二次根式提高培优

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】 1.二次根式的定义： 形如才有意义．

2. (a)2?aa(?0)．

的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，

a(a?0)? 3. 公式a2?与(a)2?aa(?0)的区别与联系. |a|???a(a?0)?（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2）(a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和(a)2的运算结果都是非负的． 精典考题

类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围） 1、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A．45 B．3?? C．14 D．

1 22、二次根式

2x?1有意义时的x的取值范围是 。 2x?43、已知： y?x?2??x?2?1，则(x?y)2001= 。

类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简） 4、代数式3?4?x2的最大值是 。

5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简a?1?(a?2)2???。 6、把?43的根号外的因式移到根号内得 ；5?26的平方根是 。 7、化简：x?

8、若y=x?5+5?x+2009，则x+y=

（图1）

1? ；(3?7)2?2(7?5)2?(2?7)2? 。 x

9、若x、y都是实数，且y=2x?3?3?2x?4，求xy的值。

10、当a取什么值时，代数式2a?1?1取值最小，并求出这个最小值。

11、若x?y?y2?4y?4?0，求xy的值。

12、若│1995-a│+a?2000=a，求a-1995的值．

2

213、 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+(x?3)+x2?10x?25。

已知a是5整数部分，b是 5的小数部分，求a?1的值。 b?2

若3的整数部分是a，小数部分是b，则3a?b? 。 若17的整数部分为x，小数部分为y，求

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：a(a?0)是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. (a)2?aa(?0)．

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a?(a)2(a?0)

x2?1y的值.

a(a?0)? 3. a2? |a|???a(a?0)? 注意：（1）字母不一定是正数．

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．

a(a?0)? 4. 公式a2?与(a|a|??)2?aa(?0)的区别与联系

?a(a?0)? （1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2）(a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和(a)2的运算结果都是非负的．

【典型例题】

a?2?b?3??c?4??0，a?b?c?【例4】若则 ．

举一反三：

1、若m?3?(n?1)2?0，则m?n的值为 。

2、已知x,y为实数，且x?1?3?y?2??0，则x?y的值为（ ）

22

A．3 B．– 3 C．1

2

D．– 1

3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x－4｜＋＿＿＿＿＿＿.

4、若

y2?5y?6＝0，则第三边长为

2005a?b?1与a?2b?4互为相反数，则?a?b??_____________。

（公式(a)2?a(a?0)的运用）

【例5】 化简：a?1?(a?3)的结果为（ ）

A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4 举一反三：

1、 在实数范围内分解因式:

2x2?3= ；m4?4m2?4= x4?9?__________,x2?22x?2?__________

2、 化简：3?31?3

3、 已知直角三角形的两直角边分别为2和5，则斜边长为

?a(a?0) （公式a2?a??的应用）

?a(a?0)???【例6】已知x?2,则化简x2?4x?4的结果是

A、x?2 B、x?2

举一反三：

C、?x?2

D、2?x

21、根式(?3)的值是( )

A．-3 B．3或-3 C．3 D．9

2a2、已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ）

A．－a B．a C．－3a D．3a

3、若2?a?3，则?2?a?2??a?3?2等于（ ）

A. 5?2a B. 1?2a C. 2a?5 D. 2a?1 4、若a－3＜0，则化简

a2?6a?9?4?a的结果是（ ）

(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－2a

5、化简4x?4x?1?2?2x?3得（ ）

?2（A） 2 （B）?4x?4 （C）－2 （D）4x?4

a2?2a?1a2?a6、当a＜l且a≠0时，化简＝ ．

114?(a?)2?4?(a?)2aa 7、已知a?0，化简求值：

【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│

2+(a?b) 的结果等于（ ）

A．－2b B．2b C．－2a D．2a

ba2o举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：a?1?(a?2)?______．

【例8】化简1?x?a ?1 2 0 1x2?8x?16的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）

