钢管订购和运输问题

钢管订购和运输问题

摘要：我们利用Floyd算法求出铁路网和公路网各点间最短路线，然后转

化成最少运输，去掉了铁路和公路的性质，使运输网络变成一张供需运输价格表，然后建立了一个以总费用为目标函数的非线性规划模型，利用Lingo 软件，求出问题一的最优解为1278632万元。通过对问题一中lingo运行结果的分析，我们得出S5钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，S1钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。问题三模型的建立原理和问题一的相同，利用Lingo 软件，求得最优解为1407149万元.

关键词：非线性方程组 Floyd 算法 灵敏度

1.问题重述

要铺设一条A1?A2???A15的输送天然气的主管道, 如图一所示(见下页)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有S1,S2,?S7。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。

为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂Si在指定期限内能生产该钢管的最大数量为si个单位，钢管出厂销价1单位钢管为pi万元，如下表：

i si 1 800 160 2 800 155 3 1000 155 4 2000 160 5 2000 155 6 2000 150 7 3000 160 pi

1单位钢管的铁路运价如下表：

里程(km) 运价(万20 元)

901～里程(km) 501～600 601～700 701～800 801～900 1000 运价(万37 元)

1000km以上每增加1至100km运价增加5

44 50 55 60 23 26 29 32 ≤300 301～350 351～400 401～450 451～500 公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。

钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点A1,A2,?,A15，而是管道全线）。

（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。

（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。

（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。

2.模型假设

（1）只考虑订购费用和运输费用，不考虑装卸等其它费用。 （2）在运输和铺设过程中无能量损耗。

（3）钢管单价与订购量、订购次数、订购日期无关。 （4）沿管道或者原来有公路或者建有施工公路。

3.符号说明

Si: 钢厂Si的最大生产能力;

pi: 钢厂Si 的出厂钢管单位价格(单位: 万元) ;

d: 公路上一单位钢管的每公里运费(d = 0. 1 万元) ;

Dij：铁路网上两点间的单位钢管最少运输费用； ：题图一公路网上两点间的单位钢管最少运输费用； ：题图二公路网上两点间的单位钢管最少运输费用；

D1jkD2jke: 铁路上一单位钢管的运费 ;

cijbj: 1 单位钢管从钢厂Si运到Aj的最小费用(单位: 万元) ; : 从Aj 到

Aj?1之间的距离(单位: 千米) ;

4.问题分析

(一) 问题1的分析

问题一属于运输类求最短路的问题。 题目要求七个钢厂生产的钢管运

输到十五个铺设点，又由于运输的时候，运输费用不是简单的路程长短决定的，因此要先考虑最短的运输到铺设点的最小费用，我们的模型建立目标函数，建立起约束条件，运用

(二) 问题2的分析

问题二是对问题一中的模型进行灵敏度分析。是讨论钢厂钢管的

销价的变化和钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响，同时判别哪家钢厂在这两方面发生的变化对购运计划和总费用的影响最大，使得钢管销售价和钢管生产上限在发生变化时，能够利用原有模型进行判断，是否需要对购运计划进行修改，以满足新情况下的最优。

(三) 问题3的分析

问题三是对问题一的一个扩展。如铺设的管道是一个树形图，铁

路、公路和管道构成网络对于题图二，我们可以延用问题一里面的思想，在题图一的基础上多几条铺设路段，即多几个函数。

对最小运费的求解，我们采用Floyd算法。先求出铁路网上钢管厂到铁路上任意两点Vi，Vj的最短路线的长度Lij,用matlab求得Lij对应的铁路单位运费

Dij；同理用Floyd 算法求出公路网上的任意两点j，Vk 的最短公

V

路路线的长度Ljk，结果乘以0.1得到公路运费

D1jk。Cik?min(Dij?D1jk)，j

表示所有运输中转点，于是就得到从某钢厂到某铺设点运输单位钢管的最少运输费用。

每个铺设点分别向R,L两个方向展开，通过Lingo编程求出最小铺设费用。运输费用加上购买费用再加上铺设费用就是我们所要求的总费用。

问题二，通过问题一里面Lingo编程运行得出的结果，分析哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。

问题三，如铺设的管道是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络对于题图二，我们可以延用问题一里面的思想，在题图一的基础上多几条铺设路段，9，11，17节点的铺设方向变为R,L,Z 三个方向，其他不变。

5.模型的建立与求解

针对题图一，我们采用Floyd算法，用matlab编程求出单位钢管从Si运输到Aj的最小运输费用，具体数据如下表1：

表1 单位钢管从Si运输到Aj的最小运输费用（单位：万元）

A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1 170.7160.3140.298.638.020.53.121.264.292.096.0106.0121.2128.0142.0S2215.7205.3190.2171.6111.095.586.071.2114.2142.0146.0156.0171.2178.0192.0S3230.7220.3200.2181.6121.0105.596.086.248.282.086.096.0111.2118.0132.0S4260.7250.3235.2216.6156.0140.5131.0116.284.262.051.061.076.283.097.0S5255.7245.3225.2206.6146.0130.5121.0111.279.257.033.051.071.273.087.0S6265.7255.3235.2216.6156.0140.5131.0121.284.262.051.045.026.211.028.0S7275.7265.3245.2226.6166.0150.5141.0131.299.277.066.056.038.226.02.0 对表1的数据进行分析，我们得到一个非线性规划模型：

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