量子力学习题集1

量子力学复习总结

1.自由粒子可以看成是由平面波叠加而成的波包。 错 2.若两个厄米算符不对易，它们可以有共同本征态。对 3.量子体系的守恒量必须要有确定值。 错 4.厄米算符的平均值和本征值一定为实数。 对

5.电子自旋在空间的投影只能取两个值，导致碱金属谱线出现双线分裂 现象。 错 6.量子力学中的态叠加原理就是几率的叠加。 错 7.描述量子态的波函数必定是单值，连续，有限的。 错 8.若算符A,B为厄米算符,则[A,B]也是厄米算符。 错 9.量子力学中，一切可观测力学量都是厄米算符。 对 10.电子自旋的本质是电子本身在作高速自转。 错 11.请给出德布罗意假设，并阐述其物理意义。

??h，该公式首次将微观粒子波动性和粒子性的联系在一个公式中表示。 p12. 自由粒子位于坐标x0位置，请分别写出其在动量空间和坐标空间波函数的

?表示，和坐标算符x在动量表象中的形式。

其在坐标表象中可以表示为?x0??(x?x0)；其在动量表象中可以表示为

?1?p?e(2??)1/2ipx0?。

13. 波函数?和Cei??（?为实数）描述的是体系的同一状态吗？为什么？

是. 根据波函数的统计诠释,只有几率密度?有物理上的实质作用.

214. 动量的x分量px??i??的本征态为什么。 ?xpx'x?i??由本征方程px??px'???i???px'?，得?px(x)?ce?xi1e归一化后得?px'(x)?(2??)1/2px'x?，

15.?nlmmz?Rnl(r)Ylm(?,?)?mz为氢原子中电子的波函数，其中n,l,m,mz分别是什么量子数，其取值范围各是多少？

n为主量子数，取值范围1，2，3，…..；

?为轨道角动量量子数，取值范围0，1，2，3，……，n-1;

m为轨道方向量子数（磁量子数），取值范围-?，-?+1，……，0，……，?-1,?;

mz为自旋方向量子数，取值范围-

11，代表电子自旋取向。 22?,B?B??1，C?????,即?是C??A?B?的本征方程为C?的本征?]?A??B?A?，[A16.设C??和??B?的本征值分别为??1和??1??也是C值为?的本征方程，证明?1?A2的本征函数。

17. 试阐述玻色子和费米子的区别。

(1)玻色子体系的波函数对于两个粒子交换对称，而费米子体系的波函数波对于两个粒子交换反对称；

(2）玻色子的自旋为?的整数倍(s?0,1,2???)，而费米子的自旋为?的半奇数倍

(s?1/2,3/2,???)；

(3)玻色子遵循波色-爱因斯坦统计，费米子遵循费米-狄拉克统计。 18. 一维谐振子的动量平均值和坐标平均值分别为多少，为什么？

??对于(l2,lz)的共同本征态Ylm(?,?)，

1nn?1?n?1(x)]；坐标平均值为0，因为x?n(x)?[?n?1(x)?

a22由谐振子波函数的正交性关系可得 ??n(x)x?n(x)dx?0 动量平均值为0，因为

dnn?1?n(x)?a[?n?1(x)??n?1(x)]； dx22由谐振子波函数的正交性关系可得 ??n(x)p?n(x)dx?0

19.请分别给出具有确定动量p0的自由粒子在坐标表象和动量表象的波函数。 答： 坐标表象中为?p0(x)?12??eip0x/?;

动量表象中为?(p?p0)。

20.?nlmmz?Rnl(r)Ylm(?,?)?mz为氢原子中电子的波函数，其中n,l,m,mz分别是什么量子数，其取值范围各是多少？

答: n为主量子数，取值范围0,1，2，3，…；

?2?2A??3，求算符A?为一算符，且有A?的本征值? 21.A?的本征态，?为其对应的本征值，则有 设|??为算符A?|????|?? ，A?2?2A??3 A?2|???2A?|???3|???(?2?2??3)|???0； 上面两式可得 A得到 ?2?2??3?0，则???3or??1即为所求本征值。

