5数列问题

一.专题综述

数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题．由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制．

二．考纲解读

三.2012年高考命题趋向

1.等差数列作为最基本的数列模型之一，一直是高考重点考查的对象．难度属中低档的题目较多，但也有难度偏大的题目．其中，选择题、填空题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合等差数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．预测2012年高考仍将以等差数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．

2.等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高．客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度；主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法．预测2012年高考，等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式仍将是考查的重点，特别是等比数列的性质更要引起重视．

3、等差数列与等比数列交汇、数列与解析几何、不等式交汇是考查的热点，题型以解答题为主，难度偏高，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．预测2012年高考，等差数列与等比数列的交汇、数列与解析几何、不等式的交汇仍将是高考的主要考点，重点考查运算能力和逻辑推理能力．

四．高频考点解读

考点一 等差数列的性质和应用

例1[2011·广东卷] 等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________. 【答案】10

【解析】 由S9＝S4，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，即5a7＝0，所以a7＝0，

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1

由a7＝a1＋6d得d＝－，又ak＋a4＝0，

6

11

－?＋a1＋3×?－?＝0， 即a1＋(k－1)??6??6?13

－?＝－，所以k－1＝9，所以k＝10. 即(k－1)×??6?2

例2 [2011·湖南卷] 设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________. 【答案】25

【解析】 设数列{an}的公差为d，因为a1＝1，a4＝7，所以a4＝a1＋3d?d＝2，故S5＝5a1＋10d＝25. 例3 [2011·福建卷] 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．

【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3.解得d＝－2. 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n.

n[1＋?3－2n?]

所以Sn＝＝2n－n2.

2

进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35. 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7为所求．

【解题技巧点睛】利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式,由五个量a1,d(q),n,an,Sn中的三个量可求其余两个量,即“知三求二”,体现了方程思想.解答等差、等比数列的有关问题时,“基本量”(等差数列中的首项a1和公差d或等比数列中的首项a1和公比q)法是常用方法.

考点二 等比数列的性质和应用

[来源:Zxxk.Com]

1

例4 [2011·北京卷] 在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|

2

＋?＋|an|＝________.

1－

【答案】 －2 2n1－

211

【解析】 由a4＝a1q3＝q3＝－4，可得q＝－2；因此，数列{|an|}是首项为，公比为2的等

22

1

?1－2n?21－

比数列，所以|a1|＋|a2|＋?＋|an|＝＝2n1－. 21－2

11

例5 [2011·课标全国卷] 已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.

33

1－an

(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；

2

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋?＋log3an，求数列{bn}的通项公式．

11?n－11

【解答】 (1)因为an＝×?＝n，

3?3?3

11?11－n?1－n3?3?31－anSn＝＝，所以Sn＝. 1221－

3

(2)bn＝log3a1＋log3a2＋?＋log3an＝－(1＋2＋?＋n)

n?n＋1?＝－.

2

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【答案】D 【解析】 由a2a9，d＝－2，得(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解之得a1＝20，∴S10＝10×207＝a3·10×9＋(－2)＝110.

2

111

例7[2011·浙江卷] 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且，，成等

a1a2a4

比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

1111

(2)对n∈N*，试比较＋＋?＋与的大小．

a2a22a2na1

1?211

【解答】 设等差数列{an}的公差为d，由题意可知?， ?a2?＝a1·a4即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，从而a1d＝d2. 因为d≠0，所以d＝a1＝a， 故通项公式an＝na.

111

(2)记Tn＝＋＋?＋.因为a2n＝2na，

a2a22a2n

1??1?n?1－?2??1??1?n?111112?

＋2＋?＋n?＝·所以Tn＝?＝?1－?2??. 2?aa?221a

1－2

11

从而，当a＞0时，Tn＜，当a＜0时，Tn＞.

a1a1

【解题技巧点睛】(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点． (2)利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．

考点四 求数列的通项公式

例8 [2011·江西卷] 已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.

(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}唯一，求a的值．

【解答】 (1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2， 由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)， 即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－2，

第 3 页 共 18 页

所以{an}的通项公式为an＝(2＋2)n1或an＝(2－2)n1.

(2)设{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0，(*) 由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根，

1

由{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝. 3

例9 [2011·安徽卷] 在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lgTn，n≥1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝tanan·tanan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.

－

－

【解题技巧点睛】求数列的通项公式的方法：

1、利用转化，解决递推公式为Sn与an的关系式：数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：

(n?1)?S1.通过纽带：an?Sn?Sn?（an??1n?2)，根据题目求解特点，消掉一个

?Sn?Sn?1(n≥2)把nan或Sn.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉Sn，利用已知递推式，换成（n+1）得到递推式，两式相减即可.若消掉an，只需把an?Sn?Sn?1带入递推式即可. 不论哪种形式，需要注意公式an?Sn?Sn?1成立的条件n?2.

