泛函分析知识点

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泛函分析知识点

知识体系概述

(一)、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子

1.距离空间的定义:设X是非空集合,若存在一个映射d:X×X→R,使得?x,y,z?X,下列距离公理成立:

(1)非负性:d(x,y)≥0,d(x,y)=0?x=y; (2)对称性:d(x,y)=d(y,x);

(3)三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);

则称d(x,y)为x与y的距离,X为以d为距离的距离空间,记作(X,d) 2.几类空间

例1 离散的度量空间 例2 序列空间S

例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X)

例5 C[a,b]空间 即连续函数空间

例6 l

第二节 度量空间中的极限,稠密集,可分空间 1. 开球

定义 设(X,d)为度量空间,d是距离,定义

U(x0, ?)={x ∈X | d(x, x0)

为x0的以?为半径的开球,亦称为x0的?一领域. 2. 极限

定义 若{xn }?X, ?x?X, s.t. limd?xn,x??0 则称x是点列{xn }的极限.

n??2

3. 有界集

定义 若d?A??supd?x,y???,则称A有界

?x,y?A4. 稠密集

定义 设X是度量空间,E和M是X中两个子集,令M表示M的闭包,如果E?M,那么称集M在集E中稠密,当E=X时称M为X的一个稠密集。 5. 可分空间

定义 如果X有一个可数的稠密子集,则称X是可分空间。

第三节 连续映射

~1.定义 设X=(X,d),Y=(Y, d)是两个度量空间,T是X到Y中映射,x0?X,如果对于任

d?x,x0?意给定的正数?,存在正数??0,使对X中一切满足

??的x,有

d?Tx,Tx0???~,

则称T在

x0连续.

~??Y,d???是度量空间(X,d)到度量空间?2.定理1 设T中的映射,那么T在

x0?X连续的充

要条件为当xn?x0?n???时,必有Txn?Tx0?n???

3.定理2 度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像T?1M是X中的开集.

第四节 柯西(cauchy)点列和完备度量空间

1.定义 设X=(X,d)是度量空间,?xn?是X中点列,如果对任意给定的正数??0,

存在正整数N?N???,使当n,m>N时,必有

d?xn,xm???,

则称?xn?是X中的柯西点列或基本点列。如果度量空间(X,d)中每个柯西点列都在 (X,d)中收敛,那么称(X,d)是完备的度量空间. 【注意】(1)Q不是完备集 (2)Rn完备

(3)cauchy列不一定收敛,但收敛列一定是cauchy列.

(4)C[a,b]完备

2.定理 完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X中的闭子空间. 第五节 度量空间的完备化

1.定义 设(X,d),( X,d)是两个度量空间,如果存在X到X上的保距映射T,即d?Tx,Ty??d?x,y?,则称(X,d)和( X,d)等距同构,此时T称为X到X上等距同构映射。

2.定理1(度量空间的完备化定理) 设X=(X,d)是度量空间,那么一定存在一完

~~~~~~~~备度量空间X=( X,d),使X与X的某个稠密子空间W等距同构,并且X在等距同

构意义下是唯一的,即若( X,d)也是一完备度量空间,且X与X的某个稠密子空间等距同构,则( X,d)与( X,d)等距同构。

3.定理1’ 设X=(X,d)是度量空间,那么存在唯一的完备度量空间X=( X,d),

~~~~~~~^^~~~^^使X为X的稠密子空间。

第六节 压缩映射原理及其应用

1.定义 设X是度量空间,T是X到X中的映射,如果存在一个数?,0

~所有的x,y?X,

d?Tx,Ty???d?x,y?, 则称T是压缩映射。

2.定理1(压缩映射定理)(即Barnach不动点定理) 设X是完备的度量空间,T是X上的压缩映射,那么T有且只有一个不动点(就是说,方程Tx=x,有且只有一个解). 补充定义:若Tx=x,则称x是T的不动点。

x是T的不动点?x是方程Tx=x的解。 3.定理2 设函数f?x,y?在带状域

a?x?b,???y? ?中处处连续,且处处有关于y的偏导数fy?x,y?.如果还存在常数m和M满足

' 0?m?fy'?x,?y?M,m?, M则方程f?x,y??0在区间?a,b?上必有唯一的连续函数y???x?作为解: f?x,??x???0,?x?a,? b第七节 线性空间

1.定义1 设X是一非空集合,在X中定义了元素的加法运算和实数(或复数)与X中元素的乘法运算,满足下列条件:

(1)关于加法成为交换群,即对任意x,y?X,存在u?X与之相对应,记为u=x+y,称为x和y的和,满足 1)x?y?y?x;

2)?x?y??z?x??y?z??任何x,y,z?X?;

3)在X中存在唯一元素?,使对任何x?X,成立x???x,称?为X中零元素; 4)对X中每个元素x,存在唯一元素x??X,使x?x???,称x?为x的负元素,记为?x; (2)对于X中每个元素x?X,及任意实数(或复数)a,存在元素u?X与之对应,记为u?ax,称为a与x的数积,满足 1)1x?x;

2)a(bx)??ab?x对任意实数(或复数)a和b成立; 3)?a?b?x?ax?bx,a?x?y??ax?by,

则称X按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间,其中的元素称为向量。如果数积运算只对实数(复数)有意义,则称X是实(复)线性空间。

例1 Rn,对Rn中任意两点x=(ξ1,ξ2,…,ξn ),y=(η1,η2,…,ηn)和任何实(复)数a,定义

x+y=(ξ1 +η1,ξ2 +η2,…,ξn +ηn), ax=(aξ1 ,aξ2,…,aξn).

