a23的项。

解：?a11a23a32a44和a11a23a34a42。

例：试判断a14a23a31a42a56a65和?a32a43a14a51a25a66是否都是6阶行列式中的项。

解：a14a23a31a42a56a65下标的逆序数为??431265??0?1?2?2?0?1?6，所以a14a23a31a42a56a65是6阶行列式中的项。

所以?a32a43a14a51a25a66不?a32a43a14a51a25a66下标的逆序数为?(341526)??(234156)?5?3?8，是6阶行列式中的项。

00例：计算行列式D?040030020010 00解：D?(?1)0?1?2?31?2?3?4?24

本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合

首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列及其逆序数的知识，引出n阶行列式的定义。

通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。

本授课单元思考题、讨论题、作业： §1 P.26 1(1)(3) §2 2(5)(6)

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）

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授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式

§5 行列式的性质

§6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则

本授课单元教学目标或要求： 1． 知道n阶行列式的性质。

2． 知道代数余子式的定义和性质。

3． 会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的n阶行列式。 4． 知道克拉默法则。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：

1. 行列式的性质

(1) 行列式D与它的转置行列式D相等。 (2) 互换行列式的两行（列），行列式变号。

(3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式；或者行列式的

某一行（列）的各元素有公因子k，则k可提到行列式记号之外。

(4) 行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。

(5) 若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。

(6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列

式的值不变。

2. 行列式的按行（列）展开

(1) 把n阶行列式中(i,j)元aij所在的第i行和第j列划去后所成的n?1阶行列式称为(i,j)元aij的

余子式，记作Mij；记Aij?(?1)i?jTMij，则称Aij为(i,j)元aij的代数余子式。

(2) n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第

i行展开：

D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin(i?1,2,?,n)； 或可以按第j列展开：

D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj(j?1,2,?,n).

(3) 行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即

ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0,i?j， 或

a1iA1j?ai2Aj2???aniAnj?0,i?j.

3. 克拉默法则

含有n个未知元x1,x2,?xn的n个线性方程的方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ????????????????an1x1?an2x2???annxn?bn当b1,b2,?,bn全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。

(1) 如果方程组的系数行列式D?0，那么它有唯一解：xi?Di(i?1,2,?,n，)其中DDi(i?1,2,?,n是把)D中第i列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的n阶行列

式。

(2) 如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式D?0。

(3) 如果齐次线性方程组的系数行列式D?0，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零

解，那么它的系数行列式必定等于零。

用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1) 方程个数等于未知元个数；(2) 系数行列式不等于零。

克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.

4. 一些常用的行列式

(1) 上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。即

a11D?a12?a1na22?a2n??ann?a11a21?an1

a22??an2?anna11?a11a22?ann

特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即D?a22?ann?a11a22?ann.

a1n类似地，D?a2,n?1?an1?(?1)n(n?1)2a1na2,n?1?an1.

(2) 范德蒙（Vandermonde）行列式

1x1Vn(x1,x2,?xn)?x12?x1n?1

1x22x2???1xn2xn???n?i?j?1?(xi?xj)

n?1n?1x2?xn计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列

式的值。

重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。

例：课本P.12例7—例9

例：课本P.21例13

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例：课本P.25例16

本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合

以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。通过大量的例题引导学生掌握如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。

本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题

问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？

答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

§5 P.26 4(1)(2)(3)，5(1)(2)，7(1)(2) (5) §6 P.26 5 (4)，7 (3) (6) §7 P.28 8(1)，9

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）

授课题目（教学章节或主题）：

第二章 矩阵及其运算 §1 矩阵 §2 矩阵运算 §3 逆矩阵 §4 矩阵分块法 本授课单元教学目标或要求：

掌握矩阵的定义,矩阵的加减法\\数乘\\转置\\矩阵求逆\\矩阵的行列式\\分块矩阵等运算,了解矩阵 多项式运算

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：本章拟分3次课完成,第一讲: §1矩阵,§2矩阵的运算;第二讲: §3逆矩阵;第三讲: §4矩阵分块法 第一讲: §1矩阵,§2矩阵的运算; 基本内容:§1 矩阵:

一 矩阵的定义,

定义1 由M×N个数aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)组成的m行n列的数表

a11a12a21a22

??am1am2称为m行n列矩阵,简称

示它,记作

?a1n?a2n ??amnM×N矩阵,为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表

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?a11?a21 ?????am1a12a22?am2?a1n??a2n??

????amn?这M×N个数称为菊阵A的元素,简称为元,数aij位于矩阵A的第i行j列,称为矩阵A的(I,J)元,以数

aij为(I,J)元的矩阵可简记为(aij)或(aij)m?n,M×N矩阵A也记着Am?n.

元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵

行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵, n阶矩阵A也记作An. 只有一行的矩阵 A?(a1a2?an)

称为行矩阵,又称为行向量, 行矩阵也记作

A?(a1,a2,?,an)

只有一列的矩阵

?b1????b2? A???

????b??n?称为列矩阵,又称为列向量.

两个矩阵的行数相等,列数也相等,称它们是同型矩阵,如果A=(aij),B=(bij)是同型矩阵,,并且它们的对应元素相等,即

aij?bij(i?1,2,?,m,j?1,2,?n),

那么就称矩阵A与矩阵B相等,级作

A=B

元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O,不同型的零矩阵是不同的.

§2 矩阵的运算

一 矩阵的加法

定义2 设有两个m?n矩阵A=(aij)和B=(bij),那么矩阵A与B的和记着A+B,规定为

?a11?b11?a?b2121 ?????am1?bm1a12?b12a22?b22?am2?bm2a1n?b1n??a2n?b2n??

????amn?bmn??两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.

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矩阵加法满足下列运算规律(设A,B,C都是m?n矩阵): (i) A+B=B+A;

(ii)(A+B)+C=A+(B+C) A=(aij)的负矩阵记为 -A=(?aij)

A+(-A)=O 规定矩阵的减法为

A-B=A+(-B)

二 矩阵的数乘

定义3 数?与矩阵A的乘积记作?A或A?,规定为

??a11??a?A??21?????am1?a12?a22??am2??a1n???a2n??

?????amn?矩阵数乘满足下列运算规律(设A,B为m?n矩阵,?,?为数): (1) (??)A??(?A); (2) (???)A??A??A (3) ?(A?B)??A??B

重点,难点:矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义,特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵的行的原因.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率.

三 矩阵乘矩阵

定义4 设A=(aij)是一个m?s矩阵,B=(bij)是一个s?n矩阵,那么矩阵A与矩阵B的乘积是一个m?n矩阵C=(cij),其中

cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??aikbkjk?1s

(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)把此乘积记为 C=AB 且有

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?b1j???s?b2j??ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??aikbkj?cij (ai1,ai2,?,ais)???k?1???b??sj?例4 求矩阵

?4??103?1???1? A=?与B??2102??2????1?的乘积

10??13? ?011?34???4?103?1????1 解 C=AB=??2102???2????1?

例5 求矩阵

10??13??9?2?1??=? ???011?9911??34??4???24??2A=??1?2??与B=???3?6?? ????的乘积AB与BA 解 AB=????24????1?2?4???16?32??2?? ??3?6??=??8?16????4???24??00??2?AB ????? BA=?=????????3?6??1?2??00?对于两个n阶方阵A,B,若AB=BA,称方阵A与B可交换

从上面等式可以得出结论:若A?O而A(X?Y)?0也不能得出X=Y的结论 矩阵的乘法虽不满足交换律,满足结合律和分配律

(1) (AB)C=A(BC)

(2) ?(AB)?(?A)B?A(?B)?为数

(3) A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA

对于单位矩阵E,有

EmAm?n?Am?n,Am?nEn?Am?n 即:

EA=AE=A

特殊矩阵: 1 单位矩阵;

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?10??01 E=?????00?2 数量矩阵

?0???0? ?????1???0???0? ??????????0??0? ?E??????00?3 对角矩阵

?a11??0 ????0?4 ;三角矩阵

0??a22?0?

?????0?ann???a12?a1n??a11??a22?a2n??a21或

??0??????0?ann???an10a22?an20???0?

