2010 年高考数学重点复习知识点(含练习题)---------南通四星级高

2010 年高考数学重点复习知识点（含练习题）

---------南通四星级高中数学资料

9、注意命题p?q的否定与它的否命题的区别:

命题p?q的否定是p??q；否命题是?p??q

注意②：函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围。（答：

命题“p或q”的否定是“┐P且┐Q”，“p且q”的否定是“┐P

一、集合与逻辑 或┐Q”

注意：如 “若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的

1、区分集合中元素的形式：如：?x|y?lgx?—函数的定义域；

否命题是“若a和b不都是偶数，则a?b是奇数” 否定是“若a和b都是偶数，则a?b是奇数”

?y|y?lgx?—函数的值域；?(x,y)|y?lgx?—函数图象上的点集，

二、函数

10、指数式、对数式： 2如（1）设集合M?{x|y?x?3}，集合N＝y|y?x?1,x?M，

?12?m?） 23③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证不

??等式. 如函数y?log1?x?2x的单调递增区间是________(答：

2?2?则MN?___（答：[1,??)）；

a?a，alg2?lg5?1，logemnnm?mn0a?1，loga1?0，logaa?1，，，?1man（2）设集合M?{a|a?(1,2)??(3,4),??R}，

x?lnx，ab?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0)，

2N?{a|a?(2,3)??(4,5)，??R}，则M?N?_____（答：

1logalogaN?N。如()28的值为________(答：

1) 64（1,2）)。

16、奇偶性：f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。 17、周期性。（1）类比“三角函数图像”得：

①若y?f(x)图像有两条对称轴x?a,x?b(a?b)，则

{(?2,?2)}）

2、条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了A??的情况

如：A?{x|ax?2x?1?0}，如果A?R??，求a的取值。（答：a≤0）

3、A?B?{x|x?A且x?B};A?B?{x|x?A或x?B}

CUA={x|x∈U但x?A};A?B?x?A则x?B;真子集怎定义？ 含n个元素的集合的子集个数为2,真子集个数为2－1;如满足

n

n

2?11、一次函数:y=ax+b(a≠0) b=0时奇函数;

2

12、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶

2

点?);顶点式f(x)=a(x-h)+k;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?);b=0偶函数;

③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数y?y?f(x)必是周期函数，且一周期为T?2|a?b|；

②若y?f(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a?b)，则

12x?2x?4的定义域、值域都是闭区2y?f(x)是周期函数，且一周期为T?2|a?b|；

③如果函数y?f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x?b(a?b)，则函数y?f(x)必是周期函数，且一周期为

间[2,2b]，则b＝ （答：2）

④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;

13、反比例函数:y?14、对勾函数y?x?cc(x?0)平移?y?a?(中心为(b,a))

x?bxa是奇函x{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M有______个。 （答：7）

4、CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=?

5、A∩B=A?A∪B=B?A?B?CUB?CUA?A∩CUB=??CUA∪B=U 6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如已知函数f(x)?4x?2(p?2)x?2p?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)?0，求实数p的取值范围。 （答：

22T?4|a?b|；

如已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程

f(x)?0在[?2,2]上至少有__________个实数根（答：5）

（2）由周期函数的定义“函数f(x)满足

0),(0，??)上为增函数 数,a?0时,在区间(??，a?0时,在(0，a],[?a,0)递减 在(??，?a],[a,??)递增

3(?3,)）

27、原命题: p?q;逆命题: q?p;否命题: ?p??q；逆否命题: ?q??p；互为逆否的两个命题是等价的.

如：“sin??sin?”是“???”的 条件。（答：充分非必要条件）

8、若p?q且q?要非充分条件）;

)f(x)是周期为a的周期函数”得：①f?x??f?a?x?(a?0，则

15、单调性①定义法;②导数法. 如：已知函数f(x)?x?ax在区间[1,??)上是增函数，则a的取值范围是____(答：(??,3]))；

注意①：f?(x)?0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)?x在(??,??)上单调递增，但f?(x)?0，∴f?(x)?0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

33函数f(x)满足?f?x??f?a?x?，则f(x)是周期为2a的周期函数；②若f(x?a)?1(a?0)恒成立，则T?2a；③若f(x)p;则p是q的充分非必要条件（或q是p的必

f(x?a)??1(a?0)恒成立，则T?2a. f(x)如(1) 设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当

轴伸缩为原来的a倍得到的. 19、函数的对称性。

①满足条件f?x?a??f?b?x?的函数的图象关于直线

若f(a－x)＝f(b+x),则f(x)图像关于直线x=y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x=

a?b对称;两函数20?x?1时，f(x)?x，则f(47.5)等于_____(答：?0.5)；(2)

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?2)?f(x)，且在[?3,?2]上是减函数，若?,?是锐角三角形的两个内角，则f(sin?),f(cos?)的大小关系为_________(答：f(sin?)?f(cos?))； 18、常见的图象变换

①函数y?f?x?a?的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向左(a?0)或向右(a?0)平移

b?a对称。 2x?a?b2对称。如已知二次函数f(x)?ax?bx(a?0)满足条件2提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如（1）已知函数

f(5?x)?f(x?3)且方程

f(x)?x有等根，则f(x)＝__(答：

f(x)?x?1?a(a?R)。求证：函数f(x)的图像关于点M(a,?1)a?x?12x?x)； 2成中心对称图形。

⑥曲线f(x,y)?0关于点(a,b)的对称曲线的方程为

②点(x,y)关于y轴的对称点为(?x,y)；函数y?f?x?关于y轴的对称曲线方程为y?f??x?；

③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,?y)；函数y?f?x?关于xf(2a?x,2b?y)?0。如若函数y?x2?x与y?g(x)的图象关

于点（-2，3）对称，则g(x)＝______（答：?x?7x?6）

⑦形如y?ax?b(c?0,ad?bc)的图像是双曲线，对称中心

2a个单位得到的。如要得到

轴的对称曲线方程为y??f?x?；

④点(x,y)关于原点的对称点为(?x,?y)；函数y?f?x?关于原点的对称曲线方程为y??f??x?；

⑤点(x,y)关于直线y??x?a的对称点为

y?lg(3?x)的图像，只需作y?lgx关于_____轴对称的图像，再

向____平移3个单位而得到(答：y；右)；（3）函数

cx?d是点(?d,a)。如已知函数图象C?与C:y(x?a?1)?ax?a?1关

2f(x)?x?lg(x?2?)的图象与x轴的交点个数有____个(答：2)