（A）x为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1

22举一反三：若代数式(2?a)?(a?4)的值是常数2，则a的取值范围是（ ）

Ａ．a≥4

Ｂ．a≤2 Ｃ．2≤a≤4 Ｄ．a?2或a?4

【例9】如果a?a2?2a?1?1，那么a的取值范围是（ ）

A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1 举一反三：

1、如果a?a2?6a?9?3成立，那么实数a的取值范围是（ ）

A.a?0B.a?3;C.a??3;D.a?3

22、若(x?3)?x?3?0，则x的取值范围是（ ）

（A）x?3 （B）x?3 （C）x?3 （D）x?3 【例10】化简二次根式a?a?2的结果是 2a

（A）?a?2 (B)??a?2 (C)a?2 (D)?a?2

1、把二次根式a? A. ?a

1化简，正确的结果是（ ） aB. ??a

C. ?a

D. a

2、把根号外的因式移到根号内：当b＞0时，

bxx＝ ；(a?1)1＝ 。 1?a知识点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】 1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；?分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】

【例11】在根式1) a?b;2)22x;3)x2?xy;4)27abc，最简二次根式是（ ） 5 A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。 举一反三： 1、

145a,30,2,40b2,54,17(a2?b2)2中的最简二次根式

是 。

2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） ．．

A．7

B．3

C．1

2

D．2 3、下列根式不是最简二次根式的是( )

A.a2?1 B.2x?1 C.2b D.0.1y 44、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？

(1)

3a2b (2)

3ab2 (3)

x2?y2 (4)

a?b(a?b) (5)5

(6)

8xy

yx

5、把下列各式化为最简二次根式：

(1)12 (2)45ab (3)

【例12】下列根式中能与3是合并的是( )

2x2A.8 B. 27 C.25 D. 举一反三：

1 21、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A、3和18 B、3和1 C、a2b和ab2 D、a?1和a?1 32；④27中，能与3合并的二次根式32、在二次根式：①12；② 23；③ 是 。

3、如果最简二次根式a=__________.

3a?8与17?2a能够合并为一个二次根式, 则

知识点四：二次根式计算——分母有理化

【知识要点】 1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：利用a?a?a来确定，如：a与a，a?b与a?b，a?b与

a?b等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a?b与a?b，a?b与a?b，ax?by与ax?by分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】

【例13】 把下列各式分母有理化 （1）

【例14】把下列各式分母有理化

11113?43 （2） （3） （4）? 212550483782a2（1） （2） （3）x3 （4）?23xba?b8xy2x

【例15】把下列各式分母有理化：

（1）举一反三： 1、已知x?b5 a525?333 （2） （3） 2?15?332?23x?y2?32?3，y?，求下列各式的值：（1）（2）x2?3xy?y2

x?y2?32?32、把下列各式分母有理化：

a?ba?2?a?2b?a2?b2（1） （3） ?a?b? （2）22a?ba?2?a?2b?a?b

小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①③

【知识要点】

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 ab=a·b（a≥0，b≥0） 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 a·b＝ab．（a≥0，b≥0） 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

与

与

； ②

； ④

与

与

； ．

知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除

aa=（a≥0，b>0） bb4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

aa=（a≥0，b>0） bb注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的

左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

【典型例题】 【例16】化简

22(1)9?16 (2)16?81 (3) 5?215 (4)9xy(x?0,y?0)

(5) 1×6?23 2【例17】计算（1） （2） （3） （4）

（5）

（6） （7） （8）

【例18】化简： (1)

3 (2)6464b2 (a?0,b?0) (3)29a9x (x?0,y?0) 264y(4)5x (x?0,y?0) 2169y31111264?? (2) (3) （4） 2841638【例19】计算：(1)

xx?x?2成立的的x的取值范围是（ ） 【例20】能使等式x?2A、x?2 B、x?0 C、0?x?2 D、无解

知识点六：二次根式计算——二次根式的加减

【知识要点】

需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． 【典型例题】

【例20】计算（1）?32?11； 75?20.5?3227（2）?10?????543?12?20???245； ?????53??457?（3）32?（4）?

