大学物理_第三版_(下)答案_赵近芳

大学物理习题及解答

习题八

8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?

解: 如题8-1图示

(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷

2

2

20)

33(

π4130cos π41

2

a q q a

q

'=

?εε

解得 q

q 3

3-

='

(2)与三角形边长无关．

题8-1图 题8-2图

8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示

??

???

===22

0)sin 2(π41sin cos θεθθl q F T mg T e

解得 θπεθtan 4sin 20mg l q =

8-3 根据点电荷场强公式2

04r

q E πε=

，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，

则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?

解:

2

0π4r r

q E ε=

仅对点电荷成立，当0→r

时，带电体不能再视为点电荷，再

用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为

+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f =2

02

4d q

πε,又有人说，因为

f

=qE ,

S q E 0ε=

，所以f =S q

02

ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少?

解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第

二种说法把合场强

S q

E 0ε=

看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对

的．正确解答应为一个板的电场为

S

q E 02ε=

，另一板受它的作用力

S

q

S

q q

f 02

022εε=

=，这是两板间相互作用的电场力．

8-5 一电偶极子的电矩为l

q p

=，场点到偶极子中心O

点的距离为r ,矢量r

与l

的夹角为θ,(见题8-5图)，且l r >>．试证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为

r E =302cos r p πεθ

, θE =3

04sin r p πεθ

证: 如题8-5所示，将p 分解为与r 平行的分量θsin p 和垂直于r 的分量θsin p ．

∵ l r >>

∴ 场点P 在r 方向场强分量

3

0π2cos r

p E r εθ=

垂直于r 方向，即θ方向场强分量

3

00π4sin r

p E εθ=

题8-5图 题8-6图

8-6 长l =15.0cm 的直导线AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C ·m -1 的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强．

解： 如题8-6图所示

(1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为

2

0)

(d π41

d x a x

E P -=

λε

2

22

)

(d π4d x a x

E E l

l P P -=

=

?

?-ελ

]

2

12

1[

π40

l a l

a +

-

-

=

ελ

)

4(π2

20l a l

-=

ελ

用15=l cm ，9

10

0.5-?=λ1

m C -?, 5.12=a cm 代入得 2

1074.6?=P E 1C

N -?

方向水平向右

(2)同理 2

2

2

0d d π41

d +=

x x

E Q λε 方向如题8-6图所示

由于对称性

?=l

Qx E 0

d ，即

Q E 只有y 分量，

∵

2

2

2

2

2

2

2

0d d

d d π41

d ++=

x x x

E Qy λε

2

2π4d d ελ?=

=

l

Qy

Qy E

E ?

-+22

2

3

22

2

)d (d l

l x x

2

2

2

d 4π2+=l l

ελ

以9100.5-?=λ1

cm C -?, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得

2

1096.14?==Qy Q E E 1

C N -?，方向沿y 轴正向

8-7 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如8-7图在圆上取?Rd dl =

题8-7图

?

λλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为

2

0π4d d R

R E ε?

λ=

方向沿半径向外

则

?

?ελ

?d sin π4sin d d 0R

E E x =

=

?

?ελ?πd cos π4)cos(d d 0R

E E y -=

-=

积分

R R

E x 000

π2d sin π4ελ

??ελ

π

=

=

?

d cos π400

=-=

?

??ελ

π

R

E y

∴

R E E x 0π2ελ

=

=，方向沿x 轴正向． 8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l ，总电量为q ．(1)求这正方形轴线上离中心为r 处的场强E ；(2)证明：在l r >>处，它相当于点电荷q 产生的场强E ．

解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷

4q

在P 点产生物强P E d 方向如图，大小为

()

4

π4cos cos d 2

2

21l

r

E P +

-=

εθθλ

∵

2

2cos 2

2

1l

r l

+

=

θ

12cos cos θθ-=

∴

2

4

π4d 2

2

2

2

l

r l

l

r

E P +

+

=

ελ

P E

d 在垂直于平面上的分量β

cos d d P E E =⊥

∴

4

2

4

π4d 2

2

2

2

2

2

l

r

r

l

r

l

r

l

E +

+

+

=

⊥ελ

题8-8图

由于对称性，P 点场强沿OP 方向，大小为

2)4(π44d 42

2220l r l r lr E E P ++=

?=⊥ελ

∵

l q 4=λ ∴

2)4(π422220l r l r qr

E P ++=ε 方向沿OP

8-9 (1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q 的电场中取半径为R 的圆平面．q 在该平面轴线上的A 点处，求：通过圆平面的电通量．(x R

arctan =α)