②函数y?f?x?+a的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向上(a?0)或向下(a?0)平移

cc于直线y?x对称，且图象C?关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）

⑧|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；

a个单位得到的；如将函数

y?b?a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得x?a(?(y?a),?x?a)；曲线f(x,y)?0关于直线y??x?a的对称曲

f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图

象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如（1）作出函数y?|log2(x?1)|及y?log2|x?1|的图象；（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)?f(x)?f(x)的图象关于____对称 （答：y轴）

20.求解抽象函数问题的常用方法是：

（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ： ①

正

比

例

函

数

型

：

图象如果与原图象关于直线y?x对称,那么 (A)a??1,b?0 线的方程为f(?(y?a),?x?a)?0。特别地，点(x,y)关于直线

(B)a??1,b?R (C)a?1,b?0 (D)a?0,b?R (答：C)

③函数y?f?ax?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿

y?x的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)?0关于直线y?x的对称曲

线的方程为f(y,x)?0；点(x,y)关于直线y??x的对称点为

x轴伸缩为原来的得到的。如（1）将函数y?f(x)的图像上所有

点的横坐标变为原来的

1a(?y,?x)；曲线f(x,y)?0关于直线y??x的对称曲线的方程为f(?y,?x)?0。如己知函数f(x)?x?33,(x?),若2x?321（纵坐标不变），再将此图像沿x轴方向向3f(?x)?k( xk左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：f(3x?6))；（2）如若函数y?f(2x?1)是偶函数，则函数y?f(2x)的对称轴方程

y?f(x?1)的图像是C1,它关于直线y?x对称图像是C2,C2关

------f(x?y)?f(x)?f(y)；

于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是___________

21是_______(答：x??)．

2④函数y?af?x?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿yx?2（答：y??）；

2x?1②幂函数型：f(x)?x ---f(xy)?f(x)f(y)，f()?xyf(x)； f(y)xf()?f(x)?f(y)； yf(x)义在R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，那么

③指数型：f(x)?a f(x?y)?f(x)f(y)，f(x?y)?； f(y)当x?(??,0)时，f(x)=________（答：x(1?3x)）. 这里需值得

④对数型：f(x)?logax -f(xy)?f(x)?f(y)，

注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是

x④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

如：y?2sin??13的值域（答：(??,]）；

1?cos?2⑤不等式法――利用基本不等式a?b?2ab(a,b?R?)求函数的最值。如设x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则

g(x)的值域。

⑤三角函数型：f(x)?tanx----- f(x?y)?f(x)?f(y)。

1?f(x)f(y)（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。如（1）已知f(x)?2f(?x)?3x?2，求f(x)的解析式（答：f(x)??3x?如已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则f(?(a1?a2)2的取值范围是____________.（答：(??,0][4,??)）。

b1b2⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如

T)?__（答：0） 221.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f(x)定义域为A,值域

-1-1

为B,则f[f(x)]=x(x∈B),f[f(x)]=x(x∈A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。

如：已知函数y?f(x)的图象过点(1,1),那么f?4?x?的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））； 22、题型方法总结

Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 Ⅱ求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：f(x)?ax?bx?c；顶点式：

2219y?x?(1?x?9)）；（2）已知f(x)是奇函数，求，，y?sin2x?3x1?sin2x80111y?2x?2?log3?5?x?的值域为______（答：(0,)、[,9]、g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)= ,则f(x)= （答：

x?192x

； 0,???））。 ?2

x?1

⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如（1）已知点P(x,y)在圆x?y?1上，求

22Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对

数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域；

如：若函数y?f(x)的定义域为?,2?，则f(log2x)的定义

2域为__________（答：x|2?x?4）；（2）若函数f(x?1)的定义域为[?2,1)，则函数f(x)的定义域为________（答：[1,5]）．

y及y?2x的x?2?1???取值范围（答：[?33,]、[?5,5]）；（2）求函数33??y?(x?2)2?(x?8)2的值域（答：[10,??)）；

2 ⑧判别式法：如（1）求y?。如已知f(x)?a(x?m)2?n；零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)）

x?11??,?）的值域（答：；（2）?1?x222??Ⅳ求值域:

①配方法：如：求函数y?x?2x?5,x?[?1,2]的值域（答：[4,8]）；

2f(x)为二次函数，且 f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)=1,图象在x

轴上截得的线段长为2

x?2x2?x?11求函数y?的值域（答：[0,]）如求y?的值域

2x?1x?3（答：(??,?3][1,??)）

⑨导数法;分离参数法;―如求函数f(x)?2x?4x?40x，

322,求f(x)的解析式 。（答：

f(x)?12x?2x?1） 23xx②逆求法（反求法）：如：y?通过反解，用y来表示3，x1?3再由3的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围（答：（0,1））；

③换元法：如（1）y?2sinx?3cosx?1的值域为_____（答：

的值域为_____（答：3,???）

2x（2）代换（配凑）法――已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。如（1）已知f(1?cosx)?sinx,求fx2x?[?3,3]的最小值。（答：－48）

用2种方法求下列函数的值域：①y???的解析式（答：

23?2x(x?[?1,1])②3?2x11172；（2）若f(x?)?x?2，[?4,]）；（2）y?2f(x2)??x4?2x2,x?[?2,2]）x?1?x?1x8x则函数f(x?1)=_____（答：x?2x?3）；（3）若函数f(x)是定

2?x2?x?3x2?x?3,x?(??,0)；③y?,x?(??,0) （y?xx?1t?0。（令x?1?t，运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）；

⑤解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.⑥恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x)恒成立?a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立?a≤[f(x)]min; ⑦任意定义在R上函数f（x）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f（x）＝g(x)＋h(x) 其中g（x）＝

f（x）＋（－f）x是偶函数，h（x）＝

2f（x）－（－f）x是奇函数

2⑦利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令

y?x或y??x等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）

若

a/q,a/q,aq,aq (为什么？)

?an?an?b(一次)?sn?An?Bn(常数项为0的二次);a,b,A,B??如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求

?an2?an-1?an?1(n?2,n?N)an ｛an}等比????q(定); 此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

an?1an?0?33. 等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、

S4m - S3m、??仍为等差数列。

?an?a1?qn?1?sn?m?m?qn;m??

