高考综合复习 - 曲线运动与万有引力复习专题一

高考综合复习——曲线运动与万有引力复习专题一

曲线运动的合成与分解、抛体运动

总体感知

知识网络

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考纲要求

内容 运动的合成与分解 抛体运动 匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 匀速圆周运动的向心力 离心现象 万有引力定律及其应用 环绕速度 第二宇宙速度和第三宇宙速度 要求 II II I II I II II I 命题规律

从近几年的高考试题可以看出，曲线运动的研究方法——运动的合成与分解、平抛运动和圆周运动；万有引力定律与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的运动问题，估算天体的质量和密度问题，反映了现代科技信息与现代科技发展密切联系是高考命题的热点。例如2008全国I第17题，山东基本能力第32题，全国II第25题，广东单科第12题考查了万有引力定律的应用，2005年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷以及北京理综、广东物理均考查了人造卫星在万有引力作用下的圆周运动问题。再如2006全国I卷、江苏物理、天津理综、重庆理综、广东物理均考查了人造卫星及万有引力定律在天体运动中的应用问题。

预计在今后的高考中平抛运动的规律及其研究方法、圆周运动的角速度、线速度和向心加速度仍是高考的热点。与实际应用和与生产、生活、科技联系命题已经成为一种命题的趋向，特别是神舟系列飞船的发射成功、探月计划的实施，更会结合万有引力进行命题。

复习策略

在本专题内容的复习中，一定要多与万有引力、天体运动、电磁场等知识进行综合，以便开阔视野，提高自己分析综合能力。

1．在复习具体内容时，应侧重曲线运动分析方法，能够熟练地将曲线运动转化为直线运动。如平抛运动就是将曲线运动转化为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动再进行处理的。对于竖直平面内的圆周运动，由于涉及知识较多而成为难点和重点。就圆周运动的自身而言有一个临界问题，同时又往往与机械能守恒结合在一起命题。在有关圆周运动最高点的各种情况下的各物理量的临界值的分析和计算应作为复习中的重点突破内容，极值分析法、数学分析法是分析处理物理问题的基本方法，也是学生学习中的难点和薄弱环节。

2．天体问题中，由于公式的形式比较复杂，计算中得到的中间公式特别多，向心力的表达式也比较多，容易导致混乱。所以要求在处理天体问题时，明确列式时依据的物理关系（一般是牢牢抓住万有引力提供向心力），技巧性地选择适当的公式，才能正确、简便地处理问题。

3．万有引力定律还有一个重要的应用就是估算天体的质量或平均密度。问题的核心在于：（1）研究一天体绕待测天体的圆周运动。（2）二者之间的万有引力提供向心力。

4．万有引力定律是力学中一个独立的基本定律，它也是牛顿运动定律应用的一个延伸，学习本部分内容要具有丰富的空间想象建模能力以及学科间的综合能力。

第一部分 曲线运动的合成与分解

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知识要点梳理

知识点一——曲线运动

▲知识梳理 1．曲线运动

物体运动轨迹是曲线的运动叫做曲线运动。 2．曲线运动的速度方向

曲线运动中速度的方向是时刻改变的，质点在某一点（或某一时刻）的速度方向是曲线上该点的切线方向。 3．曲线运动的性质

做曲线运动的物体，速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。 4．物体做曲线运动的条件

从运动学角度说，物体的加速度方向跟速度方向不在一条直线上，物体就做曲线运动；从动力学角度来说，如果物体所受合外力的方向跟物体的速度方向不在一条直线上时，物体就做曲线运动。 ▲疑难导析

