2015-2016学年山西省忻州一中高一入学数学试卷来源：学

2015-2016学年山西省忻州一中高一入学数学试卷

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号写在答题卡上，每小题3分，共30分） 1．﹣的相反数是( ) A．2

B．﹣2

C．

D．﹣

2．宇宙现在的年龄约为200亿年，200亿用科学记数法表示为( ) A．0.2×10 B．2×10 C．200×10

3．下列计算正确的是( )

441622752 A．x+x=x B．（﹣2a）=﹣4a C．x÷x=x

4．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )

11

10

8

D．2×10

9

D．m?m=m

236

A．圆锥

5．把不等式组

B．圆柱

C．长方体

D．三棱柱

的解集表示在数轴上，正确的是( )

A． B． C． D．

6．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨．设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据题意所列方程组正确的是( ) A． C．

B．D．

7．甲、乙两名同学某学期的四次数学测试成绩（单位：分）如下表：

甲 乙 第一次 87 80 第二次 95 80 第三次 85 90 第四次 93 90 2

2

据上表计算，甲、乙两名同学四次数学测试成绩的方差分别为S甲=17、S乙=25，下列说法正确的是( ) A．甲同学四次数学测试成绩的平均数是89分 B．甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分 C．乙同学四次数学测试成绩的众数是80分 D．乙同学四次数学测试成绩较稳定

8．如图是二次函数y=ax+bx+c=（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结

22

论：①ab＜0；②b﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有( )

2

A．①③④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤

9．如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( )m．

A．4 B．5 C． D．2

10．如图，边长为1的正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN的面积为s，运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的图象是( )

A． B． C． D．

二、填空题（每小题3分，共24分） 12．方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是__________．

14．如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD的长为__________．

15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为__________．

16．如图，直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=（k≠0）上的点D1处，则a=__________．

三、解答题

18．为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．

（1）抽查D厂家的零件为__________件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为__________； （2）抽查C厂家的合格零件为__________件，并将图1补充完整； （3）通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家；

（4）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出（3）中两个厂家同时被选中的概率．

19．为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品共1000件．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A、B两种学习用品的单价各是多少元？

（2）若购买这批学习用品的费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？

20．如图所示，小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）

21．如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC． （1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径； （2）求证：直线BF是⊙O的切线；

（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．

22．盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示． （1）a=__________，b=__________；

（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；

（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？

23．如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．

（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：__________；

（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），

①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； ②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．

24．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F． （1）求抛物线解析式；

（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长； （3）在（2）的条件下：

①连接DF，求tan∠FDE的值；

②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2015-2016学年山西省忻州一中高一入学数学试卷

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号写在答题卡上，每小题3分，共30分） 1．﹣的相反数是( ) A．2

B．﹣2

C．

D．﹣

考点：相反数．

分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．

解答： 解：﹣的相反数是．

故选C．

点评：本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2．宇宙现在的年龄约为200亿年，200亿用科学记数法表示为( )

111089

A．0.2×10 B．2×10 C．200×10 D．2×10

考点：科学记数法—表示较大的数．

分析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

10

解答： 解：将200亿用科学记数法表示为：2×10． 故选：B．

n

点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．下列计算正确的是( )

441622752236 A．x+x=x B．（﹣2a）=﹣4a C．x÷x=x D．m?m=m

考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

分析：根据合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法、乘法分别求出每个式子的值，再判断即可．

4

解答： 解：A、结果是2x，故本选项错误；

2

B、结果是4x，故本选项错误；

2

C、结果是x，故本选项正确；

5

D、结果是x，故本选项错误； 故选C．

点评：本题考查了合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法、乘法的应用，能根据法则求出每个式子的值是解此题的关键．

4．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )

n

A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．三棱柱

考点：由三视图判断几何体．

分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答： 解：由于俯视图为三角形．主视图为两个长方形和左视图为长方形可得此几何体为三棱柱． 故选：D． 点评：考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