?????ann???0?a11??0 ????0?可以得到:

(?En)An??An?An(?En) 表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换 定义矩阵的幂为

A1?A,A2?A1A1,Ak?l?AkAl,(Ak)l?Akl 其中k为正整数

例6 证明

??cos? ???sin?sin???cosn??sinn?????? ??cos???sinn?cosn???证 用数学归纳法,n?1时显然成立,设n=k时成立,即 ?cos??sin???cosk???? ??sin?cos???sink????当n?k?1时,有

k?1kn?sink??? ?cosk???cos??sin???cosk??sink???cos??sin????? ??sin?cos???sink?cosk?????sin?cos???

???????cosk?cos??sink?sin??sink?cos??cosk?sin?? =??sink?cos??cosk?sin?cosk?cos??sink?sin???

?? =???cos(k?1)??sin(k?1)??? ??sin(k?1)?cos(k?1)??T等式得证.

四 矩阵的转置

定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作A

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?a11?a21 A=?????am1(1) (AT)T?A

a12a22?am2?a1n??a11?a?a2n?T?.则A??12???????amn??a1na21?am1?a22?am2?? ????a2n?amn?A的转置也是一种运算,满足 (2) (A?B)T?AT?BT (3) (?A)T??AT

(4) (AB)?BA

证明(4) 设A?(aij)m?s,B= cji?TTTT(bij)s?n,记AB?C?(cij)m?n,BTAT?D?(dij)n?m,有

?ak?1ssjkkib

T而B的第i行为(b1i,b2i,?,bsi),A的第j列为(aj1,?,ajs)T,因此

dij??bkiajk??ajkbki

k?1k?1sdij?cji有

(i?1,2,?,n;j?1,2,?,m)

BTAT?(AB)T

例7 已知

?17?1???20?1??423 A??? ?132??,B=????201???求(AB)T

解 因为

?17?1???014?3??20?1??423? AB? ??=??132???171310??

???201?????所以

?017???T(AB)?1413 ??

??310???T若A是n阶方阵,如果满足A?A,即

aij?aji(i,j?1,2,?,n)

那么A称为对称矩阵.

T 例 设列矩阵X=(x1,x2,?,xn)满足XX?1,E是n阶单位阵,H?E?2XX,证明H是对称

TT矩阵,且HHT?E

T 证 H 所以H是对称矩阵.

?(E?2XXT)T

?ET?2XXT?E?2XX?HT

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?1?00???5??1 A??01?1?

?0?23?????对矩阵进行按行分快或按列分块:

m?n矩阵A有m行,称为矩阵A的m个行向量,若第i行记作

则矩阵A记为

?iT?(ai1,ai2,?,ain)

??1T??T???2? A???

?????T??m?m?n矩阵A有n列,称为矩阵A的n个列向量,若第j列记作

?a1j????a2j? ?j??

?????a??mj?则 A?(a1,a2,?,an)

对于矩阵A?(aij)m?s与矩阵B?(bij)s?n的乘积矩阵AB=C=(cij)m?n,若把行分成m块,把B分成n块,有

??1T???1Tb1?1Tb2??1Tbn??T??T?TT??2???2b1?2b2??2bn?(b,b,?,b)???cij?m?n AB? ?12n?????????????T???Tb?Tb??Tb?m2mn??m??m1其中

?b1j????b2j?sTcij??ibj?(ai1,ai2,?,ais)????aikbkj

???k?1?b??sj?以对角阵?m左乘矩阵Am?n时把A按行分块,有

??1???1T???1?1T?????T??T?2????2???2?2? ?mAm?n??=? ?????????????T???T???m?????m???m?m?以对角阵?n右乘矩阵Am?n时把A按列分块,有

??1??A?n? (a1,a2,?,an)????

?2????=(?1a1,?2a2,?,?nan) ???m?? 第 16 页，共 46 页

例15 设AA?O,证明A?O

证 设A?(aij)m?n,把A的列向量表示为A=(a1,a2,?,an),则

T?a1?T?a2TAA?????aT?T

?TTT?a1a1a1a2?a1an???T?TT??aaaa?a2an??(a1,a2,?,an)=?2122 ????????aTaaTa?aTa??n2nn??n1?因为AA?O,所以,

aiTaj?0,(i,j?1,2,?,n), 特别有

aT,2,?,n) jaj?0,(j?1T?a1j????a2j?222T(a,a,?,a)?a?a???a而 ajaj?1j2jmj?1j2jmj?0 ?????a??mj?得 a1j?a2j???amj?0,(j?1,2,?,n) 即 A?O

下面用分块矩阵证明第一章中的克莱姆法则

克莱姆法则 对于n个变量,n 个方程的线性方程组

?a11x1?a12x2??a1nxn?b1?ax?ax??ax?b?2112222nn2 ?

???????????????an1x1?an2x2??annxn?bn如果它的系数行列式D?0,则它有唯一解

11 xj?Dj?(b1A1j?b2A2j???bnAnj)(j?1,2,?,n)

DD 证 把方程组写成向量方程

Ax?b

这里A?(aij)n?n为n阶矩阵,因A?D?o,故A存在.

?1Ax?AA?1b?b

表明x?Ab是方程组的解向量,也是唯一的解向量. 由于A?1?1?11?A,所以x?A?1b?A?b,即

DA?x1??A11A21?An1??b1??b1A11?b2A21???bnAn1??????????x2?1?A12A22?An2??b2?1?b1A12?b2A22???bnAn2??? ????D?????????D????????????????????x??A??????n??n1An2?Ann??bn??b1A1n?b2A2n???bnAnn?11也就是 xj??b1A1j?b2A2j???bnAnj??Dj(j?1,2,?,n)

DD本授课单元教学手段与方法：

讲授为主,练习为辅,通过对高阶矩阵特别是可分出部分零矩阵或单位阵的四阶矩阵的分块让学

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生掌握分块矩阵的加法运算,数乘运算,矩阵乘矩阵的运算,以及求逆矩阵的运算,并列举了几个典型例 子的运算.

本授课单元思考题、讨论题、作业： P55:26;P56:29.

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版）

授课题目（教学章节或主题）：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

§3.1 矩阵的初等变换

本授课单元教学目标或要求：

熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价的概念。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 1.基本内容 定义与记号

初等行变换(ri?rj,ri?k,ri?krj),A与B行等价(A~B); 初等列变换(ci?cj,ci?k,ci?kcj),A与B列等价(A~B); 初等变换,A与B等价(A~B).

矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形F??cr?Er?00??. 0?m?n2.重点

矩阵的初等变换

对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换： (1) 交换矩阵的两行(列);

(2) 以一个非零的常数k乘矩阵的某一行(列); (3) 把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列). 3.例题与解题方法 参见PPT

本授课单元思考题、讨论题、作业： P79.1(1)(3)

授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

§3.2 初等矩阵

本授课单元教学目标或要求：

知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法.

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 1.基本内容 初等矩阵

(1) 定义 单位阵经一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵.

(2) 对矩阵A作一次初等行(列)变换相当于用对应的初等矩阵左(右)乘A. (3) 初等变换及其逆变换与初等矩阵及其逆阵的对应可列表如下： 初等变换 初等矩阵 逆变换 逆矩阵

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ri?rj ci?cj ri?kci?kri?krj rE(i,j) E(i(k)) E(ij(k)) ri?rj ci?cj ri?kci?kri?krj E(i,j) 1E(i()) kE(ij(?k)) cj?kcicj?kci(4) 方阵A可逆?A~E

?A?PP12?Pl(Pi为初等矩阵)

A~B?存在可逆矩阵P,Q使B?PAQ.

