的目的和意义 主要内容： 数学的本质 数学美学 数学与人的发展

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什么是数学？ 为什么学习数学？ 开设《数学文化》的目的和意义 主要内容： 数学的本质 数学美学 数学与人的发展 数学与其它

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第一讲 数学的本质一、数学研究对象的历史考察从数学发展的每个历史时期，人们在实践中，对 数学研究对象的发现与认识，来加以考察。 数学，作为一门科学，它来源于人类社会实践， 并促进人类社会实践，也随着人类社会的进步而 发展。 1.数学萌芽时期(远古~公元前6世纪) 2.常量数学时期(公元前6世纪~公元17世纪) 3.变量数学时期(17世纪~19世纪) 4.近现代数学时期(19世纪以后)

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1.数学萌芽时期(远古~公元前6世纪)

特点： 零零星星地认识了数学中最古老、原始的 概念——“数”(自然数)和“形”(简单几何 图形)。 数的概念起源于数(读snǔ),脚趾和手指 记数、“结绳记数” 等； 另一方面，人类还在采集果实、打造石器、 烧土制陶的活动中，对各种物体加以比较， 区分直曲方圆，逐渐形成了“形”的概念。

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2.常量数学时期(公元前6世纪~公元17世纪)

特点：人们将零星的数学知识，进行了积累、 归纳、系统化，采用逻辑演绎的方法形成了 古典初等数学的体系。 欧几里得(Euclid):《几何原本》 以空间形式为研究对象，以逻辑思维为主 线，从5条公设、23个定义和5条公理推出了 467条定理，从而建立了公理化演绎体系。 我国东汉时期：《九章算术》 由246个数学问题、答案和术文组成，全 书主要研究对象是数量关系。

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3.变量数学时期(17世纪~19世纪)

特点：“运动”成为自然科学研究的中心课 题，数学由研究现实世界的相对静止的事物 或现象进而探索运动变化的规律，常量数学 已发展到变量数学。17世纪，迪卡尔 (Descartes)将几何内容的课题与代数形式 的方法相结合，产生了解析几何学，这标志 着变量数学时期的开始。17世纪60年代， Newton和Leibniz各自从运动学和几何学研究 的需要，创建了微积分。随后，相继建立了 级数理论、微分方程论、变分学等分析学领 域的各个分支。

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3.变量数学时期(17世纪~19世纪)

15世纪~18世纪，人们还研究了大量的随机 现象，发现存在着某种完全不确定规律性， 建立了概率论。这个时期，数学的研究对象 已由常量进入变量，由有限进入无限，由确 定性进入非确定性；数学研究的基本方法也 由传统的几何演绎方法转变为算术、代数的 分析方法。马克思主义奠基人之一的恩格斯， 在考察了18世纪前整个数学发展的历史基础 上指出：“数和形的概念不是从任何地方得 来的，而仅仅是从现实世界中得来的”、 “纯数学是以现实世界的空间形

式和数量关 系——这是非常现实的材料——为对象的”, 这些论断揭示了科学的数学本质。

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4.近现代数学时期(19世纪以后)

特点：数学由研究现实世界的一般抽象形式 和关系，进入到研究更抽象、更一般的形式 和关系，数学各分支互相渗透融合。随着计 算机的出现和日益普及，数学愈来愈显示出 科学和技术的双重品质。19世纪以来，由于 社会发展的需要，以及数学自身的逻辑矛盾 不断产生许多新问题，促使处于数学核心部 分的几个主要分支——代数、几何、分析学 科的内容发生了深刻变化，并产生了许多新 的数学分支。抽象代数学 、n维空间、无穷 维空间以至于更抽象的空间 、Cantor集合论 泛函分析等。

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4.近现代数学时期(19世纪以后)