1111； ?75?3?48532132?1??3?63?27???28?48?147?

347?2??2?a?ba?b4x2?y2【例21】 （1）3x?y? （2） ??a?bx?y4x?4ya?b

?a11?13aa32?4b??（3）27a?a?3a?108a （4）a?2?bb?? a3a34??

（5）81a?5aa?

知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】

334a5 （6）xy?axy??yxyx??2 xy

1、确定运算顺序； 2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式； 4、大多数分母有理化要及时；

5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；

【典型习题】 1、

2233b 2、 (212 +4ab5?(?ab)?32 b2a1

－348 ) 8

13、

31y2xy·（-4）÷6x2x2y 4、(72?22?3)?3?76

5、(23?32?6)(23?32?6） 6、(3?25)2?(4?5)(4?5) 7、(26?5)10(26?5)11 8、m9m?(10m13m1?2m2)(m?0) 25m【例21】 1．已知：

，求的值．

2．已知，求的值。

3．已知：，求的值．

4．求的值．

5．已知、是实数，且

知识点八：根式比较大小

，求的值．

【知识要点】

1、根式变形法 当a?0,b?0时，①如果a?b，则a?b；②如果a?b，则a?b。 2、平方法 当a?0,b?0时，①如果a2?b2，则a?b；②如果a2?b2，则a?b。

3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法

6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①a?b?0?a?b；②

a?b?0?a?b

a8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①b【典型例题】

【例22】 比较35与53的大小。（用两种方法解答） 【例23】比较?1?a?ba； ②b?1?a?b

21与的大小。 3?12?1【例24】比较15?14与14?13的大小。 【例25】比较7?6与6?5的大小。 【例26】比较7?3与87?3的大小

二次根式典型习题集

一、概念

（一）二次根式

下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、、x（x>0）、0、42、-2、1x1、x?y（x≥0，y?≥0）． x?y（二）最简二次根式 1．把二次根式x（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）． y A．xyx（y>0） B．xy（y>0） C．（y>0） D．以上都不对

yy4222．化简x?xy=_________．（x≥0）

3．a?a?1化简二次根式号后的结果是_________． a2

4. 已知xy?0，化简二次根式x（三）同类二次根式

?y的正确结果为_________． x22；④27中，与3是同类二次根式的是（ ）． 31．以下二次根式：①12；②22；③ A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 2．在8、21219a、125、75a、3a3、30.2、-2中，与3a是同类二33a8次根式的有______

3．若最简根式3a?b4a?3b与根式2ab2?b3?6b2是同类二次根式，求a、b的值． 4.若最简二次根式223m2?2与n?14m2?10是同类二次根式，求m、n的值． 3（四） “分母有理化”与“有理化因式” 1.2+3的有理化因式是________； x-y的有理化因式是_________．

-x?1-x?1的有理化因式是_______． 2.把下列各式的分母有理化 （1）11233?42； （2）； （3）； （4）． 5?11?236?233?42二、二次根式有意义的条件：

1．（1）当x是多少时，3x?1在实数范围内有意义？ （2）当x是多少时， 2x?3+（3）当x是多少时，

1在实数范围内有意义？ x?12x?32

+x在实数范围内有意义？ x（4）当__________时，x?2?1?2x有意义。

22. 使式子?(x?5)有意义的未知数x有（ ）个．

A．0 B．1 C．2 D．无数 3．已知y=2?x+x?2+5，求4．若3?x+x的值． yx?3有意义，则x?2=_______． 15. 若?m?有意义，则m的取值范围是 。

m?16．要是下列式子有意义求字母的取值范围 （1） 3?x(2) (3) 2x?5

(5) (6) x?2?2?xx2?2x?1 三、二次根式的非负数性 1．若a?1+b?1=0，求a

2004

11?xx(4) x?3?8?x+b

2004

的值．

2．已知x?y?1+x?3=0，求x的

y

3.若x?y?y2?4y?4?0，求xy的值。

?aa≥0 ?四、a2?a?? 的应用

??aa＜0 ?21． a≥0时，a2、(?a)、-a2，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．

