2010高三数学高考第一轮复习向量复习教案：空间向量及其运算

第十三章 空间向量与立体几何

一、知识网络：

空间向量的加减运算 空间向量及其运算 空间向量的数乘运算 共线向量定理 共面向量定理 空间向量与立体几何 空间向量的数量积运算 空间向量基本定理 平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算 立体几何中的向量方法 向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量 用空间向量证平行与垂直问题 求空间角 求空间距离

二．考纲要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向

本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上

用心 爱心 专心

淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

第一课时 空间向量及其运算

一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。

（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2．向量运算和运算率 ??OB?OA?AB?a?b B C ??BA?OA?OB?a?b ?OP??a(??R) O A ????加法交换率：a?b?b?a. ??????加法结合率：(a?b)?c?a?(b?c). ????数乘分配率：?(a?b)??a??b. 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则

????这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b记作a∥b。

?? 注意：当我们说a、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行

??直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义。

??????共线向量定理：对空间任意两个向量a（a≠0）、b，a∥b的充要条件是存在实数?使b＝??a

??????（1）对于确定的?和a，b＝?a表示空间与a平行或共线，长度为 |?a|，当?>0时与a用心 爱心 专心

同向，当?<0时与a反向的所有向量。

?（3）若直线l∥a，A?l，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP的表达式。

?推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 OP?OA?ta ①

其中向量a叫做直线l的方向向量。

????AB?a在l上取，则①式可化为 OP?(1?t)OA?tOB. ②

1时，点P是线段AB的中点，则 OP?1(OA?OB). ③ 22①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

??4．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面?平行或a在?平面内，

???我们就说向量a平行于平面?，记作a∥?。注意：向量a∥?与直线a∥?的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

?????共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存

当t????在实数对x、y，使p?xa?yb.①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使

MP?xMA?yMB,④

或对空间任一定点O，有OP?OM?xMA?yMB.⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。 又∵MA?OA?OM,.MB?OB?OM,.代入⑤，整理得

OP?(1?x?y)OM?xOA?yOB. ⑥

由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

???5．空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使p?xa?yb?zc.

???说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集

????????合就是p|p?xa?yb?zc,x、y、z?R，这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我

??????们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的

??????用心 爱心 专心

?某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0可视为与任意非零向量共线。与任意两个

?非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0。

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组

x、y、z，使OP?xOA?yOB?zOC.

6．数量积

????（1）夹角：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作OA?a，OB?b，则

角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作?a，b?

??????????说明：⑴规定0≤?a，b?≤?,因而?a，b?=?b，a?；

???????⑵如果?a，b?=，则称a与b互相垂直，记作a⊥b；

2O ?aA ?a⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点注意图（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，

图（1）中∠AOB=?OA,OB?， 图（2）中∠AOB=???AO,OB?,

从而有??OA,OB?=?OA,?OB?=???OA,OB?.

B

（1） ?A a?a重合，

O ?a（2） B ?a（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

????????（3）向量的数量积：abcos?a,b?叫做向量a、b的数量积，记作a?b。

??????即a?b=abcos?a,b?，

?向量AB在e方向上的正射影:

B ?e A A? B? l ????a?e?|AB|cos?a,e??A?B?

（4）性质与运算率

⑴a?e?cos?a,e?。 ⑴(?a)?b??(a?b) ??????⑵a⊥b?a?b=0 ⑵a?b=b?a

⑶|a|?a?a. ⑶a?(b?c)?a?b?a?c

（三）．典例解析

题型1：空间向量的概念及性质

例1、有以下命题：①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共线；②O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点

2????O,A,B,C一定共面；③已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量a?b,a?b,c，也是空间

用心 爱心 专心

的一个基底。其中正确的命题是（ ）。 (A)①② (B)①③ (C)②③

(D)①②③

解析：对于①“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。 题型2：空间向量的基本运算

例2、如图：在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，MD1A1DMB1CBC1为

A1C1与B1D1的交点。若AB?a，AD?b，

AA1?c，则下列向量中与BM相等的向量是（ ）

(A)A11?a?b?c22

(B)11a?b?c22

(C)11?a?b?c22

11a?b?c (D)22解析：显然BM?BB1?B1M?111(AD?AB)?AA1??a?b?c；答案为A。

222点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处

理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。

?????????????例3、已知：a?3m?2n?4p?0,b?(x?1)m?8n?2yp,且m,n,p不共面.若a∥b,求

x,y的值.

???????????a?0,?b??a,即(x?1)m?8n?2yp?3?m?2?n?4?p. ?b解：a∥,,且

又?m,n,p不共面,????x?182y??,?x??13,y?8. 3?2?4点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD. 证明：记AB?a,AC?b,AA1?c,则

AB1?a?c,DB?AB?AD?a?11b,DC1?DC?CC1?b?c22∴DB?DC1?a?c?AB1,∴AB1,DB,DC1共面.

∵B1?平面C1BD, AB1//平面C1BD.

（四）强化巩固导练

1、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若AF?AD?xAB?yAA1，求x－y的值.

用心 爱心 专心

解：易求得x?y?,?x?y?0

在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1?a，A1D1?b，A1A?c，则2、

下列向量中与B1M相等的向量是 A．?1a＋1b＋c B．1a＋1b＋c

222212( A )。

A

B1 A D B C C1

C．1a?1b＋c

22

D．?1a?1b＋c

223、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧 棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大是 。 解析：不妨设棱长为2，选择基向量{BA,BB1,BC}，则AB1?BB1?BA,BM?BC?1BB1 2cos?AB1,BM??(BB1?BA)?(BC?22?51BB1)0?2?2?02??0，故填写90o。 22?5（五）、小结：1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥b?a·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果． 3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝a?b． 4．异面直线间的距

ab离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，n为与AB共线的向量，则｜AB｜＝|CD?n||n||PoP?n||n|.5．设平面α的一个法向量为n，点P是平面α

外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝.

（六）、作业布置：课本P32页A组中2、3、4 B组中3

课外练习：课本P39页A组中8 ；B组中3； 复资P130页变式训练中1、2、3、5、6 五、教学反思：

用心 爱心 专心

解：易求得x?y?,?x?y?0

在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1?a，A1D1?b，A1A?c，则2、

下列向量中与B1M相等的向量是 A．?1a＋1b＋c B．1a＋1b＋c

222212( A )。

A

B1 A D B C C1

C．1a?1b＋c

22

D．?1a?1b＋c

223、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧 棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大是 。 解析：不妨设棱长为2，选择基向量{BA,BB1,BC}，则AB1?BB1?BA,BM?BC?1BB1 2cos?AB1,BM??(BB1?BA)?(BC?22?51BB1)0?2?2?02??0，故填写90o。 22?5（五）、小结：1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥b?a·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果． 3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝a?b． 4．异面直线间的距

ab离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，n为与AB共线的向量，则｜AB｜＝|CD?n||n||PoP?n||n|.5．设平面α的一个法向量为n，点P是平面α

外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝.

（六）、作业布置：课本P32页A组中2、3、4 B组中3

课外练习：课本P39页A组中8 ；B组中3； 复资P130页变式训练中1、2、3、5、6 五、教学反思：

用心 爱心 专心

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