5．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是( )

A．

B． C． D．

考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

分析：先求出不等式组的解集，再根据数轴上不等式的解集的表示方法解答．

解答： 解：

解不等式①得，x＞﹣2， 解不等式②得，x≤1， 在数轴上表示如下：

，

．

故选B．

点评：本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．

6．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨．设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据题意所列方程组正确的是( ) A． C．

B．D．

考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．

分析：设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，列方程组即可．

解答： 解：设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，

由题意得，．

故选A．

点评：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．

7．甲、乙两名同学某学期的四次数学测试成绩（单位：分）如下表： 甲 乙 第一次 87 80 第二次 95 80 第三次 85 90 第四次 93 90 2

2

据上表计算，甲、乙两名同学四次数学测试成绩的方差分别为S甲=17、S乙=25，下列说法正确的是( ) A．甲同学四次数学测试成绩的平均数是89分 B．甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分 C．乙同学四次数学测试成绩的众数是80分 D．乙同学四次数学测试成绩较稳定

考点：方差；算术平均数；中位数；众数．

分析：根据算术平均数的计算公式、中位数、众数的概念和方差的性质进行判断即可．

解答： 解：甲同学四次数学测试成绩的平均数是（87+95+85+93）=90，A错误； 甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分，B正确；

乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，C错误； ∵S

＜S

，∴甲同学四次数学测试成绩较稳定，D错误，

故选：B．

点评：本题考查的是算术平均数、中位数、众数和方差的计算和性质，掌握它们的概念、性质和计算公式是解题的关键．

8．如图是二次函数y=ax+bx+c=（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结

22

论：①ab＜0；②b﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4，其中正确的结论有( )

2

A．①③④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤

考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答： 解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，

∵﹣=﹣2，

∴b=4a，ab＞0，

∴①错误，④正确，

∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点， 22

∴b﹣4ac＞0，方程ax+bx=0的两个根为x1=0，x2=﹣4， ∴②⑤正确，

∵当a=﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0， ∴③错误，

故正确的有②④⑤． 故选：B．

点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用

9．如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( )m．

A．4 B．5

考点：圆锥的计算．

C． D．2

分析：首先连接AO，求出AB的长度是多少；然后求出扇形的弧长为多少，进而求出扇

形围成的圆锥的底面半径是多少；最后应用勾股定理，求出圆锥的高是多少即可．

解答： 解：如图1，连接AO， ∵AB=AC，点O是BC的中点， ∴AO⊥BC，又∵∠BAC=90°， ∴∠ABO=∠AC0=45°， ∴AB=∴

=

=2

（m）， π（m），

∴将剪下的扇形围成的圆锥的半径是：

2π÷2π=（m）， ∴圆锥的高是：

=

（m）．

故选：C．

点评：此题主要考查了圆锥的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是求出扇形围成的圆锥的底面半径是多少．

10．如图，边长为1的正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN的面积为s，运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的图象是( )

A． B． C． D．

考点：动点问题的函数图象． 专题：压轴题．

分析：根据题意，分3种情况：（1）当点N在AD上运动时；（2）当点N在CD上运动时；（3）当点N在BC上运动时；求出△AMN的面积s关于t的解析式，进而判断出能大致反映s与t的函数关系的图象是哪个即可． 解答： 解：（1）如图1， 当点N在AD上运动时，

s=AM?AN=×t×3t=t．

2

（2）如图2，

当点N在CD上运动时， s=AM?AD=t×1=t．

（3）如图3，

当点N在BC上运动时，

s=AM?BN=×t×（3﹣3t）=﹣t+t

综上可得，能大致反映s与t的函数关系的图象是选项D中的图象． 故选：D．

点评：此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．

二、填空题（每小题3分，共24分） 12．方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是x1=﹣2，x2=4．[来源:Z+xx+k.Com]

