复变函数期末模拟题

复变函数测试题一

一.选择题（每题4分，共计24分） 1.f(z)?sinz的导数是（ ）

A.cosz B.sinz C.0 D.1 2.e2?5i=（ ）

A.0 B.1 C.e(cos5+isin5) D. e23.若曲线C为|z|=1的正向圆周，

C?(z?2)dz3?( ）

A.0 B.1 C.-1 D.2 4.z?0为函数

f(z)?sinzz3的（ ）

A.一级极点 B.二级极点 C.本性奇点 D.可去奇点 5.??函数的傅氏变换为（ ）

A.??1 B.?2 C.0 D.1 6.

f?z??zz，则f?z?（ ）

A. 在全平面解析 B. 仅在原点解析 C. 在原点可导但不解析 D. 处处不可导 二.填空题：（每题4分，共计20分） 1.若函数为f(z)?2.?zdz?i2i1z则f?(z)?______________。

。

1z?2dz?______。

3.若曲线C为z?3的正向圆周，则?C?0,t?0，（??0）4.函数f(t)????t的傅氏变换为 _________。

e,t?0?

i??5.lim?1??n??2???n?______。

三.计算题（共计56分）

?1.求幂函数?n?1znn3的收敛半径。（6分）

2.试求?argzdz，c为z??1?i?t，t从1到2. （7分）

c

3.把函数f(z)? 4.求?C1(z?2)(z?3)在2?z?3内展成洛朗展开式。（7分）

zz?12dz曲线C为正向圆周z?3。（7分）

5.求

1z?z?1?2在z?1?1上的洛朗展开式。（7分）

6.比较?e

i?与eiii两个数。（8分）

7．已知f?

????zz?i??1，则求极限limf?z? 。 （7分）

z?i?E,8．求函数f(t)???0,0?t??其它的傅氏变换。（7分）

复变函数测试题二

一.选择题（每题4分，共计24分） 1.f(z)?cosz的导数是（ ） A.cosz B.-sinz C.0 D.1 2.e3?5i=（ ）

A.0 B.1 C.e(cos5+isin5) D. e3 3.若曲线C为|z|=1的正向圆周，

?Cdzz?12?( ）

A.0 B.1 C.-1 D.2?i 4.z?0为函数

f(z)?coszz3的（ ）

A.一级极点 B.三级极点 C.本性奇点 D.可去奇点

?5.若幂级数?cnzn在z?1?2i处收敛，则该级数在z?2处的敛散

n?0性为（ ）。

A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.不能确定 6.lim2n?ni1?nin??=（ ）

A.?1?2i B.1?2i C.2?i D.? 二.填空题：（每题4分，共计20分） 1.若函数为f(z)?i1z则f??2?i?=______________。

2.复数?1?i?=________________。

3.不等式z?2?z?2?5表示的区域为______________。 4.复数1i的模为_________。

5.?Im?z?dz?_________。

c三.计算题（共计56分）

1.求极限lim?1?ez?2z?。（6分）

z?2i

2.设c为从原点沿y2?x至1?i的弧段，则??x?iy2?dz。（7分）

c 3.求?Cez2z?1dz曲线C为正向圆周z?3。（7分）

4.求f?z??

1z2在z??1处的泰勒展开式。（7分）

5.求?(1?i)nzn的收敛半径。（7分）

n?0?

6.求f?t??te?3tsin4t的拉氏变换。（8分）

7.已知f??z??4z?3，且f?1?i???3i，则求f?z?。（7分） 8.计算??

e?zz?1z22?z?2?dz。（7分）

复变函数测试题三

一.选择题（每题4分，共计24分） 1.?n???1?n?nin?4，则lim?n是（ ）

n??A.0 B.i C.不存在 D.1 2.f?????z?z?i?1，则f?1?i??（ ）

1?i2A.0 B.1 C. D. e2

3.若曲线C为|z|=2的正向圆周，

C?(1?z)coszdz2?( ）

A. sin1 B. 2?isin1 C.-sin1 D. ?2?isin1

14.z?1为函数f(z)?ez?1的（ ）

A.一级极点 B.二级极点 C.本性奇点 D.可去奇点 5.若ez?ez，则（ ）

12A.z1?z2 B. z1?z2?2k? C. z1?z2?k?i D. z1?z2-2ik?

