几类递推数列通项公式的常见类型及解法

几类递推数列通项公式的常见类型及解法

几类递推数列通项公式的常见类型及解法

递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.

一、an 1 an d型 （d为常数）

形如an 1 an f(n)的递推数列求通项公式，将此类数列变形得an 1 an d，再由 等差数列的通项公式an a1 n 1 d可求得an.

例1 已知数列 an 中a1 2,an 1 an 3 n N ，求an的通项公式.

解：∵an 1 an 3 ∴an 1 an 3

∴ an 是以a1 2为首项，3为公差的等差数列. ∴an 2 n 1 3 3n 1为所求的通项公式.

二、an 1 an f(n)型

形如an 1 an f(n)的递推数列求通项公式，可用差分法. 例2 已知数列 an 中满足a1=1，an 1 an n，求an的通项公式. 解：作差an 1 an n，则

a2-a1= -1，a3-a2= -2，a4-a3= -3， ，an an 1 (n 1)，

将上面n-1个等式相加得 an a1 ( 1) ( 2) ( 3) +[ (n 1)]

n2 n 2

∴ an=为所求的通项公式.

2

三、an 1 q an型

形如an 1 q an的递推数列求通项公式，将此类数列变形得

an 1

q，再由等比数列的通项公式an a1 qn 1可求得an. an

例3 已知数列 an 中满足a1=1，an 1 2an，求an的通项公式. 解：∵an 1 2an ∴

an 1

2 an

∴ an 是以a1 1为首项，2为公比的等比数列.

几类递推数列通项公式的常见类型及解法

an 2n 1为所求的通项公式.

四、an 1 f(n) an型

形如an 1 f(n) an的递推数列求通项公式，可用累乘法.

例4 已知数列 an 中满足a1=1，an 1 2n an，求an的通项公式. 解：∵an 1 2 an ∴

n

an 1

2n. an

∴

anan 1an 2an 3aa 3 2 an 1an 2an 3an 2a2a1

n 1

=2 2

n 2

2

n 3

2 2=2

2

n(n 1)

2

n(n 1)

an

∴ 22

a1

n(n 1)2

∴an 2

为所求的通项公式.

五、an 1 can d型 （c，d为常数）

形如an 1 can d的递推数列求通项公式，可通过适当换元，转换成等比数列或等差数列求解.

例5 已知 an 中a1 3且an 2an 1 1求此数列的，通项公式.

解：an t 2(an 1 t)，则an 2an 1 t.与an 2an 1 1进行比较，可得t=1， 则

有an 1 2 an 1 1 .

设bn an 1， 则有bn 2bn 1.

∴ bn 是以b1 a1 1 2为首项，2为公比的等比数列

∴bn 2 2n 1 ，∴an bn 1 2 2n 1 1 2n 1

六、an 1 kan f(n)型 （k为常数）

形如an 1 kan f(n)的递推数列求通项公式，可对已知递推式适当变形，通过累加

或累积求得通项.

例6 已知数列 an 中，a1=解：将原递推式化作：3

n 1

222

，an an 1 n 1 （n≥2），求an. 933

an 2 3nan 1 2 ， 则 3n an 1 2 3n 1an 2 2

几类递推数列通项公式的常见类型及解法

242(3an 1 an 2) ∴数列{3an an 1}是以首项为，公比为39342n 1

的等比数列.∴3an an 1=×()， 又 3n 1 an 2 3nan 1 2

93

3an an 1

2(1 2n)

∴ an= . n 1

3

七、an 2 can 1 dan型 （c，d为常数）

形如an 2 can 1 dan的递推数列求通项公式，可通过适当换元，转换成等比数列或等差数列求解.

例7 已知数列 an ，a1=1，a2 2，an 1 3an 2an 1 0(n N，n≥2)，求an.

*

解：∵an 1 3an 2an 1 0 ∴an 1 an 2(an an 1)

∴{an 1 an}是以2为公比，a2－a1为首项的等比数列. ∴an 1 an 2n 1

∴an=(an an 1) (an 1 an 2) (a2 a1) a1 2n 2 2n 3 21 20 1

1 2n 1

1 2n 1 =

1 2

评注：an 2 can 1 dan可以变形为an 2 pan 1 q(an 1 pan)，则可从p+q=c，pq= -d，解得p，q，于是{ an 1 pan}是公比为q的等比数列，这样就可转化为类型六进行求解.

小结：等差数列或等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，也是高考考 查的热点.而主要考查学生分析问题和解决问题的能力，这个能力往往集中在“转化”的水平上.也就是说，把不同的递推公式，经过相应的变形手段，转化成比较熟悉的等差数列或等比数列进行求解.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/voej.html