由递推关系求数列的通项公式

2.利用“累加法”和“累乘法”求通项公式：此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法，递推关系为an?1?an?f(n)用累加法；递推关系为

an?1?f(n)用累乘法.解题时需要an分析给定的递推式，使之变形为an?1?an、n?1结构，然后求解.要特别注意累加或累乘时，应该为(n?1)个式子，不要误认为n个.

aan第 4 页 共 18 页

3.利用待定系数法，构造等差、等比数列求通项公式：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.

考点五 等差等比数列的定义以及应用

例10 [2011·江西卷] (1)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}唯一，求a的值；

(2)是否存在两个等比数列{an}，{bn}，使得b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{an}，{bn}的通项公式；若不存在，说明理由． 【解答】 (1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a，b2＝2＋aq，b3＝3＋aq2，

由b1，b2，b3成等比数列得(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)， 即aq2－4aq＋3a－1＝0.

由a>0得Δ＝4a2＋4a>0，故方程有两个不同的实根， 再由{an}唯一，知方程必有一根为0，

1

将q＝0代入方程得a＝. 3

3＋?－1?n1n

例11 [2011·天津卷] 已知数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)＋1，bn＝，n

2

∈N*，且a1＝2.

(1)求a2，a3的值；

(2)设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列；

S2n－1S2nS1S21

(3)设Sn为{an}的前n项和，证明＋＋?＋＋≤n－(n∈N*)．

a1a23a2n－1a2n－

3＋?－1?n1

【解答】 (1)由bn＝，n∈N，

2

??2，n为奇数，

可得bn＝?

?1，n为偶数.?

又bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，

3

当n＝1时，a1＋2a2＝－1，由a1＝2，可得a2＝－；

2

当n＝2时，2a2＋a3＝5，可得a3＝8. (2)证明：对任意n∈N*，

－

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a2n－1＋2a2n＝－22n1＋1，① 2a2n＋a2n＋1＝22n＋1.②

－－

②－①，得a2n＋1－a2n－1＝3×22n1，即cn＝3×22n1.

cn＋1于是＝4.

cn

所以{cn}是等比数列．

(3)证明：a1＝2，由(2)知，当k∈N*且k≥2时，

a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋?＋(a2k－1－a2k－3)

－

2?1－4k1?2k－1352k－3

＝2＋3(2＋2＋2＋?＋2)＝2＋3×＝2，

1－4

－

故对任意k∈N*，a2k－1＝22k1.

－－

由①得22k1＋2a2k＝－22k1＋1，

1－

所以a2k＝－22k1，k∈N*.

2

k

因此，S2k＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋?＋(a2k－1＋a2k)＝. 2

k－12k－1

于是，S2k－1＝S2k－a2k＝＋2.

2

k－12k－1k

＋222S2k－1S2kk－1＋22kk1k

故＋＝＋＝－2k＝1－k－kk. 2k2k－112k－1244?4－1?a2k－1a2k22－1－22

所以，对任意n∈N*，

S2n－1S2nS1S2＋＋?＋＋ a1a2a2n－1a2n

S1S2??S3S4??S2n－1＋S2n? ＋＋＋＋?＋?＝???a1a2??a3a4??a2n－1a2n?

1211?＋?＋1－1n－n 1－－?＋?1－42－22＝?4?4－1???412??44n?4n－1?

211??1?－?－1n＋n≤n－?1＋1?＝n－1. ＋－42＋22＝n－?4?4－1???412???412?44n?4n－1?3

【解题技巧点睛】

判断某个数列是否为等差(或等比)数列,常用方法有两种:一种是由定义判断,二是看任意相邻三项是否满足等差中项(或等比中项)公式.注意只要其中的一项不符合,就不能为等差(或等比)数列.而想判断某个数列不是等差(或等比)数列,只需看前三项即可.

－

[来源:Zxxk.Com]考点六 数列的前n项和

例12 [2011·安徽卷] 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋?＋a10＝( ) A．15 B．12 C．－12 D．－15 【答案】A

【解析】 a1＋a2＋?＋a10＝－1＋4－7＋10＋?＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋?＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15. 例13[2011·辽宁卷] 已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式；

?an?

(2)求数列?2n－1?的前n项和．

??

???a1＋d＝0，?a1＝1，

【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得?解得?

?2a1＋12d＝－10.???d＝－1.

故数列{an}的通项公式为an＝2－n.

