单级倒立摆的两种控制方法的仿真及研究

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2008年第2期　　　　　　　　　　　　　　　工业仪表与自动化装置

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单级倒立摆的两种控制方法的仿真研究

邢景虎,陈其工,江　明

(安徽工程科技学院电气传动与控制安徽省高校重点实验室,安徽芜湖241000)

摘要:针对多变量、非线性、强耦合性的倒立摆系统,运用牛顿-欧拉方法建立了倒立摆的数学

模型。然后对该模型分别进行LQR控制和模糊控制,并在MATLAB环境下进行仿真,其对比结果对该方向的研究具有理论指导意义。

关键词:单级倒立摆;建模;LQR控制;模糊控制中图分类号:TP273　　文献标识码:A　　文章编号:---03

Asimulationanalysisoftwocontrolmsinpendulum

XINGJing2Hu,2(AnhuiProvincialKeyLabofElectricDofScience&Technology,AnhuiWuhu241000,China)

Abstract:tandstrongcouplinginvertedpendulumsystem,amathematicalmissetupbyusingtheNewton2Eulermethod.Themodelhasunderg2onetheperforbothLQRandfuzzycontrolinthesingleinvertedpendulm.ThroughsimulationinMATLAB,thetwocontrolmethodsarecomparedcarefully.Theresultshaveprovidedtheoreticalguidanceforfurtherstudiesinthisrespect.

Keywords:singleinvertedpendulum;modelling;LQRcontrol;fuzzycontrol

0　引言

倒立摆系统是一个非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统,倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果,是控制理论研究中较为理想的实验装置。又因其与火箭飞行器及单足机器人有很大的相似之处,引起国内外学者的广泛关注。其控制方法在军工、航天、机器人领域和一般工业过程中都有着广泛的用途。如机器人行走过程中的平衡控制,火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等均涉及到倒置问题,对倒立摆系统的研究在理论上和方

[1,2]

法论上均有着深远意义。该文以单级倒立摆为研究对象,运用牛顿-欧拉方法为其建立数学模型,并对其进行了基于最优控制理论的LQR控制以及基于模糊控制理论的模糊控制。用仿真方法对控制系统进行了系统性能研究和比较。

在忽略了空气阻力、各

种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如图1所示。其中M为小车质

图1　直线一级

量,m为摆杆质量,b为小倒立摆系统

车摩擦系数,l为摆杆转动轴心到杆质心的长度,I为摆杆惯量,F为加在小车上的力,X为小车位置,φ为摆杆与垂直向上方向的夹角,θ为摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)。

应用牛顿-欧拉方法,可得到系统状态空间方程为:010x0=00

2

2

I(M+m)+Mml

2

I(M+m)+Mml

22

x

02

I(M+m)+Mml

2

()

2

I(M+m)+Mml

+

1　单级倒立摆系统数学建模

1.1　应用牛顿-欧拉方法建立系统的动力学方程

收稿日期:2007-07-03

作者简介:邢景虎(1980-),男,硕士研究生,研究方向为电力电子技术及现代电力传动控制。

()

2

I(M+m)+Mml

2

I(M+m)+Mmu(1)

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x

y=

x

工业仪表与自动化装置　　　　　　　　　　　　　　　　2008年第2期

=

100x

001+

u(2)

式(1)、式(2)中:x为小车的位移; x为小车的速度;

φ为摆杆的角度;φ为摆杆的角速度;u为输入(采用小车加速度作为系统中的输入);y为输出。

[3]

1.2　系统能控性分析

系统的能控性是控制器设计的前提,故在设计前进行能控性分析。由能控性矩阵M=[B　AB　23

AB　AB],在MATLAB中利用可控性矩阵的ctrb命令来计算,

可以得出Rank(M)=4,可知系统可控,因此可以对系统进行控制器的设计,定。

的规则设计十分复杂。该文模仿人类简化问题的思路,将单一的复杂控制策略转化为多级简单控制策略嵌套,把最优控制理论与模糊控制策略相结合。采用融合技术设计一个线性融合函数,把多个变量融合成综合误差E和综合误差变化率EC,这就使模糊控制器的设计大为简化。这种控制器结构如图3所示。