解: (1)由高斯定理

0d εq S E s ?=

? 立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量

06εq e =Φ． (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体

中心，则边长a 2的正方形上电通量06εq e =Φ

对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则

024εq e =Φ，

如果它包含q 所在顶点则0=Φe ．

如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图

题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图

(3)∵通过半径为R 的圆平面的电通量等于通过半径为2

2x R +的球冠面的电通量，球冠面积*

]

1)[(π22

2

2

2

x

R x

x R

S +-

+=

∴

)(π42

2

00

x R S

q +=

Φε02εq

=

[2

2

1x

R

x

+-

]

*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图

α

αα

?

?=

d sin π2r r S α

αα

?

?=0

2

d sin π2r

)cos 1(π22

α-=r

8-10 均匀带电球壳内半径6cm ，外半径10cm ，电荷体密度为2×5

10-C ·m -3

求

距球心5cm ，8cm ,12cm 各点的场强． 解: 高斯定理

0d ε∑?

=

?q

S E s

,

02

π4ε∑=

q

r

E

当5=r cm 时，0

=∑

q

,0

=E

8=r cm 时，∑

q 3π

4p =3

(r )3内r -

∴

()

2

02

3

π43

π

4r

r r

E ερ

内

-=

4

10

48.3?≈1

C

N -?， 方向沿半径向外．

12

=r cm 时,

3π

4∑

=ρ

q -3

(外r ）内3

r

∴

()

4

2

03

310

10.4π43

π

4?≈-=

r

r r

E ερ

内

外

1C

N -?

沿半径向外.

8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强．

解: 高斯定理

0d ε∑?=?q S E s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2= 则 rl E S E S π2d =??

对(1) 1R r < 0,0==∑E q

(2) 21R r R << λl q =∑

∴ r E 0π2ελ

= 沿径向向外

(3) 2R r > 0=∑

q ∴ 0

=

E 5

题8-12图 8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．

解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，

两面间， n E )(21

210σσε-=

1σ面外， n E )(21210σσε+-=

2σ面外，

n E )(21210σσε+= n ：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．

8-13 半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O 与O '点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．

解: 将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．

(1) ρ+球在O 点产生电场010=E ，

ρ- 球在O 点产生电场'd π4π34

30320OO r E ερ=

∴ O 点电场'd 33030OO r E ερ= ；

(2) ρ+在O '产生电场'd π4d 34

3

03

01OO E ερ

π='

ρ-球在O '产生电场002='E

∴ O ' 点电场

003ερ

=

'E 'OO

题8-13图(a) 题8-13图(b)

(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r

'，相对O 点位矢为r (如题8-13(b)图)

则

3ερr

E PO =

， 0

3ερr E O P '

-

=' ,

∴

003'3)(3ερερερd OO r r E E E O P PO P

=

='-=+='

∴腔内场强是均匀的．

8-14 一电偶极子由q =1.0×10-6C 的两个异号点电荷组成，两电荷距离

d=0.2cm ，把这电偶极子放在1.0×105N ·C -1 的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩． 解: ∵ 电偶极子

p

在外场

E 中受力矩

E p M ?=

∴ qlE pE M ==m ax 代入数字

4

5

3

6

m ax

10

0.210

0.110

210

0.1---?=?????=M m N ?

8-15 两点电荷1q =1.5×10-8C ，2q =3.0×10-8C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的

距离变为2r =25cm ，需作多少功?

解:

?

?

=

=

?=

2

2

2

1

212

021π4π4d d r r r r q q r

r q q r F A εε )

11(

2

1

r r -

6

10

55.6-?-=J

外力需作的功 6

1055.6-?-=-='A A J

题8-16图

8-16 如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB

间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功． 解: 如题8-16图示

0π41ε=O U 0

)(=-R q R q

π41ε=

O U )3(R

q R

q -

R

q

0π6ε-

=

∴

R q

q U U q A o C O 00π6)(ε=

-= 8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O 点处的场强和电势．

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消，取θd d R l =

则θλd d R q =产生O 点E

d 如图，由于对称性，O 点场强沿y 轴负方向

题8-17图

θ

εθ

λπ

π

cos π4d d 2

2

2

0??-==R

R E E y

R 0π4ελ

=

［)2

sin(π

-

2

sin

π

-］

R

0π2ελ-=

(2) AB 电荷在O 点产生电势，以0=∞U

?