(5) 若(A,B)~(E,X),则A可逆，且X?AB.特别地，若(A,E)~(E,X),则A可逆，且X?A. 2.重点、难点

对矩阵A作一系列初等行(列)变换，相当于用可逆矩阵左(右)乘A，由此引出用初等变换求逆阵的方法；

会用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵； 会用矩阵的初等行变换求矩阵方程的解. 3.例题与解题方法 例1 设

r?1r?1?a11a12a13a14??a14a13a12a11?????aaaaaaaa222324?232221?A??21,B??24 ?a31a32a33a34??a34a33a32a31?????aaaaaaaa424344?434241??41?44?0001??1000?????01000010??,P??? P1?2?0010??0100?????10000001?????1其中A可逆，则B等于

?1?1?1(A) A?1PP12 (B) P1AP2 (C) PP12A (D) P2AP1 分析：把矩阵A的1,4两列对换,2,3两列对换即得到矩阵B,根据初等矩阵的性质,有B?APP12或

?1?1?1?1?1?1B?AP2P?(AP?P1.那么B2P1)1P2A?PP12A.所以应选(C).

例2 设4阶矩阵

?1?100??2134?????01?100213?,C??? B???001?1??0021?????00010002?????1TT且矩阵A满足关系式A(E?CB)C?E,试将所给关系式化简,并求出矩阵A.

?1TTT?1解：由所给的矩阵关系得A[C(E?CB)]?E,即A(C?B)?E,故A?[(C?B)].用初等变换

T?1法求[(C?B)],由于

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?1?2T((C?B),E)???3??4?10?01???00??00故

0001000??1??1000100??0???02100010??3210001??0001000??1??00?2100??0?101?210??0??212?301??00001000??100?2100?210?3010??321?4001?

0001000??100?2100?0101?210??00101?21??100??210A?[(C?B)T]?1???1?21??01?2其他例题参见PPT

本授课单元思考题、讨论题、作业：

0??0? ?0?1?P79.3(2)4(1)

授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

§3.3 矩阵的秩

本授课单元教学目标或要求：

1.理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。知道矩阵的标准形与秩的关系。

2.知道矩阵秩的基本性质。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 1.基本内容

矩阵的秩

(1) 定义 矩阵的k阶子式，矩阵的秩。

(2) R(A)?r?A的行阶梯形含r个非零行?A的标准形F??(3) 矩阵秩的性质

① 0?R(A)?min{m,n}; ② R(AT)?R(A);

③ 若A~B,则R(A)?R(B); ④ 若P,Q可逆，则R(PAQ)?R(A);

⑤ max{R(A),R(B)}?R(A,B)?R(A)?R(B); 特别地，当B为列向量b时，有

R(A)?R(A,b)?R(A)?1; ⑥ R(A?B)?R(A)?R(B); ⑦ R(AB)?min{R(A),R(B)};

⑧ 若Am?nBn?l?0,则R(A)?R(B)?n.

2.重点、难点

矩阵秩的概念，矩阵秩的性质，利用初等变换求秩，应用矩阵的秩解决问题。

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?Er?00??. 0?

3.例题与解题方法 例1.设三阶矩阵A为

?x11??? A??1x1?

?11x???试求秩R(A)

[分析] 矩阵A含有参数x,因此其秩一般随x的变化而变化，讨论其秩主要从两点着手分析：矩阵秩

的行列式定义和初等变换不改变矩阵的秩。

解: 方法一 直接从矩阵秩的行列式定义出发讨论

x11由于 1x1?(x?2)(x?1)2 11x故

① 当x?1且x??2时, |A|?0,R(A)?3;

?111???② 当x?1时, |A|?0,且A??111?,R(A)?1;

?111???1???21?21??③ 当x??2时, |A|?0,且A??1?21?,这时有二阶子式?0.因此R(A)?2.

1?2?11?2???方法二 利用初等变换求秩

?x1?A??1x?11??1???0?0?1??11x??11x??????1???1x1???0x?11?x?2????x???x11??x1?x1?x?

1x??x?11?x?0?(x?2)(x?1)??因此

① 当x?1且x??2时, R(A)?3; ② 当x?1时, R(A)?1; ③ 当x??2时, R(A)?2. 例2. 设A为5?4矩阵

?12??2?1A??01??1?1?20?且A的秩为3,求k.

解: 方法一 用初等变换

31??k2?13?

?04?25?? 第 21 页，共 46 页

?12??2?1A??01??1?1?20?31??123??k2??0?5k?613???011??04??0?3?3?25???0?4?42100031??0?3??3?3??31??1?12???0113???0??00k?115???0???00012???0?00?015????0可见, R(A)?3,则必有k?1?0,即k?1. 方法二 因为A的秩为3,故其4阶子式

12311??13?k?115??01?00??

2?1k2?0

01131?104解得k?1.

例3. 设A为n阶矩阵A的伴随矩阵,证明

*

?n,R(A)?n,?R(A*)??1,R(A)?n?1,

?0,R(A)?n?1.?证明:

①已知R(A)?n,则A可逆,|A|?0,由AA*?|A|E知A可逆,所以R(A*)?n.

②若R(A)?n?1,则A|A|?0,由AA*?|A|E?0,R(A)?R(A*)?n,R(A*)?n?R(A)?1,又R(A)?n?1,由矩阵秩的行列式定义有,矩阵A至少有一个n?1阶子式不为零,那么矩阵A中至少有一个元素非零,所以R(A*)?1,从而有R(A*)?1.

③若R(A)?n?1,则A的任一n?1阶子式为零,故A?0,所以R(A*)?0. 本授课单元思考题、讨论题、作业： P79.9(2)(3)

授课题目（教学章节或主题）： 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

§3.4 线性方程组的解

本授课单元教学目标或要求：

1.理解线性方程组无解,有唯一解或有无限多个解的充分必要条件(包括非齐次线性方程组有解的充分必要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件).

2.熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法。 3.知道矩阵方程AX?B有解的充要条件。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 1.基本内容

(1) 线性方程组的解法

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**

*

[1] 基本定理 n元线性方程组Ax?b.

① 无解的充分必要条件是R(A)?R(A,b);

② 有唯一解的充分必要条件是R(A)?R(A,b)?n;

③ 有无限多解的充分必要条件是R(A)?R(A,b)?n.

[2] 求解线性方程组的步骤(见教材) (2) 重要定理

定理1 线性方程组Ax?b有解的充分必要条件是R(A)?R(A,b).

定理2 n元齐次线性方程组Am?nx?0有非零解的充分必要条件是R(A)?n. 把定理1推广到矩阵方程，得

定理3 矩阵方程AX?B有解的充要条件是R(A)?R(A,B). 2.重点、难点

根据增广矩阵的行最简形熟练写出线性方程组的通解； 线性方程组的基本定理。 3.例题与解题方法 例1 求方程组的通解

?x1?x2?x3?x4?1??2x1?x2?4x3?5x4?6 ?x?2x?3x?4x?5234?1解：对增广矩阵作初等行变换得

?1?1111??1?1111?????(A,b)??21456???03234??12345??03234?????57??102 ?1?1111??33?

????24??24???011?011?33??33??00000??00000?????????原方程组化为

75?x??x?2x4??1333 ?42?x??x?x234?33?74T取自由未知量x3?x4?0,得特解为?0?(,,0,0),对应原方程的齐次方程组为

335?x??x3?2x4??13 ?

2?x??x?x234?3??x3??1??0?令?????,??得基础解系为 ?x4??0??1?52?1?(?,?,1,0)T,?2?(?2,?1,0,1)T,故原方程的通解为

33

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?7??5??3???3???2????????1??4???2?? x??0?k1?1?k2?2????k1??k33?2?0???????01?????1??0??0?????其中k1,k2为任意常数 例2. 设

?x1?x2?kx3?4?2 ??x1?kx2?x3?k

?x?x?2x??43?12问方程组什么时候有解？什么时候无解？有解时，求出相应的解。

解 方法一 方程组的系数行列式

1 |A|??11k1k1?(1?k)(4?k) ?12当|A|?(1?k)(4?k)?0即k??1,4时，方程组有唯一解，且唯一解为(按克莱姆法则)

k2?2kk2?2k?4?2k,x2?,x3? x1? k?1k?1k?1k??1时，方程组为

?x1?x2?x3?4???x1?x2?x3?1 ?x?x?2x??43?12此时

?11?14??11?14?????(A,b)???1?111???02?38?

?1?12?4??0005?????R(A)?2?R(A,b)?3,方程组无解。 k?4时，方程组为

?x1?x2?4x3?4???x1?4x2?x3?16 ?x?x?2x??43?12?1144??1144??1030???????(A,b)???14116???0114???0114?