3.21　融合函数的设计

[5]

2　LQR2.1　LQR[线性二次最优调节器(LQR)是针对系统

X=AX+BU3

,寻找一状态反馈控制律U=-Y=CX+DU

KX,使得控制性能指标J达到最小:

∞ΘTT

(3)J=[XQX+URU]dt

20其中:加权矩阵Q和R是用来平衡状态变量和输入向量的权重,Q是半正定矩阵,R是正定矩阵。最优控制律为:

3-1T

(4)U=RBPX=-KX

其中,P就是Riccati方程的解,K是线性最优反馈增益矩阵。这时求解Riccati代数方程:

T-1T

PA+AP-PBRBP+Q=0

就可获得P值以及最优反馈增益矩阵K值:

-1T

K=RBP

LQR用于单级摆的原理如图2所示。

2.2　模糊控制器原理

1965年,美国著名控制

(5)(6)

利用线性系统的输出信息具有可直接融合的特

点,构造了一个线性融合函数:

(1)用最优控制理论通过MATLAB仿真计算出一组可让倒立摆系统的线性模型基本稳定的状态反

]。馈矩阵K=[KrKθK θrK

(2)构造融合函数为

Kr

F1(X)Kθ

‖K‖0

‖K‖0

K ‖

K‖

2

2

Kθ‖K(7)

)其中‖K‖=(Kr+K+Kθθ+K r

222

(8)

(3)降维、融合成综合误差E和综合误差变化EC:

E=F1(X)X(9)

3　仿真结果及分析

3.1　LQR控制

图2　LQR控制单级倒立摆示意图

论专家Zadeh创立了模糊集

合论。1974年,Mamdani将模糊集合和模糊语言用于自动控制,创立了模糊控制理

用MATLAB中的lqr函数,可以得到最优控制器对应的K。lqr函数允许选择两个参数R和Q,这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。

T

假设R=1,Q=C×C=diag(1000,0,200,0)

(10)其中,Q1,1代表小车位置的权重,而Q3,

3是摆杆角度的权重,输入的权重R是1。则

K=[-31.6228-20.150772.718113.1552]

(11)

在MATLAB环境下,LQR控制单级倒立摆小车位移和摆角的仿真结果如图4所示。

论。在单级倒立摆的控制过程中,

变量有4个:摆角、角速度、小车位置和小车速度。若采用通常形式的模糊控制器,其输入包括4个状态变量,若对每个输入变量的论域作7个模糊集的划分,这样完备的推理规则库会包含2401个推理规则。显然如此多

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较快。摆杆在平衡位置振动的幅度很小,控制效果

比较好。但模糊控制比LQR控制的超调量更小,且抗干扰能力和鲁棒性的效果更好。

图4　LQR控制下小车位移和摆角仿真曲线

3.2　模糊控制

选择基于MamdaniE和EC作为输入量制器,。输入变量、输出变量都采用三角形、全交迭、均匀分布的隶属函数,每个变量用7个模糊子集[NBNMNSZEPSPMPB]描述。模糊控制规则如表1所示。采用重心法解模糊。

表1　模糊规则表

EC

E图5　模糊控制下小车位移和摆角仿真曲线

4　结论

该文通过LQR控制和模糊控制两种方法来控制单级倒立摆,并且进行了仿真及分析,结果表明,

模糊控制在快速性、稳定性以及抗干扰性方面均优于LQR控制,且实时性好,适应性较强,因而值得进一步研究和推广。

参考文献:

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NBPBPBPMPMPSZEZE

NMPBPBPMPMPSZEZE

NSPBPBPMPSZENMNM

ZEPBPBPMZENMNBNB

PSPMPMZENSNMNBNB

PMZEZENSNMNMNBNB

PBZEZENSNMNMNBNB

NBNMNSZEPSPMPB

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在模糊控制下,单级倒立摆小车位移和摆角仿

真结果如图5所示。　　从图4

和图5中可以看出,LQR控制和模糊控制都能较好的控制住倒立摆,超调量较小,响应速度(上接第71页)

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