概率论与数理统计（理工类 - 第四版）吴赣昌主编课后习题答案第五章

第五章 数理统计的基础知识

5.1 数理统计的基本概念

习题1

已知总体X服从[0,λ]上的均匀分布(λ未知), X1,X2,?,Xn为X的样本，则().

(A)1n∑i=1nXi-λ2是一个统计量； (B)1n∑i=1nXi-E(X)是一个统计量； (C)X1+X2是一个统计量； (D)1n∑i=1nXi2-D(X)是一个统计量.

解答： 应选(C).

由统计量的定义：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.(A)(B)(D)中均含未知参数.

习题2

观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位(单位：cm), 得到如下表中所列的数据. 按区间[70,80),[80,90),?,[150,160), 将100个数据分成9个组，列出分组数据计表(包括频率和累积频率), 并画出频率累积的直方图. 解答： 分组数据统计表

组序号 1 组限 组中值 组频率 组频率% 累计频率% 组序号 组限 组中值 组频率 组频率% 累计频率% 6 7 8 9 2 3 4 5 70～80～90～100～110～120115262667 8075333 90859912 10095131325 110105161661 120～130125202087 130～1401357794 140～1501454498 150～16015522100 频率直方图见图(a),累积频率直方图见图(b). 习题3 测得20个毛坯重量(单位：g),列成如下简表： 毛坯重量 185187192195200202205206 频数 11111211

毛坯重量 207208210214215216218227 频数 21112121 将其按区间[183.5,192.5),?,[219.5,228.5)组，列出分组统计表，并画出频率直方图. 解答： 分组统计表见表 组序号 组限 组中值 组频数 组频率/% 12345 183.5,～192.5192.5,～201.5201.5,～210.5210.5,～219.5219.5,～228.518819720621522432861151040305 频率直方图见下图 习题4 某地区抽样调查200个居民户的月人均收入，得如下统计资料： 月人均收入(百元) 5-66-77-88-99-1010-1111-12 合计 户数 18357624191414 200 求样本容量n,样本均值Xˉ，样本方差S2. 解答： 对于抽到的每个居民户调查均收入，可见n=200. 这里，没有给出原始数据，而是给出了整理过的资料(频率分布), 我们首先计算各组的“组中值”，然后计算Xˉ和S2的近似值： 月人均收入(百元) 5-66-77-88-99-1010-1111-12 合计 组中值ak 户数fk 5.56.57.58.59.510.511.5 18357624191414 - 200 Xˉ=1n∑kakfk=1200(5.5×18+?+11.5×14)=7.945, S2≈1n-1∑k(ak-Xˉ)2fk=1n-1∑kak2fk-Xˉ2 =1199(5.52×18+?+11.52×14)-7.9452 ≈66.0402-63.123025=2.917175. 习题5 设总体X服从二项分布B(10,3100),X1,X2,?,Xn为来自总体的简单随机样本， Xˉ=1n∑i=1nXi与Sn2=1n∑i=1n(Xi-Xˉ)2 分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E(Xˉ),E(S2).

解答：

由X～B(10,3100), 得

E(X)=10×3100=310,D(X)=10×3100×97100=2911000,

所以

E(Xˉ)=E(X)=310,E(S2)=n-1nD(X)=291(n-1)1000n.

