数学建模 医院评价模型

2010大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. LI 2. JIANG 3. ZHOU 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 2010年 8 月 7 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

医院质量评价模型

LI JIANG ZHOU

摘要

本文首先根据所提供的信息建立了层次结构模型，确定了影响医院质量的三个主要因素。然后，再根据他们对医院质量的影响程度两两比较，依照比较尺度构造判断矩阵。接着，对矩阵进行一致性检验，计算其最大特征值和对应的特征向量，最后对其归一化得到权向量。

然后，通过层次结构图得到各指标和三个主要影响因素之间的关系，通过上述方法构造指标对于三个主要影响因素的判断矩阵，对他们逐个进行一致性检验。若一致性检验结果符合要求，则求出其相应的权向量。进而通过公式得到各指标对于目标层的权重。接着对指标数据进行分析，发现其中有“极小型”指标，本文首先对其进行指标类型一致化处理,然后对数据进行无量纲化处理。最后根据线性加权综合法得出的模型对四所医院进行评价。本文得出的结论是医院C的质量最好，其次是医院A，再次是医院D，质量最差的是医院B。由于题目计算量较大，本文利用Matlab7.0编程求解最大特征值和权向量并且对矩阵进行一致性判定，大大的提高了评价效率。 关键词：比较尺度；判断矩阵；权向量；一致性检验；指标类型一致化；无量纲化

1

1问题的重述

医院质量是影响人们住院就医的首要因素，医院质量评价的主要内容包括：医疗质量、医疗工作量和医疗工作效率三个方面。其中医疗质量包括：病房有效率、病床病死率、急诊占总诊疗人数比例三个指标，医疗工作量包括：日均门诊人次数、日均住院人数两个指标，医疗工作效率包括：实际病床使用率和病床利用效率值两个指标。现已统计得出该市四所医院的相关指标的实际值（表1-1）对该市四所医院的医院质量进行评价。

表1-1四所医院相关指标的实际值 期望值 甲 乙 丙 丁 有效率 93 95.3 93.2 92.4 95.2 病死率 2 1.6 2.3 1.1 1.6 急诊占总诊疗 5 5.63 3.42 3.19 5.43 日均住院数 20 27.17 26.27 28.59 23.85 日均门诊数 1050 1305.2 1932.3 1965.9 933.3 病床利用效率 5050 5910 5673 5854 4081 实际病床使用率 93 99.9 100.3 100.0 92.9 2问题的分析

要对四所医院的质量进行评价，首先需要明确影响医院质量的因素及其影响程度的大小，影响医院质量的主要因素有：医疗质量、医疗工作量和医疗工作效率三个方面。

在影响医院质量的各个主要因素中，又有其他因素对其影响。那么判断一家医院的质量要综合考虑，即考虑其具体因素对整体的影响。根据问题的特征，很容易想到层次分析法。可通过构造判断矩阵来确定其各因素对整体影响的权重，进而根据已知数据进行加权求和，用数学的方法给出一种合理的排序。

3问题的假设与符号说明

3.1条件假设

(Ⅰ)假设各指标间互不影响。

(Ⅱ)假设模型只考虑给出的这几个主要因素的影响。

3.2符号说明

A： 医院工作质量； B1： 医疗工作效率； B2： 医疗工作量； B3： 医疗质量；

C1： 实际病床使用率；

2

C2： 病床利用效率值； C3： 日均门诊人次数； C4： 日均住院人数； C5： 病房有效率； C6： 病房病死率；

C7： 急诊占总诊疗人数比例； CI： 一致性指标；

RI： 同阶的随机一致性指标； CR： 一致性比率。

w(z)： 第z层对第1层的权向量；

W(3)： 第3层对第2层的权向量构成的矩阵；

4模型的建立

4．1建立层次结构模型

医院工作质量A 医疗工作效率医疗工作量 医疗质量 B1 B2 B3 实际病床使用率 病床利用效率值 日均门诊人次数 日均住院人数 C4 病房有效率 病房病死率 急诊占总诊疗人数比例C1 C2 C3 C5 C6 C7 4.2构造成对比较矩阵 4.2.1成对比较矩阵定义

设某层有n个因素，X??x1,x2,?,xn?，要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把n个因素对上层某一目标的影响程度排序）上述比较时两两因素之间进行比较，比较时取1～9尺度。用aij表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果，则