?1?12?4??0000??0000????????x?3x3?0R(A)?R(A,b)?2?3,故方程组有无穷多解，其同解方程组为?1，通解为

?x2?x3?4?x1??0???3???????x??x2???4??C??1?,其中C为任意常数

?x??0??1??3?????

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本授课单元思考题、讨论题、作业：P80.12(2),13(3)

授课题目（教学章节或主题）： 第四章 向量组的线性相关性 §1． 向量组及其线性组合 §2． 向量组的线性相关性 本授课单元教学目标或要求： 一、了解n维向量空间的概念．

二、掌握线性组合的概念，掌握一向量由一个向量组线性表示的充要条件．

三、掌握线性相关和线性无关的概念，能够利用定义及一些有关判定定理证明或判定一组向量的线 性关系．

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一、向量组及其线性组合（定义１、定义２、定义3、定理1、定理2、定理3） 二、n维向量的表示方法 三、向量空间

四、向量、向量组与矩阵

五、线性相关性的概念（定义4）

六、线性相关性的判定(定理4、定理5）

向量 ? 可由（不可由）?1，?2，?，?n线性表示的主要结论：

（1）若? = k1?1+ k2?2 + ?+kn?n（ki为实数），则说 ? 可由?1，?2，?，?n线性表示． 命题：? 可由向量组?1，?2，?，?n线性表示 ? 方程组AX = ? 有解，其中A =（?1，?2，?，?n ）? 秩（A）= 秩（A，? ）．

推论1：? 可由?1，?2，?，?n线性表示，且表达式是惟一的 ? 方程组AX = ? 有惟一解 ? 秩（A）= 秩（A，?）= n ? ?1，?2，?，?n线性无关，?1，?2，?，?n ，?线性相关．

推论2：? 可由?1，?2，?，?n线性表示，且表达式是不惟一的 ? 秩（A）= 秩（A，?）? n． （2）若对于任何一组数k1，k2，?，kn都有 ? ? k1?1+ k2?2 + ? + kn?n 则说 ? 不可由?1，?2，?，?n线性表示．

命题：? 不可由?1，?2，?，?n线性表示 ? 方程组AX = ? 无解 ? 秩（A）? 秩（A，?），其中A =（?1，?2，?，?n ）．

七、线性相关性在线性方程组中的应用

重点（难点）：

１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点） 本授课单元教学手段与方法：讲授、练习。

本授课单元思考题、讨论题、作业：. P108： 2、3、4、5、6、7、8、11、12、20 授课题目（教学章节或主题）： 第四章 向量组的线性相关性

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§3． 向量组的秩

本授课单元教学目标或要求：

一、掌握最大无关组与向量组的秩的概念． 二、掌握求向量组的秩的方法

三、掌握求向量组的最大无关组的方法

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一、最大线性无关向量组的概念．（定义5） 二、矩阵与向量组秩的关系 三、向量组秩的重要结论：

1．m维向量组?1，?2，?，?n线性无关的充分必要条件：

向量组?1，?2，?，?n线性无关 ? 对于任何一组不全为零的数组k1，k2，?，kn都有k1?1+ k2?2 + ?+ kn?n ? 0 ? 对于任一个?（都不能由其余向量线性表示 ? AX = 0只有零解 ? 秩i1≤i≤n）（A）= n，其中A =（?1，?2，?，?n ）．

2．m维向量组?1，?2，?，?n线性相关的充分必要条件：

向量组?1，?2，?，?n线性相关 ? 存在一组不全为零的数组k1，k2，?，kn，使得k1?1+ k2?2 + ?+ kn?n ? 0 ? 至少存在一个?（使得?i可由其余向量线性表示 ? AX=0有非零解 ? 秩i1≤i≤n）（A）? n，其中A =（?1，?2，?，?n ）． 3．线性相关向量组的几个结论：

（1） 设?1，?2线性相关，则?1，?2，?3必线性相关（反之不一定对）； （2） 含有零向量的向量组必线性相关（反之不一定对）； （3） 若向量个数 ? 向量维数，则向量组必线性相关． 4．列向量组?1，?2，?，? t可由?1，?2，?，?s线性表示．则 （1）若t ? s，则?1，?2，?，? t线性相关； （2）若?1，?2，?，? t线性无关，则t ≤ s；

重点（难点）：

１． 最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性．

２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩 ３． 关于向量组秩的一些结论：一个定理、三个推论．

４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换．

本授课单元教学手段与方法：讲授、练习。

本授课单元思考题、讨论题、作业：P109：13、14、15、16、17

授课题目（教学章节或主题）： 第四章 向量组的线性相关性 §4． 线性方程组的解的结构

本授课单元教学目标或要求： 一、理解基础解系的概念。

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二、掌握齐次线性方程组基础解系的求法。 三、掌握非齐次线性方程组解的求法

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一、齐次线性方程组解的性质（性质１、性质２、定理7）

线性齐次方程组AX = 0（A是m ? n矩阵）解的性质：

（1）设X1，X2是AX = 0的两个解，则k1X1+ k2X2也是AX = 0的解，其中k1，k2为两个任意数； （2）零解X = 0总是AX = 0的解；AX = 0有非零解 ? 秩（A）? n；AX = 0只有零解 ? 秩（A）= n = A的列数；若A是n阶矩阵，则AX = 0有非零解? | A | = 0，AX = 0只有零解 ? | A |≠0 ； 二、基础解系及其求法

（1）基础解系定义；掌握判断一组向量?1，?2，?，?p是AX = 0的基础解系的三点； （2）设秩（A）= r，则

① AX = 0的基础解系中含有n - r个向量X1，X2，?，Xn?r； ② AX = 0的通解（一般解）是

k1X1 + k2X2 +?+kn?rXn?r

其中k1，k2，?，kn?r是任意常数；

③ AX = 0的任何n? r个线性无关的解都是AX = 0的基础解系．

三、非齐次线性方程组解的性质及求法 线性非齐次方程组AX = ?，（? ? 0）

（1） AX = ? 的导出组AX = 0两者之间关系：

若AX = ? 有惟一解，则AX = 0只有零解（惟一解）；若AX = ? 有无穷多组解，则AX = 0有非零解（无穷多组解）．

若AX = 0只有零解（有非零解），不能简单地判断AX = ? 有惟一解（有无穷多组解），而需要其它条件才能判断．

（2） 设X1，X2是AX = ? 的解，则X1? X2是导出组AX = 0的解；

（3） 设秩（A）= 秩（A ?）= r，则AX =? 的通解：?+ k1X1+ k2X2 + ? + kn?rXn?r，其中X1，

X2，?，Xn?r是导出组AX = 0的基础解系，?是AX = ? 的一个特解．

（4）

设X1，X2是AX = ? 的两个解，则X1 + X2，? X1（?≠1）肯定不是AX = ? 的解．

重点（难点）：

1． 线性相关性在线性方程组中的应用； 2． 基础解系的求法

本授课单元教学手段与方法：讲授、练习。

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本授课单元思考题、讨论题、作业：P110：22、28、29、33、35

授课题目（教学章节或主题）： 第四章 向量组的线性相关性

§5． 向量空间；

第四章习题课

本授课单元教学目标或要求：

一、掌握向量空间（基和维数）的概念． 二、掌握子空间的概念．

三、掌握由向量组生成的向量空间．

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一、向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭； 二、由向量组生成的向量空间．

三、向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式). 四、习题课

重点（难点）：

１．向量空间的概念：

向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间． ２．子空间的概念．

３．向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法．

本授课单元教学手段与方法：讲授、练习

本授课单元思考题、讨论题、作业：P112：36、39、40

授课题目（教学章节或主题）：第五章 相似矩阵及二次型

§1． 向量的内积、长度及正交性 §2． 方阵的特征值与特征向量

本授课单元教学目标或要求：

一．了解向量的内积、长度及正交性的概念

二．掌握方阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一．内积的定义及性质 二．向量的长度及性质

三．正交向量组的概念及求法

基本概念：矩阵的特征值，特征向量，特征矩阵，特征多项式． 四．正交矩阵与正交变换 五．特征值与特征向量的概念 六．特征值和特征向量的性质

（1）设X1，X2都是A的属于特征值 ?0的特征向量，则k1X1+ k2X2也是属于?0的特征向量（其

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中，k1，k2为任意常数，且k1X1+ k2X2 ? 0）．