等比数列{an}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等比数列。

如若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝ （答：－1）

如：公比为-1时，S4、S8-S4、S12-S8、?不成等比数列

28、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)

a?0?an?0问题,转化为解不等式?n,或用二次函数处理;(等比34.等差数列{an},项数2n时,S偶-S奇＝nd;项数2n-1时,S奇-S偶＝an ;

233

(或?)??an?1?0?an?1?0x?R，

f(x) (f满足

y 前n项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{an}是等

项数为2n时，则

S偶S奇?q;项数为奇数2n?1时，S奇?a1?qS偶.

f(?x?)yx35.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找

通项结构.

nn

分组法求数列的和：如an=2n+3 、错位相减法求和：如an=(2n-1)2、裂项法求和：如求和：1??f(y)，则f(x)的奇偶性是______

（答：奇函数）；

（2）若x?R，f(x)满足

O 1 2 3 x 差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，a2003?a2004?0，则使前n项和

（答：

11??1?21?2?3?11?2?3??n?

Sn?0成立的最大正整数n是 （答：4006）

29、等差数列中an=a1+(n-1)d;Sn=na1?n(n?1)n(n?1)n(a1?an)d=nan?d=

222a1(1?qn)a1?anqn-1

等比数列中an= a1 q;当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn==

1?q1?qam?an;当m?n2n）、倒序相加法求和：如① n?1n?(2n?1)Cn?(n?1)2n；②已知

012求证：Cn?3Cn?5Cn?f(xy)?f(?x)f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：偶函数）；

（3）已知f(x)是定义在(?3,3)上的奇函数，当0?x?3时，f(x)的图像如右图所示，那么不等式f(x)cosx?0的解集是_____________（答：(?x2f(x)?，则

1?x21117f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()＝___（答：）

234236.求数列{an}的最大、最小项的方法（函数思想）：

?,?1)(0,1)(,3)）；

22??30.常用性质：等差数列中, an=am+ (n－m)d, d??（4）设f(x)的定义域为R，对任意x,y?R，都有

m+n=p+q,am+an=ap+aq；

n-m

等比数列中，an=amq; 当m+n=p+q ，aman=apaq；

如（1）在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比

x1f()?f(x)?f(y)，且x?1时，f(x)?0，又f()?1，①求

2y证f(x)为减函数；②解不等式f(x)?f(5?x)??2.（答：

??0??1a??2

①an+1-an=????0 如an= -2n+29n-3 ②n?1????1

an??0??1??q是整数，则a10=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{an}9n(n?1)(an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 n10如an=

lg中，若a5?a6?9，则o31aol?g32a?olg?301a? （答：10）。

?0,1??）． 4,?5S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2,n?N*)31.常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、? 注意验证a1是否包含在an 的公式

n 2n?156三、数列、 26、an={

?1??an?a?、{anbn}、??等比;{an}等差,则?c?(c>0)成?bn??bn?n求通项常法: （1）已知数列的前n项和sn,求通项an，可利用?S1 (n?1)an???Sn?Sn?1 (n?2) 公式:

中。

27、｛an｝等差?an?an?1?d(常数)?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*中项)

等比.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0且c?1)等差。

32.等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;

等比三数可设a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：

11如：数列{an}满足a1?2a2?221?nan?2n?5，求an（答：2??x??)?b（??0,A?0）①五点法作图;②振幅?39、函数y=Asin(相位?初相?周期T=

14,n?1an?n?1）

2,n?2（2）先猜后证（3）递推式为an＋1＝an＋f(n) (采用累加法)；an＋1＝an×f(n) (采用累积法)；

如已知数列{an}满足a1?1，an?an?1??2??,频率?φ=kπ时奇函数;φ=kπ+时偶函数.

2?43、重要公式： sin2??1?cos2?；cos2??1?cos2?．；

22③对称轴处y取最值,对称中心处值为0;余弦正切可类比. 如（1）

?1?cos?sin?1?cos?;1?sin??(cos??sin?)2?cos??sin? tan????21?cos?1?cos?sin?2222?5???2x?的奇偶性是______（答：偶函数）函数y?sin?；（2）已知2??函数f(x?)a?xb3sin?1x为常,数，且f(5)?7，则(ab）

53(x?R)的单2?5?,k??](k?Z)） 调递增区间为___________（答：[k??1212如：函数f(x)?5sinxcosx?53cos2x?巧变角：如??(???)???(???)??，

1n?1?n(n?2)，则

f(?5)?______（答：－5）；

2??(???)?(???)，2??(???)?(???)，

（3）函数y?2cosx(sinx?cosx)的图象的对称中心和对称轴分别

an=________（答：an?n?1?2?1）

（4）构造法形如an?kan?1?b、an?kan?1?bn（k,b为常数）的递推数列如①已知a1?1,an?3an?1?2，求an（答：； an?23n?1?1）（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以

下3个公式的合理运用

an＝（an－an-1）+(an-1－an-2)+??＋（a2－a1）＋a1 ； an＝

k???,1)(k?Z)、是____、____________（答：(28k??x??(k?Z)）；

28????2????2，

???2?????2??????2?等），如（1）已知

tan(???)?2?1?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____5444（4）已知f(x)?sin(x??)?3cos(x??)为偶函数，求?的值。（答：（答：??k???6(k?Z)）

anan－1a2??a1 an－1an－2a1an?1（6）倒数法形如an?的递推数列都可以用倒数法求通项。

kan?1?b如①已知a1?1,an?④变换:φ正左移负右移；b正上移负下移;

y?sinx??????y?sin(x??)y?sinx??????????横坐标伸缩到原来的1倍左或右平移|?|???????????左或右平移||横坐标伸缩到原来的1倍y?sin(?x??)

3）；（2）已知?,?为锐角，sin??x,cos??y，223cos(???)??，则y与x的函数关系为______（答：

5343y??1?x2?x(?x?1)）

555asinx?bcosx?a2?b2sin?x???(其中tan??44、辅助角公式中辅助角的确定：

y?sin?x???????y?sin(?x??)

b)如：（1）当a标伸缩到原来的A倍下平移|b|?纵坐????????y?Asin(?x??)?上或?????y?Asin(?x??)?b

函数y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是______(答：

an?11，求an（答：an?）；②已知

3n?23an?1?11） n240、正弦定理:2R=定理：

abc==; 内切圆半径r=2S?ABC余弦sinAsinBsinCa?b?c?数列满足a1=1，an?1?an?anan?1，求an（答：an?37、常见和：1?2?3?3)；（2）如果f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，则2tan?= (答：－2)；

?n?1n(n?1)，

2，

b2?c2?a2111a=b+c-2bccosA,cosA?;S?absinC?bcsinA?casinB

2222bc22212?22??n2?1n(n?1)(2n?1)6n(n?1)213?23?33??n3?[]

2术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°＝等

五、平面向量

1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.