22 A．a2=(?a)≥-a2 B．a2>(?a)>-a2 22 C．a2<(?a)<-a2 D．-a2>a2=(?a) 2．先化简再求值：当a=9时，求a+1?2a?a2的值，甲乙两人的解答如下：

2 甲的解答为：原式=a+(1?a)=a+（1-a）=1；

2乙的解答为：原式=a+(1?a)=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 3．若│1995-a│+a?2000=a，求a-1995的值．

2

（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值）

24. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+(x?3)+x2?10x?25。

1的结果是（ ）． a A．?a B．a C．-?a D．-a 5．化简a?1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． a?1 A．a?1 B．1?a C．-a?1 D．-1?a 6．把（a-1）?五、求值问题:

1.当x=15+7,y=15-7,求x-xy+y的值

2

2

2．已知a=3+22，b=3-22，则ab-ab=_________．

2

2

3.已知a=3-1,求a+2a-a的值

3

2

4．已知4x+y-4x-6y+10=0，求（

22

2x9x+y23y1x2）-（x-5x）的值． 3xxy5．已知5≈2.236，求（80-16．先化简，再求值． （6x

41445）的值．）-（3+（结果精确到0.01）

5553y3xxy3）-（4x++36xy），其中x=，y=27．

2xyy

1x?1?x2?xx?1?x2?x7．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）

222?1x?1?x?xx?1?x?x

8. 已知x?3x?1?0，求x?

六、其他

1．等式x?1?x?1?221?2的值。 2xx2?1成立的条件是（ ）

A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1

x2?5x?49?x9?x2.已知，且x为偶数，求（1+x）的值． ?2x?1x?6x?63．计算（x+x?1）（x-x?1）的值是（ ）．

A．2 B．3 C．4 D．1

24.如果 (x?2)?x?2, 则x的取值范围是 。

(x?7)2??1则x的取值范围是 。 5.如果 , x?7

a2?(a)2则a的取值范围是 。 6.若 ,7.设a=3?2，b=2?3，c=5?2，则a、b、c的大小关系是 。 8.若243n是一个整数，则整数n的最小值是 。 9.已知11?1的整数部分为a，小数部分为b，试求七、计算

?11?a??b?1?的值

nnn1n33m2?3n21.·（-）÷（m>0，n>0） 2.-3÷33322mm2mmm2a3m?na2（）× （a>0） 2a2m?n

a?ba?b?2ab1??1??3. ?a? 4. ??a????a?ba?ba??a??

5.

22xy?yxxy?yx?yx?xyyx?xy a?2ab?b?ab?a????6. ??a?abb?ab?b?ab a?b??

八、应用

1．铁路基的横截面是梯形ABCD，如图，已知AD=BC，CD=8cm，路基的高度DE=6cm，斜坡BC的坡比为1：3，求路基下底宽AB的长度

2．如图，扶梯AB的坡比为4；3，滑梯CD坡比为1：2，AE=6cm，BC=5cm，一男孩从扶梯A走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下到D，共经过多少路程？

3．如图，方格纸中小正方形的边长为1，?ABC是格点三角形，求：（1）?ABC的面积（2）?ABC的周长；（3）点C到AB的距离。

二次根式新题型

近几年的中考数学试题围绕二次根式出现了许多重素质、考能力的新颖题型，归纳起来，主要有以下几种。

一. 开放求值题

例1. 请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值。

x?11?2 x?1x?xx?11?

