东北大学高数试题上

一、高等数学试题 2007/1/14

二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共6小题, 每小题4分, 共24分）

1.lim(1?sin3x)x?012x?________． 2.方程x5 – 5x – 1 = 0在(1, 2)内共有______个根.

? 3.

??(x2?27?1)sin2xdx?_________.

4.

arctanx ?x(1?x)dx?________．5.球体半径的增长率为0.02m/s，当半径为2 m时，球体体积的增长率为_________.

n!xn6. 幂级数?n的收敛半径R? .

n?0n?三、计算题(6分?4 = 24分)

?x?lntd2y1.设?,求2. 3y?tdxt?1?2.求lim?1??1??. x?0x2xtanx??3.求

?x24?x?2dx.

??4．已知

?(?1)n?1n?1un?2,

?un?12n?1?5, 求?un

n?1四、(10分)设y = xe?x (0 ? x < +?)，求函数的极大值，函数曲线的拐点，并求曲线与直线x = 2, x = 1, y = 0所围

成曲边梯形的面积及此平面图形绕x轴旋转所成的旋转体体积. 五、(8分) 将函数f(x)?1展开成(x?1)的幂级数．并给出收敛域。 2x?4x?3x?x2,0?x?1六、(8分)设f(x)??适当选取a, b值，使f (x)成为可导函数，令?(x)??f(t)dt，并求出

0x?1,?ax?b,?(x)的表达式.

七、(6分)设f (x)具有二阶连续导数，且f (a) = f (b), f ?(a) > 0, f ?(b) > 0, 试证：???(a, b)，使f ??(?) = 0. 答案：一、1．(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1.e 2.1 3.

32? 4.(arctanx)2?C 5. 0.32? 6.e. 2三、1. 9. 2.

1x12. 3. 2arcsin?x4?x?C. 4.8. 3221?2, 拐点?2,2e?e四、极大值y(1)?23??513??A??，面积，体积V???2?4?。 2ee4??ee?五、y?2x. 22x?1?x3,??3六、a = 2, b = ?1, ?(x)???x2?x?1,?3?

二、高等数学试题 2008/1/14

x?1.

x?1二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）

1. y3?e2x?sin(xy)?0在x?0处的切线方程是 ．

2. 一个圆锥形容器，深度为10m，上面的顶圆半径为4m，则灌入水时水的体积V对水面高度h的变化率

为 ．

3．曲线y?x3?6x2?12x?4的拐点为 ． 4．f(x)?1展开成x ? 2的幂级数为 1?x?3?x2, 0?x?1;??2三、（7分）设 f(x)?? 试研究函数f(x)在[0, 2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件.

1?, 1?x?2.??x四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）． 1. limx?0ln(1?2sinx).

1?x?1?x1x2. lim?x?0?sinx??. x???d2y?x?ln1?t23. 设?， 计算2．

dx??y?arctant 4. 计算积分

?ln(x?1121?x2)dx．

5. 计算积分

?1?x2dx． 2xx3x5x2n?1??????????在收敛域上的和函数. 6. 求幂级数x?352n?122五、（7分）由曲线y?0，x?8，y?x围成曲边三角形OAB，其中A为y?0与x?8的交点，B为y?x与x?8的交点．在曲边OB上求一点，过此点作y?x的切线，使该切线与直线段OA，AB所围成的三角形面积为最大．

六、（7分）求心形线r?a(1?cos?)与圆r?3acos?所围图形公共部分. 七、（7分）设f (x)是(??, +?)内的可微函数，且满足： (1) f (x) > 0 x ? (??, +?),

(2)存在0 < ? <1, 使得| f ?(x)| < ? f (x), x ? (??, +?).

2任取a0 ? (??, +?), 定义an = ln f (an?1), (n = 1, 2, ???), 证明

?(an?1?n?an?1)绝对收敛.

八、（4分）设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f??(x)?0，证明答案：一、1. B. 2. A. 3. A. 4.C.

?baf(x)dx?(b?a)f(a?b)． 2?41(?1)n2?h. 3. (2,12). 4. ?n?1(x?2)n. 二、1. y?x?1. 2. 253n?0311?xd2y1?t222ln??四、1.2. 2.1, 3. , 4. 5. xln(x?1?x)?1?x?C2321?xdxt(?1 < x < 1), 6. y?C1cos2x?C2sin2x? 五. (12xcosx?sinx. 3916256,). 3952

六. ?a。

4

八．提示：f(x)在x? 七。提示：两边求导解微分方程。

a?b处的一阶Taylor公式为 2

三、高等数学试题 2009/1/16

二、填空题（本题共５小题，每小题３分，共计1５分）

1??(cosx)x21. 已知f(x)???a?x?0在x?0处连续，则a = ． x?02. 设函数f (x)可导，y = f (sin2x)，则dy = ．

3．函数f (x) = ex的３阶麦克劳林公式为 ． 4．质点以速度tsint2(米?秒)做直线运动，则从时刻t1??2(秒)到t2??(秒)内质点所经过的路程等于＿＿＿

(米)．

5．以y1 = cos2x, y2 = sin2x为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿．

1?2xsin?三、（８分）设函数 f(x)??x??xsinxx?0x?0，求f ?(x).