?1?3i?6.???的敛散性为（ ）

2?n?0??nA.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D. 无法确定

二.填空题：（每题4分，共计20分） 1.复数??1?的主值为_____________。 2.z?i?1?i??2?i?(3?i)，则

?3?i??2?i?z?________________。

2zzedz?______。 3.若曲线C为z?1的正向圆周，则??C

4.复数lnei=_________。

5.ez在z?1处的泰勒级数为_________。 三.计算题（共计56分）

2?cos5?1.求复数

?cos3?

?isin5??的指数表达式及三角表达式。（6分） 2?isin3??2．计算积分?Re?z?dz,C为：z?ei?,?从??到?。（7分）

c

3.试求在??z3的映射下，直线z??1?i?t的象。（7分）

?4.求?n?1znnp（p为正整数）的收敛半径。（7分）

5.求函数f?t??换。（8分）

?1?a?a?????????t?a??t?a??t???t???????2?2?2????的傅氏变

6.求?nzn的和函数。（7分）

n?1

7.讨论f?z??z的可导性。（7分）

8.求Res?z4?sin,0?。（7分）

z??

2?1?复变函数测试题四

一.选择题（每题4分，共计24分） 1.f(z)?x2?iy2，则f??1?i?是（ ） A.2 B.2i C.1?i D.2+2i 2.ii的主值（ ）

?A.0 B.1 C.e2 D. e??2

3.若曲线C为|z|=4的正向圆周，A.

?12i B.1 C.0 D.?f(z)?zcos1z??(z??i)Cdz5?( ）

4.z?0为函数的（ ）

A.一级极点 B.二级极点 C.本性奇点 D.可去奇点 5.函数f?z?在z点可导是f?z?在z点解析的（ ）条件 A.充分不必要 B. 必要不充分 C.充要 D. 非充分非必要 6.??z?1zcos1zdz=（ ）

A.2?i B. ?i C.?2?i D. 0

二.填空题：（每题4分，共计20分） 1.函数f(z)?sinz的零点______________。 2.?zedz?i2iz2。

3.e1??i2?______。

4.3i= _________。

5.sinz2的麦克劳林级数为_________。 三.计算题（共计56分）

1.讨论函数f?z??sinxcoshy?icosxsinhy的可导性。（6分）

2.计算?zdz,曲线C为自?i到i的直线段。（7分）

c 3.设

?11?z2???n???（7cnz,z?1，则求c0的值。

n分）

4.试求幂级数?n?1z4n?14n?1的收敛半径及和函数。（7分）

5.计算??

dzc?z?1?2?z2?1?，c是圆周x2?y2?2?x?y?。（7分）

6.求函数

??sint,t??f?t?????0,t??的傅氏变换。（8分）

7．求正弦函数f(t)?coskt(k为实数）的Laplace变换。（7分）

8.求解微分方程y???t??y?t??0，y?0??2,y??0??3。（7分）

复变函数测试题五

一.选择题（每题4分，共计24分） 1.℉???t?t0??? ）

A.- ej?t B.ej?t C.0 D.1 2.sini?（ ）

A.0 B.1 C.ish1 D.e

?3.级数

?n?1e2ni2n为（ ）

A.条件收敛 B. 绝对收敛 C.通项不趋于0 D. 发散 4.z?0为函数

f(z)?sinz?zz3的（ ）

A.一级极点 B.二级极点 C.本性奇点 D.可去奇点 5.ei?2z?（ ）

A. e?2x B.e?2 C.0 D.1 6.f?z??z的解析区域（ ）

A.全复平面 B. 除原点外的复平面 C.除实轴外的全平面 D. 除原点与负实轴外处处解析 二.填空题：（每题4分，共计20分） 1.13=______________。 2.Ln?1?i?=___

。

sin?ez2z3.若曲线C为z?1的正向圆周，则??C?dz?______。

4.F1?s?=￡?f1?t??,F2?s?=￡?f2?t??,则￡?f1?t??f2?t???_________。

5.z2ez的麦克劳林级数为______。 三.计算题（共计56分） 1.讨论f?z??