习题6

设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料

日售出台数k 2 天数fk 3 4 5 6 合计 20 30 10 25 15 100 求样本容量n,经验分布函数Fn(x). 解答： (1)样本容量n=100; (2)经验分布函数 Fn(x)={0,x<20.20,2≤x<30.50,3≤x<40.60,4≤x<50.85,5≤x<61,x≥6. 习题7 设总体X的分布函数为F(x), 概率密度为f(x),X1,X2,?,Xn为来自总体X的一个样本，记 X(1)=min1≤i≤n(Xi),X(n)=max1≤i≤n(Xi), 试求X(1)和X(n) 各自的分布函数和概率密度. 解答： 设X(1)的分布函数和概率密度分别为F1(x)和f1(x), X(n)的分布函数和概率密度分别为Fn(x)和fn(x), 则 Fn(X)=P{X(n)≤x}=P{X1≤x,?,X(n)≤x} =P{X1≤x}P{X2≤x}?P{Xn≤x}=[F(x)]n, fn(x)=F′n(x)=n[F(x)]n-1f(x), F1(x)=P{X(1)≤x}=1-P{X(1)>x}=1-P{X1>x,X2>x,?,Xn>x} =1-P{X1>x}P{X2>x}?P{Xn>x} =1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}]?[1-P{Xn≤x}] =1-[1-F(x)]n, F′1(x)=f1(x)=n[1-F(x)]n-1f(x). 习题8 设总体X服从指数分布e(λ),X1,X2是容量为2的样本，求X(1)，X(2)的概率密度. 解答： f(x)={λe-λx,x>00,其它, F(x)={1-e-λx,x>00,x≥0, X(2)的概率密度为

f(2)(x)=2F(x)f(x)={2λe-λx(1-e-λx),x>00,其它,

又X(1)的概率密度为

f(1)(x)=2[1-F(x)]f(x)={2λe-2λx,x>00,其它.

习题9

设电子元件的寿命时间X(单位：h)服从参数λ=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求：

(1)没有元件在800h之前失效的概率； (2)没有元件最后超过3000h的概率.

解答：

(1)总体X的概率密度f(x)={(0.0015)e-0.0015x,x>00,其它,

分布函数F(x)={1-e-0.0015x,x>00,其它,

{没有元件在800h前失效}={最小顺序统计量X(1)>800}, 有

P{X(1)>800}=[P{X>800}]6=[1-F(800)]6

=exp(-0.0015×800×6)=exp(-7.2)≈0.000747.

(2){没有元件最后超过3000h}={最大顺序统计量X(6)<3000}

P{X(6)<3000}=[P{X<3000}]6=[F(3000)]6 =[1-exp{-0.0015×3000}]6=[1-exp{-4.5}]6 ≈0.93517.

习题10

设总体X任意，期望为μ,方差为σ2, 若至少要以95%的概率保证∣Xˉ-μ∣<0.1σ, 问样本容量n应取多大？ 解答：

因当n很大时，Xˉ-N(μ,σ2n), 于是

P{∣Xˉ-μ∣<0.1σ}=P{μ-0.1σ

≈Φ(0.1σσ/n)-Φ(-0.1σσ/n)=2Φ(0.1n)-1≥0.95,

则Φ(0.1n)≥0.975, 查表得Φ(1.96)=0.975, 因Φ(x)非减，故0.1n≥1.96,n≥384.16, 故样本容量至少取385才能满足要求.

5.2 常用统计分布

习题1

对于给定的正数a(0

因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的，而χ2分布的密度大于等于零，所以(A)和(C)是对的.(B)是错的. 对于F分布，若F～F(n1,n2), 则

1-a=P{F>F1-a(n1,n2)}=P{1F<1F1-a(n1,n2)=1-P{1F>1F1-a(n1,n2)

由于1F～F(n2,n1), 所以

P{1F>1F1-a(n1,n2)=P{1F>Fa(n2,n1)=a,

即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故(D)也是对的. 习题2(1)

2.设总体X～N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (1)X1-X2X32+X42; 解答：

因为Xi～N(0,1),i=1,2,?,n, 所以：

X1-X2～N(0,2), X1-X22～N(0,1), X32+X42～χ2(2),

故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422～t(2). 习题2(2)

2.设总体X～N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (2)n-1X1X22+X32+?+Xn2; 解答：

因为Xi～N(0,1),∑i=2nXi2～χ2(n-1), 所以

n-1X1X22+X32+?+Xn2=X1∑i=2nXi2/(n-1)～t(n-1).