考点：解一元二次方程-因式分解法．

分析：先移项，再提取公因式，求出x的值即可． 解答： 解：原式可化为（x+2）（x﹣3）﹣（x+2）=0， 提取公因式得，（x+2）（x﹣4）=0，

2

故x+2=0或x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=4． 故答案为：x1=﹣2，x2=4． 点评：本题考查的是解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解答此题的关键． [来源:学科网]

14．如图，已知△ABC中，AB=5，AC=3，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则线段AD的长为．

考点：相似三角形的判定与性质．

分析：由已知先证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求出AD的值． 解答： 解：∵∠A=∠A， ∠ACD=∠B，

∴△ABC∽△ACD，

∴=，

∵AB=5，AC=3， ∴=

，

∴AD=． 故答案为．

点评：本题考查相似三角形的判定和性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的值．

15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为+1．

考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．

分析：连接BD，与AC的交点即为使△PBE的周长最小的点P；由菱形的性质得出

∠BPC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出PE=BE，证明△PBE是等边三角形，得出PB=BE=PE=1，即可得出结果． 解答： 解：连结DE． ∵BE的长度固定，

∴要使△PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC与BD互相垂直平分， ∴P′D=P′B，

∴PB+PE的最小长度为DE的长，

∵菱形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∠DAB=60°， ∴△BCD是等边三角形， 又∵菱形ABCD的边长为2， ∴BD=2，BE=1，DE=，

∴△PBE的最小周长=DE+BE=+1， 故答案为：+1．

点评：本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

16．如图，直线y=﹣3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y=（k≠0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=（k≠0）上的点D1处，则a=2．

考点：反比例函数综合题． 专题：综合题；压轴题．

分析：对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，后根据三角形全等得出C点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定D点的坐标和D1点的坐标，即可确定出a的值．

解答： 解：对于直线y=﹣3x+3，

令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=1，即A（0，3），B（1，0），

过C作CE⊥x轴，交x轴于点E，过A作AF∥x轴，过D作DF垂直于AF于F，如图所示，

∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠EBC=90°， ∴∠OAB=∠EBC， 在△AOB和△BEC中，

，

∴△AOB≌△BEC（AAS）， ∴BE=AO=3，CE=OB=1， ∴C（4，1），

把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即y=， 同理得到△DFA≌△BOA， ∴DF=BO=1，AF=AO=3， ∴D（3，4），

把y=4代入反比例解析式得：x=1，即D1（1，4），

则将正方形ABCD沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在双曲线y=（k≠0）上的点D1处，即a=2， 故答案为：2．

点评：此题属于反比例综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平移性质，熟练掌握性质是解本题的关键．

三、解答题

18．为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．

（1）抽查D厂家的零件为500件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为90°； （2）抽查C厂家的合格零件为400件，并将图1补充完整； （3）通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家；

（4）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出（3）中两个厂家同时被选中的概率．

考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．

分析：（1）计算出D厂的零件比例，则D厂的零件数=总数×所占比例，D厂家对应的圆心角为360°×所占比例；

（2）C厂的零件数=总数×所占比例；（3）计算出各厂的合格率后，进一步比较得出答案即可；

（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解． 解答： 解：（1）D厂的零件比例=1﹣20%﹣20%﹣35%=25%， D厂的零件数=2000×25%=500件；

D厂家对应的圆心角为360°×25%=90°；

（2）C厂的零件数=2000×20%=400件， C厂的合格零件数=400×95%=380件， 如图：

（3）A厂家合格率=630÷=90%， B厂家合格率=370÷=92.5%， C厂家合格率=95%，

D厂家合格率470÷500=94%，

合格率排在前两名的是C、D两个厂家；

（4）根据题意画树形图如下：

共有12种情况，选中C、D的有2种， 则P（选中C、D）=

=．

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

19．为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品共1000件．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同．（1）求A、B两种学习用品的单价各是多少元？