2.解方程ez?1?0。（7分）

3.讨论f?z??x3?3xy2?i?3x2y?y3?的可导性。（7分）

4.计算?cdz，曲线C为正向圆周z?1。（7分）

zzzz?zz在z?0点的极限。（6分）

5.试证

??xc2?iy2?dz（7分） ??，c:z?ei?,?是从0至?的半圆弧。

6.已知调和函数u?2?x?1?y，求解析函数f?z??u?iv。（7分）

7.求f?t??cost???t??sint?u?t?的拉氏变换。（8分）

8.将f?z??

11?z在z?i展成泰勒级数。（7分）

复变函数测试题六

一．选择题（每题4分，共计24分） 1．当z?1?i1?i时，z100?z75?z50的值等于（ ）

A. i B. -i C. 1 D. -1 2．使得z2?z成立的复数z是（ ） A.不存在 B.唯一的 C.纯虚数 D.实数。

__23．设z为复数，则方程z?|z|?2?i的解（ ） A.?34?i。 B.

34?i。 C.

34?i。 D.?34?i。

4.方程z?2?3i?2所表示的曲线是（ ）

A.中心为2?3i,半径为2的圆 B. 中心为?2?3i,半径为2的圆 C. 中心为?2?3i,半径为2的圆 D. 中心为2?3i,半径为2的圆 5.若曲线C为|z|=4的正向圆周，A.

?12i B.1 C.0 D.?f(z)?zcos1z??(z??i)Cdz5?( ）

6.z?0为函数的（ ）

A.一级极点 B.二级极点 C.本性奇点 D.可去奇点

二． 计算题（共76分） 1．求下列复数的模与辐角。（8分）

① ?1?i ② ?1?3i

2．求下列复数的指数与三角表示式。（20分） ① ?i ② z?

③ z?1?sin??icos? （0??? ④ z?

3．解方程:(1?z)5?(1?z)5 （8分）

i1?i

?2)

(co?s?isin?)32(co3s??isin3?)

4．求下列极限。（15分） ① ③

?2xy?5．讨论函数f(z)??x2?y2,z?0的连续性。（10分）

?0,z?0?limz?0re(z)z ②

lim1?zz??12

lim?1?z?z

2z?iz?i

0,t?0?6已知f(t)?????t，求(t?2)f(t)傅里叶变换（15分）

e,t?0??0???

复变函数测试题七

一．选择题（每题4分，共计24分） 1．.函数f(z)?3z在点z=0处是（ ）

A.解析的 B.可导的 C.不可导的 D.既不解析的又不可导的 2．设f(z)?x2?iy2,则f'(1?i)?（ ） A.2 B.2i C.1+i D.2+2i 3．ii的主值为（ ）

?2A. 0 B. 1 C. e2 D. e4．下列数中，为实数的是（ ）

??2

?2iA.(1?i)3 B. cosi C. Lni D. e5.lim2n?ni1?ni3?

n??=（ ）

A.?1?2i B.1?2i C.2?i D.? 6.?n???1?n?nin?4，则lim?n是（ ）

n??A.0 B.i C.不存在 D.1 二．计算题（共计76分） 1．讨论下列函数的可导性。（16分）

① f?z??Im?z? ② f?z??z

2③ f?z??

z22z?1 ④ f?z??x?yx?y22?ix?yx?y22

2．利用留数方法求F(s)?ss?2s?32的拉普拉斯逆变换。（15分）

3．计算下列各式的值。（20分） ① e

③ zi

i?2z ② ez2

④ Ln?1?i?

4．将f(z)?分）

5．求函数f(t)??

?A,?0,0?t??其它1z?3z?22在1?z?2及2?z???展成罗郎级数（10

的傅氏变换。（15分）

复变函数测试题八

一．选择题（每题5分，共计25分）

1．设c为从原点沿y2?x至1+i的弧段，则?(x?iy2)dz=（ ）。

cA.

16?56i B.?16?56i C.?16?56i D.

16?56i

dz为

2．设c为不经过1与?1的正向简单闭曲线，则?（ ）。 A.

?i2z(z?1)(z?1)c B. ??i2 C. 0 D. A，B，C均有可能

zcos313．设c为正向圆周z?12，则?cz?2dz?（ ）。 2(1?z) A.2?i(3cos1?sin1) B. 0 C.6?icos1 D.?2?isin1

sin(?4．设c为正向圆周x2?y2?2x?0，则?c4dz?（ ）。 z?12z)A.