习题2(3)

2.设总体X～N(0,1),X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布? (3)(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2. 解答：

因为∑i=13Xi2～χ2(3),∑i=4nXi2～χ2(n-3), 所以：

(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/(n-3)～F(3,n-3).

习题3

=P{Y1-Y2-14015≤2.8≈Φ(2.8)=0.997.

习题7

从一正态总体中抽取容量为n=16的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率为0.01, 试求总体的标准差. 解答：

设总体X～N(μ,σ2), 样本均值为Xˉ,则有

Xˉ-μσ/n=Xˉ-μσ/4～N(0,1).

因为

P{∣Xˉ-μ∣>2}=P{∣Xˉ-μσ/4∣>8σ=2P{Z>8σ=2[1-Φ(8σ)]=0.01,

所以Φ(8σ)=0.995.

查标准正态分布表，得8σ=2.575, 从而σ=82.575=3.11.

习题8

设在总体N(μ,σ2)中抽取一容量为16的样本，这里μ,σ2均为未知.

(1)求P{S2/σ2≤2.041}, 其中S2为样本方差； (2)求D(S2).

解答：

(1)因为是正态总体，根据正态总体下的统计量分布可知

(n-1)S2σ2～χ2(n-1).

这里n=16, 于是

P{S2/σ2≤2.041}=P(15S2σ2≤15×2.041)

=1-P{15S2σ2>30.615(查χ2分布表可得) =1-0.01=0.99.

(2)因为(n-1)S2σ2～χ2(n-1), 又知

D((n-1)S2σ2)=2(n-1),

所以

D(S2)=σ4(n-1)2D((n-1)S2σ2)=σ4(n-1)2?2(n-1)=2n-1σ4=215σ4

(因为n=16).

习题9

设总体X～N(μ,16),X1,X2,?,X10为取自该总体的样本，已知P{S2>a}=0.1, 求常数a. 解答：

因为(n-1)S2σ2～χ2(n-1),n=10,σ=4, 所以

P{S2>a}=P{9S216>916a=0.1.

查自由度为9的χ2分布表得，916a=14.684, 所以a≈26.105. 习题10

设X1,X2,?,Xn和Y1,Y2,?,Yn分别取自正态总体

X～N(μ1,σ2)和Y～N(μ2,σ2)

且相互独立，问以下统计量服从什么分布？

(1)(n-1)(S12+S22)σ2; (2)n[(Xˉ-Yˉ)-(μ2-σ2)]2S12+S22.

解答：

(1)由(n-1)S12σ2～χ2(n-1), (n-1)S22σ2～χ2(n-1), 由χ2(n)的可加性

(n-1)(S12+S22)σ2～χ(2(n-1)).

(2)Xˉ-Yˉ～N(μ1-μ2,2σ2n), 标准化后(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)σ2n～N(0,1), 故有

[(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)]22σ2n～χ2(1),

又由(n-1)(S12+S22)σ2～χ2(2n-2), 注意F分布定义

[(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)]21n2σ2/1(n-1)(S12+S22)σ2/2(n-1)=n[(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)]2S1

习题11

分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差不小于第二个样本方差的两倍的概率. 解答：

用S12和S22分别表示两个样本方差，由定理知

F=S12/σ12S22/σ22=S12/20S22/35=1.75S12S22～F(8-1,10-1)=F(7,9).

又设事件A={S12≥2S22}, 下面求P{S12≥2S22}, 因

P{S12≥2S22}=P{S12S22≥2=P{S12/20S22/35≥2×3520=P{F≥3.5}.

查F分布表得到自由度为n1=7,n2=9的F分布上α分布点Fα(n1=7,n2=9)有如下数值：

F0.05(7,9)=3.29,F0.025(7,9)=4.20,

因而F0.05(7,9)=3.29<3.5

0.025≤P{S12≥2S22}≤0.05.