3

A?(aij)m?n?a11?a??21????am1a12a22?am2?a1n??a2n??, ?????amn?称为成对比较矩阵。 4.2.2比较尺度

比较尺度的标准及含义见下表。

表4-1比较尺度 尺度aij 含义 1 3 5 7 9 2,4,6,8 1,1/2,?,1/9 Ci与Cj的影响相同 Ci与Cj的影响稍强 Ci与Cj的影响强 Ci与Cj的影响明显的强 Ci与Cj的影响绝对的强 Ci与Cj的影响之比在上述两个相邻的等级之间 Ci与Cj的影响之比为上面的互反数

4.3计算层次单排序的权向量及其一致性检验 4.3.1层次单排序定义

根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次 序的权值。可以归结为，求解矩阵的最大特征值和对的特征的向量，即对判断矩阵B，计算满足:

BW??maxW,

的特征根与特征向量。式中，?max为B的最大特征根；W为?max对应于的正规化特征向量；W的分量Wi即是相应因素单排序的权值。 4.3.2计算一致性指标：CI

CI??max?nn?1, (1)

显然当判断矩阵具有完全一致性时，CI?0，?max?n越大，CI越大，矩阵的一致性就越差。为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将CI与平均一致性指标RI进行比较。

4.3.3查找相应的平均随机一致性指标：RI

对n?1，2，3，?，9，saaty给出了RI的值，如表2所示： 表2随机一致性指标RI值 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

4

RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 平均随机一致性指标RI是多次（500次以上）重复进行随机判断矩阵特征值的计算之后，取算术平均数得到的。 4.3.4计算一致性比例：CR

CR?CI, (2) RI为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将CI与平均随机一致性指标RI进行比较。当CR?0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。

4.4计算层次总排序权值及组合一致性检验 4.4.1层次总排序定义

确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程称为层次总排序。若共有s层，则第k层对第1层的组合权向量满足

w(k)?W(k)w(k?1),k?3,4,?,s, (3)

其中W(k)是以第k层对第k?1层的权向量为列向量组成的矩阵。于是最下层（第s层）对最上层的组合权向量为

w(s)?W(s)W(s?1)?W(3)w(2). (4)

4.4.2组合一致性检验

在应用层次分析法做重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还要进行一种所谓的组合一致性检验，以决定组合权向量是否可以作为最终的决策

(p)(p)(p)依据。组合一致性检验科逐层进行，若第p层的一致性指标为CI1,CI2,?CIn(p)(p)(p)（n是第p?1层因素的数目），随机一致性指标为RI1,RI2,?,RIn,定义

CI(p)?CI1,CI2RI(p)则第p层的组合一致性比率为

CR(p)???RI(p)(p),?,CIn,?,RIn(p)(p)1,RI2(p)(p)?w?w(p?1), (5) , (6)

(p?1)CI(p)?,p?3,4,?,s, (7) (p)RI第p层通过组合一致性检验的条件为CR(p)?0.1。

5模型的求解

5.1构造成对比较阵

在影响医院质量的各个因素中，医疗工作效率显然具有明显的影响力，其次，医疗工作量对医院质量也有影响，再者考虑病房有效率对医院的质量影响较前两者较弱。评价医院质量指标的三个因素的重要程度，根据表4-2确定各影响因素间的比较尺度，构造指标的判断矩阵，然后利用公式(1)计算CI进行一致性检验，利用矩阵的相关计算我们可得到最大特征值及其对应的特征向量然后再对特征向量归一化得

5

到相应的权向量，上述过程我们都可以通过Matlab编程实现，程序见附录，结果见表5-1。

表5-1Bi对A的判断矩阵 A B1 B2 B3 1 1/3 1/5 3 1 1/3 5 3 1 CI?0.0193 w(2) B1 B2 B3

0.1047 0.2583 0.6370 影响医院质量的三个主要因素，又受其内部各因素的影响。其中，影响医疗工作效率的因素：实际病床使用率和病床利用效率值。影响医疗工作量的因素：日均门诊人次数、日均住院人数。影响医疗质量的因素：病房有效率、病床病死率、急诊占总诊疗人数比例。各指标的重要程度也采取上述方法构造判断矩阵见下表：