22?i B.2?i C. 0 D. ?22?i

5．下列命题中，正确的是（ ）。

A.设v1,v2在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有v1?v2。 B.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。 C.若f(z)?u?iv在区域D内解析，则

?u?x为D内调和函数。

D.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。 二．计算题（共计75分） 1．求?Cz231324(z?1)(z?1)dz，曲线C:z?3正向圆周。（10分）

2．求下列积分的值 （1） （2） （3）

?z?2dz，其中c：z?2cez（10分） ?1的正向。

?zcedz2iz?1，其中c：z?2i?32的正向（10分）

?czedzz，其中C：从z=0到z=1+

?2i的直线段。（10分）

（4）

?i1?tanzcos21zdz（10分）

?2n?3．求幂级数?nz的和函数，并计算?n?1n22n。（10分）

n?1

4．若u?e?xcosy,求解析函数f(z)?u?iv.（15分）

复变函数测试题九

一．单项选择题（每题5分，共25分） 1．设?n?(?1)?nin?4n(n?1,2,?),则lim?n=( )

n??A 0 B. 1 C. i D.不存在 2．下列级数中，条件收敛的级数为（ ）

?A.?(n?11?3i2?)n B.?n?1(3?4i)n!n? C.

?n?1?in?n D.

?n?1?(?1)?in?1n

3．下列级数中，绝对收敛的级数为（ ）

?A.?n?11n(1?in?)

B.?[n?1(?1)nn?i2n] C.?n?2inlnn D.

?n?1(?1)i2nnn

?sinn?2(z)n的收敛半径R=（ ） n24．幂级数?n?1A. 1 B. 2 C.2 D.?? 5．设函数f(z)?1z(z?1)(z?4)在以原点为中心的圆环内的洛朗展

开式有m个，那么m=（ ）

A. 1 B.2 C. 3 D. 4 二．计算题（共计75分）

?1．求幂级数?(1?i)nzn的收敛半径。（15分）

n?0

2．设?(x,y)?xy，求其共轭调和函数?(x,y)。（15分）

3．求

ez2z(z?1)在有限点处的留数。（10分）

4．解方程:sinz?icosz?4i （10分）

5．求函数

?A,6．求函数f(t)???0,0?t??其它1z2在z=-1点的泰勒展开式。（10分）

的傅氏变换。（15分）

复变函数测试题十

一．选择题（每题5分，共25分） 1．函数

cot?z2z?3在z?i?2内的奇点个数为（ ）。

A 。1 B. 2 C. 3 D. 4 2．设z=0为函数

1?e4z2zsinz的m级极点，则m=（ ）。

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3．z=1是函数(z?1)sin1z?1的（ ）。

A. 可去奇点 B. 一级极点 C. 一级零点 D.本性奇点。 4．下列函数中，Res[f(z),0]?0的是（ ）。 A.f(z)?C. f(z)?e?1z2z B.f(z)? D.f(z)?sinzz1?1z1z

sinz?coszze?1z?5．下列命题中，不正确的是（ ）。

A.若z0????是f(z)的可去奇点或解析点，则Res[f(z)， z0]=0 B.若P(z)与Q(z)在z0解析，z0为Q(z)的一级零点，则

P?z??P(z)?Res?,z0??'Q(z)??Q(z)

C.若z0为f(z) 的m级极点，n?m为自然数，则

Res[f(z)， z0]=

1limdnnn!z?z0dz[(z?z0)n?1f(z)]

D.若无穷远点?为f(z)的一级极点，则z=0为f??的一级极点，并

?z??1?

且Res[f(z), ? ]=limzf()

z?01z二．计算题（共计75分） 1．求函数 2．求

3．把函数

4．求z4sin

sinz?zz4在有限奇点的类型。（15分）

z?1z2?2z在有限奇点处的留数。（10分）

1(1?z)22展成z的幂级数，并求其收敛半径。（10分）

1z在z=0点处的留数。（10分）

1z5．求?zedz曲线C:z?1正向圆周。（15分）

C3

6．设c为从原点z=0，到z=1+i的直线段，求?2zdz的值。（15分）

c

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