四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）． 1. limx(x????22?arctanx).

2.

?x24?xdx.

d2y3. 设函数y = y(x)由y = 1 + xe确定，求2．

dxy

4. 设函数f (x)连续，且

??x3?10f(x)dx?x，求f (7)．

(?1)n?12n5. 判断级数?的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

n?100n?1五、(8分) 设f(x)?1在[?1, 1]上收敛，试证：当a = a = 0时，级数axf()收敛。 01??nnn?0n?1n??2?xe?x,x?0六、（８分）设函数f(x)??，计算?f(x?1)dx.

0?1?x,x?0七、（８分）在抛物线y = – x2 + 1(x > 0)上求一点P, 过P点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所围成的面积最小．

(x?1)2(x?1)3(?1)n(x?1)n??????在其收敛域上的和函数。 八、(8分) 求幂级数(x?1)?23n九、（６分）设函数y =f(x)在(?1, 1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0， (1)证明对于(?1, 1)内任一x ? 0, 存在惟一的? (x) ? (0, 1),使 f (x) = f (0) + xf ?[? (x)?x]

成立；

(2)求lim?(x)．

x?0答案：一、1. B. 2. A. 3. B. 4.C. 5. D

1x2x3??o(x3). 4.. 二、1. a?e. 2. dy?sin2xf?(sinx)dx. 3. f(x)?1?x?226?1235.y ??+ 4y = 0.

11?2xsin?cos,x?0?xx?xx4?x2?C, x?0 四、1.１. 2. 2arcsin?三、f?(x)??sinx?xcosx,22?0x?0??1d2ye2y(3?y)3

f(7)?3. , 4. ，5.条件收敛 五. y = x + 3x + 1. ?2312dx(2?y)六.

332?2e?1。 七. P(,) 233 八．lnx (0 < x ? 2)

四、高等数学试题 2010/01/16

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）

1?x?1. 若函数f(x)??(1?x)??ax?0在x?0处连续，则a = ．

x?02. 函数 f(x)??x3在(0,)内的极小值为 ． ?sinx?222x?03．函数f (x)在(??, ??)是可导的偶函数，且lim为 ． 4．若

f(3?x)?f(3)?1, 则y = f (x)在点(?3, f (?3))处的切线斜率

2x?x0f(t)dt?14x，则f (1) =＿＿＿． 2?5．若f (x)在[???,]上连续，则?2?[f(x)?f(?x)]sin2xdx?

?2226．设f (x)是以2为周期的函数，其表达式为f(x)???2,?1?x?0,则f (x)的Fourier级数在x = ?1处收敛于2?x,0?x?1,____________。

三、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）．

dyx2a2x2a?x?arcsin (a > 0), 求. 1. 若y?dx22a2. 求极限lim(x?xsin).

x??23. 计算不定积分(arcsinx)dx．

231x?4. 计算定积分

?50x?1dx． 3x?13?d2y?x?2cost,5．若?，求2

3dx?t???y?2sint, 46．如果y = f (x)满足?y?1?x2x?x2?x?o(?x)，且f (1) = 1, 求f (x)．

四、(8分)摆线??x?a(t?sint),(a > 0)的第一拱(0 ? t ? 2?), 求(1)该摆线的弧长；(2)该摆线与x轴围成的平

?y?a(1?cost),1的和。 ?2nn?1?0面图形绕x轴旋转一周所得立体的体积．

五、（８分）设f (x) = x + x, x ? [?? , ?), 将 f (x)展开成Fourier级数, 并求级数

a2

?六、（4分）若f (x)在[0, a]上连续，且

?0f(x)dx?0，证明至少存在一点??(0, a)，使得f(?)??f(x)dx?0.

答案：一、1. A. 2. B. 3. A. 4.C. 5. D

二、1. e. 2. 三、1.

?3. 3. 2. 4.2. 5.0 6. . 6214, 3. x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2x?C, 4.6, 5. 6. 63a2?x2. 2.

2x?x2

?2 五、

6

五、高等数学试题 2011/01/14

二、填空题

1. 设y = lnx, y(n)(1) = ． 2.