表5-2 Ci对B1的判断矩阵

B1 C1 C2

C1 C2 1 1/2 2 1 CI?0 (3) w11/3 2/3 表5-3 Ci对B2的判断矩阵

B2 C3 C4 1 1/3 3 1 CI?0 w(23) 0.25 0.75 C3 C4

表5-4 Ci对B3的判断矩阵

B3

C5 C6 C7 6

(3) w3C5 C6 C7

1 1/7 1/3 0.0925 7 1 2 0.6153 3 1/2 1 0.2922 CI?0.0013 从以上表中计算可以得出成对比较阵均通过一致性检验，即以上所得的因素的

权重值是可信的，根据表中数据有

W(3)0??0.33330?0.66670?0???00.250?????00.750?, ?000.0925???000.6153???000.2922???

w(2)?0.1047??. ??0.2583????0.6370??

根据公式(4)，有

w(3)?W(3)w(2)?0.0349??0.0698????0.0646?????0.1937?. ?0.0589????0.3920??0.1861???根据公式（5），(6),可计算出CR?0.0022?0.1,即每一层都通过一致性检验。

给出的数据中考虑到病死率为“极小型”指标，我们首先要对其指标类型进行

7

一致化，可通过如下公式变换

x'?1(x?0). (8) x式(8)中，x'为指标类型一致化处理后的数据，x为需要进行指标类型一致化的原数据。指标类型一致化处理后，为了避免在评价过程中出现“大数吃小数”的现象，利用下述公式

yi?60?xi?x?10, (9) s对表1-1中的数据进行无量纲化处理。式(9)中,yi为无量纲化处理后的数据，xi为原指标数据，x为各指标均值，s为各指标的标准差。无量纲化后的结果见下表。

表5-5 对各指标进行无量纲化后的结果

无量纲化后 A B C D 实际病床使用率 79.2342 80.3492 79.5129 59.7212 病房利用效率 69.8674 67.1481 69.2249 48.8819 日均门诊数 65.0758 77.5483 78.2166 57.6789 日均住院数 96.0173 91.4963 103.1504 79.3398 有效率 病死率 75.8370 61.3771 55.8686 75.1484 81.7366 72.0080 96.2664 81.7366 急诊占总诊疗 64.8814 47.7578 45.9757 63.3317 然后利用线性加权综合法即将指标数据和w(3)代入公式

Y?Ew(3), (10)

得

?79.0263??70.9527??. Y???82.2210???72.8431??式(10)中，Y为评价向量，E为指标矩阵。由此结果我们看出医院C的质量最好，其次是医院A，再次是医院D，质量最差的是医院B。

对C医院进行分析：有效率最低，提高医院的有效率，进一步提升医院的医疗质量，才能对医院的工作质量的提升有促进作用。急诊占总诊疗最低，急诊占总诊疗比例体现医院的工作量，提高医院的急诊占总诊疗比例，对医院的工作质量有积极的促进作用。

对A医院进行分析：日均门诊数较低，提升医院的日均门诊数，提高医院的医疗工作量，对提升医院的工作量有积极的促进作用。

对D医院进行分析：实际病床使用率最低，病房利用效率最低，提升医院的实际病床使用率，病房利用效率对医院医疗工作效率的提高有明显的作用，对医院的工作质量有相当重要的影响。日均门诊数最低，日均住院数最低。提升这两个因素对医院的医疗工作量有促进作用，进一步提升医院的工作质量。

对B医院进行分析：急诊占总诊疗最低，病死率最高，这两个因素在医院的工

8

作质量的各个因素中所占有的权重较大，因此这两个因素的改进对促进医院工作质量的提升有非常重要的作用。

总之，各个医院只有针对各自出现的问题，采取积极的措施，才能进一步提升医院的工作质量，取得良好的工作成果。

6模型的评价

6.1模型的优点

(1) 系统性：该模型把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行评价 。

(2) 实用性：把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广。 (3) 简洁性：具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确。

(4) 运用Matlab软件求解最大特征值和权向量并且对矩阵进行一致性判定，大大的提高了评价效率。

6.2模型的缺点 (1) 该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。 (2) 在层次分析法使用的过程中，无论建立结构层次还是构造判断矩阵。人的主观判断、选择、偏好对结果的影响极大，这就使得评价结果难以让所有的决策者接受。