（2）若购买这批学习用品的费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？

考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 分析：（1）设A型学习用品单价x元，利用“用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同”列分式方程求解即可；

（2）设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品（1000﹣a）件，根据这批学习用品的钱不超过28000元建立不等式求出其解即可． 解答： 解：（1）设A型学习用品单价x元，

根据题意得：=，

解得：x=20，

经检验x=20是原方程的根， x+10=20+10=30．

答：A型学习用品20元，B型学习用品30元；

（2）设可以购买B型学习用品a件，则A型学习用品（1000﹣a）件，由题意，得： 20（1000﹣a）+30a≤28000， 解得：a≤800．

答：最多购买B型学习用品800件． 点评：本题考查了列分式方程解应用题和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到等量关系是建立方程组的关键．

20．如图所示，小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 专题：应用题．

分析：设CD=xm，先在Rt△BCD中，由于∠DBC=45°，则根据等腰直角三角形的性质得BC=CD=x，再在Rt△DAC中，利用正切定义得到x+2=x，解得x=+1，即

BC=CD=+1，然后在Rt△FBE中根据等腰直角三角形的性质得FE=BE=BC+CE≈5.7． 解答： 解：设CD=xm，

在Rt△BCD中，∵∠DBC=45°， ∴BC=CD=x，

在Rt△DAC中，∵∠DAC=30°，

∴tan∠DAC=，

∴x+2=x，解得x=+1， ∴BC=CD=+1，

在Rt△FBE中，∵∠DBC=45°， ∴FE=BE=BC+CE=+1+3≈5.7． 答：树EF的高度约为5.7m． 点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

21．如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC． （1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径； （2）求证：直线BF是⊙O的切线；

（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．

考点：圆的综合题． 专题：证明题． 分析：（1）根据垂径定理求得PC，连接OC，根据勾股定理求得即可；

（2）求得△PBC∽△BFA，根据相似三角形对应角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可证得结论；

（3）通过证得AE=BF，AE∥BF，从而证得四边形AEBF是平行四边形． 解答： （1）解：CD⊥AB，

∴PC=PD=CD=，

连接OC，设⊙O的半径为r，则PO=PB﹣r=4﹣r，

222

在RT△POC中，OC=OP+PC， 即r=（4﹣r）+（

2

2

），解得r=

2

．

（2）证明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，

∴∠ABF=∠CPB， ∵CD⊥AB，

∴∠ABF=∠CPB=90°， ∴直线BF是⊙O的切线；

（3）四边形AEBF是平行四边形；

理由：解：如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P， ∴当点P与点O重合时，CD=AB， ∴OC=OD，

∵AE是⊙O的切线， ∴BA⊥AE， ∵CD⊥AB， ∴DC∥AE， ∵AO=OB，

∴OC是△ABE的中位线， ∴AE=2OC，

∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC． ∴∠D=∠F， ∴CD∥BF， ∵AE∥BF， ∵OA=OB，

∴OD是△ABF的中位线， ∴BF=2OD， ∴AE=BF，

∴四边形AEBF是平行四边形．

点评：本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．

22．盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示． （1）a=6，b=8；

（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；

（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？[来源:学科网]

考点：一次函数的应用． 专题：压轴题． 分析：（1）根据函数图象，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a的值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值；

（2）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1，分x≤10与x＞10，利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x的函数关系式即可；

（3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50﹣n），然后分0≤n≤10与n＞10两种情况，根据（2）的函数关系式列出方程求解即可． 解答： 解：（1）由y1图象上点（10，480），得到10人的费用为480元， ∴a=

×10=6；

由y2图象上点（10，800）和，得到20人中后10人费用为640元， ∴b=

（2）设y1=k1x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，480）， ∴10k1=480， ∴k1=48， ∴y1=48x；