?an?a2an(2)设数列?2n－1?的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋＋?＋n－1，故S1＝1，

22??

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例13 [2011·课标全国卷] 等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式；

?1?

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋?＋log3an，求数列?b?的前n项和．

?n?

2221【解答】 (1)设数列{an}的公比为q，由a23＝9a2a6得a3＝9a4，所以q＝. 9

1

由条件可知q＞0，故q＝. 3

1

由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.

3

1

故数列{an}的通项公式为an＝n. 3

(2)bn＝log3a1＋log3a2＋?＋log3an ＝－(1＋2＋?＋n)

n?n＋1?＝－. 2

1112

故＝－＝－2?n－n＋1?， bn??n?n＋1?

11?1111112n

1－?＋?－?＋?＋?n－＋＋?＋＝－2?＝－. ?2??23?b1b2bn?n＋1?n＋1

?1?2n

所以数列?b?的前n项和为－. ?n?n＋1

【解题技巧点睛】在数列求和问题中，通法 是“特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法.

（1）：Cn?an?bn?....，数列{Cn}的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. （2）：Cn?an?bn，数列{Cn}的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”. （3）：Cn?1，数列{Cn}的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. an?bn第 7 页 共 18 页

n（4）：Cn?Cn?an，数列{Cn}的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采

用“倒序相加法”.

考点七 数列的综合问题

例14[2011·福建卷] 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0

5－1

【答案】

2

例16 [2011·浙江卷] 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)．设数列的前n项

111

和为Sn，且，，成等比数列．

a1a2a4

(1)求数列{an}的通项公式及Sn；

11111111

(2)记An＝＋＋＋?＋，Bn＝＋＋＋?＋.当n≥2时，试比较An与Bn的大

S1S2S3Sna1a2a22a2n－1

小．

1?211

【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为d，由?， ?a2?＝a1·a4得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a，

an?n＋1?

所以an＝na，Sn＝. 21121

(2)因为＝?n－n＋1?，所以

Sna??

111112

An＝＋＋＋?＋＝?1－n＋1?.

S1S2S3Sna??

－

因为a2n－1＝2n1a，所以

1?n1－??2?2?1?11111

1－n. Bn＝＋＋＋?＋＝·2?a1a2a221a?a2n－1a

1－2

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12n

当n≥2时，2n＝C0n＋Cn＋Cn＋?＋Cn＞n＋1，

11

即1－＜1－n，

2n＋1

所以，当a＞0时，An＜Bn；当a＜0时，An＞Bn.

【解题技巧点睛】1.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等． 2.与数列有关的不等式证明有哪些方法：与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商) 、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点.利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩.

考点六 数列的实际应用

例17 [2011·陕西卷] 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)． ．．【答案】2000

【解析】 树苗放在10或11号坑，则其余的十九人一次走过的路程为90,80,70,60，?，

9?10＋90?

80,90,100，则和为s＝?×2＋100?×2＝2000，若放在11号坑，结果一样．

2??

例18 [2011·湖南卷] 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%. (1)求第n年初M的价值an的表达式；

a1＋a2＋?＋an

(2)设An＝.若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证

n

明：须在第9年初对M更新．

【解答】 (1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．

3

an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，

4

3?n－6

又a6＝70，所以an＝70×??4?.

因此，第n年初，M的价值an的表达式为

130－10n，n≤6，??an＝? 3?n－6

???70×?4?，n≥7.

(2)设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)， An＝120－5(n－1)＝125－5n； 当n≥7时，由于S6＝570，故

3?3?n－6?＝780－210×?3?n－6， Sn＝S6＋(a7＋a8＋?＋an)＝570＋70××4×?1－??4???4?4

3?n－6

780－210×??4?An＝，

n

因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列．又

3?2

780－210×??4?47A8＝＝82>80，

864

第 9 页 共 18 页

3?3

780－210×??4?79A9＝＝76<80，

996

所以须在第9年初对M更新．

【解题技巧点睛】解数列应用题，要充分运用观察、归纳、猜想等手段，建立等差数列、等比数列、递推数列等模型．(比较典型的问题是存款的利息计算问题，通常的储蓄问题与等差数列有关，而复利计算则与等比数列有关．)

针对训练

一．选择题

1.【湖北省孝感市2011—2012学年度高中三年级第一次统一考试】

?在等差数列{an}中,若a1?a5?a9?,则tan(a4?a6)= （ ）

4

A．

3 3B．3 C．1 D．—1

答案：A

3.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】

713S,a?,S?a10?（ ） na等差数列?n?的前项和n244，21111??A. 2 B. 2 C. 4 D. 4

答案：D

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