(2)向量的表示：几何表示法AB；字母表示法：a坐标表示法 a＝

四、三角

38、终边相同(β=2kπ+α); 弧长公式：l?|?|R，扇形面积公式：

tan?sin??3cos???1，则＝

tan??1sin??cos?5132____；sin??sin?cos??2＝_________（答：?；）；

3541、同角基本关系：如：已知

42、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视．．．．．．．．．．．．．．?) ．为锐角．．．．

ｘi＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.

(3向量模（向量的长度）：即向量的大小，记作｜a｜. (4特殊的向量：零向量：长度为0的向量。a＝0S?1lR?1|?|R2，1弧度(1rad)?57.3. 如已知扇形AOB的周

22长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2cm） 2?｜a｜＝0

单位向量：长度为1个单位长度的向量。a0为单位向量?｜a0｜＝1. (5相等的向量：大小相等方向相同。(ｘ1 ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）(2)两个向量平行的充要条件＝O.

(3)两个向量垂直的充要条件3、a?b?a?b?a?b, a∥b?a＝?b(b≠0)?x1y2－x2y1a⊥b?a·b＝O?x1x2＋y1y2＝O.

②PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心； ③向量

?(AB?AC)(??0)所在直线过?ABC的内心(是

|AB||AC|?x1?x2??向量可以平移。 y?y2?1(6 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。(a的相反向量是－a。) a=-b?b=-a?a+b=0 (7平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b. 规定0与任一向量平行 2.向量的运算 运算 向量的 加法 几何方法 1.平行四边形法则（共起点） 2.三角形法则（首尾相连） 坐标方法 运算性质 4、向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则：

①a?b?a?b?0；

②当a，b同向时，a?b＝ab，特别地，

?BAC的角平分线所在直线)；

④|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心；

如：（1）若O是

ABC所在平面内一点，且满足

OB?OC?OB?OC?2OA，则ABC的形状为____（答：直角

三角形）；（2）若D为?ABC的边BC的中点，?ABC所在平面内有一点P，满足PA?BP?CP?0，设|AP|??，则?的值为___

|PD|（答：2）；（3）若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则

△ABC的内角C为_（答：120）；

a?a?a?a,a?a；当a与b反向时，a?b＝－ab；

222 b不同向，a?b?0是?为锐角的当?为锐角时，a?b＞0，且a、 b不反向，a?b?0必要非充分条件；当?为钝角时，且a、a?b＜0，

是?为钝角的必要非充分条件；③|a?b|?|a||b|。如（1）已知

a?b?(x1?x2,y1?y2) a?b?b?a (a?b)?c?a?(b?c) ?a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值

41或??0且??）； 33a?ba???8、线段的定比分点公式

OP1??OP2 (线段设点P分P1P2的比为?,则P2，则OP＝1P=?PP1??AB?BC?AC 范围是______（答：???向量三角形法则（共起的 点） 减法 1.?a是一个向量,满足:|?a|?|?||a| a?b?(x1?x2,y1?y2) a?b?a?(?b) AB??BAOB?OA?AB 5、向量b在a方向上的投影︱b︱cos?＝,的定比分点的向量公式) 注：?＞0内分;?＜0且?≠-1外分.若λ＝1 则OP＝

1(OP+OP2); 12

6、(1)平面向量基本定理：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝

??x1??x2?x?,??1??设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)则?(线段定比分点的坐标

y??y2?y?1.?1???数 2.?>0时, ?a与a乘 同向; ?a?(?x,?y) ?<0时, ?a与a向 量 异向; ?=0时, ?a?0. a?b是一个数 向 1.a?0或b?0时， 量 a?b?0. 的 a?b?x1x2?y1y2 2.数 量 a?0且b?0时， 积 ab?|a||b|cos(a,b)?(?a)?(??)a (???)a??a??a λ1e1+λ2e2。（注：e1和e2是平面一组基底。）

特别：. OP＝?1OA??2OB则?1??2?1是三点P、A、B共线的充要条件如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点

????公式);

x1?x2x1?x2?x3??x?,x?,????32中点?三角形重心?

y?y?yy?y232?y?1?y?1..??3?2??(a?b)??a??b a?b?b?a (?a)?b?a?(?b)??(a?b)A(3,1),B(?1,3),若点C满足OC??1OA??2OB,其中

????????? (a?b)?c?a?c?b?c a?|a|2即|a|=x2?y2|a?b|?|a||b| 2?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是_______（答：直线AB）

7、在?ABC中，①PG?1(PA?PB?PC)9、平移公式

曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)

①点P(x,y)按a?(h,k)平移得P?(x?,y?),则PP?＝a 或???? 3?G为?ABC的重心，

?x??x?h

?y??y?k② 函数y?f(x)按a?(h,k)平移得函数方程为：y?k?f(x?h) 如（1）按向量a把(2,?3)平移到(1,?2)，则按向量a把点(?7,2)平

特别地PA?PB?PC?0?P为?ABC的重心；

移到点______（答：（－８，３））；（2）函数y?sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y?cos2x?1，则a＝________（答：(???量，则角与角<>相等或互补，所以

为：拆、凑、平方；如：①函数y?4x?91(x?)的最小2?4x2cos??cos?m,n?=

m?nm?n

xy值 。（答：8）②若若x?2y?1，则2?4的最小值

?4,1)）

是______（答：22）； ③正数x,y满足x?2y?1，则

； 3?22）10、空间向量的坐标运算：

空间直角坐标系的三条坐标轴．一般可取垂直线为Oz轴，并以向上的方向作为它的正向，并确定Ox轴、Oy轴的正向，使之能符合右手系的规定．

类似于平面向量也可定义空间向量的加法、减法、实数与向量的乘法等运算：a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，则 ①a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，

②a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，③ab?a1b1?a2b2?a3b3， ④a//b?a??b，a?b?ab?0， 设点