?

=

=

=A

B

20

0012

ln π4π4d π4d R

R

x

x

x

x

U ελ

ελελ

同理CD 产生 2

ln π402

ελ

=

U

半圆环产生

034π4πελ

ελ

=

=

R

R U

∴

0032142ln π2ελ

ελ

+

=

++=U U U U O 8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m ·s -1的匀速率作圆周运动．求

带电直线上的线电荷密度．(电子质量0m =9.1×10-31kg ，电子电量e =1.60×10-19C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为λ，在电子轨道处场强

r

E 0π2ελ

=

电子受力大小

r

e eE F e 0π2ελ

=

=

∴ r

v

m

r

e 2

0π2=ελ

得

13

2

010

5.12π2-?==

e mv

ελ1

m C -? 8-19 空气可以承受的场强的最大值为E =30kV ·cm -1，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d =0.5cm ，求此电容器可承受的最高电压．

解: 平行板电容器内部近似为均匀电场

∴ 4

105.1d ?==E U V

8-20

根据场强E

与电势U 的关系U E -?=

，求下列电场的场强：(1)点电荷q 的

电场；(2)总电量为q ，半径为R 的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子ql p =的

l r >>处(见题8-20图)．

解: (1)点电荷 r

q U 0π4ε=

题 8-20 图

∴

02

00π4r r q r r U E ε=??-= 0r 为r

方向单位矢量．

(2)总电量q ，半径为R

的均匀带电圆环轴上一点电势

2

2

π4x

R

q

U +=

ε

∴

()

i

x

R qx

i x U E 2

/3220π4+=

??-=ε

(3)偶极子l q p

=在l r >>处的一点电势

2

00

π4cos ])cos 21(1)

cos 2(1[π4r

ql l

l r q U εθθθε=

+--

=

∴

3

0π2cos r

p r

U E r εθ

=

??-

=

3

0π4sin 1r

p U r E εθθ

θ=

??-

=

8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同． 证: 如题8-21图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次

为1σ，2σ，3σ，4σ

题8-21图

(1)则取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合柱面为高斯面时，有 0)(d 32=?+=??

S S E s σσ ∴ +2σ03=σ 说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；

(2)在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

22220

4

3

2

1

=-

-

-

εσ

εσεσ

εσ

又∵ +2σ03=σ

∴ 1σ4σ=

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．

8-22 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0 mm ．B ，C 都接地，如题8-22图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A 板的电势是多少?

解: 如题8-22图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ

题8-22图

(1)∵ AB AC U U =，即 ∴ AB AB AC AC E E d d =

∴ 2

d d 2

1

===AC

AB AB

AC E E σ

σ 且 1σ+2σS q A =

得 ,

32

S

q A =

σ

S

q A 321=

σ

而

7

110

23

2-?-=-

=-=A C q S q σC

C

10

17

2-?-=-=S q B σ

(2)

3 0

1

10

3.2

d

d?

=

=

=

AC

AC

AC

A

E

U

ε

σ

V

8-23 两个半径分别为1R和2R（1R＜2R)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：

(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；

(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；

*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电q

+；球壳内表面带电则为q

-,外表面带电为q

+，且均匀分布，其电势

题8-23图

??

∞∞

=

=

?

=

22

2

π

4

π

4

d

d

R R R

q

r

r

q

r

E

U

ε

ε

(2)外壳接地时，外表面电荷q

+入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q

-．所以球壳电势由内球q

+与内表面q

-产生：

π

4

π

4

2

2

=

-

=

R

q

R

q

U

ε

ε

(3)设此时内球壳带电量为q'；则外壳内表面带电量为q'

-，外壳外表面带电量为+

-q q'(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且

π

4

'

π

4

'

π

4

'

2

2

1

=

+

-

+

-

=

R

q

q

R

q

R

q

U

Aε

ε

ε

得

q

R

R

q

2

1

=

'

外球壳上电势

()

2

2

2

1

2

2

2

π

4

π

4

'

π

4

'

π

4

'

R

q

R

R

R

q

q

R

q

R

q

U

Bε

ε

ε

ε

-

=

+

-

+

-

=

8-24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为

d3

=处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量．

解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q'，则球接地时电势0

=

O

U

8-24图

由电势叠加原理有：

=O U 0

3π4π4'

00=+

R

q R

q εε

得 -='q 3q

8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为0F ．试求：

(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；

(2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．

解: 由题意知

2

02

0π4r q

F ε=

(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电

2q

q =

',

小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电

q

q 43=

''

∴ 此时小球1与小球2间相互作用力

02

2

018

3π483

π4"'2

F r

q

r

q q F =

-

=

εε

(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为32q

.