物体做曲线运动所受合力的效果： 如图所示，物体受到的合力F跟速度方向分解为

和

，可以看出分力

方向成

角

。将力F沿切线方向和垂直切线使物体的速度方向发生改变。

使物体速度大小发生改变，分力

即在F的作用下，物体速度的大小和方向均改变，物体必定做曲线运动。

说明： ①当②当

或时，

时，

方向不变，物体做直线运动。

方向改变，物体做速度大小不变、方向改变的曲线运动，

=0，v大小不变；

即匀速圆周运动。 ③当

时，

使物体速度增加，此时物体做加速运动；当

时，分力

使物

体速度减小，此时物体做减速运动。

、下列说法正确的是：（ ）

A．曲线运动的速度大小可以不变，但速度方向一定改变 B．曲线运动的速度方向可以不变，但速度大小一定改变 C．曲线运动的物体的速度方向不是物体的运动方向 D．曲线运动的物体在某点的速度方向即为该点的切线方向 答案：AD

解析：在曲线运动中，物体在任何一点的速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向，所以曲线运动的速度方向一定变化。但曲线运动的速度大小可以不变，也可以变化。曲线运动的物体的速度方向就是物体的运动方向。

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知识点二——运动的合成与分解

▲知识梳理

一、运动的合成与分解

1．已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解。 分运动与合运动是一种等效替代关系，运动的合成与分解是研究曲线运动的一种基本方法． 2．合运动与分运动的关系

（1）等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等。

（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。 （3）等效性：各分运动的叠加与合运动有完全相同的效果。 二、合运动的性质和轨迹的判定

合运动的性质和轨迹：由合初速度和合加速度共同决定。 1．两个匀速直线运动的合运动为一匀速直线运动。因为

。

恒量。若二者共线，则

2．一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动为一匀变速运动。因为

为匀变速直线运动，如竖直上抛运动；若二者不共线，则为匀变速曲线运动，如平抛运动。 3．两个匀变速直线运动的合运动为一匀变速运动。因为

恒量。若合初速度与合加速度共线，则为匀

变速直线运动；若合初速度与合加速度不共线，则为匀变速曲线运动。 三、速度分解的思路及原则

当物体同时参与两个（或两个以上）的运动时，必须注意分清哪个是分运动，哪个是合运动，并要考虑每一个分运动可能产生的影响。因为一个速度按矢量运算法则分解为两个分速度，数量关系上也许无误，但若与实际情况不符，则所得分速度毫无物理意义，所以速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解。

常用的思想方法有两种：一种思想方法是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的办法；另一种思想方法是先确定合运动的速度方向（这里有一个简单的原则：物体的实际运动方向就是合速度的方向），然后分析由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向。 ▲疑难导析 1．力与运动的关系

物体运动的形式，按速度分类有匀速和变速；按轨迹分类有直线和曲线。运动的形式决定于物体的初速度和合外力F，具体分类如下： （1）F=0：静止或匀速运动； （2）F≠0：变速运动； （3）F为恒量时：匀变速运动； （4）F为变量时：非匀变速运动； （5）F和（6）F和

的方向在同一直线时：直线运动； 的方向不在同一直线时：曲线运动。

2．小船渡河问题的分析与求解方法

小船渡河问题可以分为四类，即能否垂直于河岸过河、过河时间最短、过河位移最短和躲避障碍四类，考查最多的仍是过河最短时间和最短位移两类。

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处理方法分为两种，其一是根据运动的实际效果去分析，其二是利用正交分解法去分析。