2x?1x?x解：原式?

x?1?x(x?1)x?1x(x?1) ?x?1?x?当x?2时，原式?2； 3。

当x?3时，原式?评注：将一道常规的条件求值题，稍加改编，成为开放求值题，其意境截然不同，可贵之处不但在于从更高层次上考查了学生缜密思考（改编的同时，暗设陷阱x?）、灵活1运用知识的能力，而且体现了人文关爱，利于激发兴趣，缓解考试压力。

二. 计算器操作探索题

例2. 用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，111，，，?，23191。如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选___________个数。 20解析：由于各数据的分母依次增大，故这组数据依次减小，根据题意可选前面数值较大的数据求和。由计算器可求得：

1111。 1?????3.2?32345?至少要选5个数，故填5。

例3. 借助于计算器可以求得

22222243?，443?3，4443?33，

224444?3333，?，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想

2244?4?33?3?????????__________。 2003个2003个?3?5，44?33?55解析：4，

2222

4442?3332?555，44442?33332?5555

观察以上各式，易发现等式左端被开方数各加数的幂底数位数与等式右端的数的位数相同，于是可猜想：

2244?4?33?3?55?5 ???????????2003个2003个2003个评注：养成正确使用计算器的习惯，能熟练地运用计算器去完成复杂的运算或探究性问题，是国家数学课程标准和数学大纲的要求。从上述两例中可看到，由于使用了计算器，避免了繁冗、重复的运算过程，大大提高了解题效率，计算器进课堂、进考场是时代的要求，学习的需要，应引起高度重视。

三. 读图计算题

例4. 在第六册课本的阅读材料中，介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽，它的主体图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的。设其中的第一个直角三角形，请你先把A?AA?AA?AA???AA?1OA1122334891A2是等腰直角三角形，且O图中其他8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积。

解析：观察图形可知，待求线段既是前一个直角三角形的斜边，又是后一个直角三角形的直角边，因而利用勾股定理可求出各线段的长依次为2、、32、、5、6、7?3?2?5?6?7?22?3?727022、3，它们的积为2。

评注：解这类题的关键是结合题设读懂图，从图中获取信息，借助数形结合，就能迅

速、正确地找到解题途径。

四. 阅读判断题

例5. 化简

3时，甲的解法是：

5?235?23； ??5?25?25?25?2??????乙的解法是：

5?25?23 ??5?25?25?2以下判断正确的是（ ） A. 甲的解法正确，乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 C. 甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确

解析：正确答案应为C。甲采用分母有理化的方法，而乙采用分解约分法，虽然两人的思路不同，解法各异，但最后殊途同归。

????例6. 对于题目“化简并求值：不同，

甲的解答是：

1112??a?2a?，其中”，甲、乙两人的解答a5a2111?1??2?a2?2????a??a?aaa

11249???a??a?aaa5乙的解答是：

2

1111???2?a2?2???a???aaa? a111??a??a?aa5谁的解答是错误的？为什么？

211?1?解析：解答此题的关键是对于式子??a?脱去根号后，得到?a，还是a?。

?a?aa这就必须要明确

21?a是正还是负。 a11?a?，?a??05a1?1???a????a?a?a故乙的解答是错误的。

2

评注：这两道题格调清新，考查面宽广，从分母有理化、二次根式的性质、二次根式

的化简等基础知识、基本技能到思维的灵活性、深刻性、批判性等方面都进行了考查。解答时要慎重思考，仔细甄别。这类题有利于学生养成对待问题认真负责、一丝不苟的态度。

六. 归纳、猜想题 例7. 观察下列各式：

2?3?2?33?882?233273?388

46444???4，??你能得出怎样的结论？并给出证明。

151515解析：仔细观察，不难发现每个算式左边根号内的整数、分数的分子与右边根号外的

整数、根号内的分数的分子都相同，而分母比分子的平方少1，故得结论为（ ）

3nnnn?2?2?n2n?1n?1n?1 (n?1的整数)