若X1，X2是A的属于两个不同特征值?1，?2的特征向量，则X1+X2不是A的特征向量． （2）

i?1??i?a11?a22???ann?tr?A?

n ?1?2??n =|A|

（3）命题：n阶矩阵A可逆 ? A满秩 ? A非奇异 ? ? A ? ? 0 ? A无零特征值． （4）设?是A的特征值，X是A的属于?的特征向量，则 ① k?是kA的特征值，X是kA的属于k?的特征向量；

② ?m是Am的特征值（m为正整数），X是Am的属于?m的特征向量； ③ 若f(x)?amxm?am?1xm?1???a1x?a0，则f（?）是矩阵多项式f（A）的特征值，

X是f（A）属于f（?）的特征向量．

（5）若?是可逆矩阵A的特征值，X是A的属于?的特征向量，则 ①

1?A是A?1的特征值，X是A?1的属于

1?的特征向量；

②

?是A?的特征值，X是A?的属于

A?的特征向量．

（6）A与AT的特征多项式，特征值相同．

（7）定理：A的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的．

七．特征值与特征向量的求法

重点（难点）：

1．将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化． 2．A为正交矩阵的充要条件；

3．求矩阵特征值与特征向量的步骤。

本授课单元教学手段与方法：讲授、练习

本授课单元思考题、讨论题、作业：P137：1、3、4、5、7、11。

授课题目（教学章节或主题）：第五章 相似矩阵及二次型 *§3．相似矩阵

*§4．对称矩阵的对角化

本授课单元教学目标或要求：

一、掌握相似矩阵与相似变换的概念

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二、掌握相似矩阵与相似变换的性质

三、掌握利用相似变换将方阵对角化的方法 四、掌握对称矩阵的性质

五、掌握利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质

三、利用相似变换将方阵对角化的方法 四、对称矩阵的性质

五、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法

重点（难点）： １．相似矩阵

相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： （1）A与B相似，则det(A)?det(B)

（2）若A与B相似，且A可逆，则B也可逆，且B相似； （3）若A与B相似，则kA与kB相似，k为常数。

（4）若A与B相似，而f(x)是一多项式，则f(A)与f(B)相似

相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成PAP，而可逆矩阵P称为进行这一变换的相似变换矩阵．这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算． 2. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数；

(2)属于不同特征值的特征向量正交；

(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；

(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值． 3. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：

(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化．

§5． 二次型及其标准形 第五章习题课

本授课单元教学目标或要求： 一、掌握二次型及其标准形的概念 二、掌握二次型的表示方法 三、掌握二次型的矩阵及秩 四、掌握化二次型为标准形 五、习题课

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形

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?1?1

重点（难点）：

1． 实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．

2． 实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节将介绍另一种方法——拉格朗日配方法．

本授课单元教学手段与方法：讲授、练习

本授课单元思考题、讨论题、作业：P140：25、26、27。

第一章 随机事件与概率

一、教学要求

1．理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算． 2．了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算．

3．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算．

4．理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算．

5．掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率．

本章重点：随机事件的概率计算．

二、知识要点

1．随机试验与样本空间

具有下列三个特性的试验称为随机试验：

(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； ·

(2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果； (3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现．

试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用?表示，其中的每一个结果用e表示，e称为样本空间中的样本点，记作??{e}． 2．随机事件

在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件)．通常把必然事件(记作?)与不可能事件(记作?) 看作特殊的随机事件．

3．事件的关系及运算

(1) 包含：若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件B包含事件A，记作A?B(或B?A)．

(2) 相等：若两事件A与B相互包含，即A?B且B?A，那么，称事件A与B相等，记作A?B．

(3) 和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件，记作A?B；

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1,“n个事件AA2,?,An中至少有一事件发生”这一事件称为A1,nA2,?,An的和，记作

）．

(4) 积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作A?B(简记为

1,AB)；“n个事件AA1?A2???An（简记为?i?1AiA2,?,An同时发生”这一事件称为A1,nA2,?,An的积事件，记作

A1?A2???An（简记为A1A2?An或?i?11,若n个事件A1,事件 AAi)．

(5) 互不相容：若事件A和B不能同时发生，即AB??，那么称事件A与B互不相容(或互斥)，

A2,A2,?,An中任意两个事件不能同时发生，即AiAj??(1≤i

?,An互不相容．

(6) 对立事件：若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB??且A?B??，那么，称A与B是对立的．事件A的对立事件(或逆事件)记作A．

(7) 差事件：若事件A发生且事件B不发生，那么，称这个事件为事件A与B的差事件，记作

A?B(或AB) ．

(8) 交换律：对任意两个事件Ａ和B有

A?B?B?A，AB?BA．

(9) 结合律：对任意事件A，B，C有

A?(B?C)?(A?B)?C， A?(B?C)?(A?B)?C．

(10) 分配律：对任意事件A，B，C有

A?(B?C)?(A?B)?(A?C)， A?(B?C)?(A?B)?(A?C)．

(11) 德?摩根（De Morgan）法则：对任意事件A和B有

A?B?A?B, A?B?A?B.

4．频率与概率的定义 (1) 频率的定义

设随机事件A在n次重复试验中发生了nA次，则比值nA／n称为随机事件A发生的频率，记作fn(A)，即

(2) 概率的统计定义

fn(A)?nAn.

在进行大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，频率fn(A)在一个稳定的值p(0

具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型： (i) 试验的样本空间?是个有限集，不妨记作??{e1,e2,?,en}; (ii) 在每次试验中，每个样本点ei(i?1,2,?,n）出现的概率相同，即

P({e1})?P({e2})???P({en})．

在古典概型中，规定事件A的概率为

P(A)? (4) 几何概率的定义

A中所含样本点的个数nA??中所含样本点的个数n．

第 32 页，共 46 页

如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为

P(A)? (5) 概率的公理化定义

A的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·

设随机试验的样本空间为?，随机事件A是?的子集，P(A)是实值函数，若满足下列三条公

理：

公理1 (非负性) 对于任一随机事件Ａ，有P(A)≥0； 公理2 (规范性) 对于必然事件?，有P(?)?1；

1,A2,?,An,?，有 公理3 (可列可加性) 对于两两互不相容的事件A??P(?Ai)??P(Ai)i?1i?1，

则称P(A)为随机事件Ａ的概率．

5．概率的性质

由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质 (1) P(?)?0．

1,A2,?,An两两互不相容，则有 (2) (有限可加性) 设n个事件AnP(A1?A2???An)??P(Ai)i?1．

(3) 对于任意一个事件A：

P(A)?1?P(A)．

(4) 若事件A，B满足A?B，则有

P(B?A)?P(B)?P(A),

P(A)?P(B)．

(5) 对于任意一个事件A，有P(A)?1．

(6) (加法公式) 对于任意两个事件A，B，有

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB).

1,A2,?,An，有 对于任意n个事件Ai?11?i?j?n1?i?j?k?ni?1 .

6．条件概率与乘法公式

设A与B是两个事件．在事件B发生的条件下事件A发生的概率称为条件概率，记作

P(?A?i)??P(Ai)nn?P(iAjA?)?n?1P(iAjAk??A)??(1)1?P(AnA)P(A|B)．当P(B)?0，规定

P(A|B)? 在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质．

P(AB)P(B).

乘法公式：对于任意两个事件A与B，当P(A)?0,P(B)?0时，有

P(AB)?P(A)P(B|A)?P(B)P(A|B).

