邯郸市2015届高三二模模拟11

魏县第一中学2015届高三模拟11

理科数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知集合{}21x x A =-<<，{}

2

20x x x B =-≤，则A B = （ ）

A ．{}01x x <<

B ．{}01x x ≤<

C ．{}11x x -<≤

D ．{}21x x -<≤ 2

、复数=（ ）

A

．)

2

i B ．1i + C ．i D ．i -

3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ） A ．

14 B ．112- C ．14或112

- D ．14-或1

12 4、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，

n =（ ） A ．6 B ．7 C ．10 D ．9

5、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015

6、下列命题中正确命题的个数是（ ）

①对于命题:p R x ?∈，使得210x x +-<，则

:p ?R x ?∈，均有210x x +->

②p 是q 的必要不充分条件，则p ?是q ?的充分不必要条件

③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命

题

④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12

8、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到

一条渐近线的距离为d

，若F B ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A

．( B

．)+∞ C ．(]1,3 D

．)

+∞

9、不等式组22

04

x y -≤≤??≤≤?表示的点集记为A ，不等式组2

20x y y x -+≥??≥?表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）

A ．932

B ．732

C ．916

D ．7

16

10、设二项式12n

x ?

?- ???（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，

则

1212n

n

a a a

b b b ++???+=++???+（ ）

A ．123n -+

B ．()1221n -+

C ．12n +

D ．1

11、已知数列{}n a 满足3215

334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为（ ）

A ．

14 B ．13 C ．14- D ．1

3

- 12、已知函数(

))()()0ln 10x f x x x ≥=?--<?

，若函数()()F x f x kx =-

有且只有两个零点，则

k 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．10,2?? ??? C ．1,12?? ???

D ．()1,+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、向量a ，b 满足1a =

，b = ()()2a b a b +⊥- ，则向量a 与b 的夹角为 ． 14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =

，

C C A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ． 15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）． 16、已知函数()()sin 2cos y x x π?π?=+-+（0?π<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2?= ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ?AB 的面积为2，且满足0C 4<AB?A ≤ ，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；

()2求函数(

)22sin 24f πθθθ??=+ ???

的取值范围． 18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．

()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，

再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄； ()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2

名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．

19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点． ()

I 求证：F//E 平面D PA ； ()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -

的余弦值为Q 的位置；若不存在，

请说明理由．

20、（本小题满分12分）已知椭圆22

221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，

点(2,A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直． ()1求椭圆的方程； ()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求?AOB 面积的最大值． 21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+． ()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值； ()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-． 23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l

的参数方程是12

x m y t ?=+????=??（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； ()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ?PB =，求实数m 的值．

东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题

参考答案

一．选择题：

1.B

2.C

3.C

4.B

5.A

6.B

7.C

8.A

9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：

13. 900 14. 64π 15. 84 16. 5

4-

三．解答题： 17.解：

（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由已知：

2sin 2

1

=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分 可得1tan ≥θ，所以：)2

,4[

π

πθ∈． 6 分

（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ??

=+ ??

?π1cos 222θθ????=-+ ??????

?

(1sin 2)2θθ=+

πsin 2212sin 213θθθ?

?=-+=-+ ??

?． 8 分

)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ?

?-+ ???∴≤≤．

即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π

4

θ=时，min ()2f θ=．

所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[ 12 分 18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下: 2 分

3 分

平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(2

1

=?+?+?+?+?（岁） 6 分 (2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2

38

21)0(2220

15

==

=C C X P 3815

)1(2

2011515===C C C X P 38

2

)2(22025=

==C C X P 9 分

X 的分布列为

X

1

2

P

3821 3815 38

2 10 分 期望2

138223815138210)(=?+?+?

=X E （人） 12 分 19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为

PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 2

1

//∴,

MF AE //∴ 故：EFMA 为平行四边形 AM EF //∴ 2 分

又?EF 平面PAD ,?AM 平面PAD ∴//EF 平面PAD 4分 (Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:

111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222

P B C E F

由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分

假设存在Q 满足条件：设11

,(,0,1),(,,)222

EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ

1(0,0,2),(,,),22

AP AQ λλ== 设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =

,

10(1,,0)2

20

x y z m z λλλ?++=??=-??=?

10 分 ∴ 2

1,cos λλ+-<n m 由已知：

5

5

12

=

+λλ

年龄(岁)

x y

解得：2

1

=

λ 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。 12 分 20.（1）有已知：2c =

，2

b a

=

24a b ∴==

故椭圆方程为22

184

x y += 4 分

(2)当AB

斜率不存在时：1

22

AOB

S ?=?= 6 分 当AB 斜率存在时:

设其方程为：(

)2y k x k ?=-≠

?

由222)2=8

y kx k x y ?=+-??+??得(

)

))

2

22

214

22

280k x k kx k

++-+-=

由已知：)

(

))

2

2

2

2

16

282124k

k k k

?

??=--+-???

?