∴ 小球1、2间的作用力0

0294

π43232

2F r q

q F ==ε

*8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S ，相距为d ，分别维持电势A U =U ，B U =0不变．现把一块带有电量q 的导体薄片平行地放在两极板

正中间，片的面积也是S ，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．

解: 依次设A ,C ,B 从上到下的6个表面的面电荷密度分别为1σ，2σ，3σ，

4σ,5σ,6σ如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持U U AB =可得以下6个方程

题8-26图

?????????????++++==+=+-

==

+=+=

=

=+6

5

4

3

2

1

543206

54

3002

1001σ

σ

σ

σσ

σσσσσεσσσσεσσd

U

S

q S q d

U

U C S

S q B A

解得

S

q 26

1=

=σ

σ

S q d U

203

2

-=

-=εσ

σ

S q d

U 2054+

=

-=εσσ

所以CB 间电场

S q d

U E 00

4

22εεσ

+

=

=

)

2d (212d 02

S

q U E U U CB C ε+

=

==

注意：因为C 片带电，所以2

U U C ≠

，若C 片不带电，显然2

U U C =

8-27 在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r ε，金属球带电Q ．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势． 解: 利用有介质时的高斯定理∑?

=?q S D S

d

(1)介质内)(21R r R <<场强

3

03π4,π4r

r

Q E r r Q D r εε ==内;

介质外)(2R r <场强

3

03π4,π4r

r Q E r Qr D ε ==外

(2)介质外)(2R r >电势

r

Q E U 0r

π4r d ε=

?=

?

∞

外

介质内)(21R r R <<电势

r

d r d ?+

?=

?

?

∞

∞

r

r

E E U 外内

2

02

0π4)11(π4R Q R r q r

εεε+

-=

)

1

1(

π42

0R r

Q r r

-+

=

εεε

(3)金属球的电势

r

d r d 2

2

1

?+

?=

?

?

∞

R R R E E U 外内

?

?

∞

+

=

2

2

2

02

0π44πdr R R R

r r

Qdr r

Q εεε

)

1

1(

π42

1

0R R Q r r

-+

=

εεε

8-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r ε的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值． 解: 如题8-28图所示，充满电介质部分场强为2E ，真空部分场强为1E

，自由电

荷面密度分别为2σ与1σ

由∑?

=?0

d q S D

得

11σ=D ，22σ=D

而 101E D ε=,202E D r εε=

d

21U E E =

= ∴ r

D D εσσ

==

1

21

2

题8-28图 题8-29图

8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为1R 和2R (2R ＞1R )，且

l >>2R -1R ，两柱面之间充有介电常数ε的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异

号电荷Q 和-Q 时，求：

(1)在半径r 处(1R ＜r ＜2R ＝，厚度为dr ，长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量； (2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解: 取半径为r 的同轴圆柱面)(S 则 rlD

S D S π2d )

(=??

当)(21R r R <<时，Q q =∑ ∴ rl

Q D π2=

(1)电场能量密度

2

2

2

22

π82l

r Q

D

w εε

=

=

薄壳中

rl r Q rl r l r Q

w W εευπ4d d π2π8d d 2

2

22

2

=

=

=

(2)电介质中总电场能量

?