总习题解答

习题1

设总体X服从泊松分布.一个容量为10的样本值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8, 计算样本均值，样本方差和经验分布函数. 解答：

样本的频率分布为xˉ=4,s2=3.6. 经验分布函数为

F10(x)={0,x<11/10,1≤x<22/10,2≤x<34/10,3≤x<47/10,4≤x<58/10,5≤x<69/10,6≤x<71

,x≥8.

习题2

A厂生产的某产种电器的使用寿命服从指数分布，参数λ未知. 为此，抽查了n件电器，测量其使用寿命，试确定本问题的总体、样本及样本的分布. 解答：

总体是这种电器的使用寿命，其概率密度为

f(x)={λe-λx,x>00,x≤0(λ未知),

样本X1,X2,?,Xn是n件某种电器的使用寿命，抽到的n件电器的使用寿命是样本的一组观察值.样本X1,X2,?,Xn相互独立，来自同一总体X, 所以样本的联合密度为

f(x1,x2,?,xn)={λne-λ(x1+x2+?+xn),x1,x2,?,xn>00,其它.

习题3

设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布，求：

(1)来自X的简单随机样本X1,X2,?,Xn的密度f(x1,x2,?,xn); (2)Y=max{X1,X2,?,Xn}的密度fY(x); Z=min{X1,X2,?,Xn}的密度fZ(x). 解答：

(1)X的密度为f(x)={1b-a,x∈(a,b)0,其它, 由于X1,X2,?,Xn独立且与X同分布，所以有 f(x1,x2,?,xn)=∏i=1nf(xi)={1(b-a)n,a≤x1≤?≤xn≤b0,其它. (2)由题设X在[a,b]上服从均匀分布，其分布函数为 F(x)={0,xb,

由Y=max{X1,X2,?,Xn}及Z=min{X1,X2,?,Xn}分布函数的定义 FY(x)=[F(x)]n, FZ(x)=1-[1-F(x)]n, 于是有

fY(x)=nFn-1(x)f(x)=n(x-a)n-1(b-a)n,x∈[a,b], fZ(x)=n[1-Fn-1(x)]n-1?f(x)=n(b-x)n-1(b-a)n,x∈[a,b].

习题4

在天平上重复称一重量为a的物品，假设各次称量的结果相互独立，且服从正态分布N(a,0.2). 若以Xˉ表示n次称量结果的算术平均值，求使P{∣Xˉ-a∣<0.1}≥0.95成立的称量次数n的最小值. 解答：

因为Xˉ=1n∑i=1nXi～N(a,(0.2)2n), 所以

Xˉ-a0.2/n～N(0,1),

故

P{∣Xˉ-a∣<0.1}=P{∣Xˉ-a0.2/n∣<0.10.2/n=2Φ(n2)-1≥0.95,

即Φ(n2)≥0.975, 查正态分布表得n2≥1.96, 所以n≥15.37, 即n=16. 习题5

设总体X～N(20,3), 从X中抽取两个样本X1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,X15, 求概率P{∣

Xˉ-Yˉ∣>0.3}.

解答：

因为X1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,Y15独立同分布，所以

Xˉ～N(20,310), Yˉ～N(20,0.2),

于是Xˉ-Yˉ～N(0,0.5).

P{∣Xˉ-Yˉ∣>0.3}=P{∣Xˉ-Yˉ∣/0.5>0.3/0.5} =1-P{∣Xˉ-Yˉ∣/0.5≤0.3/0.5} =2[1-Φ(0.3/0.5)]=2[1-0.6628] =0.6744(查正态分布表). 习题6

设总体X～N(μ,σ2), 假如要以0.9606的概率保证偏差∣Xˉ-μ∣<0.1, 试问：当σ2=0.25时，样本容量n应取多大？ 解答：

P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=0.9606, 即

P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=P{∣Xˉ-μ0.25/n∣<0.10.25/n=2Φ(0.1n0.25)-1=0.9606,

?Φ(0.1n0.25)=0.9803?n5=2.06?n≈106.