3nnn2?2证明：? n?1n?1n3?n?n ?n2?1???nn(n2?1)?nn2?1n?nn2?1n?nn2?1

n?n2?1评注：归纳、猜想题，常常是从简单情形入手，通过对若干特例的观察、分析，从中类比、归纳，发现其中的规律，进而猜想出具有一般规律的结论，并对结论的正确性给予验证或证明。

七. 阅读理解题

例8. 观察下列分母有理化的运算：

11??1?2，??2?3，1?22?31??3?4，??，3?4

1??2001?2002，2001?20021??2002?2003，2002?2003利用上面的规律计算：

11111????????????1?22?33?42001?20022002?2003003?1?2??__________。

解析：要计算的式子有两个因式，第一个因式可根据题中给出的规律求得

?1?2?2?3?3?4???2002?2002?2003??1?2003 ???原式??1?20031?2003?2002

????

例9. 阅读下面的问题及解答： 问题：化简

?2?3?5???22?3?5???22?3?5

?2??2?3?5

解：设x ?2?3，y?2?322??2则x? y?10，于是2222原式? (x?25x?5)?(x?25x?5)?(y?25y?5)?(y?25y?5)22 ?2(x?y)?20?40从上面的解答可以看出，一个很复杂的根式，化简的结果却是个简单的有理数，做完

这道习题后，现在请你当一回老师，编四个类似的二次根式的化简题，要求满足以下两个条件：

（1）题目是由2（或是其中两个）经过各种运算组成的（每，3，5这三个无理数题要包含加、减、乘、除、乘方几种运算中的一种或几种运算，如

?2?2?1?3??3?等，在你编出的四道题中，不能漏掉了五种运算中的某一种运算）。

（2）化简的结果是一个有理数。

解析：阅读材料介绍了解决本题的一个方法——构造共轭因式。因此，利用共轭因式的积、商、平方或结合其他手段来尝试编拟符合条件的二次根式化简题，如：

（1）

?2?2?3； ?5??5?（2）

?5?3??2?5?3?2?16；

2（3）

?2?21； ?3?·?3??2（4）

3?23?2??10；

3?23?2

2?3?5????（5）； ?1?2?3?5??2?3?5?22（6）

? 2?3??52?3?5?3?5?????2； ?3?5?2?3?5??2355（7） ??2?53?23?2??2??2?? ?53?25?3?2?210?0评注：阅读理解题取材广泛，是考查学生基础知识及其综合素质的热门题型。它一般

由两部分组成：一是阅读材料，二是考查内容。根据阅读内容、考查目标的不同，又可分为许多题型。例8、例9都属于知识性阅读题，即通过阅读给出的材料，理解并掌握方法，进而应用方法解答题中设置的问题。这类题对学生的阅读理解能力、自学能力、创新应用能力等都有较高的要求。

过关测试

一、选择题：

???? 1. 若在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）。

A. m≥2 B. m>2 C. m≤2 D. m<2

2. 若=3，则x的取值范围是（ ）。

A. x=0 B. －1≤x≤2 C. x≥2 D. x≤－1

3. 二次根式、、的大小关系是（ ）。

A. << B. <<

C. << D.

4. 下列式子中，正确的是（ ）。

A. （

－3）（

+3）=2 B. 5÷×

<=5

<

C. 2×（=2－1 D. （2－）（2+）=－2－

2

5. 使等式成立的实数a的取值范围是（ ）。

A. a≠3 B. a≥，且a≠3 C. a>3 D. a≥

6. 下列各组二次根式（a>0）中，属于同类二次根式的是（ ）。

A. C.

7. 当0

A.

的结果是（ ）。

8. 甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：

甲：

==；

乙：= 其中，（ ）。

A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 9 ．下列运算正确的是（ ）

?1。

A．?27?3

3?1?B．(π?3.14)?1 C．????2 D．9??3

?2?010． 8化简的结果是( )

Ａ．2 Ｂ．22 C．?22 D．?22 11．估计8?