?=

==

2

1

1

22

2

ln

π4π4d d R R V

R R l

Q

rl

r Q W W εε

(3)电容：∵

C

Q

W 22

=

∴

)/ln(π22122

R R l

W Q

C ε=

=

*8-30 金属球壳A 和B 的中心相距为r ，A 和B 原来都不带电．现在A 的中心放

一点电荷1q ，在B 的中心放一点电荷2q ，如题8-30图所示．试求： (1) 1q 对2q 作用的库仑力，2q 有无加速度；

(2)去掉金属壳B ，求1q 作用在2q 上的库仑力，此时2q 有无加速度． 解: (1)1q 作用在2q 的库仑力仍满足库仑定律，即

2

210

π41r

q q F ε=

但2q 处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度． (2)去掉金属壳B

，1q 作用在2

q 上的库仑力仍是

2

210

π41r

q q F ε=

，但此时2q 受合

力不为零，有加速度．

题8-30图 题8-31图

8-31 如题8-31图所示，1C =0.25μF ，2C =0.15μF ，3C =0.20μF ．1C 上电压为50V ．求：AB U ． 解: 电容1C 上电量

111U C Q =

电容2C 与3C 并联3223C C C += 其上电荷123Q Q =

∴

35502523

1123

232

?=

=

=

C U C C Q U

86

)35

251(5021=+

=+=U U U

AB

V

8-32 1C 和2C 两电容器分别标明“200 pF 、500 V ”和“300 pF 、900 V ”，把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V 的电压，是否会击穿? 解: (1) 1C 与2C 串联后电容

120

300

2003002002

121=+?=

+=

'C C C C C pF

(2)串联后电压比

2

31

22

1=

=C C U

U ，而100021=+U U

∴ 6001=U V ,4002=U V 即电容1C 电压超过耐压值会击穿，然后2C 也击穿．

8-33 将两个电容器1C 和2C 充电到相等的电压U 以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求： (1)每个电容器的最终电荷； (2)电场能量的损失．

解: 如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为1q ,2q

题8-33图

则?????

?

?==-=-=+21

2

2112

1

21201021U

U U C U C q q U C U C q q q q

解得 (1) =1q U

C C C C C q U C C C C C 2

121222

1211)(,)

(+-=

+-

(2)电场能量损失

W

W W -=?0

)

22(

)2

12

1(2

2

2

1

2

1

2

22

1C q C q U C U

C +

-+=

2

2

1212U

C C C C +=

8-34 半径为1R =2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为2R =4.0cm 和3R =5.0cm ，当内球带电荷Q =3.0×10-8C 时，求： (1)整个电场储存的能量；

(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； (3)此电容器的电容值．

解: 如图，内球带电Q ，外球壳内表面带电Q -，外表面带电Q

题8-34图

(1)在1R r <和32R r R <<区域

0=E

在21R r R <<时

3

01π4r r

Q E ε =

3R r >时

3

02π4r r

Q E ε = ∴在21R r R <<区域

?

=

2

1

d π4)π4(

2

12

22

001R R r

r r

Q W εε

?

-

=

=

2

1

)

11(

π8π8d 2

1

2

2

02

R R R R Q

r

r Q εε

在3R r >区域

?

∞

==

3

2

302

2

20021

π8d π4)π4(

2

1R R Q

r r r Q W εεε

∴ 总能量

)

111(π832

1

2

21R R R Q

W W W +

-=

+=ε

4

10

82.1-?=J

(2)导体壳接地时，只有21R r R <<时3

0π4r

r

Q E ε

=

,02=W

∴

4

2

1

2

11001.1)11(

π8-?=-

=

=R R Q

W W ε J

(3)电容器电容

)

11/(

π422

1

02

R R Q

W

C -

==

ε

12

10

49.4-?=F

习题九

9-1 在同一磁感应线上，各点B

的数值是否都相等?为何不把作用于运动电荷的磁力方向定

义为磁感应强度B

的方向?

解: 在同一磁感应线上，各点B

的数值一般不相等．因为磁场作用于运动电荷的磁力方向

不仅与磁感应强度B

的方向有关，而且与电荷速度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁

场决定的，所以不把磁力方向定义为B

的方向．

题9-2图

9-2 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B

的大小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对?

解: (1)不可能变化，即磁场一定是均匀的．如图作闭合回路abcd 可证明21B B

= ∑?

==-=?0d 021I bc B da B l B abcd

μ

∴ 21B B

= (2)若存在电流，上述结论不对．如无限大均匀带电平面两侧之磁力线是平行直线，但B

方向相反，即21B B

≠.

9-3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场?

答: 不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路定理并不适用．

9-4 在载流长螺线管的情况下，我们导出其内部nI B 0μ=，外面B =0，所以在载流螺线管 外面环绕一周(见题9-4图)的环路积分

?