22.物理中的守恒现象是与对称性高度相关的，试阐述能量守恒，动量守恒及

角动量守恒所对应的对称性。

?,H?]?0，即对应能量守恒； 如体系具有时间平移不变性，[E?]?0，即对应动量守恒； ?,H 如体系具有空间平移不变性，[p?]?0， 即对应角动量守恒。 如体系具有空间旋转不变性，[l?,H23. 设一维自由粒子的初态?(x,0)?eip0x/?，求?(x,t)。

由于初态?(x,0)是一个动量的本征态，具有确定的动量，因而具有确定的能量

E?p 定态，因此?(x,t)??E(x)f(t)??(x,0)e2m20i?Et??ep2i(p0x?0t)?2m。

?2l??z，I为转动惯量，求能量本征值和本征24. 平面转子的哈密顿算符为H2I函数。

?2?2??E?，E 为能量本征值，由于角动量z分量能量本征方程表为?2I??2?]?0对易，因此平面转子的哈密顿量与角动量分量有共同的本征函数及本[l?z,H征态即为?m(?)?Em?m2?2/2I。

12?eim?,m?0,?1,?2,???, 相应的能量本征值为

25、升降算符l??lx?ily，试证[lz,l?]???l?

???????????????lz,l??lz,lx?ily?lz,lx?ilz,ly???i?ly?i?i?lx ?????lx?ily???????????????L??2?2?2?212226、lx和ly的平均值为lx?ly?[l(l?1)?m]?

2?2?i?lx?i?lx?lx?(lylz?lzly)lx?lylzlx?lzlylx?ly(lxlz?ihly)?lzlylx2?lylxlz?ihly?lzlylx?2 22i?lx?lylxlz?ihly?lzlylx?m?lylx?ihly?m?lylx???lx2?ly2

?

22lx?l2?ly?lz22?lx?122l?lz 2?2lx?1221l?lz?[l(l?1)?m2]?2 22?为任意算符，请证明雅克比恒等式 ?，B?和C27、A?,[B?]]?[B?,A?]]?[C?,[A?,B?,C?,[C?]]?0 成立。 [A?,[B?]]?[B?,A?]]?[C?,[A?,B?,C?,[C?]][A?,(B??C?B?A??A?C?)]?[C?,(A?B?)]?C?)]?[B?,(C??B?A?[A?,B?]?[A?,C?B?A?]?[B?C?]?[C?,A?B?,B?]?C?]?[B?,C?,A?]?[C?A?[A?,C?]?[A?,B??C?[A?,B?,C?]B?[B?]?[B?]A??[A?]C?]?[A??C?,A?,C?B?[B?]?[B?]C??A?[C?,B?,A?]B?,A?]?[C?,B??,C?,A?]?[C??B?[C?]A?A?C??B?A??A?B??A?C?B?A?B?B??A?C?B?B??C?B??C?A?B?A??B?C??A?C?C??C??C?A??A?C?A??B?C?A?B?B??A?C?B?C??A?B??A?C?B?B??C?A?B?C?B?A??B?C??C?B??B?A??C??B?A?C??A?C??A??B?C?A?A?C?A?0?????????????2i?p?成立。 ?28、p为动量算符，l为角动量算符，则有 p?l?l?p证明：

??l??l??p?]x?pylz?pzly?lypz?lzpy[p?py(xpy?ypx)?pz(zpx?xpz)?(zpx?xpz)pz?(xpy?ypx)py?pyxpy?pyypx?pzzpx?pzxpz?zpxpz?xpzpz?xpypy?ypxpy?[y,py]px?[z,pz]px?2i?px??l??l??p?]y?2i?p?y 同理，[p

??l??l??p?]z?2i?p?z [p??????????2i?p? 所以p?l?l?p29、粒子在无限深势阱

?0,0?x?aV(x)??

??,x?0,x?a中运动，求粒子的能量和波函数。 在势阱内(0d22m???x?E??x??0 22dx?则方程的一般解为

??x??Asin(kx??)

式中k?2mE?,A和?是待定常数.因势壁无限高,从物理上讲,粒子不可能透过势壁而出现在势阱之外,故势阱外波函数为零

??x??0,x?0,x?a

由波函数的连续条件,要求?(0)=0,即Asin?=0,得?=0.再由?(a)=0,得

sinka?0

所以

ka?n?,n?1,2,3,?