0≤x≤10时，设y2=k2x，

∵函数图象经过点（0，0）和（10，800）， ∴10k2=800， ∴k2=80，

×10=8；

∴y2=80x，

x＞10时，设y2=kx+b，

∵函数图象经过点（10，800）和， ∴∴

，

，

∴y2=64x+160； ∴y2=

；

（3）设B团有n人，则A团的人数为（50﹣n）， 当0≤n≤10时，80n+48×（50﹣n）=3040， 解得n=20（不符合题意舍去），

当n＞10时，800+64×（n﹣10）+48×（50﹣n）=3040， 解得n=30，

则50﹣n=50﹣30=20．

答：A团有20人，B团有30人．

点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息并理解打折的意义是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．

23．如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．

（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：BE=CD；

（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），

①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； ②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．

考点：几何变换综合题． 专题：压轴题． 分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，再根据等量关系可得线段BE与线段CD的关系；

（2）①根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，根据旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，根据SAS可证△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质即可求解；

②根据平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=45°，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．

解答： 解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°， ∴AB=AC，AE=AD， ∴AE﹣AB=AD﹣AC， ∴BE=CD；

（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°， ∴AB=AC，AE=AD，

由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD， 在△BAE与△CAD中，

，

∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE=CD；

②∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ADC=45°， ∵AC=ED， ∴AC=CD， ∴∠CAD=45°

或360°﹣90°﹣45°=225°， ∴角α的度数是45°或225°． 故答案为：BE=CD．

点评：考查了几何变换综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强，难度中等．

24．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F． （1）求抛物线解析式；

（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；

2

（3）在（2）的条件下：

①连接DF，求tan∠FDE的值；

②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题． 专题：压轴题． 分析：（1）利用待定系数法求得即可；

（2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的长；

（3）①先确定C、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF=∠EDF，由于

tan∠ECF===，即可求得tan∠FDE=；

②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直线CE的解析式为y=﹣x+3，即可设出直线DG1的解析式为y=﹣x+m，直线DG2的解析式为y=2x+n，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标．

2

解答： 解：（1）如图1，∵抛物线y=ax+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，[来源:Zxxk.Com] ∴

，

解得．

∴抛物线解析式为y=﹣x+

2

x+3；

（2）如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，3）， ∴F的纵坐标为3， 把y=3代入y=﹣x+解得x=0或x=4， ∴F（4，3）， ∴OH=4，

2

x+3得，3=﹣x+

2

x+3；

∵∠CDE=90°，

∴∠ODC+∠EDH=90°， ∴∠OCD=∠EDH， 在△OCD和△HDE中，

，

∴△OCD≌△HDE（AAS）， ∴DH=OC=3， ∴OD=4﹣3=1；

（3）①如图3，连接CE， ∵△OCD≌△HDE， ∴HE=OD=1， ∵BF=OC=3， ∴EF=3﹣1=2，

∵∠CDE=∠CFE=90°， ∴C、D、E、F四点共圆， ∴∠ECF=∠EDF，

在RT△CEF中，∵CF=OH=4， ∴tan∠ECF=

==，

∴tan∠FDE=；

②如图4，连接CE， ∵CD=DE，∠CDE=90°， ∴∠CED=45°，

过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°

∵EH=1，OH=4， ∴E（4，1）， ∵C（0，3）， ∴直线CE的解析式为y=﹣x+3， 设直线DG1的解析式为y=﹣x+m， ∵D（1，0），

∴0=﹣×1+m，解得m=， ∴直线DG1的解析式为y=﹣x+， 当x=4时，y=﹣∴G1（4，﹣）；

+=﹣，

设直线DG2的解析式为y=2x+n， ∵D（1，0），

∴0=2×1+n，解得n=﹣2，

∴直线DG2的解析式为y=2x﹣2， 当x=4时，y=2×4﹣2=6， ∴G2（4，6）；

综上，在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°，点G的坐标为（4，﹣）或（4，6）．

点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等，数形结合思想的应用是解题的关键．

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