1?3的运算结果应在 2

B．x?2

B．2到3之间 D．4到5之间 C．x?2

A．1到2之间 C．3到4之间 A． x?2 二、填空题：

12.若使二次根式x?2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．．．

D．x?2

1. 已知a、b在数轴上的位置如图所示，______。

－│b－a│的化简结果是

2 若x≠0，y≠0，则

3. 已知m是小于10的正整数，且4. 如果xy=

，x－y=5

成立的条件是__________。[来源:学科网ZXXK]

可化为同类二次根式，m可取的值有_______。

－1，那么（x+1）（x－1）的值为________。

5. 已知x=12，x=________。

6. 若a<－2，

三、解答题 1.计算：

2.计算：（318+

的化简结果是________。

1+3（3－6）+8 2?11550?41)?32。[来源:学§科§网] 22223.如图所示，实数a，b在数轴上的位置，化简a?b?(a?b)．

a-1Ob1

4.已知x=2+1，求（

5．对于题目“化简求值：

1x?1x?）÷的值． 22xx?xx?2x?11112?a?2+，其中a=”，甲、乙两个学生的解答不同． 2a5a 甲的解答是：

11112491122?a??a?2(?a)+=+=+－a=

aaaaa5a2a111111122?a?2(?a)+=+=+a－=a= 2aaaa5aa 乙的解答是：

谁的解答是错误的？为什么？

6. 已知a、b、c均为实数，且化简

二次根式提高测试题

一、选择题 1．使3?x?

=c

1有意义的x的取值范围是（ ） x?12．一个自然数的算术平方根为a?a?0?，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ）

（A）a?1,a?1（B）a?1,a?1（C）a2?1,a2?1（D）a2?1,a2?1 3．若x?0，则x2?x等于（ ）

（A）0 （B）?2x （C）2x （D）0或2x 4．若a?0,b?0，则?ab化简得（ ）

（A）?a?ab （B）?aab （C）a?ab （D）a?ab 311?y2?m，则5．若y?的结果为（ ）

yy22（A）m?2 （B）m?2 （C）m?2 （D）m?2

6．已知a,b是实数，且a2?2ab?b2?b?a，则a与b的大小关系是（ ） （A）a?b （B）a?b （C）a?b （D）a?b 7．已知下列命题：

①?2?5?2?2?5； ②?3???2?3???6；

③a2???3?2??a?3??a?3?； ④a2?b2?a?b．

其中正确的有（ ）

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 8．若42?m6与2m?34化成最简二次根式后的被开方数相同，则m的值为（ （A）

203 （B）5126 （C）13158 （D）8 9．当a?12时，化简1?4a?4a2?2a?1等于（ ）

（A）2 （B）2?4a （C）a （D）0

10．化简4x2?4x?1??2x?3?2得（ ）

（A）2 （B）?4x?4 （C）?2 （D）4x?4

二、填空题

11．若2x?1的平方根是?5，则4x?1?_____． 12．当x_____时，式子

5?3xx?4有意义．

13．已知：最简二次根式4a?b与a?b23的被开方数相同，则a?b?_____． 14．若x是8的整数部分，y是8的小数部分，则x?____，y?_____． 15．已知2009?x?y，且0?x?y，则满足上式的整数对?x,y?有_____．

16．若?1?x?1，则?x?1?2?x?1?_____．

17．若xy?0，且x3y2??xyx成立的条件是_____．

2218．若0?x?1，则??1??1??x?x???4???x?x???4等于_____．

）

三、解答题

1 9．计算下列各题：（1）15?3?1?20???6?； 5?3? （2）13a427a3?a2?3a?108a. 3a335?220．已知a?2?5???2006?2007?2?5?2??0??2?2，求a2?4a的值 ．

21．已知x,y是实数，且y?x2?9?9?x2?2，求5x?6y的值.

x?3222．若2x?y?4与?x?2y?1?互为相反数，求代数式x?xy?3213y的值. 423．若a、b、S满足3a?5b?7,S?2a?3b，求S的最大值和最小值.

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