即

k?n?,n?1,2,3,? a注意n=0给出的波函数??0,无物理意义,而n取负整数给出的函数与n取正整数给出的波函数相差一负号,由波函数的统计诠释,二者表示粒子的同一状态,n只取正整数即可.这样, 粒子的能量为

n2?2?2E?En?,n?1,2,3,?

2ma2对应的波函数为

?n?x??Asin利用归一化条件,得

n?x ??a0?n?x?dx??A2sin202an?adx?A2?1a2

取A?2a,得归一化波函数为

?n?x??2

2?n??sin?x?,n?1,2,3,? a???

111

?230、一粒子处于???,???c1Y1,1??,???c2Y2,0??,??态, 求角动量的平方L及其Z分量Lz的可能值和平均值.

??22L2的可能值为2?2和6?2,相应的几率分别为c1和c2,因此L2的平均值为

?2222 L?c1?2?2?c2?6?2?2c1?3c222?2??

2Lz的可能值为?和0, 相应的几率分别为c1和c2,因此Lz的平均值为

Lz?c1???c2?0?c1?

?1?R21Y11???，求： 31、设氢原子的状态为???23???R21Y10???2?1?10?（1）轨道角动量z分量lz和自旋角动量sz的平均值（Sz= ???）

2?0?1??e?e? (2) 求总磁矩M??l?s的z分量的平均值

2mm222?1?3?lz???lz?d????R21Y11?R21Y10??22?? （1）

?211???R21Y11d??0??44??1?R21Y11???d?lz?23??R21Y10? ???2??1?RY2111??1?1?10??23???d?sz???sz?d?????2R21Y11?2R21Y10??2??0?1??3??????RY?2110??2?

?1??RY?1??22111?3?13??????RY?RYd??(?)??2110??22111??322444???RY?2110??2??e?e?e?e?1e?1（2）M??l?s??????B

2mm2m4m442m432、一质量为m的粒子在一维势阱

???V(x)??22?m?x/2x?0x?0中运动，

求粒子的能级En和相应归一化波函数?n(x)。

如果把x的定义与延拓到????，则问题化为通常的一维谐振子。此时由于

V(x)?V(?x)，即势能V(x)具有空间反射性。根据定理，如果?(x)是??dinger方程的解，则?(?x)也是Schro??dinger方程的解，且有 Schro ?n(?x)?(?1)n?n(x) (1) 现在，由于在区域x?0,V(x)??,因此在x?0区域?n(x)?0(包括x?0)。因

此，根据波函数在x?0处的连续性，?(x)?0。在x?0处，由式(1)得 ?n(0)?(?1)n?n(0)?0 (2) 式(2)只有在n为奇数时，?n(0)???n(0)，从而?(0)?0才成立。 因此，本题只有奇宇称解：?n(x)?Nne1??2x22Hn(?x),n?1,3,5,??? (3)

1 相应的能量：En?(n?)??,n?1,3,5??? (4)

233、氢原子基态波函数为

?100(r,?,?)?2a3/2e?r/aY00(?,?),Y00(?,?)?14?

其中a为玻尔半径，求?x?px。

因为(?x)?x?x，(?px)?p?px

2因此，首先需求x，px，x2，px。

22222x2 x?(?10,0x?10)|d3r?0， 0??x|?1001?a2 因为x是奇而函数，而|?100|?3e为偶数，因此x?0。

?a2r2 同理，可以证明px?0。

另一方面，

1r??|?100|rdr?3?a2223?r??2????000?e?2rar4drsin?d?d??2()4?3?ear4dr?4a2?e?2xx4dx?3a2a00 其中x?r。 a2?2?(?100,p?2?100)?(p??100,p??100)??|p??100|d3r??2?|??100|d3r p 但是，考虑到?100与?，?无关，

????????r???r???r???i?j?k?i?j?k?x?y?z?x?r?y?r?z?r ?2?x??y??z?r???i?j?k?,?2?2r?rr?rr?rr?r?r2 因此

?1?a232????|?100|dr?????5erdrsin?d?d?p?r000?a222??2?2r?4?a52??e02r?ar2dr??a22

由于氢原子的波函数?100与?，?无关，即球对称，因此，电子的位置，

动量的几率分布对x，y，z也是对称的。即

12?2122222x?y?z?r?a，px?py?pz?p?2

333a222 由此得到?x?x2?x2?a ，?px??32px?px?2?3a ,所以

?x?px?。

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