二次函数中的面积问题

抛物线中的面积问题

提出问题:

1.中考试题 如图1，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积． 2.参考答案（1）解析式为

，D点坐标为（－1，）．

），

（2）探求得直线EF的解析式为y =x +．设K（t，

xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．则 KN = yK－yN =－（t +）=

．

∴S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +

．

即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）． 面积问题是近几年中考的热点之一，常结合一次函数、二次函数、四边形、相似形等知识而命题，具有一定的综合性.在历届中考试题的解答中，一般都通过分割，建立面积函数，用函数知识解决问题．这些分割方法通常比较麻烦，有时还回避不了分类讨论．经研究发现，这些问题通常可以分为两类，都可以用简单的平移法来解决． 解法来源：

1.书本习题：如图2，直线L1∥L2,

△ABC和△DBC面积相等吗？你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？ 2.习题解答：显然，△ABC和△DBC面积相等，原因是这两个三角形同底等高．直线l1上任意一点P与B、C两点构成的△PBC与△ABC面积总相等． 3.习题启示：可以通过平行线，把三角形等积变形为其他更有利于解决问题的三角形．

解法探究：

一、动点在直线上，利用平行线，通过等积变形建立函数模型．

例1. （2009?济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2） （1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；

（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的解析式为（2）连接AD，∵∴

即

∴，∴

， ∴

∴==\\∴当=1时，

评：本题的动点D在直线上运动，没有采用分割的方法也没有分类讨论，而是利用题目先天的∥条件，把等积变形为一边在坐标轴上的，便于表示的面积，建立函数模型解决问题． 解题策略：上面例题是动点在直线上运动，利用天然的平行条件，通过等积变形，把三角形转化为有一边在坐标轴上的三角形，从而比较简洁地建立函数模型，应用函数知识解决问题．不必分割，不必分类．

二、动点在抛物线上动，构建平行线，通过等积变形建立方程模型．

例2．（2010恩施）如图5，二次函数的图象与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式．

（2）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出最大面积. 解：（1）函数表达式为． （2）因S△ABC=6，∴当△BPC的面积最大时，四边形 ABPC的面积最大．作PQ∥BC交y轴于点Q，则S△BPC=S△BQC ，△BQC高OB为定值，所以当PQ平移到使得CQ取得最大值时，△BQC的面积最大，此时直线PQ和抛物线恰好一个公共点．设直线PQ：

，得方程

，

当△=时，， m=，∴S△BQC=．

评：本例是动点在抛物线上运动，没有天然的平行条件，采用构造平行

线的方法，等积变形为有一边在坐标轴上的图形，建立方程模型解决问题．

再来看看课前四川绵阳的那道中考题该怎样完整地解决？ 解：图7，探求得F点坐标为（-3,0），直线EF为y =x +．过K点作EF的平行线，交y轴于M点，设直线KM的解析式为y =x +b，△EFK的边EF为定值，又CE=EB，平移直线KM可知，当KM与抛物线有且只有一个公共点时，△EFK的高取得最大值，从而面积最大．由方程

得△=0，得

，

， K点坐标（

，

），

S△EFK =S△EFM=

评：动点K在抛物线上运动，构建平行线后，虽然不能转化为有一边在坐标轴上的三角形，但是依然可以通过平移直线的方法建立方程模型解决问题．K点和M点虽然都是动点，但却有本质的区别，M点只能在y轴上上下移动，但一定在E、F之间，所以不必分类，但K点却是上下左右都移动，完全可能不在E、F之间，那就必须分类讨论．

以上解法简单地说就是利用平行线或构造平行线，实际是平移思想的具体运用．用平移的观点看待问题，会使问题显得简单、易理解，许多问题可以通过平移直线来解决。 巩固练习：

1．（2010宜宾）如图6，将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)． (1) 求该抛物线的解析式； (2) 若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；

(3) 在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?请说明理由．

1解：(1) y= –x2+x+6????4分

33(2)（，0）

2273915(3) （，），（，）

4224简析：本题的第（2）是动点P在直线上运动类型，利用天然的PE∥AB条件，把S△APE转化为一边在x轴上的S△BPE，建立函数模型解决问题．第（3）题是动点在抛物线上运动类型，直接求出直线HG的解析式，更显此法的优越性． 2．（2013?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

?9?3b?c=0, 解：（1）将B、C两点的坐标代入y=x2+bx+c，得?

?c=?3.y ?b=?2,解之，得?

c=?3.?所以二次函数的解析式为A O P′ C 第25题图1

B x P E y=x2?2x?3. ………………………………… 3分

（2）如图1，假设抛物线上存在点P，使四边形 POP?C为菱形，连接PP?交CO于点E．

∵四边形POP?C为菱形，∴PC=PO，且PE⊥CO．

y 33∴OE=EC=，即P点的纵坐标为?.……5分

22M 32?102?10A B x O 由x2?2x?3=?，得x1=（不合题意，舍去） ，x2=2N 22·P 32?10C 所以存在这样的点，此时P点的坐标为（，?）.…………7

22分

第25题图2(备用)

（3）如图2，连接PO，作PM⊥x于M，PN⊥y于N．设P点坐标为（x，x2?2x?3），

由x2?2x?3=0，得点A坐标为（－1，0）.

∴AO=1，OC=3， OB=3，PＭ=?x2?2x?3，PN＝x．

111∴S四边形ABPC=S?AOC+S?POB+S?POC=AO·OC+OB·PM+OC·PN 22211139=×1×3+×3×(?x2?2x?3)+×3×x =?x2?x?6 222223375=?(x?)2?. ………………………8分 2283315易知，当x=时，四边形ABPC的面积最大．此时P点坐标为（，?），四

22475边形ABPC的最大面积为. ………………………

8………………………………………10分

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