7．随机事件的相互独立性 如果事件A与B满足

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P(AB)?P(A)P(B)，

那么，称事件A与B相互独立．

关于事件A，月的独立性有下列两条性质：

(1) 如果P(A)?0，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是P(B|A)?P(B)；如果

P(B)?0，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是P(A|B)?P(A)．

这条性质的直观意义是“事件A与B发生与否互不影响”． (2) 下列四个命题是等价的： (i) 事件A与B相互独立； (ii) 事件A与B相互独立； (iii) 事件A与B相互独立； (iv) 事件A与B相互独立．

?,n，任意的1,A2?,,An相互独立性定义如下：对任意一个k?2, 对于任意n个事件A1?i1???ik?n，若事件A1,A2,?,An总满足

P(Ai1?Aik)?P(Ai1)?P(Aik)，

n1,A2,?,An相互独立．这里实际上包含了2?n?1个等式． 则称事件A 8．贝努里概型与二项概率

设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率P(A)?p(0?p?1)，则在n次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k次的概率为

?n?kPn(k)???p(1?p)n?k,k?0,1,?,n?k?，

称这组概率为二项概率．

9．全概率公式与贝叶斯公式

?AA?,A1,2,n 全概率公式：如果事件两两互不相容，且i?1则

nAi??，P(Ai)?0，i?1,2,?,n，

P(Ak|B)?P(Ak)P(B|Ak)?P(A)P(B|A)iii?1n,k?1,2,?,n．

三、思考题

１．一个人在口袋里放2盒火柴，每盒n支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了．问：“这时另一盒中恰好有m支火柴”的概率是多少？

２．设一个居民区有n个人，设有一个邮局，开c个窗口，设每个窗口都办理所有业务．c太小，经常排长队；c太大又不经济．现设在每一指定时刻，这n个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是p．设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过m”这个事件的概率要不小于a（例如，a?0.8,0.9或o.95），问至少须设多少窗口？

３．设机器正常时，生产合格品的概率为９５％，当机器有故障时，生产合格品的概率为５０％，而机器无故障的概率为９５％．某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？

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第二章 离散型随机变量及其分布

一、教学要求 1．理解离散型随机变量及其概率函数的概念并掌握其性质，掌握0-1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布、均匀分布、几何分布及其应用．

２．理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计算有关事件的概率．

３．理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布． 4．掌握离散型随机变量独立的条件．

5. 会求离散型随机变量及简单随机变量函数的概率分布． 本章重点：离散型随机变量的分布及其概率计算．

二、知识要点

1．一维随机变量

若对于随机试验的样本空间?中的每个试验结果e，变量X都有一个确定的实数值与e相对应，即X?X(e)，则称X是一个一维随机变量．

概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布． 2．离散型随机变量及其概率函数

如果随机变量X仅可能取有限个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量． 设离散型随机变量X的可能取值为ai(i?1,2,?,n,?)，

pi?P(X?ai),i?1,2,?,n,?.

若i?1，则称pi(i?1,2,?,n,?)离散型随机变量X的概率函数，概率函数也可用下列表格形式表示：

?p?i?1X a1a2?an? p1p2?pn? Pr

３．概率函数的性质

(1) pi?0， i?1,2,?,n,?; (2) i?1．

由已知的概率函数可以算得概率

?p?i?1P(X?S)??piai?S，

其中，S是实数轴上的一个集合． ４．常用离散型随机变量的分布

(1) 0—1分布B(1,p)，它的概率函数为

P(X?i)?pi(1?p)1?i，

其中，i?0或1，0?p?1．

(2) 二项分布B(n,p)，它的概率函数为

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?n?P(X?i)???pi(1?p)n?i?i?，

其中，i?0,1,2,?,n，0?p?1．

（３）超几何分布，设N,M,n为正整数，且n?N,M?N，又设随机变量X的概率函数为

?M??N?M?????k??n?k??P(X?k)?,k?0,1,?,n?N????n?．

则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布． (４) 泊松分布P(?)，它的概率函数为

P(X?i)?其中，i?0,1,2,?,n,?，??0．

(５) 均匀分布，它的概率函数为

其中，i?0,1,2,?,n．

(６) 几何分布G(p)，它的概率函数为

?ii!e??，

P(X?ai)?1n，

i?1P(X?i)?p(1?p)，

其中，i?1,2,?，0?p?1．

５．二维随机变量

若对于试验的样本空间?中的每个试验结果e，有序变量(X,Y)都有确定的一对实数值与e相对应，即X?X(e)， Y?Y(e)，则称(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量． 6．二维离散型随机变量及联合概率函数

如果二维随机变量(X,Y)仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称(X,Y)为二维离散型随机变量．

二维离散型随机变量(X,Y)的分布可用下列联合概率函数来表示：

P(X?ai,Y?bj)?pij,i,j?1,2,?,

ij其中，．

7．二维离散型随机变量的边缘概率函数

pij?0,i,j?1,2,?,??pij?1?,） 设(X,Y)为二维离散型随机变量，pij为其联合概率函数（i,j?1,2，称概率

P(X?ai)(i?1,2,?)为随机变量X的边缘概率函数，记为pi?并有

pi.?P(X?ai)??pij,i?1,2,?j，

称概率P(Y?bj)(j?1,2,?)为随机变量Y的边缘概率函数，记为p.j，并有 p.j=

P(Y?bj)??pij,j?1,2,?i.

8．随机变量的相互独立性 ．

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设(X,Y)为二维离散型随机变量，X与Y相互独立的充分必要条件为

多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．

９．二维离散型随机变量(X,Y)的条件概率函数

设(X,Y)为二维离散型随机变量，pij为其联合概率函数 (i,j?1,2,?)，X在给定Y?bj下的条件概率函数为

pij?pi?p?j,对一切i,j?1,2,?.

P(X?ai|Y?bj)?

pijp?j,i?1,2,?;

Y在给定X?ai下的条件概率函数为

10．随机变量函数的分布

P(Y?bj|X?ai)?pijpi?,j?1,2,?

设X是一个随机变量，g(x)是一个已知函数，Y?g(X)是随机变量X的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量X，下面来求这个新的随机变量Y的分布．

设离散型随机变量X的概率函数为

X a1a2?an? p1p2?pn? Pr 则随机变量函数Y?g(X)的概率函数可由下表求得 Y?g(X) g(a1)g(a2)?g(an)? Pr

p1 p2 ? pn 但要注意，若g(ai)的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率pi相加． 1１．二维离散型随机变量函数的分布

如果二维离散型随机变量的联合概率函数为

P(X?ai,Y?bj)?pij,i,j?1,2,?,

则随机变量函数Z?g(X,Y)的概率函数为

P(Z?g(ai,bj))?pij,i,j?1,2,?,

但要注意，取相同g(ai,bj)值对应的那些概率应合并相加． 特别有下面的结论：

(j) 设X~B(m,p),Y~B(n,p)，且X与Y相互独立，则X?Y~B(m?n,p)； (ii) 设X~P(?1),Y~P(?2)，且X与Y相互独立，则X?Y~P(?1??2)．

三、思考题

１．某地有２５００人参加人寿保险，每人在年初向保险公司交付把费１２元，若在这一年内死亡，则由其家属从保险公司领取２０００元．设该地人口死亡率为１．５％，求保险公司获利不少

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于１００００元的概率．

２．已知二维随机变量(X,Y)的联合概率函数为 Y

X ０ １ ２ 111 ０ 9 18 6

1 １ ? ? 9 问?,?取何值时，X与Y相互独立？

第三章 连续型随机变量及其分布

一、教学要求

1．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，并掌握其性质，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用．

2．理解二维随机变量的联合分布的概念、性质以及连续型随机变量联合概率密度；会利用二维概率分布计算有关事件的概率．

3．理解二维随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布． 4．理解随机变量的独立性概念，掌握连续型随机变量独立的条件．

5．掌握二维均匀分布；了解二维正态分布的密度函数，理解其中参数的概率意义．

6．会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个独立随机变量的简单函数的分布，会求两个随机变量之和的概率分布．

７．会求简单随机变量函数的概率分布．

本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算．

二、知识要点 1．分布函数

随机变量的分布可以用其分布函数来表示，随机变量X取值不大于实数x的概率P(X?x)称为随机变量X的分布函数，记作F(x), 即

F(x)?P(X?x),???x??．

2．分布函数F(x)的性质 (1) 0?F(x)?1;