（4）、求解线面角：平面的法向量为，斜线为AB，则线面角．．．的正弦值等于cos?AB,n??．．．．

AB?nAB?n

11?的最小值为______（答：xy六．不等式

(一)、不等式的基本性质：

注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ①若ab>0，则

(三)、绝对值不等式： a?b?a?b?a?b(何时取等？)；|a|≥a；|a|≥－a基本变形：

注意：上述等号“＝”成立的条件； (四)、； 证明不等式常用方法：

（1）比较法: ①作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；②作商（常用于分数指数幂的代数式）；③分析法； 4平方法；○55）分子（或分母）有理化；○6利用函数的单调性； ○7○

8图象法。其中比较寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法 ；○

1设a?0且a?1,t?0，比法（作差、作商）是最基本的方法。如△较

11?。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，ab不等号方向要改变。②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。如：已知=

A(1x,1y,，z)

AB?B(x2,y2,z2)，

AB?OB?OA?1?x?y?1，1?x?y?3，则3x?y的取值范围是______（答：1?3x?y?7）；

（x2?x1,y2?y1,z2?z1）长度。

222?x2?x1???y2?y1???z2?z1?可用于求线段

a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)a?aa?a12?a22?a32，可

用于求线段长度。

cos?a,b??a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223b?b?b212223 1t?11t?1logat和loga的大小（答：当a?1时，logat?loga2222③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、

1t?1t?10?a?1logt?log（时取等号）；当时，（t?1时取三角函数的图象），直接比较大小。 aa22④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比

1?a2?4a?22等号））；△设a?2，p?a?，q?2，试比较p,q的较它们的大小

a?2：作差比较： (二)、常用不等式：若a,b?0，（1）大小（答：p?q）

（2）综合法：由因导果。

a?b?a?b?ab?2（当且仅当a?b时取等号） ；（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证??只需证??，只需证?? 221?1（4）反证法：正难则反。

ab（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

222放缩法的方法有： ①添加或舍去一些项， ②将分子或分母放大（或（2）a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c缩小）

2211、 空间向量解立体几何的应用：

（1）、求解点面距离：点A到平面的距离为AB在法向量方向上的投影AC。

AC?ABcos??ABn

n时，取等号）；（3）若a?b?0,m?0，则

AB,CD

所成的角：

（2）、求解异面直线

bb?m? aa?m ③利用基本不等式， ○4利用常用结论： （6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：常用的换元有三角换元和代数换元。如：

已知x?y?a，可设x?acos?,y?asin?；

已知x?y?1，可设x?rcos?,y?rsin?(0?r?1)；

22222b满足ab?a?b?3，如：如果正数a、则ab的取值范围是_________

（答：9,???） 基本变形：①a?b?COS?=cos?AB,CD?=

AB?CDAB?CD

?ab； ② (（3）、求解二面角：设二面角的大小为分别是两平面的法向

a?b2)?ab； 2注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。常用的方法

x2y2已知2?2?1，可设x?acos?,y?bsin?；

abx2y2已知2?2?1，可设x?asec?,y?btan?

ab（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

(六)、不等式的解法：

（1）一元一次不等式： 利用单调性

（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对 进行讨论： （3）绝对值不等式：； 解绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：

①定义法：对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；.含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。

②公式法：|f(x)|>g(x)? ;|f(x)|

③两边平方:.通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。

④ 几何意义：| x-a|表示数轴上一点到a的距离

（4）分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法（穿线法）.注意偶次式与奇次式符号.奇穿偶不穿。

（5）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。 （6）解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：

①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.

②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为 （或更多）但含参数，要分 类 讨论。

第七章 直线方程与圆 (一)、基础知识：

1、直线的倾斜角.倾斜角α∈[0,π],

0

2、斜率α=90斜率不存在;斜率k=tanα

3、斜率公式k=y2?y1 x2?x1 平行或重合l1//l2或l1与l2重合?A1B2?B1A2?0 3l1与l2相交?○

4、直线方程的五种形式及其适用条件 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 直线方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b y?y1x?x1 ?y2?y1x2?x1适用条件 K存在时 K存在时 与坐标轴不垂直时 a b存在a≠0;b≠0 A1B14l1?l2?A1A2?B1B2?0 ? ○

A2B2xy??1 ab3、直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程。

1平行直线系方程：与Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+M=0 ○

2垂直直线系方程：与Ax+By+C=0垂直的直线为Bx-Ay+N=0 ○

3交点直线系方程：过交点的直线为○

Ax+By+C=0 A2?B2?0 A1x+B1y+C1+?（A2x+B2y+C2）=0

k?k4、l1到l2的角tanθ=k2?k1;夹角tanθ=|21|

1?k2k1(二)、常见题型： 题型一：根据已知条件求直线的斜率和倾斜角或确定其范围，掌握用反三角函数表示倾斜角的大小。 例1：求过下列两点的直线l的斜率k，并确定其倾斜角?的取值范围。 1点P（2，1）和Q（m，2） ○2点P(0,3)和Q(?csc?,0) ○题型二：根据已知条件求直线方程。 例2：过点M（0，1）作直线，使它被两已知直线1?k2k1求两条直线相交时一定要分清是到角还是夹角。是到角那是l1到l2的角，还是l2到l1的角，它们互补

5、对称问题：

1) 点关于点对对称点 A（x,y）关于（a,b）的对称点为B（2a-x,2b-y） 2) 点关于直线的对称点 A(x0,y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点为

（x,y）则有

y-y0A??(?）??1?分，求此直线方程。 x-x0B?A?B?0 （1）时求出x,y即可 ?题型三：直线方程的灵活应用。 ?A?x?x0?B?y?y0?C?0例4：过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴于A、B两点，求使：（1）

??22?AOB面积最小时l的方程；（2）|PA|*|PB|最小时l的方程。 （三）两条直线的位置关系 一、基础知识： 1、两直线平行和垂直的充要条件 若斜率存在l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2则l1∥l2?k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=-1 注意判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条直线无斜率或两条直线无斜率的情况， （2）A?B?0时，直线为x=m或y=n则对称点为

l1:x?3y?10?0,l2:2x?y?8?0所截得的线段恰好被M所平(2m?x0,y0)或(x0,2n?y0)