(2

820k =+>

即：k ≠

8 分

O 到直线AB

的距离：d 1

24

22212

+-==

∴?k d AB S ABC 10 分

2212k k ≠+≠ [)()2211,22,k ∴+∈+∞

)()24

22,00,221k ∴-

∈-??

+

∴此时 ]22,0(∈?AOB S

综上所求：当AB 斜率不存在或斜率为零时：0A B ?面积取最大值

为

12 分

21.解(1)由已知:/()ln 12(0)f x x ax

x =++> ,切点(1,)P a 1 分

切线方程:(21)(1)y a a x -=+- ,把(0,2)- 代入得:1a = 3 分 (2)(Ⅰ)依题意:/

()0f x = 有两个不等实根12

12,()x x x x <

设()ln 21g x x ax =++ 则:/1

()2(0)g x a x x

=

+> ①当0a ≥ 时: /

()0g x > ,所以()g x 是增函数,不符合题意; 5 分

②当0a < 时:由/

()0g x =得:1

02x a =-> 列表如下:

x

1(0,)2a -

12a

- 1

(,)2a -

+∞ /()g x

+

0 -

()g x

↗

极大值

↘

依题意:11()ln()022g a a -

=-> ,解得:1

02a -<< 综上所求: 1

02

a -<<得证; 8 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:/

(),()f x f x 变化如下:

x 1(0,)x 1x

12(,)x x

2x

2(,)x +∞

/

()f x

-

0 + 0 -

()f x

↘

↗

↘

由表可知:()f x 在12[,]x x 上为增函数,所以:21()()f x f x >

又/

(1)(1)210f g a ==+> , 故1(0,1)x ∈

由(Ⅰ)知:111ln 2x ax --=

,2111111

()ln (x ln 2

f x x x ax =+== 设1()(ln )(01)2h x x x x x =-<< ,则/1

()ln 02

h x x =< 成立,故:1()(1)2h x h >=- ,也就是11

()2

f x >-

综上所证: 211

()()2

f x f x >>-成立. 22.选修4-1: 几何证明选讲 证明：（Ⅰ）连结OE .

∵点D 是BC 的中点，点O 是AB 的中点， ∴AC OD 2

1

//=

，∴EOD AEO BOD A ∠=∠∠=∠,. ∵OE OA =，∴AEO A ∠=∠，∴EOD BOD ∠=∠. 3 分 在EOD ?和BOD ?中，∵OB OE =，BOD EOD ∠=∠，OD OD =，

∴EOD ?≌BOD ?，∴ 90=∠=∠OBD OED ，即ED OE ⊥.

∵E 是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线. 5 分 （Ⅱ）延长DO 交圆O 于点F .

∵EOD ?≌BOD ?，∴DB DE =.∵点D 是BC 的中点，∴BC ∵DB DE ,是圆O 的切线，∴DB DE =.∴2DB DE BC DE ?=?∵OF AB OD AC 2,2==，

∴OF OD DM AB AC DM AB DM AC DM +?=+?=?+?)22()(∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线，

∴DF DM DE ?=2

，∴AB DM AC DM BC DE ?+?=? 23.选修4-4: 坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）由θρcos 2=，得：θρρcos 22

=，∴x y x 22

2

=+C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x . 3 分

=+=t

y m t 2123

，得m y x +=3，即03=--m y x ，

03=--m y x . 5 分

???

????=+=t

y m t x 2123代入1)1(22=+-y x ，得：12112322=??? ??+???? ??-+t m t ，

整理得：02)1(32

2

=-+-+m m t m t ，

由0>?，即0)2(4)1(32

2>---m m m ，解得：31<<-m .

设21,t t 是上述方程的两实根，则m m t t m t t 2),1(32

2121-=--=+， 8 分 又直线过点)0,(m P ，由上式及的几何意义得

1|2|||||||221=-==?m m t t PB PA ，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ，

m 的值为或21+或21-. 10 分 4-5: 不等式选讲

2-<x 时，3221|2||12|)(+-=++-=+--=x x x x x x f ，

0>，即03>+-x ，解得3<x ，又2-<x ，∴2-<x ；

2

1

≤

≤x 时，13221|2||12|)(--=---=+--=x x x x x x f ， 0>，即013>--x ，解得31-<x ，又212≤≤-x ，∴3

1

2-<≤-x ；

2

1

时，3212|2||12|)(-=---=+--=x x x x x x f ，

C

0)(>x f ，即03>-x ，解得3>x ，又2

1>x ，∴3>x . 3 分 综上，不等式0)(>x f 的解集为),3(31,+∞??

? ??

-∞- . 5 分 （Ⅱ）?????????>-≤≤----<+-=+--=2

1

,3212,132,3|2||12|)(x x x x x x x x x f ，∴2521)(min -=??

? ??=f x f . 8 分

∵R x ∈?0，使得m m x f 42)(2

0<+，∴25

)(24min 2-=>-x f m m ，

整理得：05842<--m m ，解得：25

21

<<-m ，

因此m 的取值范围是???

??

-25,21

.

10 分

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