全等三角形经典题型——辅助线问题

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案)

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线

合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可

以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或

40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。 1)

遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形． 2)

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，

利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形． 3)

遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 4)

过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)

截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6)

已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等

例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知 AB-BE <2AD

ABDC例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG, 显然BG＝FC，

在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知 EG＝EF

在△BEG中，由三角形性质知 EG

AEFBDC

故：EF

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

ABDEC

解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG, 显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD 由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC 在△ADB与△ADG中， BD＝AC=DG，AD＝AD，

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG

故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE 应用：

1、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt?ABD和等

?ABC腰Rt?ACE，

?BAD??CAE?90?,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系

及数量关系．

（1）如图①当?ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是， 线段AM与DE的数量关系是；

（2）将图①中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转?(0

?

解：（1）ED?2AM，AM?ED； 证明：延长AM到G，使MG?AM，连BG，则ABGC是平行四边形 ∴AC?BG，?ABG??BAC?180? 又∵?DAE??BAC?180? ∴?ABG??DAE 再证：?DAE??ABG ∴DE?2AM，?BAG??EDA 延长MN交DE于H ∵?BAG??DAH?90? ∴?HDA??DAH?90? ∴AM?ED （2）结论仍然成立． 证明：如图，延长CA至F，使AC?FA，FA交DE于点P，并连接BF ∵DA?BA，EA?AF ∴?BAF?90???DAF??EAD ∵在?FAB和?EAD中 ?FA?AE???BAF??EAD ?BA?DA?B M C G D F P A N E

B A D N H E M C ∴?FAB??EAD（SAS） ∴BF?DE，?F??AEN ∴?FPD??F??APE??AEN?90? ∴FB?DE 又∵CA?AF，CM?MB ∴AM//FB，且AM?∴AM?DE，AM?二、截长补短

1、如图，?ABC中，AB=2AC，AD平分?BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC 解：（截长法）在AB上取中点F，连FD

△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知 DF⊥AB，故∠AFD＝90° △ADF≌△ADC（SAS）

1FB 21DE 2

∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥A

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC 解：（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE △ADE≌△AFE（SAS）

ADEBC

∠ADE＝∠AFE， ∠ADE+∠BCE＝180° ∠AFE+∠BFE＝180° 故∠ECB＝∠EFB △FBE≌△CBE（AAS） 故有BF＝BC 从而;AB＝AD+BC

ABQPC3、如图，已知在△ABC内，?BAC?60，?C?40，P，Q分

00别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是?BAC，?ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法,计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连DP 在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°

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