特别的A(x0,y0)关于x轴，y轴，y=x,y=-x, 对称点为

(x0,?y0),(?x0,y0)，（y0,x0),（-y0,?x0)

3) 直线关于直线对称的直线利用

（1）l1//l2则利用l2与两平行线l1和l1'的距离相等 (2)l1?l2?A则利用到角公式求斜率

特别的f(x,y)=0关于x+y+a=0的对称曲线为f(-x-a,-a-y)=0；f(x,y)=0关于x-y+a=0的对称曲线为f(x-a,y-a)=0

4) 直线关于点对称的直线利用点到两平行线的距离相等 6、点到直线的距离

?l1:A1x?B1y?C1?02、两直线?的位置关系可由系数比来确定，?l2:A2x?B2y?C2?0当系数不为0时，有： 1l1//l2?○A1B1C1ABC2l1与l2重合?1?1?1 ?? ○A2B2C2A2B2C2（1） 点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离。d=|Ax0?By0?C|

A2?B2（2） 两平行直线的距离。l1∥l2则化为同x、y系数后距离

d=

|C1?C2|A?B22

常见题型：

题型一：直线的平行与垂直

例1：已知直线l1：x?ay?6?0；l2：(a?2)x?3ay?2a?0，求当a为何值时，l1 与l2相交、平行、重合。

题型二：直线系方程的应用

例2：已知直线l与点A（3，3）和B（5，2）的距离相等，且过二直线l1：3x-y-1=0和l2：x+y-3=0的交点，求直线l的方程。 题型三：两条直线的夹角与到角

例3：过两条直线2x+y+8=0和x+y+3=0的交点作一条直线l，使它夹在两条平行线l1，l2：x-y-5=0和x-y-2=0之间的线段MN长为5，求这条直线的方程。

题型四：点到直线的距离

例1：已知正方形的中心G(?1,0)，一边所在的直线方程为

2题. （五）圆

222

1. 圆的方程的标准式是(x－a)+(y－b)=r，圆心是（a,b），半径

是 r ；

22

圆的方程的一般式是x+y+Dx+Ey+F=0，配方得 ，

22

其中圆心是 ，半径是 （其中：(D+E-4F>0)）；

?x?a?rcos?圆(x?a)?(y?b)?r(r?0)的参数方程是?

?y?b?rsin?222(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：

设圆C1∶x2?y2?D1x?E1y?F和圆C2∶1?0若两圆相交，则过两圆交点的直线方x2?y2?D2x?E2y?F2?0，程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0． (3)圆系方程：

①设圆C1∶x2?y2?D1x?E1y?F和圆1?0C2x2?y2?D2x?E2y?F2?0．若两圆相交，则过交点的圆系方程

22为x2?y2?D1x?E1y?F (λ1??(x?y?D2x?E2y?F2)?02.点与圆的位置关系:设圆C∶(x?a)?(y?b)?r点M(x0,y0) 到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r 点M在圆外；(2)d=r

点M在圆上；(3)d＜r 点M在圆内． 3．直线与圆的位置关系:设圆 C∶(x?a)?(y?b)?r，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，b)到直线的距离为d则有：(1)d＜r 直线与圆相交； (2)d=r 直线与圆相切；(3)d＜r 直线与圆相离，即几何特征；

222222为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．

②设圆C∶x2?y2?D1x?E1y?F与直线l：Ax+By+C=0，1?0若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为

x2?y2?D1x?E1y?F1??(Ax?By?C)?0 (λ为参数)．

解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量u??1,k?或u??m,n?；

（2）给出OA?OB与AB相交,等于已知OA?OB过AB的中点;

?(x?a)2?(y?b)2?r2或者?消去y得x的一元二次方程的判

Ax+By+C=0?别式为△，则有

(1)△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切； (3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征， 4．圆与圆的位置关系

设圆C1：(x?a)?(y?b)?r和圆C2：

222??l1:x?3y?5?0，求其它三边所在的直线方程。

题型五：对称问题

例2：一条光线从M(5,3)点射出后，被直线l:x?y?1反射，入射光线到l的角为?，且tan??2，求入射光线和反射光线所在的直线方程。

题型六：数形结合

若直线l:y?kx?3与直线2x?3y?6?0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A、[?（3）给出PM?PN?0,等于已知P是MN的中点;

（4）给出AP?AQ??BP?BQ,等于已知A,B与PQ的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数；③若存在实数?,使AB??AC?,?,且????1,使OC??OA??OB,等于已知A,B,C三点共线.

（6） 给出OP???(x?m)2?(y?n)2?k2 (k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：

(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r 两圆内切；(3)d＞k+r 圆外离； (4)d＜k+r 两圆内含；(5)k-r＜d＜k+r 两圆相交． 5．(1)过圆上一点的切线方程：

①圆x?y?r圆上一点为(x0,y0)，则此点的切线方程为

222两

OA??OB，等于已知P是AB的定比分点，

1????,) B、(,) C、(,) D、[,] 63633262??????（四）线性规划

1． 会用特殊点法判断二元一次不等式表示的区域（“直线定界，特222②圆(x?a)?(y?b)?r，圆上一点为(x0,y0)，则过此点的切线

殊点定域”）；

2． 掌握在线形约束条件下的线形目标函数的最值问题的解决方法；

方程为(x?a)(x0?a)?(y?b)(y0?b)?r2 (课本命题的推广)．

3． 掌握线性规划应用问题的一般方法和步骤并能解决有关整点问

x0x?y0y?r2 (课本命题)．

?为定比，即AP??PB

（7） 给出MA?MB?0,等于已知MA?MB,即?AMB是直角,给出MA?MB?m?0,等于已知?AMB是钝角, 给出

MA?MB?m?0,等于已知?AMB是锐角,

???MAMB?（8）给出?????MP,等于已知MP是?AMB的平分

?MAMB???线

（9）在平行四边形

分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径

公式,其它用弦长公式

AB?1?k2?x2?x1?(1?k2)?x|ax|?1??y11?y?y?(1?)21k2|ay|k222②涉及弦

a??,b?????????a?b?O??l??????l??a???//????a???a???l?a,l?b?a??,a?l??⑤线面垂直:;;

;

a//b???b??a???

中点与斜率问题常用“点差法”.如: 曲线x2?y2?1(a,b>0)上

aba???a//????????????0a???a???⑥面面垂直：二面角90; ;

2.平面的基本性质

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上

2p ≠0)有K＝AB

所有的点都在这个平面内. (AB?AD)?(AB?AD)?0，等于已知ABCD是菱形; y1?y2公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通

3.轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、过这个点的公共直线.