P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=0.9606, 即

P{∣Xˉ-μ∣<0.1}=P{∣Xˉ-μ0.25/n∣<0.10.25/n.

习题7 设X1ˉ和X2ˉ分别为来自正态总体N(μ,σ2)的容量为n的两个简单随机样本

X11,X12,?,X1n和X21,X22,?,X2n的均值，试确定n,使两个子样的均值之差超过σ的概率小于0.05. 解答：

Xiˉ～N(μ,σ2n)(i=1,2), 且X1ˉ和X2ˉ相互独立，故有

X1ˉ-X2ˉ～N(0,2σ2n),

从而X1ˉ-X2ˉσ/2/n～N(0,1),

P(∣X1ˉ-X2ˉ∣>σ)=P{∣X1ˉ-X2ˉ∣σ2/n>n2=2Φ(-n2) =2[1-Φ(n2)]<0.05,

故Φ(n2)>0.975, 查正态分布表n2≥1.96, 所以n>7.68, 即取n=8.

习题8

设总体X～f(x)={∣x∣,∣x∣<10,其它，X1,X2,?,X50为取自X的一个样本，试求：

(1) Xˉ的数学期望与方差； (2) S2的数学期望； (3) P{∣Xˉ∣>0.02}.

解答：

μ=E(X)=∫-11x∣x∣dx=0,

σ2=D(X)=E(X2)-[E(X)]2=E(X2)=∫-11x2∣x∣dx=12. (1) Xˉ=1n∑i=1nXi(n=50)

?E(Xˉ)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=0,D(Xˉ)=σ2n=12n=1100; (2) E(S2)=[1n-1∑i=1n(Xi-Xˉ)2]=1n-1E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2]

=1n-1E(∑i=1nXi2-nXˉ2)=1n-1(∑i=1nD(X1)-nD(Xˉ)) =1n-1(n?12-n?12n)=12;

(3) P{∣Xˉ∣>0.02}=1-P{∣Xˉ∣≤0.02}

=1-P{∣Xˉ-μD(Xˉ)∣≤0.02-μD(Xˉ) =1-P≥{∣X1/10∣≤0.2=2[1-Φ(0.2)]=0.8414.

习题9

从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0.02, 求总体的标准差. 解答：

由于Xˉ～N(μ,σ2n), 故有

0.02=P{∣Xˉ-μ∣≥4}=P{∣Xˉ-μσ/n∣≥4σ/n ≈2(1-Φ(4σ/n))≈2(1-Φ(12.65σ)),

Φ(12.65σ)=0.99,

即有12.65σ=u0.01=2.33, 解得σ≈5.43.

习题10

设X1,?,Xn是取自总体X的样本，Xˉ,S2分别为样本均值与样本方差，假定μ=E(X),σ2=D(X)均存在，试求E(Xˉ),D(Xˉ),E(S2). 解答：

E(Xˉ)=1n∑i=1nE(Xi)=1n∑i=1nE(X)=μ, D(Xˉ)=1n2∑i=1nD(Xi)=1n2∑i=1nD(X)=σ2n,

E(S2)=E(1n-1(∑i=1nXi2-nXˉ2))=1n-1(∑i=1nE(Xi2)-nE(Xˉ2))

=1n-1(∑i=1nE(X2)-nE(Xˉ2))

=1n-1(∑i=1n(μ2+σ2)-n(μ2+(σ2n)))=σ2.

注：本题证明了对于任何存在均值μ与方差σ2的总体分布，均有

E(Xˉ)=μ,E(S2)=σ2.

习题11

设总体X服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0), 从总体中抽取简单随机样本X1,?,X2n(n≥2), 其样本均值为Xˉ=12n∑i=12nXi, 求统计量Y=∑i=1n(Xi+Xn+i-2Xˉ)2的数学期望. 解答：

注意到Xi+Xn+i相互独立，同分布N(2μ,2σ2), 则它们可认为是取自同一正态总体N(2μ,2σ2)的样本，其样本均值为

1n∑i=1n(Xi+Xn+i)=1n∑i=12nXi=2Xˉ.