(２) F(x)是非减函数，即当x1?x2时，有F(x1)?F(x2)；

F(x)?0,limF(x)?1lim (3) ;

x???x???F(x)?F(a)limF(x) (4) 是右连续函数，即x?a?0．

由已知随机变量X的分布函数F(x)，可算得X落在任意区间(a,b]内的概率

也可以求得 3．联合分布函数

二维随机变量(X,Y)的联合分布函数规定为随机变量X取值不大于x实数的概率，同时随机

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P(a?X?b)?F(b)?F(a); P(X?a)?F(a)?F(a?0)．

变量Y取值不大于实数y的概率，并把联合分布函数记为F(x,y)，即

F(x,y)?P(X?x,Y?y),???x???,???y???．

4．联合分布函数的性质 (1) 0?F(x,y)?1；

(2) F(x,y)是变量x(固定y)或y(固定x)的非减函数； (3)

limF(x,y)?0,limF(x,y)?0x???y???，

limF(x,y)?0,limF(x,y)?1

x???y???x???y???；

(4) F(x,y)是变量x(固定y)或y(固定x)的右连续函数；

(5) P(x1?X?x2,y1?Y?y2)?F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)?F(x1,y1)． 5．连续型随机变量及其概率密度

设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在一个非负函数f(x)，使得对于任一实数x，有

成立，则称X为连续型随机变量，函数f(x)称为连续型随机变量X的概率密度．

??xF(x)??f(x)dx 6．概率密度f(x)及连续型随机变量的性质 （１）f(x)?0; （２）

?????f(x)dx?1；

（３）连续型随机变量X的分布函数为F(x)是连续函数，且在F(x)的连续点处有

F?(x)?f(x)；

（4）设X为连续型随机变量，则对任意一个实数c，P(X?c)?0； (5) 设f(x)是连续型随机变量X的概率密度，则有

P(a?X?b)?P(a?X?b)?P(a?X?b)?P(a?X?b)

＝a．

7．常用的连续型随机变量的分布

(1) 均匀分布R(a,b)，它的概率密度为

?bf(x)dx其中，???a?b???)．

?1,a?x?b;?f(x)??b?a?其余. ?0, (2) 指数分布E(?)，它的概率密度为

其中，??0．

2??e??x,x?0;f(x)??其余. ?0, (3) 正态分布N(?,?)，它的概率密度为

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?12f(x)?e2?,???x???2?? ，

其中，???????,??0，当??0,??1时，称N(0,1)为标准正态分布，它的概率密度为

(x??)21?x2f(x)?e,???x???2?，

标准正态分布的分布函数记作?(x)，即

1?t2?(x)??edt???(x)2?，

当出x?0时，?(x)可查表得到；当x?0时，?(x)可由下面性质得到

x22?(?x)?1??(x)．

2X~N(?,?)，则有 设

x??F(x)??()?；

b??a??P(a?X?b)??()??()??．

８．二维连续型随机变量及联合概率密度

对于二维随机变量(X，Y)的分布函数F(x,y)，如果存在一个二元非负函数f(x,y)，使得对于任意一对实数(x,y)有

成立，则(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为二维连续型随机变量的联合概率密度． ９．二维连续型随机变量及联合概率密度的性质

????xyF(x,y)???f(s,t)dtds (1) f(x,y)?0,???x,y???； (2)

??????????f(x,y)dxdy?1；

(3) 设(X,Y)为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线L，有P(X,Y) (4) 在f(x,y)的连续点处有

?L)0?； ’

?2F(x,y)?f(x,y)?x?y;

(5) 设(X,Y)为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D有

P((X,Y)?D)???f(x,y)dxdyD．

1０，二维连续型随机变量(X,Y)的边缘概率密度

设f(x,y)为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X的边缘概率密度为

??fX(x)??Y的边缘概率密度为

??f(x,y)dy；

fY(y)??

????f(x,y)dx

．

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1１．二维连续型随机变量(X,Y)的条件概率密度

设f(x,y)为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X在给定Y?y的条件下的条件概率密度为

fX|Y(x|y)?其中fY(y)?0；

f(x,y),???x???fY(y)，

Y在给定X?x的条件下的条件概率密度为

fY|X(y|x)?其中fX(x)?0．

1２．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布

f(x,y),???y???fX(x)，

如果(X,Y)在二维平面上某个区域G上服从均匀分布，则它的联合概率密度为

1?，（x,y)?G;?f(x,y)??G的面积?0,其余. ?22 (2) 二维正态分布N(?1,?2,?1,?2,?)

如果(X,Y)的联合概率密度

f(x,y)?12??1?2??(x??1)2(x??1)(y??2)(x??1)2??1??exp???2????2?2222(1??)?????1???1121????则

2(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?).

称(X,Y)服从二维正态分布，并记为

2222(X,Y)~N(?,?,?,?,?)X~N(?,?)Y~N(?,?121211，22)，即二维正态分布的 如果，则

边缘分布还是正态分布．

1３．随机变量的相互独立性 ．

如果X与Y的联合分布函数等于X,Y的边缘分布函数之积，即

F(x,y)?FX(x)FY(y),对一切???x,y???，

那么，称随机变量X与Y相互独立．

设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件为

f(x,y)?fX(x)fY(y),在一切连续点上. 22 如果(X,Y)~N(?1,?2,?1,?2,?)．那么，X与Y相互独立的充分必要条件是??0．

多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维随机变量的联合分布函数等于每个随机变量的边缘分布函数之积，多维连续型随机变量的独立性有与二维相应的结论． 1４．随机变量函数的分布

（１）一维随机变量函数的概率密度

设连续型随机变量X的概率密度为fX(x)，则随机变量Y?g(X)的分布函数为

FY(y)?P(Y?y)?P(g(X)?y)?P(X?Iy)?Iy?fX(x)dx

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{X?Iy}与{g(X)?y}是相等的随机事件，其中，而Iy?{x||g(x)?y}是实数轴上的某个集合．随

机变量Y的概率密度fY(y)可由下式得到：

fY(y)?FY'(y)．

连续型随机变量函数有下面两条性质：

(i) 设连续型随机变量的概率密度为fX(x)，Y?g(X)是单调函数，且具有一阶连续导数，

x?h(y)是y?g(x)的反函数，则Y?g(X)的概率密度为

fY(y)?f(h(y))?|h'(y)|．

(ii) 设X~N(?,?)，则当k?0时，有Y?kX?b~N(k??b,k22?2)，特别当

k?1?,b???X??~N(0,1)Y?kX?b~N(0,1)?时，有，?．

（２）二维随机变量函数的概率密度

设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则随机变量函数Z?g(X,Y)的分布函数为

FZ(z)?P(Z?z)?P(g(X,Y)?z)?P((X,Y)?DZ)???f(x,y)dxdyDZ,

其中，{(X,Y)?DZ}是与{g(X,Y)?z}等价的随机事件，而DZ?{(x,y):g(x,y)?z}是二维平面上的某个集合(通常是一个区域或若干个区域的并集)． 随机变量函数Z?g(X,Y)的概率密度为

fZ(z)?FZ'(z).

当X与Y相互独立，且X的概率密度为fX(x),Y的概率密度为fY(y)时，随机变量函数Z?X?Y的概率密度为

fZ(z)??或 Z以上两个公式也称为卷积公式．

????fX(x)fY(z?x)dx．

,

f(z)??????fX(x)fY(z?x)dx 当X与Y相互独立，且X的分布函数为FX(x),Y的分布函数为FY(y)时，随机变量函数

Z?max(X,Y)的分布函数为

FZ(z)?FX(z)FY(z)，

随机变量函数W?max(X,Y)的分布函数为

FW(w)?1?(1?FX(w))(1?FY(w))．

通过求导，可以求得Z,W的概率密度． 特别有下面的结论：

2222X~N(?,?)Y~N(?,?)X?Y~N(???,???)． 11221212 设，，且X与Y相互独立，则

三、思考题

１．设随机变量(X,Y)的概率密度为

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求P(X?3Y).