（10） 在平行四边形ABCD中，给出|AB?AD|?|AB?AD|，

几何法、代入法(动点P(x,y)依赖于动点Q(x1,y1)而变化,Q(x1,y1)在公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.

等于已知ABCD是矩形; 已知曲线上,用x、y表示x1、y1,再将x1、y1代入已知曲线即得所求根据上面的公理，可得以下推论.

222推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 方程)、参数法、交轨法等.

（11）在?ABC中，给出OA?OB?OC，等于已知O是

推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.

?ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边4.解题注意:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.

避免错误②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法③焦点、垂直平分线的交点）；

3.空间线面的位置关系

准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程④运用假设（12） 在?ABC中，给出OA?OB?OC?0，等于已知O是 共面 平行—没有公共点 技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方?ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； (1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点

22异面(既不平行，又不相交) 程可设为Ax+Bx＝1;共渐进线y??bx的双曲线标准方程可设为

（13）在?ABC中，给出OA?OB?OB?OC?OC?OA，等a 直线在平面内—有无数个公共点

2(2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点 y02于已知O是?ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； x2y2为参数,≠0);抛物线y=2px上点可设为(,y);直线?0???(? (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 2pa2b2?ABC（14）在中，给出

(3)平面与平面 相交—有一条公共直线(无数个公共点)

的另一种假设为x=my+a;⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲

平行—没有公共点 ABACOP?OA??(?)(??R?)等于已知AP通过?ABC线定义.

4. 求空间角 |AB||AC|

??(0,]；①异面直线所成角的求法：（1）范围：（2）求法：平移以第九章 立体几何 的内心；

ABCD中，给出

A(x1,y1)、B(x2,y2)中点为M(x0,y0),则KABKOM=?b2;对抛物线y=2px(p

2

2

a（15）在?ABC中，给出a?OA?b?OB?c?OC?0,等于已知

1.常用定理:

????a//b???a????a//?b????a//??//????a//??a???a????①线面平行;;a???

?//?a//?????????a??a//ba//b?a????a//ba?????a//b??c//bb???a//c?????b?????b???②线线平行:;;;

2O是?ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形

三条角平分线的交点）；

（16） 在?ABC中，给出AD?及补形法、向量法。

如（1）正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于____（答： 1AB?AC,等于已知AD是2??3）； 3?ABC中BC边的中线;

第八章 圆锥曲线

1.对称①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x、y=-x、y=x+m、a??,b????y=-x+m的对称点分别是(ａ,-ｂ),(-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ),(-?//??a?b?O???//?a?????//?????//?ｂ,-ａ),(b-m、a+m)、(-b+m、-a+m)②点(ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0a???//?a//?,b//?????③面面平行:;;

对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解③曲线f(x,y)=0关于点

PO???(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0;关于y=x对称曲线为f(y,x)=0;

?a???a????a?PA关于轴x=a对称曲线方程为f(2a-x,y)=0;关于轴y=a对称曲线方程??a?b0b???a?AO??④线线垂直:;所成角90；(三垂线);逆为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题.

定理? 2.相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判

别式、韦达定理、弦长公式;注意二次项系数为0的讨论;注意对参数

（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为____（答：90°） ②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90]；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为______（答：arcsin6）； 4③二面角：二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法：

S射＝S原?cos?、

（1）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°，则二面角C1—BD1—B1的大小为______（答：

arcsin6）； 31）； 31、计数原理：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．

（2）从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C的余弦值是______（答：

5. 平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系

三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)?顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S侧cosθ=S底;正三角形四心?内切外接圆半径?;

6. 空间距离:①异面直线间距离:找公垂线; ②平行线与面间距离(两平行面间距离)→点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法.③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求;

求球面两点A、B距离①求|AB|②算球心角∠AOB弧度数③用公式L球

面距离

=θ

球心角

×R;纬线半径r＝Rcos纬度。S球=4πR;V球＝

2

43

πR; 3如（1）10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；（2）某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）

⑥先选后排,先分再排(注意等分分组问题) 如某种产品有4只

35）如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：；

次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，

（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）； 发现的不同情况种数是_____（答：576）。

0n1n?12n?22rn?rrnn4、二项式定理(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb

（3）从集合?1,2,3?和?1,4,5,6?中各取一个元素作为点的坐标，则n122rrnn

特别地：(1+x)=1+Cnx+Cnx+?+Cnx+?+Cnx

rn－rr

在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）； 5、二项展开式通项: Tr+1= Cnab ;作用：处理与指定项、特定项、（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）； 常数项、有理项等有关问题。要注意区别二项式系数与项的系数； （5）?A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同?A的6、二项式系数性质:①对称性: 与首末两端等距的二项式系数相

mn－m

顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）； 等.Cn=Cn

②中间项二项式系数最大:n为偶数,中间一项;若n为奇数,中间两项n!m2、排列数公式:An=n(n-1)(n-2)?(n-m＋1)=(n?m)!(m≤n,m、n∈

(哪项?)

*

N), 012n0213③二项式系数和Cn?Cn?Cn?????Cn?2n;Cn?Cn?????Cn?Cn?????2n?1;

mm?1mmm?1?nAn0!=1; Ann.n!=(n+1)!-n!;An n=n!; ?1;An?1?An?mAnm组合数公式：Cnm?An?95、f(x)=(ax+b)展开各项系数和为f(1);奇次项系数和为

1n1[f(1)?f(?1)];偶次项系数和为[f(1)?f(?1)];(ax?by)展开各项系22n

7. 平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、

长度不变;

8. 从点O引射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上;若A到OB与OC距离相等,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上；

9. 常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③割补法④等体积转化⑤线线平行?线面平行?面面平行⑥线线垂直?线面垂直?面面垂直⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.

10.三面角公式:AB和平面所成角是θ,AB在平面内射影为AO,AC在平面内,设∠CAO=α,∠BAC=β,则cosβ=cosθcosα;长方体:对角线长l?a2?b2?c2m!n!n?(n?1)???(n?m?1)=

m!(n?m)!（m≤n）,

m?(m?1)?(m?2)???3?2?1nm?1m1Cn?1; Cn0?1;Cnm?Cnn?m;Cnr?Cnr?1?Cnr?1;Crr?Crr?1?????Crn?Crn??1;Cn?m数和,令x?y?1可得.