如果记Zi=Xi+Xn+i,i=1,?,n, 即Zi(i=1,?,n)是取自N(2μ,2σ2)的样本，且

Yn-1=1n-1∑i=1n(Xi+Xn+i-2Xˉ)2=S2(Z),

则有E(S2(Z))=1n-1E(Y)=2σ2, 所以E(Y)=2(n-1)σ2. 习题12

设有k个正态总体Xi～N(μi,σ2), 从第i个总体中抽取容量为ni的样本Xi1,Xi2,?,Xini, 且各组样本间相互独立，记

Xiˉ=1n∑j=1niXij(i=1,2,?,k),n=n1+n2+?+nk,

求W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2的分布. 解答：

因为∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2σ2=(ni-1)Si2σ2～χ2(ni-1), 且(ni-1)Si2σ2(i=1,2,?,k)相互独立，故

W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2=∑i=1k(ni-1)Si2σ2～χ2(∑i=1k(ni-1)),

而∑i=1k(ni-1)=∑i=1kni-k=n-k, 故

W=1σ2∑i=1k∑j=1ni(Xij-Xiˉ)2～χ2(n-k).

习题13

已知X～t(n), 求证X2～F(1,n). 解答：

设X=U/Yn, 其中U～N(0,1),Y～χ2(n). 且U与Y相互独立，于是，

U2～χ2(1),

且U2与Y也相互独立，所以

X2=U2/(Yn).

根据F变量的构成模式知，X2应服从F(1,n)分布. 习题14

设X1,X2,?,X9是取自正态总体X～N(μ,σ2)的样本，且

Y1=16(X1+X2+?+X6), Y2=13(X7+X8+X9),

S2=12∑i=79(Xi-Y2)2,

求证Z=2(Y1-Y2)S～t(2). 解答： 易知

Y1=16(X1+X2+?+X6)～N(μ,σ26), Y2=13(X7+X8+?+X9)～N(μ,σ23),

且Y1与Y2独立，故Y1-Y2～N(0,σ22), 又

2S2σ2=∑i=79(Xi-Y2)2/σ2～χ2(2), Y1-Y2与2S2σ2

独立，从而

(Y1-Y2)/σ22S2σ2/2=2(Y1-Y2)S=Z～t(2).

习题15

设X1,?,Xn,Xn+1是取自正态总体X～N(μ,σ2)的样本，

Xnˉ=1n∑i=1nXi, Sn=1n-1∑i=1n(Xi-Xnˉ)2,

试确定统计量nn+1?Xn+1-XnˉSn的分布. 解答：

将统计量改写成下列形式：

nn+1?Xn+1-XnˉSn=(Xn+1-Xnˉ)/1+1nσ(n-1)Sn2σ2/(n-1) (*)

由于Xn+1与Xi(i=1,?,n)相互独立，

Xnˉ=1n∑i=1nXi～N(μ,σ2n), Xn+1～N(μ,σ2),

所以Xn+1-Xnˉ～N(0,(1+1n)σ2), 从而

(Xn+1-Xnˉ)/(1+1nσ)～N(0,1),

注意到Xnˉ与Sn2相互独立，Xn+1也与Sn2相互独立，且

(n-1)Sn2σ2～χ2(n-1),

故由(*)式即得

nn+1?Xn+1-XnˉSn～t(n-1).