?xye?(x?y),x?0,y?0,f(x,y)??其它. ?0, ２．若X与Y为相互独立的分别服从[0,1]上均匀分布的随机变量，试求Z?X?Y的分布密度函

数．

第四章 随机变量的数字特征

一、教学要求

1．理解随机变量的数学期望、方差的概念，并会运用它们的基本性质计算具体分布的期望、方差，

2．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望和方差．

3．会根据随机变量X的概率分布计算其函数g(X)的数学期望E[g(X)]；会根据随机变量

(X,Y)的联合概率分布计算其函数g(X,Y)的数学期望正E[g(X,Y)]．

4．理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质，并会利用这些性质进行计算，了解矩的概念。

本章重点：随机变量的期望。方差、协方差、相关系数的计算．

二、知识要点 1．数学期望

设X是离散型的随机变量，其概率函数为

如果级数

?apiiP(X?ai)?pi,i?1,2,?,

绝对收敛，则定义X的数学期望为

iE(X)??aipii；

设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分的数学期望为

?????xf(x)dx绝对可积，则定义XE(X)??xf(x)dx????．

2．随机变量函数的数学期望

设X为离散型随机变量，其概率函数

如果级数

?g(a)piiP(X?ai)?pi,i?1,2,?,

绝对收敛，则X的函数g(X)的数学期望为

iE[g(X)]??g(ai)pii 设(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合概率函数

如果级数

??jiP(X?ai,Y?bj)?pij,i,j?1,2,?,

g(ai,bj)pij绝对收敛，则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为

E[g(X,Y)]???g(ai,bj)pijji；

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特别地

E(X)???aipij;E(Y)???bjpijiiji.

设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分 的函数g(X)的数学期望为

???????g(x)f(x)dx绝对收敛，则XE[g(X)]??g(x)f(x)dx??．

设(X,Y)为二维连续型随机变量，其联合概率密度为f(x,y)，如果广义积分

??????????g(x,y)f(x,y)dxdy绝对收敛，则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为

E[g(x,y)]??特别地

?????????g(x,y)f(x,y)dxdy,

；

E(x)???????????xf(x,y)dxdyE(Y)?? 3．数学期望的性质

(1) E(c)?c (其中c为常数)；

?????????yf(x,y)dxdy.

(2) E(kX?b)?kE(X)?b (k,b为常数)； (3) E(X?Y)?E(X)?E(Y)；

(4) 如果X与相互独立，则E(XY)?E(X)E(Y). 4．方差与标准差

随机变量X的方差定义为

D(X)?E[X?E(X)]2．

计算方差常用下列公式：

D(X)?E(X2)?[E(X)]2’

当X为离散型随机变量，其概率函数为

如果级数

?(a?E(X))iiP(X?ai)?pi,i?1,2,?,

2pi收敛，则X的方差为

D(X)??(ai?E(X))2pii；

当X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分X的方差为

?????(x?E(X))2f(x)dx收敛，则

D(X)??(x?E(x))2f(x)dx????.

随机变量X的标准差定义为方差D(X)的算术平方根D(X). 5．方差的性质

(1) D(c)?0 (c是常数)； (2) D(kX)?kD(X) (k为常数)；

(3) 如果X与Y独立，则D(X?Y)?D(X)?D(Y). 6．协方差

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2 设(X,Y)为二维随机变量，随机变量(X,Y)的协方差定义为

cov(X,Y)?E[(X?E(X))(Y?E(Y))]．

计算协方差常用下列公式：

cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)．

当X?Y时，cov(X,Y)?cov(X,X)?D(X)． 协方差具有下列性质：

(1) cov(X,c)?0 (c是常数)； (2) cov(X,Y)?cov(Y,X)；

(3) cov(kX,lY)?klcov(X,Y) (k,l是常数)； (4) cov(X1?X2,Y)?cov(X1,Y)?cov(X2,Y) 7．相关系数

随机变量(X,Y)的相关系数定义为

?XY?cov(X,Y)D(X)D(Y)

相关系数?XY反映了随机变量X与Y之间线性关系的紧密程度，当|?XY|越大，X与Y之间的线性相关程度越密切，当?XY?0时，称X与Y不相关． 相关系数具有下列性质： (1) |?XY|?1；

(2) |?XY|?1的充要条件是P(Y?aX?b)?1，其中a,b为常数；

(3) 若随机变量X与Y相互独立，则X与Y不相关，即?XY?0，但由?XY?0不能推断X与Y独立．

(4) 下列5个命题是等价的： ． (i)

?XY?0；

(ii) cov(X,Y)?0； (iii) E(XY)?E(X)E(Y)； (iv) D(X?Y)?D(X)?D(Y))； (v) D(X?Y)?D(X)?D(Y)． 利用协方差或相关系数可以计算

(?)DY(?) D(X?Y)?DX 8．原点矩与中心矩

2cXovY(?D,X)?D(Y)??(XXY)D2kDY(．)

() 随机变量X的k阶原点矩定义为E(X)；

随机变量X的k阶中心矩定义为E[(X?E(X))]]； 随机变量(X,Y)的(k,l)阶混合原点矩定义为E(XY)；

随机变量(X,Y)的(k,l)阶混合中心矩定义为E[(X?E(X))(Y?E(Y))]． 一阶原点矩是数学期望E(X)；

二阶中心矩是方差D(X)；

klklkcov(X,Y). ) (1,1阶混合中心矩为协方差

9．常用分布的数字特征

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(1) 当X服从二项分布B(n,p)时，

E(X)?np,D(X)?np(1?p)．

(2) 当X服从泊松分布p(?)时，

E(X)??,D(X)??，

(3) 当X服从区间(a,b)上均匀分布时，

(4) 当X服从参数为?的指数分布时，

a?b(b?a)2E(X)?,D(X)?212

E(X)?1,D(X)?1??2

(5) 当X服从正态分布N(?,?)时，

2E(X)??,D(X)??2．

22N(?,?,?,?(X,Y)1212,?)时， (6) 当服从二维正态分布

E(X)??1,D(X)??12；

E(Y)??2,D(Y)??22；

10．分位数

cov(X,Y)???1?2,?XY??

设X为任意一个随机变量，对于0?p?1，如果实数c满足

P(X?c)?p且P(X?c)?1?p，

则称c是X（或X所服从的分布）的p分位数，记作vp．当

vpp?

1

2时，称v1/2为中位数．

对连续型随机变量X，记其密度函数为f(x)，如果X的值域是某个区间，则

三、思考题

2k???f(x)dx?p.

１．设X~N(?,?)，求E|X??|．

２．设X的密度函数为

?x?x2/2a2,x?0,?ef(x)??a2(a为正常数）?0,x?0.?

记

Y?1X，求Y的数学期望E(Y).

1 3. 一学徒工用车床接连加工10个零件，设第i个零件报废的概率为i?1(i?1,2,?,10)，求报

废零件个数的数学期望.

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(1) 当X服从二项分布B(n,p)时，

E(X)?np,D(X)?np(1?p)．

(2) 当X服从泊松分布p(?)时，

E(X)??,D(X)??，

(3) 当X服从区间(a,b)上均匀分布时，

(4) 当X服从参数为?的指数分布时，

a?b(b?a)2E(X)?,D(X)?212

E(X)?1,D(X)?1??2

(5) 当X服从正态分布N(?,?)时，

2E(X)??,D(X)??2．

22N(?,?,?,?(X,Y)1212,?)时， (6) 当服从二维正态分布

E(X)??1,D(X)??12；

E(Y)??2,D(Y)??22；

10．分位数

cov(X,Y)???1?2,?XY??

设X为任意一个随机变量，对于0?p?1，如果实数c满足

P(X?c)?p且P(X?c)?1?p，

则称c是X（或X所服从的分布）的p分位数，记作vp．当

vpp?

1

2时，称v1/2为中位数．

对连续型随机变量X，记其密度函数为f(x)，如果X的值域是某个区间，则

三、思考题

2k???f(x)dx?p.

１．设X~N(?,?)，求E|X??|．

２．设X的密度函数为

?x?x2/2a2,x?0,?ef(x)??a2(a为正常数）?0,x?0.?

记

Y?1X，求Y的数学期望E(Y).

1 3. 一学徒工用车床接连加工10个零件，设第i个零件报废的概率为i?1(i?1,2,?,10)，求报

废零件个数的数学期望.

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