数学建模A试卷解答
更新时间:2023-05-13 14:30:01 阅读量: 实用文档 文档下载
数学建模
甲A参考解答
一、解:用两段法。阶段1.求解辅助规划
minx4+x6
x2+x3+x4=4
S.t. x1+x2 4x3+x5=5
x1 2x3+x6=3 ,6 xj≥0,j=1,
001
01
01
11000100
001000100100100
04x45x53x6
10010001
4
0100132
410001000
00
3
23x3
1 4
3103x2 23x110190100
4x310x511x1*0 2
1
001000100010
11
1
1
7
4x4
1* 20
12x5
111
3x 2
1
10
3*1
000
4
2x42x23x1
0 10 27
1
101
1 2000100
1
10
原规划最优解为
2
3
1000
x*=(11,0,4)
最优目标值z*=27
2
323x323 103x223 2x1
1
1
辅助规划最优解找到,人工变量x4,x6均已出基.
阶段2.划去辅助规划最优表中人工变量所在列,求解原规划:
数学建模
二、解:设xij= 则数学模型为
1,投资第i种广告的第j种计划
,i,j=1,2,3
0, 否则
maxZ=100x11+120x12+150x13+40x21+100x22+200x23+80x31+100x32+115x33 5x11+6x12+8x13+4x21+8x22+12x23+4x31+5x32+6x33≤18000 x11+x12+x13≤1
x21+x22+x23≤1
x31+x32+x33≤1
xij∈{0,1},i,j=1,2,3
三、解:x1
78 ×(4) ×(4)20
××10+412+4∞ ××
∞∞9 → ××W= ××
××∞∞20 ×× ×× 920∞ ×× ×(4
)
××→ ××
×× ××
20(7)8
14×∞ ∞×9
→
×20+7 9×∞
20(7)(8))×(7)(8) ×(
×× ××(14)×× ∞×× → ×××××
×× ×××××
×× ××× ××
v1
四、解:题目中的数据均为大致时间,粗略估计的量,带有较多的误差。因此寻找人口增长
规律时不需要,也不应该过分强调规律与数据完全吻合。数据中20世纪以前的人口资料更加粗略,况且人口的预报准确程度主要受到20世纪人口增长规律的影响,因而组建预报模型时,不必要考虑20世纪以前的数据资料,在20世纪人口增长速度是逐渐变快的,因此用直线变化(匀速增长)建模做预报是不恰当的;做为人口增长的模型,
数学建模
r为固有增长率,N(t)为t时人口数,a为最初人口数,Nmax人口容量(资源、环境
能容纳的最大数量)。方法一:假设人口增长使用指数模型
指数关系将
。式取对数可得
,它是关于t的线性模型。
dN
=rx,x(0)=adt
利用1930~1999年的数据估计a,r。(可以得到lna=-28.33,r=0.0162,模型为
(亿)(1930≤t≤1999)
.
模型的拟合效果为(人口单位:亿)年代19301960197419871999人口数2030405060拟合数19.4931.7039.7849.1156.61拟合效果较好,可用于预报。)令N(t)=100,可求出t=2030.84,故可知如果照此规律大约在2031年世界人口将达到100亿,而于2100年世界人口将达到307亿。
方法二:或假设人口增长使用Logistic模型
dNN
=rN(1 x(0)=a。dtNmax
五、解:假设1)单位时间生产费用f(x′(t))与生产率平方成正比,比率系数为k1,其中
x(t)是产量;
2)单位时间产品的贮藏费g(x(t))与产量成正比,比率系数为k2。
c(x(t):[0,T]时间内生产与贮存的总费用最小。
由假设,f(x′(t))=k1[x′(t)],g(x(t))=k2x(t)
2
c(x(t)=min∫(f(x′(t))+g(x(t)))dt=min∫(k1[x′(t)]2+k2x(t))dt
TT
x(0)=0,x(T)=Q
用变分法求解.F(t,x,x′)=k1(x′)2+k2x,由Euler方程得:
Fx(t,x,x′)
d
Fx′(t,x,x′)=0dt
结合x(0)=0,x(T)=Q,
k2 2k1x′′(t)=0,
数学建模
k224k1Q k2T2
x(t)=t+t总费用最小的生产计划。
4k14k1T
六、解:
10.260.670.470.50.430.53
10.530.380.320.250.430.71
1
0.581
0.190.351
0.220.510.151
0.170.050.490.061
10.420.420.410.350.11
七、解:设平稳分布为
由平衡方程得
(π1
π2
π3)
0.6π1+0.1π2+0.06π3=π1
0.2π1+0.6π2+0.04π3=π2 0.2π+0.3π+0.9π=π
1233
π1+π2+π3=1
π π π
1
===
2
3
171757
八、解:使用数学期望最大原则,设生产x件,则获利Q是x的函数:
mY n(x Y),若Y<x.
Q=Q(x)=
mx,若Y≥x.
Q是随机变量,它是Y的函数,其数学期望为
E(Q)=
+
∞
∫
∞0
QfY(y)dy=
∫
x0
[my n(x y)]
1
eθ
y/θ
dy
1 y/θ
dy∫x
θ
=(m+n)θ (m+n)θe
mx
x/θ
nx.
d
E(Q)=(m+n)e x/θ n=0,令dx
数学建模
得
x= θln(
n
).
m+n
d2 (m+n) x/θ
E(Q)=e<02
θ而dx
n
x= θln(m+n故知当
时,E(Q)
取得极大值,且可知这也是最大值。
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