??1?1ex1?e2xdx? ．

3．

(x?cosx2)xdx? ．

1下方的平面图形的面积为＿＿＿． 1?x24．位于y轴右侧，x轴上方，曲线y?5．水坝中有一直立矩形闸门，宽为3米，高为4米，闸门的上边平行于水面，顶部与水面相齐，则闸门所受到

的水压力为＿＿＿＿． 三、计算下列各题

1. 求极限limx?01?xsinx?cosx. 2sinx2. 求函数. f(x)???ln(1?x),x?0,的导数. x?0,?sinx,?x?ln(1?t2),d2y3. f(x)??求2．

?y?t?arctant,dxt?14. 确定曲线f(x)?四、求下列积分 1．2．

?x0(t?1)(t?2)2dt的凹凸区间与拐点．

??10x2cosxdx x41?x2dx．

五、级数 1. 求幂级数

nnx在收敛域内的和函数。 ?nn?13?an?1)收敛，?bnn?1??2．设级数

?(an?1?n(bn?0)收敛，证明级数?anbn绝对收敛。

n?1?六、求单位球的内接正圆锥体的最大体积以及取得最大体积时椎体的高 七、设f (x)在[0, 1]上可微，且f(1)?2?120e1?xf(x)dx，证明至少存在一点??(0, 1)，使得f?(?)?2?f(?).

2

答案：一、1. B. 2. C. 3. A. 4.D. 5. C

二、1. (?1)n?1(n?1)!. 2. arcsinex + C. 3.

2?. 4. . 5. 24g(KN). 32?1,x?0,3141124?),(2,?) 三、1. . 2. f?(x)??x?1, 3. , 4.拐点(,?423813?cosx,x?0,?四、1. xsinx?2xcosx?2sinx?C. 2. 五、1.

2? 323x.

(3?x)2324?,h?。 813六、Vmax?二、填空题

六、高数2013/01/08

1?1?sinx?xsin 1．已知f(x)??xx?b?x?0x?0在x?0处连续，则b=

2．曲线y = lnx在点 处的切线平行于y = 2x ? 3. 3．已知F(x)是sinx2的一个原函数，则d(F(x2))=

nx 4．幂级数?n的收敛半径为__________。 n?1n3??x?t? 5．设f(x)?limt??，则f??(0)= 。 x???x?t?三、计算题 1．求limx?x?2lnsinx。 2(??2x)?x?acos3td2y2．设?，求2。 3dxy?asint?3．已知方程x?四、计算积分

2 1．求xcosxdx。

?y?x1edt??t2x2?x0costdt确定函数y = y(x)，求

dy。 dxx?0? 2．求

?1121?x2dx。 2x2五、求曲线y?x?1的凹凸区间、拐点及渐近线。 x六、一密度为2.5?103（单位：kg/m3），底半径为r(单位：m)，高为h(单位：m)的金属圆柱体放入水中，上底面与水面相切，求将这个圆柱体捞出水面所做的功。

?n?1nn?1七、求幂级数?x的和函数，并求?n的和。

n?0n!n?02n!?八、设函数f (x)在[0, 1]上非负连续，证明：

(1)存在x0?(0,1)，使在[0,x0]上以f (x0)为高的矩形面积S1等于在[x0,1]上以y = f (x)为曲边的曲边梯形面积S2。

(2)若函数f (x )在(0, 1)内可导，且f?(x)??2f(x)x，则(1)中的x0是唯一的。 答案

七、高数2014/01/13

一 单项选择题（每小题4分，共24分） 1 若函数f(x)满足

f'(x)?ef(x)，且f(0)?1 ，则 f(n)(0)?（ ）.

A: (n?1)!?en, B: n!?en, C: (n?1)!?en?1, D: n!?en?1.

2?2 对于积分 I??(2sinx0?2?sinx)dx, 则 I（ ）.

A：=2? B: ?0 C：?0 D：?0 .

?x33 设 f(x)??,x?1? ，则f(x)在[0，2]上满足的Lagrange 中值定理的? =??x2?x?1,x?1（ A：

32, B： 737374, C：2 或4, D：?2 或4.

14 极限

lim(sinxx?ln(1?x)x?0x)?（ ）.

1?1?11A：e6 B：e6 C：e3 D：e3

5 若f(x)连续，且

?0?1xf(x)dx?0, ?10xf(x)dx?0, 则（ ）.

A：当x?(?1,1)时，f(x)?0， B：当x?(?1,1)时，f(x)?0， C：f(x)在(?1,1)至少有一个零点. D: f(x)在(?1,1)必无零点.

6 若函数 F(x)??x0(2t?x)?f(t)dt， 其中f(x)在(?1,1)二阶可导，

并且f'(x)?0，当x?(?1,1)时, 则（ ）.

A: F(x)在x?0取极大值 ; B: F(x)在x?0取极小值 ;

C: F(x)在x?0不取极值 , 点(0,0)也不是曲线y?F(x)的拐点；

.