容易验证Rn按上述加法和数乘运算成实(复)线性空间.

2.定义2 设x1 ,x2,…,xn 是线性空间X中的向量,如果存在n个不全为零的数α1,α2,…,αn,使

α1 x1 +α2 x2 +…+αnxn =0, (1)

则称x1,x2 ,…,xn 线性相关,否则称为线性无关.

不难看出,x1,x2,…,xn 线性无关的充要条件为,若??ixi?0,

i?1n必有α1 =α2 =…=αn =0.

3.定义3 设M是线性空间X的一个子集,如果M 中任意有限个向量都线性无关,则称M 是X中线性无关子集.设M 和L为X中两个子集,若M 中任何向量与L中任何向量都线性无关,则称M和L线性无关.

4.定义4 设X是线性空间, M 是X中线性无关子集,如果·spanM= X,则称M 的基数为X的维数,记为dim X, M 称为X的一组基.如果M 的基数为有限数,则称X是有限维线性空间,否则称X是无限维线性空间.如果X只含零元素,称X为零维线性空间.

第八节 赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间

1.定义1 设X是实(或复)的线性空间,如果对每个向量x∈X,有一个确定的实数,记为‖x‖与之对应,并且满足:

1°‖x‖≥0,且‖x‖=0等价于x=0;

2°‖αx‖=|α|‖x‖其中α为任意实(复)数; 3°‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,x,y∈X,

则称‖x‖为向量x的范数,称X按范数‖x‖成为赋范线性空间. 2. 引理1(H?lder不等式) 设p>1, 在[a,b]上L可积,并且

1p?1q?1,f?Lp?a,b?,g?Lq?a,b?那么f(t)g(t)

?baf?t?g?t?dt?fpgq

3引理2(Minkowski不等式) 设p≥1,f,g∈Lp[a,b],那么f+g∈Lp[a,b],并且成立不等式

‖f+g‖p ≤‖f‖p +‖g‖p

4.定理1 当p≥1时,Lp[a,b]按(6)中范数‖f‖p 成为赋范线性空间. 5.定理2 Lp [a,b](p≥1)是Banach空间.

6.定理3 设X是n维赋范线性空间,{e1,e2,…,en}是X的一组基,则存在常数M 和M′,使得对一切

nx???k?1kek

成立

1 M?x????k?k?1n2?2???M?. x7.推论1 设在有限维线性空间上定义了两个范数‖x‖和‖x‖1 ,那么必存在常数M 和

M′,使得

M‖x‖≤‖x‖1 ≤M′‖x‖.

8. 定义2 设(R1,‖x‖1 )和(R2 ,‖x‖2 )是两个赋范线性空间.如果存在从R1 到R2 上的线性映射φ和正数c1 ,c2,使得对一切x∈R1,成立

c1 ‖φx‖2 ≤‖x‖1 ≤c2 ‖φx‖2

则称(R1 ,‖x‖1)和(R2,‖x‖2 )这两个赋范空间是拓扑同构的.

8.推论2 任何有限维赋范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构.相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构.

(二)有界线性算子和连续线性泛函

第一节 有界线性算子和连续线性泛函

定义1 设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间,D是X的线性子空间,T为D到Y中的映射,如果对任何x,y∈D,及数α,有

T(x+y)= Tx+ Ty, (1)

T(αx)=αTx, (2)

则称T为D到Y中的线性算子,其中D称为T的定义域,记为D(T),TD称为T的值域,记为R(T),当T取值于实(或复)数域时,就称T为实(或复)线性泛函.

定义2 设X和Y是两个赋范线性空间,T是X的线性子空间D(T)到Y 中的线性算子,如果存在常数c,使对所有x∈D(T),有

‖Tx‖≤c‖x‖, (3) 则称T是D(T)到Y中的有界线性算子,当D(T)= X时,称T为X到Y中的有界线性算子,简称为有界算子.对于不满足条件(3)的算子,称为无界算子.本书主要讨论有界算子.

定理1 设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子,则T为有界算子的充要条件为T是X上连续算子.

定理2 设X是赋范线性空间,f是X上线性泛函,那么f是X上连续泛函的充要条件为f的零空间N(f)是X中的闭子空间

定义3 T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空 间Y中的线性算子,称

T?supx?0x?D?TTx?x (4)

为算子T在D(T)上的范数.

引理1 设T是D(T)上有界线性算子,那么

T?supTx?supTx (6)

x?D?Tx?1?x?D?Tx?1?Ⅲ. 有界线性算子和连续线性泛函的例子

例6 赋范线性空间X上的相似算子Tx=αx是有界线性算子,且‖T‖=|α|,特别‖IX ‖=1,‖O‖=0.

第二节 有界线性算子空间和共轭空间 Ⅰ. 有界线性算子全体所成空间

定理1 当Y是Banach空间时,B(X→Y)也是Banach空间. Ⅱ. 共轭空间

定义1 设X是赋范线性空间,令X′表示X上连续线性泛函全体所成的空间,称为X的共轭空间.

定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是Banach空间.

定义2 设X和Y是两个赋范线性空间,T是X到Y中的线性算子,并且对所有x∈X,有

‖Tx‖=‖x‖,

则称T是X到Y中的保距算子,如果T又是映射到Y上的,则称T是同构映射,此时称X与Y同构.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/volv.html

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