20世纪以来，数学的发展更是迅猛异常，产生了“优 选学” 、“规划论”、“对策论”、“排队论”、 “计算机理论’等等，尤其是第二次世界大战以后， 由于科学技术和工程技术上的计算问题的越来越复杂， 需要高速、准确地计算许多非线性的、多维的，或为 方程组形式的数学问题，为此电子计算机应运而生。 随着计算机的出现，与高新科技紧密相关的数学理论， 如控制论、突变论、拓扑稳定性和大范围分析等理论 也随之产生。今日的数学不仅是一门独立的科学，而 且是一种普遍性的技术，它“兼有科学和技术的两种 品质”。 显然，现代数学的许多分支的研究对象，远远突破了 传统的“空间形式”和“数量关系”的范围。

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二、数学是什么科学？数学本质的另一个问题：数学究竟是什么科学？是演 绎科学，还是经验科学呢？或是实验归纳科学呢？由 于人们从不同的角度来认识，因而对这个问题有着不 同的看法. 1.数学科学的几种论述： (1)从数学所从属的工作领域来看：在17世纪以前， 毕达哥拉斯(Pytnagoras)学派的数学观占据了统治 地位，他们认为“数是一切事物的本质，整个有规律 的宇宙的组织，就是数以及数的关系的和谐系统”, Galieo说得更明白：“大自然乃至整个宇宙这本书都 是用数学语言写出的”。依他们看来，科学的本质就 是数学，世界是数学的描述形式，这一时期数学成了 科学的“皇后”;

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到了17世纪，数学家Alembert把数学划 归在自然科学之内，确认它是自然科学 的一个门类，数学再不被认为是科学的 “皇后”,而是科学的“仆人”,是自 然科学的工具。直到20世纪80年代末， 我国杰出的科学家钱学森明确提出， “数学应该与自然科学和社会科学并 列”,成为现代科学技术的自然科学、 社会科学、数学科学、思维科学、系统 科学、人体科学

、军事科学、文艺理论、 地理科学等十大门类的一大门类，他主 张“数学应该称为‘数学科学’”。

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(2)从研究数学的方法来看：匈牙利数理逻辑学家卡尔马认为“数学是一 门有经验根据的科学”;著名的科学哲学家 Lakatos认为“数学是既含有经验成分又含有 理性成分的一种非封闭的演绎系统—拟经验 的体系”;美籍匈牙利数学家、数学教育家 G.Polya认为“用欧几里得方法提出来的数学 看来却像是一门系统的演绎科学；但在创造 过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳 科学”。可见从数学真理的发现或发明的无 数事实来看，它是通过大量实验、归纳而得 以发现，进而通过演绎推理而证明它的可靠 性和真实性。因此，数学具有两重性，它既 是一门系统的演绎科学(从最后被确定的定型 的数学来看),又是一门实验性的归纳科学

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(3)从数学对象来看.数学家Descarte把 数学称作“序的科学”;物理学家 Weinberg把数学看作是“模式与关系”的 科学，如像生物是有机体的科学，物理是物 和能的科学一样，“数学是模式的科学”; 如果把数学看作是一种语言，它又可认为 “是描述模式的语言”。随着现代数学的创 立与发展，人们对数学的本质的认识逐步深 化，在当今数学哲学界流行一些新颖和较成 熟的数学哲学观点. 2.数学是模式的科学 《现代汉语词典》里，对模式的解释是指 “某种事物的标准形式”,这种标准形式 是通过抽象、概括而产生的。

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按照这种解释，数学的概念、理论、公式、定 理和方法都可以看成是一种模式，显然它们又 是一种数学抽象思维活动的产物，这种抽象不 同于其它科学中的抽象。首先，在抽象的内容 上，它仅仅保留了事物的量的特性，而舍去了 它的质的内容；其次，在抽象的度量上，数学 中的概念，并非都是真实事物或现象的直接抽 象的结果，而是在第一次抽象的基础上，进行 多次的再抽象。换句话说，由概念引出概念， 如正方形是由长方形引出的概念；再次，在抽 象的方法上，它是一种“建构”的活动，也就 是说，数学的对象是借助于明确的定义得到构 造的，数学理论又是建立在逻辑演绎之上来展 开的。