）D: F(x)在x?0不取极值, 但是点(0,0)是曲线y?F(x)的拐点.

二 填空题（每小题4分，共24分） 7 函数

f(x)?x3?6x2?1 在x?(?1,1)的极大值是 （

）.

8 反常积分

??1xx?12dx?（ ）.

29 曲线y?k(x2?3)2在拐点处的法线经过原点，则常数k?（ ）.

10 曲线

y??tantdt位于0?x??0x4的弧长是（ ）.

11 若f(x),g(x)在(??,??)连续，且 g(x)?则

?20f(x)dx?10x,

?10g(x)dx??f(x)dx? （ ）.

02d?ex?1?12 ??展开成关于x的幂级数为（ ）.

dx?x?三 解答下列各题，应有必要的步骤或说明（共52分）

x2?113 （8分）求f(x)? 的间断点，并指出其类型.

sin(??x)14 （8分）若f(x)非负连续，且f(x)??x0?f(x?t)dt?sin4x, 求f()的值.

215

x4a3b2?x?x?2x在x??2处 （8分） 确定a,b,?的值，使得f(x)?432取极值，在x??（???2）处使f'(?)?0，但f(?)不是极值.

|f?(x)|?q?1，16 （8分）设函数f (x)在[a,b]上满足a?f(x)?b，令un?f(un?1)，n?1,2,3,?,u0?[a,b]，

证明：级数

?(un?1?n?1?un)绝对收敛。

17 （8分）设

?1?t2??xedt,x?0f(x)??,

?1?e,x?0?计算

?0?2(x?1)2f(x?1)dx.

18 （8分）求在上半平面由曲线 x?的平面图形，

（1）面积,（2）围绕

y，y?2?x2和y??x所围成

y 轴旋转一周的立体体积.

19 （4分）若x?[0，1]时，f\x)?0，证明：对任意正常数?，

参考答案

一 A B A B C D ; 二 7: 1, 8:

?10f(x?)dx?f(1). ??1?1, 9: , 10: ln(2?1), 11: 5, 232三

13 间断点是 x?k, (k是整数) 14

f(?2)?8. 3????1????1??15 ?a?0, ?a?4 .

?b??3?b?5??16 17

1 618 (1) A? (2) Vy

5 ………………..6分 2??

八、高数2015/01/19

一 计算题（每小题5分，共50分） 1 求极限lim?1?sinx?x?01sinx

?x2?1???x??1??bx??1求a、b，使得f(x)在x??1处连续。 2 设f(x)???a?arccosx?1?x?1??3 设f(x)?ln(x?1?x2) 求f?(0)

?x?2t?t2d2y4 求由参数方程?所确定函数的二阶导数2 3dxy?3t?t?5 求lim?1??x?? x?1x?1lnx??nn2n6 求lim1?a?an?? (a?0)

7 求积分

??e1ex24?x2dx。

8 求积分

|lnx|dx。

?119 设f(x)?x?1(0?x?2)，将f (x)展成余弦级数，并计算?和。 ?22n?1(2n?1)n?1n?10 求幂级数

1(2x?3)n的收敛域，并判断x在收敛域端点处对应的级数是条件收敛还是绝对收敛。 ?n?02n?1?二 设f(x)?(x?a)?(x)，?(x)在x = a处有连续的一阶导数，求f?(a),f??(a)

三 设D是由曲线y?x，直线x?a(a?0)及x轴围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx,求a的值.

四 设函数f(x)有连续的一阶导数，又a(a?0)为函数F(x)?13?x0(x2?t2)f?(t)dt的驻点，证明存在

c?(0,a)，使得f?(c)?0.

?a1五 已知正项级数?an收敛，证明：当常数p?时，级数?pn收敛。

2n?1n?1n?六 给出近似计算sin31的方法，并说明该方法能使sin31得近似值精确到四位小数的理由。 七 设函数f(x)在[A,B]上连续，(a,b)?(A,B)，证明limh?0oo?baf(x?h)?f(x)dx?f(b)?f(a)

h八 据资料记载，某地某年间隔30天的日出日落时间如下 日出 日落 5月1日 4点51分 19点04分 5月31日 4点17分 19点38分 6月30日 4点16分 19点50分 试建立一数学模型，说明该地区从5月1日到6月30日哪一天白天最长。 13xx4?x22答案： 一、1：e; 2: a = -?, b = 0; 3: 1; 4: ; 5: ; 6: max?1,a?; 7: 2arcsin??C; 8:

24(1?t)22212?a52?; 9：；10：(1,2]，条件收敛。

e5二、f?(a)???(a)；f??(a)?limx?a?(x)?(x?a)?(x)x?a???(a)??(a)

三、349；八、6月22日

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vmu3.html