外B L

·d l =0 但从安培环路定理来看，环路L 中有电流I 穿过，环路积分应为

?

外B L

·d l =I 0μ 这是为什么?

解: 我们导出nl B 0μ=内,0=外B 有一个假设的前提，即每匝电流均垂直于螺线管轴线．这

时图中环路L 上就一定没有电流通过，即也是?∑==?L

I l B 0d 0μ

外，与

??=?=?L

l l B 0d 0d

外是不矛盾的．但这是导线横截面积为零，螺距为零的理想模型．实

际上以上假设并不真实存在，所以使得穿过L 的电流为I ，因此实际螺线管若是无限长时，

只是外B 的轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量r

I

B πμ20=⊥,r 为管外一点到螺线管轴

的距离．

题 9 - 4 图

9-5 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?如果它发 生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场?

解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，也可能存在互相垂直的电场和磁场，电子受的电场力与磁场力抵消所致．如果它发生偏转也不能肯定那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转．

9-6 已知磁感应强度0.2=B Wb ·m -2

的均匀磁场，方向沿x 轴正方向，如题9-6图所示．试求：(1)通过图中abcd 面的磁通量；(2)通过图中befc 面的磁通量；(3)通过图中aefd 面的磁通量．

解： 如题9-6图所示

题9-6图

(1)通过abcd 面积1S 的磁通是

24.04.03.00.211=??=?=S B ΦWb (2)通过befc 面积2S 的磁通量

022=?=S B Φ

(3)通过aefd 面积3S 的磁通量 24.05

45.03.02cos 5.03.0233=???=θ???=?=S B ΦWb (或曰24.0-Wb ) 题9-7图 9-7 如题9-7图所示，AB 、CD 为长直导线，C B 为圆心在O 点的一段圆弧形导线，其

半径为R ．若通以电流I ，求O 点的磁感应强度． 解：如题9-7图所示，O 点磁场由AB 、C B 、CD 三部分电流产生．其中 AB 产生 01=B

CD 产生R I B 1202μ=，方向垂直向里

CD 段产生 )231(2)60sin 90(sin 2

4003-πμ=-πμ=??R I R

I

B ，方向⊥向里 ∴)623

1(203210ππμ+-=++=R I B B B B ，方向⊥向里．

9-8 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线1L 和2L ，相距0.1m ，通有方向相反的电

流，1I =20A,2I =10A ，如题9-8图所示．A ，B 两点与导线在同一平面内．这两点与导线2L 的距离均为5.0cm ．试求A ，B 两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置．

题9-8图 解：如题9-8图所示,A B 方向垂直纸面向里

42010102.105.02)05.01.0(2-?=?+-=πμπμI I B A T

(2)设0=B 在2L 外侧距离2L 为r 处

则

02)

1.0(22

0=-

+r

I r I

πμπμ

解得 1.0=r m

题9-9图

9-9 如题9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A ，B 两点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O 的磁感应强度． 解： 如题9-9图所示，圆心O 点磁场由直电流∞A 和∞B 及两段圆弧上电流1I 与2I 所产生，但∞A 和∞B 在O 点产生的磁场为零。且

θ

-πθ=

=

21

22

1R R I I 电阻电阻.

1I 产生1B

方向⊥纸面向外

πθπμ2)

2(2101-=

R I B ，

2I 产生2B

方向⊥纸面向里

π

θ

μ22202R I B =

∴

1)

2(2121

=-=

θθπI I B B

有 0210=+=B B B

9-10 在一半径R =1.0cm 的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流I =5.0 A 通过，电流分布均匀.如题9-10图所示．试求圆柱轴线任一点P 处的磁感应强度．

题9-10图

解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P 的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取坐标如题9-10图所示，取宽为l d 的一无限长直电流l R

I I d d π=，

在轴上P 点产生B

d 与R 垂直，大小为

R

I R R R I

R I

B 200

02d 2d 2d d πθμ=πθ

πμ=

πμ=

R

I B B x 20

2d cos cos d d πθ

θμ=θ= R I B B y 2

2d sin )2cos(d d πθθμ-=θ+π

= ∴ 5

2

02

02

2

2

10

37.6)]2

sin(2

[sin

22d cos -π

π-?=πμ=

π-

-ππμ=

πθθμ=

?

R

I R

I R

I B x T

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