解三角形中相关的取值范围问题

解决与三角形相关的取值范围问题

例1：在锐角ABC中，A?2B，则的取值范围是

例2：若ABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角依次为A,B,C，则sinB?cosB的取值范围是

,ccosA例3：在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acosC,bcosBcb成等差数列。（1）求B的大小。 （2）若b?5，求ABC周长的取值范围。

例4：在ABC中，a2?b2?c2?ab，若ABC的外接圆半径为

ABC的面积的最大值为 2332，则2

例5：（2008，江苏）满足AB?2,AC?2BC的ABC的面积的最大值是

例6：已知角A,B,C是ABC三个内角，a,b,c是各角的对边，向量

A?B5A?B9m?(1?cos(A?B),cos)n?(,cos)，且m?n? ，

2828（1）求tanA?tanB的值。 （2）求

通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。

巩固练习

1．在ABC中，a?2,c?1，则?C的取值范围为 2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是 RtABC中，C? 3．在 ，且A,B,C所对的边a,b,c满足a?b?xc，则实

absinC的最大值。

a2?b2?c2?2数x的取值范围为

4．在锐角ABC中，A?2B，AC?1，则BC的取值范围是 5．在锐角ABC中，三个内角A,B,C成等差数列，记M?cosAcosC，则M的取值范围是

6．已知锐角三角形的边长分别为1,3,a，则a的取值范围是 7．已知ABC外接圆的半径为6，若面积SsinB?sinC?4，则sinA? ，S3ABCABC?a2?(b?c)2且

的最大值为 8．在ABC中，m?(sinA,cosC),n?(cosB,sinA)，且m?n?sinB?sinC （1）求证：ABC为直角三角形

（2）若ABC外接圆的半径为1，求ABC的周长的取值范围 9．在ABC中A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知2sinA?3cosA （1）若a2?c2?b2?mbc，求实数m的值 （2）若a?3，求ABC面积的最大值。

解决与三角形相关的取值范围问题

例1：在锐角ABC中，A?2B，则的取值范围是 解析：由0?A?2B?且0?C???A?B?

2cb??2??csinCsin3Bsin2BcosB?cos2BsinB???4cos2B?1，得?B?，所以?64bsinBsinBsinB又cosB?(c23,)所以?4cos2B?1?(1,2)

b22点评：①本题易错在求B的范围上，容易忽视“ABC是锐角三角形”这个条件。②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法。

例2：若ABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角依次为A,B,C，则sinB?cosB的取值范围是 解析：由题设知

b2?ac，又余弦定理知

a2?c2?b2a2?c2?ac2ac?ac1cosB????

2ac2ac2ac2所以0?B?2siBn?(?4?3，又siBn?cBo?s???7B2?s且in(?B)?444?所以

12??cos)即(sin1,B?2]B的取值范围是(1,2]。

点评：本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。

,ccosA例3：在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acosC,bcosB成等差数列。（1）求B的大小。 （2）若b?5，求ABC周长的取值范围。 解析：（1）由题意知acosC?ccosA?2bcosB， 由正弦定理得sinAcosC?sinCcosA?2sinBcosB

所以sin(A?C)?2sinBcosB，于是cosB?,B?

312?（2）由正弦定理

a?b?c?abc10，所以 ???sinAsinBsinC31010102?10?sinA?5?sinC?5?sin(?A)?sinA?5?10sin(A?)

363333又由0?A??2得?A?6??6?2?，所以 3a?b?c?5?10sin(A?)?(10,15]。

6?点评：对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。 例4：在ABC中，a2?b2?c2?ab，若ABC的外接圆半径为

ABC的面积的最大值为 2222332，则2

2a2?b2?c21?，所以解析：又a?b?c?ab及余弦定理得cosC?32ab3sinC?22， 323又由于c?2RsinC?4，所以c2?a2?b2?2abcosC即16?ab?a2?b2?2ab 所以ab?12，又由于S?absinC?时，ABC的面积取最大值42 点评：先利用余弦定理求cosA的大小，再利用面积公式结合基本不等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。

例5：（2008，江苏）满足AB?2,AC?2BC的ABC的面积的最大值是 解析：设BC?x，则AC?2x， 根据面积公式得SABC122ab?42，故当且仅当a?b?233?1AB?BCsinB?x1?cos2B ① 2

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