参考文献

[1] 严喜祖，宋中民，毕春佳，《数学建模及其实验》，北京：科学出版社，2009。 [2] 姜启源，谢金星，叶俊，《数学建模》（第三版），北京：高等教育出版社，2003。

7附录

附录1

无量纲化程序：

>>A=[95.3;93.2;92.4;95.2]; >>(A-93)/std(A)*10+60

ans =

75.8370 61.3771 55.8686 75.1484

>>A=[1/1.6;1/2.3;1/1.1;1/1.6]; >> (A-0.5)/std(A)*10+60

9

ans = 81.7366 72.0080 96.2664 81.7366

>>A=[5.63;3.42;3.19;5.43]; >> (A-5)/std(A)*10+60

ans =

64.8814 47.7578 45.9757 63.3317

>>A=[27.17;26.27;28.59;23.85]; >> (A-20)/std(A)*10+60

ans =

96.0173 91.4963 103.1504 79.3398

>> A=[1305.2;1932.3;1965.9;933.3]; >> (A-1050)/std(A)*10+60

ans =

65.0758 77.5483 78.2166 57.6789

>>A=[5910;5673;5854;4081]; >> (A-5050)/std(A)*10+60

ans =

69.8674 67.1481 69.2249

10

48.8819

>>A=[99.9;100.3;100;92.9];

>> (A-93)/std(A)*10+60 ‘求y’ ‘

ans =

79.2342 80.3492 79.5129 59.7212 附录2

求最大特值和特征向量 %输出格式

format short; %输入待求的矩阵A

A=[1,1/4,6;4,1,8;1/6,1/8,1];

[v,d]=eigs(A); %最大特征值

tbmax=max(d(:)); %得到行数和列数 [m,n]=size(v);

%将特征向量标准化 sum = 0; for i=1:m

sum = sum + v(i,1); end

tbvector = v(:,1); for i=1:m

tbvector(i,1)= v(i,1)/sum; end

disp('========================================'); disp('输入的矩阵为：'); A

disp('所有的特征向量和特征值为：'); v d

disp('最大的特征值为：'); tbmax

disp('最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：'); tbvector

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附录3

矩阵一致性检验程序

'层次分析法的matlab程序'

disp('请输入判断矩阵A(n阶)'); A=input('A='); [n,n]=size(A); x=ones(n,100); y=ones(n,100); m=zeros(1,100); m(1)=max(x(:,1)); y(:,1)=x(:,1); x(:,2)=A*y(:,1); m(2)=max(x(:,2)); y(:,2)=x(:,2)/m(2);

p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1)); while k>p i=i+1;

x(:,i)=A*y(:,i-1); m(i)=max(x(:,i)); y(:,i)=x(:,i)/m(i); k=abs(m(i)-m(i-1)); end

a=sum(y(:,i)); w=y(:,i)/a; t=m(i); disp(w);disp(t); %以下是一致性检验

CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; CR=CI/RI(n); if CR<0.10

disp('此矩阵的一致性可以接受!'); disp('CI=');disp(CI); disp('CR=');disp(CR); end

D=

0.33333 0.66667

0 0 0 0

0 0 0.25 0.75 0 0 0 0 0 0 0.0925 0.6153

12

0 0 0.2922

R=

0.1047 0.2583 0.637 >>W=D*R W=

0.0349 0.0698 0.064575 0.19372 0.058923 0.39195 0.18613

E=79.2342 69.8674 65.0758 96.0173 80.3492 67.1481 77.5483 91.4963 79.5129 69.2249 78.2166 103.1504 59.7212 48.8819 57.6789 79.3398 >>K=E*W

K=79.0263 70.9527 82.2210 72.8431

附录4

层次总排序的一致性检验

>> a=[0,0,0.0013]*[0.1047;0.2583;0.6370] a =

8.2810e-004

>>b=[0,0,0.58]*[0.1047;0.2583;0.6370] b =

0.3695 >>a/b

ans =

13

75.837 81.7366 64.8814 61.3771 72.008 47.7578 55.8686 96.2664 45.9757 75.1484 81.7366 63.3317

0.0022

14

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vnvp.html