弦切角定理证明方法

篇一：弦切角定理

幻灯片1

幻灯片2

画一个圆O和一条切线L，

切点为A，AE是圆的一条弦，直线L上有一点D，如图

A

L

F

D

·

角EAD，角EAF

O

E

幻灯片3

新知：

弦切角定理：

弦切角等于它所夹弧所对的圆周角， 等于它所夹弧的度数的一半.

幻灯片4

?

?

?

?

?

?

幻灯片5

学案反馈：

? 优秀个人：李星辰 朱凡 耿絮媛

? 许艳平 王甜 葛蕊

学习目标 1、 理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，能运用它们解决有关问题。 2、 通过弦切角定理的证明，了解分情况证明数学命题的思想和方法。 3、 体会分类、转化的思想方法。 重点：弦切角的概念，弦切角定理及 其推论。 难点：弦切角定理的证明。

? 存在问题：合作2、3没有把弦切角定义及定理中的条件分析清楚。

?

幻灯片6

合作 · 探究 · 交流 · 纠错

(一）讨 论 目 标：

1、每位同学都能理解弦切角的定义、定理。

2.通过积极参与和积极探究,培养分析问题和解决问题的能力

(二)重点讨论的问题：

2，3

·

(三)讨论要求：

1.先组内 “ 强帮弱” 、最后集体讨论争取解决基本问 题， 为展示点评做好准备；同时用红色笔记住疑惑。

2.力争全部达成目标，且A层多拓展,B层注重总结，C层力争全部掌握。

在交流中融情在讨论中提升

幻灯片7

要求：通过你的展示让同学们思路更加清晰。

口头展示，面向同学，大胆、大方、

大声，富有激情；

黑板展示，上台迅速，书写认真快速

规范，步骤清晰简洁；

非展示同学浏览展示内容，边看边记，

认真思考，准备质疑或追问。

幻灯片8

1

知识小结:

1、弦切角定理；

2、定理的证明方法。

幻灯片9

篇二：弦切角定理导学案

弦切角定理导学案

【学习目标】：

1.理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，能运用它们解决有关问题。

2.通过弦切角定理的证明，了解分情况证明数学命题的思想和方法。 3.体会分类、转化的思想方法。

【学习重点】：弦切角的概念，弦切角定理及其推论。 【学习难点】：弦切角定理的运用。

【自主学习】：

1.弦切角的定义：__________________________. 2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的____________________. 3.下面各图形中的角是弦切角的是（填写正确的序号）. C

A

A

A

4.AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣弧的弦切角?BAC?_______.

5.如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，连接DB，

若?D?20?，则?DBE的大小为()

A. 20? B. 40?C. 60? D. 70?

【例题应用】：

例1如图，AC与△ABD的外接圆⊙O相切于A.(1)若弦切角∠BAC=30o ，则AB =_________,∠AOB=_________ , ∠ADB=_________;

(2)若已知⊙

O的半径为

3cm，AB长为

?cm，求弦切角∠BAC的度数。

例2.已知如图，?1??2， EF切圆于点D, 求证：EF∥BC。

例3.已知，如图PA,PB分别与圆O相切于点A,B,AC是圆O的直径， 求证：?APB?2?BAC.

【达标检测】

1.如图1，CD是⊙O的切线，T为切点，A是 上的一点，若∠TAB＝100°，

则∠BTD的度数为( ）

A．20°B．40°C．60° D．80°

（1）

（2）

2.如图2，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于点C，AD⊥EF于点D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为( )

A．2 B．3 C

． D．4

3.如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明： (1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.

【课堂小结】：

【作业】

课本P16.1 2

篇三：切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

以及与圆有关的比例线段

［学习目标］ 1.切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA长） 2.切线长定理

对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定⊙O中，AB、CD为弦，交PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：理 于P. △APC∽△DPB.

相交弦定理的推论

⊙O中，AB为直径，CD⊥ABPC＝PA·PB. 于P.

（特殊情况）

1

2

用相交弦定理.

切割线定理 ⊙O中，PT切⊙O于T，PT＝PA·PB 割线PB交⊙O于A

2

连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT

切割线定理推论

PB、PD为⊙O的两条割线，PA·PB＝PC·PD 交⊙O于A、C

过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理

（记忆的方法方法）

圆幂定理

⊙O中，割线PB交⊙O于P'C·P'D＝r－延长P'O交⊙O于M，延

2

A，CD为弦 OP' 长OP'交⊙O于N，用相交

22

PA·PB＝OP－r 弦定理证；过P作切线用r为⊙O的半径 切割线定理勾股定理证

2

8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

【典型例题】

例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

图1

解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理 ∴

，

，

2

例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

图2

解：由相交弦定理，得 AE·BE＝CE·DE

∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm， ， ∴

，

即 ∴CE＝3cm或CE＝4cm。 故应填3或4。

点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。

例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则解：∵∠P＝∠P ∠PAC＝∠B， ∴△PAC∽△PBA， ∴

，

∴。

又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得

∴

，

即 ， 故应填PC。

点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。

________。

3

例

4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。

图3

解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4 ∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm 由切割线定理，得∴∴

，

∴

∴PB＝4×6＝24（cm） ∴AB＝24－6＝18（cm）

设圆心O到AB距离为d cm， 由勾股定理，得

故应填。

例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：

；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

图4

点悟：要证证明：（1）连结BE

，即要证△CED∽△CBE。

4

（2）

。

又∵

，

∴厘米。

点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。

例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。

图5

求证： 证明：连结BD， ∵AE切⊙O于A， ∴∠EAD＝∠ABD

∵AE⊥AB，又AB∥CD， ∴AE⊥CD

∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB＝90°

∴∠E＝∠ADB＝90° ∴△ADE∽△BAD ∴

∴

∵CD∥AB

∴AD＝BC，∴

5

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