方法1：小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动速度

）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动，速度

)，船的实际运动是合运动（

）。

（1）若小船要垂直于河岸过河，过河路径最短，应将船头偏向上游，如图所示：

此时过河时间。

、

和

构成三角形，即满足

，也就是船

同时可以看出若要能垂直于河岸过河，必须使在静水中的速度要大于水速。

（2）若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图所示：

此时过河时间 （d为河宽），此时小船一定在对岸下游处靠岸。

方法2：将船对水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图所示：

则

为轮船实际沿水流方向的速度，

为轮船垂直于河岸方向的运动速度。．

（1）要使船垂直横渡，则应使，此时

（船头方向与上游河岸夹角的余弦值为)，渡河位移最小为d。 最大，即当

时

（2）要使渡河时间最短，则应使

（船头方向与河岸垂直），渡河时间最短为。

、小船在静水中的速度=3 m/s，它要渡过一条水流速度=5 m/s，河宽150 m的河流，若认为河

流笔直且足够长，则可断定：（ ）

A．小船可能到达出发点的正对岸 B．小船渡河的最短位移是150 m C．小船渡河时间不能少于50s D．小船根本不可能渡河到达对岸

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▲疑难导析

一、平抛运动中速度变化量的方向

平抛运动是匀变速曲线运动，故相等时间内速度变化量相等，且必沿竖直方向（意两时刻的速度与速度变化量

构成直角三角形，

沿竖直方向。

）如图所示。任

特别提醒：平抛运动的速率并不随时间均匀变化，但速度随时间是均匀变化的。

二、平抛运动两个重要的推论

推论1：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为位移方向与水平方向的夹角为

，则

。

，

证明：如图所示，由平抛运动规律得所以

。

推论2：做平抛（或类平抛）运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 证明：设平抛物体的初速度为

，从原点O到A点的时间为t，A点坐标为

，B点坐标为

，

则，又，解得。

即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点B必为此刻水平位移OA的中点。

三、平抛运动的求解方法

1．常规解法——运动的分解法：相互垂直的两个方向的分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另

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外一个运动的存在而受到影响；两个分运动和其合运动具有等时性。

2．特殊的解题方法——选择一个适当的参考系。选择一个自由落体运动物体为参考系，平抛物体相对于这个参考系是水平匀速直线运动；选择一个相同初速度的水平匀速直线运动物体为参考系，平抛物体相对于这个参考系做自由落体运动。这种方法在解选择题时是比较方便的。 3．分解加速度

对于有些问题，过抛出点建立适当的直角坐标系。把重力加速度g正交分解为分解为

，然后分别在x，y方向列方程求解，可以避繁就简，化难为易。

，把初速度

正交

、质量为m的小球从距地面高度为h的水平桌面飞出，小球下落过程中，空气阻力可以忽略。小球落地点距桌边水平距离为判断正确的是：（ ）

，如图所示。关于小球在空中的飞行时间t以及小球飞出桌面的速度

，下面

A． B．

C．答案：D

D．

解析：平抛运动的研究方法是将它分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，运动时

间可以在竖直方向求出。由是正确的。

得。水平方向上的位移，由以上分析可知选项D

知识点二——类平抛运动

▲知识梳理 1．类平抛运动

有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运动。 2．类平抛运动的受力特点

物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。 3．类平抛运动的运动特点

在初速度方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度。

▲疑难导析

类平抛运动的处理方法与平抛运动一样，只是加速度a不同而已。例如某质点具有竖直向下的初速度同时受到恒定的水平向右的合外力，如图所示。则质点做沿x轴的匀速运动和沿y轴的初速度为零的匀加速直线运动，运动规律与平抛运动相同。

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、如图所示，有一倾角为30°的光滑斜面，斜面长L为10m，一小球从斜面顶端以10m/s的速度在斜面上沿水平方向抛出，求：

（1）小球沿斜面滑到底端时水平位移s； （2）小球到达斜面底端时的速度大小。（取g＝10解析：

（1）小球在水平方向做匀速直线运动，在沿斜面向下方向做匀加速运动。

）

，，

（2）小球到达斜面底端时，沿斜面方向的分速度

所以小球到达斜面底端时的速度。

典型例题透析

题型1 平抛运动的规律应用

解决平抛运动最基本的方法是将物体运动分解，一般研究的物理量是速度和位移。至于是分解速度还是分解位移应根据题目所给条件，有时要同时分解速度和位移，分别研究水平方向和竖直方向所遵循的规律。

1、一名侦察兵躲在战壕里观察敌机的情况，有一架敌机正在沿水平直线向他飞来，当侦察兵观察敌机的视线与水平线间的夹角为

时，发现敌机丢下一枚炸弹，他在战壕内一直注视着飞机和炸弹的运动

情况并计时，他看到炸弹飞过他的头顶后落地立即爆炸，测得从敌机投弹到看到炸弹爆炸的时间为10 s，从看到炸弹爆炸的烟尘到听到爆炸声音之间的时间间隔为1.0 s．若已知爆炸声音在空气中的传播速度为340 m/s，重力加速度g取10