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例1 关于数学概念的模式 我们知道“1”这个数，是对一个人、一棵树、一间房 等类事物的量的特性的刻画，是抽象思维的产物。实 际上，在现实世界里并不存在作为数学研究对象的真 正的“1”。又如，现实世界中，我们只看到圆形的十 五的月亮，圆形的水池，圆形的车轮，而数学概念中 的“圆”,则是这类事物的标准形式，反映了这类事 物都具有的“到一个定点的距离等于定长

”的量的特 性。在高等数学中，我们知道瞬时速度可以看成是距 离对时间的导数、电流是电量对时间的导数等，我们 如果将距离、电量、曲线等一类事物都抽象成关于x的 函数f(x),那么刻画函数的变化率这一普遍意义的现象， 可以用导数这一标准形式——模式来表示，这样，我 们把数学概念都可以看成是量化模式。

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例2 关于数学问题的模式 问题1 下面的两个问题，我们如果从质的方面 来看，显然是两个不同的问题，但若从量的属 性角度来看，却是同一个标准形式. (1)某人有两套不同的西装和三条不同颜色的 领带，问共有多少种搭配方法？ (2)有两个军官和三个士兵，现由一个军官和 一个士兵组成巡逻队，问共有多少种组成方法？ 这类问题，如果我们都舍去各自的质的内容， 它们就可以抽象成下面的形式(图1-1)

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问题2 著名的Euler“七桥问题” 东普鲁士哥尼斯堡(原苏联加里宁格勒)有一 条布勒尔河，这条河有两条支流，在城中心汇 合成大河，河中有一小岛，现有七座桥将它与 陆地连接(图1-2)

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1735年左右，哥尼斯堡大学生傍晚散步时，总 想一次走过七座桥，要求每座桥只准走一遍， 试来试去总未成功，于是，他们写信求教瑞士 的大数学家Euler,他用了几天时间反复思考、 想象，终于在1736年解决了这个问题(图1-3)

他解决这个问题的优美之处，在于把问题简单化、理想化， 将问题中的陆地和岛抽象成四个点，七座桥抽象成七条线， 人们一次不重复地走过四块陆地和七座桥的问题，就化归 为能否一笔画成图1-2的问题了-“线路拓扑学”的先驱工作.

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问题3 六人集会问题.试证明六个人集会，总 是有三个互相认识，或者有三个互相不认识。 同样，我们也可以通过数学抽象，将这个实际 问题，转化为纯数学的问题—建构一种模式， 并对其进行研究。事实上，集会中的六个人， 用平面上的六个点A1,A2,A3,A4,A5,A6来表 示，每两人相识则用实线连接，不相识则用虚 线连接，这样 于是，原来的问题就转化为：证明在上述15条 线段中，一定有某三条实线段或某三条虚线段 构成一个三角形，这就成了一个纯数学问题， 运用抽屉原则就得到要求的结论。

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上面三个问题，虽然都来自于现实世界的问题， 且有不同的实际背景，但是每个问题经过抽象 之后，“它们所反映的已不是某一特定事物或 现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的 方面的特性”。像这样超越特殊对象而具有普

遍意义的问题就是一种模式，即量化模式。

综上所述，数学的概念、命题(理论)、公式、 定理、问题和方法等等，事实上都是一种量 化的模

式，这样一来，“数学即是关于量化 模式的建构与研究。”正如美国数学家 L.Steen所说：“数学是模式的科学，数学家 从数中、空间中、科学中和想象中寻找模式， 数学理论阐明了模式间的关系。”

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“数学是模式的科学”与“数 学是量的科学”的定义相比， 我们认为前者的界定比后者更 为恰当，更为精确。这是因为 前者的定义，不仅指出了数学 的研究对象，而且指明了数学 研究的思想方法，这就更明确 了数学的本质。

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