7、二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和。 第十一章 概率与统计

1、随机事件A的概率0?P(A)?1，其中当P(A)?1时称为必然事件；当P(A)?0时称为不可能事件P(A)=0；

2、等可能事件的概率（古典概率）：:P(A)=m/n;

如： 设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。（①

;若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成角

2

2

2

分别为α,β,γ,则有cosα+cosβ+cosγ=1;体对角线与过同顶点

222

的三侧面所成角分别为α,β,γ,则cosα+cosβ+cosγ=2;正方体和长方体外接球直径=体对角线长; 特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面

关系的转

线∥线???线∥面???面∥面化，

判定性质????线⊥线???线⊥面???面⊥面????

线∥线???线⊥面???面∥面

第十章 排列、组合、二项式定理

3、主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先。如：某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_____种（答：300）；.②捆绑法

如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____（答：2880）；

（3） 某人射击８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起

的情况的不同种数为_____（答：20）；

③插空法

如（1）3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______种（答：24）；

（2）某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_____（答：42）。

④间接扣除法

如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____（答：15）。

⑤隔板法

2104410；②；③；④） 151252121互斥事件(不可能同时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B); 如：有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答：

8）； 21对立事件(A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一发生):P(A)+P(A)＝1;独立事件(事件A、B的发生互不影响):P(A?B)＝P(A)·P(B);

如（1）设两个独立事件A和B都不发生的概率为

1,A发生B不发生9ax1?b,ax2?b,,axn?b的平均数为ax?b，方差为a2s2。如已特别提醒：（1）x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是f??x0?＝0，f??x0?＝0是x0为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f?(x0)?0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数f?x??x?ax?bx?a在x?1处有

322的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是

2______（答：）；

3知数据x1,x2,?,xn的平均数x?5，方差S2?4，则数据

3x1?7,3x2?7,?,3xn?7的平均数和标准差分别为

（2）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：

答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0 A．15，36 B．22，6 C．15，6 D．22，36 （答：B） 分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、第十二章 导数

0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概1. 导数的定义的常见变形：f(x0??x)?f(x0)lim?f'(x0) ?x?0?x率为_____________;这名同学至少得300分的概率为_____________

kkn-k

f(x)?f(x0)（答：0.228；0.564）；独立事件重复试验：:Pn(K)=Cnp(1-p) 为 lim?f'(x0)x?xx?x0 A在n次独立重复试验中恰发生k次的概率。如（1）袋中有红、黄、

f(x0?k)?f(x0)绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同

? -1 例如：若f?(x0)?2，则limk?012k的概率是_（答：）；

2. 导数的几何意义： 9/

（2）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1k=f(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。

/

瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮V＝s(t)表示t时刻即时速度,a=v′(t)表示t时刻加速度。如一物

0极小值10，则a+b的值为____（答：－7）

nn-1

6.常用的导数公式有：① C'=0(C为常数)；② (x)'=nx (n∈Q)；③ (sinx)'=cosx； ④ (cosx)'=-sinx；

⑤ (e)'=e；⑥ (a)'=alna ⑦

xxxx

；⑧

15用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为__________（答：）

1283、总体、个体、样本、样本容量;抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法)②分层抽样(用于个体有明显差异时). 共同点：每个个体被抽到的概率都相等

，导数的运算法则：乘法 除法 复合函数的求导

法则是什么？

体的运动方程是s?1?t?t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t?3时的瞬时速度为____（答：5米/秒）

3．导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数

2a?R．例如：已知函数f(x)?x?ax?x?1，（Ⅰ）讨论函数f(x)21?内是减函数，的单调区间；（Ⅱ）设函数f(x)在区间?求a的????，33??取值范围．

第一问就是要解不等式，常常要讨论；第二问可以解出整个单调减区

32n。如：某中学有高一学生400人，高Nf(x)?x3?3x

二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n

过点P(2,?6)作曲线y?f(x)的切线，求此切线的方程（答：

的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n= _______（答：200）； 4、总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本

3x?y?0或24x?y?54?0）。

思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描

/

述一个总体的平均水平） 4.研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f(x)≥0

//

直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，得增区间;解不等式f(x)≤0得减区间;注意f(x)=0的点; 如：设横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率

a?0函数f(x)?x3?ax在[1,??)上单调函数，则实数a的取值范

间，可以考虑图象，也可以考虑分离变量。答案：解：（1）（a）当a2≤3?≤0，f?(x)≥0，f(x)在R上递增时，（b）当a2?3，f?(x)?0311n样本平均数：x?(x1?x2?x3???xn)??xi

nni?11n212222?(x?x)样本方差：s?[(x1?x)?(x2?x)??(xn?x)]?i；

ni?1n＝

212222

(x1+x2+ x3+?+xn－nx) n围______（答：0?a?3）； 5.求极值、最值步骤:求导数;求

2?a?a2?3?递增，求得两根为x??a?a?3即f(x)在????，???3??f?(x)?0的根;检验f?(x)在根左右两

??a?a2?3?a?a2?3?递减，??a?a2?3?递增（2）

，，??????????333????侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)

在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如：（1）函数y?2x?3x?12x?5在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；?15）；（2）已知函数

327a≥

47. 利用导数解决不等式问题及恒成立问题和结合图象研究方程根的问题。

例如：已知函数f(x)?xe的定义域为（0，+?）。（1）求函数f（x）在［m，m+1］（m>0）上的最小值。（2）对任意的x?(0,??)，不等式xf(x)??x??x?1恒成立，求?的取值范围。答案：（1）

2?1x方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小，数据方差越大，说明这

组数据的波动越大。 提醒：若x1,x2,f(x)?x3?bx2?cx?d在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有

1532最__值__答：大，?）（3）方程x?6x?9x?10?0的实根的

2个数为__（答：1）

,xn的平均数为x，方差为s2，则

在（0，1）上是减函数在（1，+?）上是增函数，

f(x)min?em?.....m?1??m?e.......0?m?1?（2）??e?2 第十三章 复数

复数的概念（实部和虚部的概率）、复数集与实数集的关系、复数与点的对应关系、复数的运算法则、复数运算的几个基本公式：

?1?i?2?2i,?1?i???2i,21?i1?i??i,?i. 1?i1?i

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