习题16

假设X1,X2,?,X9是来自总体X～N(0,22)的简单随机样本，求系数a,b,c, 使

Q=a(X1+X2)2+b(X3+X4+X5)2+c(X6+X7+X8+X9)2

服从χ2分布，并求其自由度. 解答：

由于X1,X2,?,X9相互独立且取自总体X～N(0,22), 由正态分布的线性运算性质有

X1+X2～N(0,8), X3+X4+X5～N(0,12), X6+X7+X8+X9～N(0,16),

于是，由χ2=χ12+?+χk2有

Q=(X1+X2)28+(X3+X4+X5)212+(X6+X7+X8+X9)216～χ2(3),

故a=1/8,b=1/12,c=1/16, 自由度为3. 习题17(1)

17.从总体X～N(μ,σ2)中抽取容量为16的样本. 在下列情况下分别求Xˉ与μ之差的绝对值小于2的概率： (1)已知σ2=25; 解答：

由σ=5,U统计量(Xˉ-μ)/σn～N(0,1),

P{∣Xˉ-μ∣<2}=P{∣Xˉ-μ∣/σn<2/516 =P{∣U∣<1.6}=2Φ(1.6)-1=0.8904. 习题17(2)

17.从总体X～N(μ,σ2)中抽取容量为16的样本. 在下列情况下分别求Xˉ与μ之差的绝对值小于2的概率： (2)σ2未知，但s2=20.8. 解答：

由T统计量(Xˉ-μ)/Sn～t(n-1),

P{∣Xˉ-μ∣<2}=P{∣Xˉ-μ∣/Sn<2/20.816 =P{∣T∣<1.76}=1-2×0.05=0.90. 习题18(1)

18.设X1,X2,?,X10取自正态总体N(0,0.32), 试求 (1)P{∑i=110Xi2>1.44;

解答：

由∑i=1n(Xi-μ)2σ2～χ2(n)题中μ=0, 因此

P{∑i=110Xi2>1.44=P{∑i=110Xi2(0.3)2>1.44(0.3)2=P{χ2(10)>16}=0.1.

习题19

(1)设总体X具有方差σ12=400, 总体Y具有方差σ22=900, 两总体的均值相等，分别自这两个总体取容量为400的样本，设两样本独立，分别记样本均值为Xˉ,Y,ˉ 试利用切比雪夫不等式估计k, 使得P{∣Xˉ-Yˉ∣

(2)设在(1)中总体X和Y均为正态变量，求k.

解答：

(1)由题设

E(Xˉ-Yˉ)=E(Xˉ)-E(Yˉ)=0,

D(Xˉ-Yˉ)=D(Xˉ)+D(Yˉ)=400400+900400=134(由两样本的独立性). 由切比雪夫不等式

P{∣Xˉ-Yˉ∣

按题意应有1-1k2×134=0.99, 解得k=18.028.

(2)由题设X,Y均为正态变量，故有

Xˉ-Yˉ～N(0,134).

因此

P{∣Xˉ-Yˉ∣

Φ(k13/4)≥0.995=Φ(2.58),k13/4≥2.58,k≥4.651.

习题20

假设随机变量F服从分布F(5,10), 求λ的值使其满足P{F≥λ}=0.95. 解答：

一般书中给出的F分布表，给出P{F≥λ}=α的α值只有α=0.01,α=0.05等几个较小的值，而现α=0.95, 不能直接查F表得到λ, 但是注意到P{F≥λ}=0.95, 并且

P{F≤λ}=P{F-1≤λ-1}=0.05,

而F-1～F(10,5), 因此可查表得

1λ=F0.05(10,5)=4.74, λ≈0.21.

习题21

设X1,X2,?,Xn是总体X～N(μ,σ2)的一个样本，证明：

E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2]2=(n2-1)σ4.

解答： 因为

χ2=∑i=1n(Xi-Xˉ)2/σ2～χ2(n-1),E(χ2)=n-1, D(χ2)=2(n-1),

所以

E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2]2=σ4E[∑i=1n(Xi-Xˉ)2/σ2]2 =σ4E[χ2]2=σ4[D(χ2)+[E(χ2)]2] =σ4[2(n-1)+(n-1)2]=(n2-1)σ4.

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