。求敌机丢下炸弹时水平飞行速度的大小（忽略炸弹受到的空气阻力）。

思路点拨：根据炸弹飞过侦察兵头顶前后的情况，结合平抛规律和声音传播的规律分别列式求解。 解析：设炸弹飞过侦察兵后的水平位移为因声音在空气中匀速传播，得

，如图：

设敌机丢下炸弹时水平飞行速度的大小为设炸弹飞过侦察兵前的水平位移为联立以上各式得：

，由炸弹的平抛运动得：

，由几何关系得：

=120. 6 m/s。

总结升华：平抛运动相互垂直的两个方向的分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另外一个运动的存在而受到影响；两个分运动和其合运动具有等时性。

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变式练习

【变式】如图所示，AB为斜面，BC为水平面。从A点以水平速度v向右抛出小球时，其落点与A点的水平距离为

；从A点以水平速度2v向右抛出小球时，其落点与A点的水平距离为

。不计空气阻力，则

可能为：（ ）

A．1 :2 B．1:3 C．1:4 D．1:5 答案：ABC

解析：根据平抛运动的规律可知：如果两球都落在斜面上，则；如果两球都落在水平面上，则

；如果一个球落在水平面上，另一个球落在斜面上，则。正确选项为ABC。

题型2 平抛运动的临界问题

平抛运动的临界问题所涉及的物理过程并不复杂，但每当遇到类似的题目时常常又感到无从下手，因此能养成一个良好的分析问题、解决问题的思路特别重要。解决这类问题的关健有三点：其一是确定运动性质——平抛运动；其二是确定临界状态；其三是确定临界轨迹——轨迹示意图。

2、如图所示，排球场总长为18m，设网的高度为2m，运动员站在离网3m远的线上正对网前竖直向上跳起把球垂直于网水平击出。(g＝10

)

（1）设击球点的高度为2.5m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界。 （2）若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度多大，球不是触网就是出界，试求出此高度。

思路点拨：水平击出的排球其运动情况虽然受空气阻力的影响，但是当这类题目出现在中学物理中时仍然可以简化为只受重力作用，因此在这里可以认为其运动为平抛运动。第 （1）)问中击球点位置确定之后，恰不触网是速度的一个临界值，恰不出界则是击球速度的另一个临界值。第（2）问中确定的则是临界轨迹，当击球点、网的上边缘和边界点三者位于临界轨迹上时，如果击球速度变小则一定触网，否则速度变大则一定出界。 解析：

（1）如图所示，排球恰不触网时其运动轨迹为I，排球恰不出界时其轨迹为Ⅱ。

根据平抛物体的运动规律：和可得，当排球恰不触网时有：

①；

由①②可得：

。

②

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当排球恰不出界时有： ③

④

由③④可得：

所以既不触网也不出界的速度范围是：9.5m／s

（2）如图所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹。设击球点的高度为h，

根据平抛运动的规律则有： ⑤； ⑥

⑦；

解⑤～⑧式可得所求高度h=2.13m。

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总结升华：解决本题的关键有三点：其一是确定运动性质——平抛运动；其二是确定临界状态—— 恰不触网或恰不出界；其三是确定临界轨迹——轨迹示意图。 变式练习

【变式】抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。（设重力加速度为g） （1）若球在球台边缘O点正上方高度为点距O点的距离

。

水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的

点（如图虚线所示），

处以速度

水平发出，落在球台的

点（如图实线所示），求

（2）若球在O点正上方以速度求

的大小。

（3）若球在O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘O点的高度

。

处，求发球点距

解析：

（1）设发球时飞行时间为，根据平抛运动得

解得

（2）设发球高度为

，飞行时间为

，

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