第5章 频率特性法

频率特性法的主要内容

第5章 线性系统的频域分析与校正5.1 频率特性的基本概念 5.2 幅相频率特性(Nyquist图) 5.3 对数频率特性(Bode图) 5.4 频域稳定判据 5.5 稳定裕度 5.6 利用开环频率特性分析系统性能 5.5 频率法串联校正红河学院自动化系

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5.1 频率特性的基本概念频率分析法的数学模型是频率特性。通 过对系统频率特性的分析来分析和设计控制 系统的性能。

一、频率特性的定义 二、频率特性和传递函数的关系 三红河学院自动化系

频率特性的几何表示法

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一、 频率特性的定义

例1 RC 电路如图所示，ur(t)=Xsinwt, 求uc(t)=?T CR U c ( s) 1 1 1T G( s ) U r ( s ) C Rs 1 Ts 1 s 1 T

C0 C s C2 1T Xw 2 1 建模 ur R i uc s 1 T s w 2 s 1 T s2 w 2 du i C c Xw T X wT C0 lim 2 dt duc s 1 T s w 2 1 w 2T 2 ur CR uc i dt -X wT Xw C1 C2 Ur [ CR s 1 ] Uc 1 w 2T 2 1 w 2T 2 X wT 1 X 1 w Tw s Uc ( s ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 w 2T 2 s 1 T s w2 s w2 1 w T 1 w T 1 w T t X wT X uc ( t ) eT sin wT cos cos wT sin 2 2 2 2 1 w T 1 w T t X X wT sin( wT-arctanwT) eT 2 2 2 2 1 w T 1 w T Uc ( s ) t X wT X t ; e T 0; uc ( t ) sin( wT- ) 2 2 2 2 1 w T 1 w T

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讨论：比较两式有：

ur ( t ) X sin wTuc ( t ) X 1 w T2 2

sin( wT- ) =arctgwT

1、输入为正弦信号，输出响应也是正弦信号。 但输出响应的幅值、相位发生了变化，且它们是 w 的函数。 2、两式改写为复数形式有：

UC

U R Xe

j0

X2 2

Ye j Y j e A( w ) e j ( w ) 一般式(输出与输入复数比): Xe j0 X

1 w T

e

j

UC U R

X

1 w 2T 2

e

j

Xe

j0

1 1 w 2T 2

e j

3、频率特性定义如下：线性定常系统(或元件)的频率特性是零初始条件下稳态输出正弦信 G( jw ) 号与输入正弦信号的复数比。用 表示，则有

G( jw ) G( jw )e j G( jw ) A( w )e j ( w ) A( w ) ( w ) 频率特性描述了在不同频率下系统(或元件)传递正弦信号的能力。红河学院自动化系

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且：根据欧拉公式有G( jw ) A( w )e j ( w ) A( w )[cos ( w ) j sin ( w )] P( w ) jQ( w ) jQ( w )

式中：

几何关系

P ( w ) A( w )cos ( w ) Q( w ) A( w ) sin ( w )

A( w )

G( jw )

A( w ) P 2 ( w ) Q 2 ( w ) Q( w ) ( w ) arc tg P( w )

(w )0

P( w )

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二、频率特性和传递函数的关系 系统结构图如图: 设系统传递函数为 U(s) G(s)= (s

-s )(s-s )·(s-s ) · n 1 2 · r(t)=Xsin ωtR(s) G(S)

C(s)

ω X 特征方程的根 R(s)=s2+ 2 ω ω U(s) X C(s)=G(s)R(s) = (s-s )(s-s )·(s-s ) ·2+ 2 · n s ω 1 2 · C1 C2 n Bi =s+j + s-jω +∑ s–si ω i=1 -j t ω ωt n j sit 拉氏反 c(t)=C1e +C2 e +∑ Bi e 变换得: i=1

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系统的稳态响应为 c (t)=limc(t) =C1 e +C2 e t→∞ ω X 求待定系数: C1=G(s)s2+ 2 (s+j ω) s=-j ω ω

-j t ω

ωt j

ω)| X = X|G(j e =G(-j -2j ω) -2j ω X X|G(j )|e ω) 同理: C2= G(j 2j = 2j -j G(jω) ω ω 根据 G(-j )=|G(j )|e c (t)=X|G(jω)| e红河学院自动化系

-j G(jω) j G(jω)

j[ t+ G(jω)] ω

-e 2j

-j[ω t+ G(jω)]

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[ c (t)=X|G(j )|sin ω t+ G(j ω)] ω 系统正弦信号作用下的稳态输出是与 输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅 值之比为|G(jω)|,稳态输出与输入间的相位 差为∠G(jω)。

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定义频率特性为: 系统输入输出曲线 G(j ) ω j G(jω) r(t) =|G(j )|e ω c(t) j ω υ( ) r(t)=Xsin ωt =A( )e ω X 幅频特性： 0 A( )=|G(j )| ω ω t 相频特性： G(jω) X G(j ) ω υ ( )= G(j ) ω ωω)] c (t)=X|G(jω)|sin[ω t+ G(j 频率特性表征了系统输入输出之间的 关系，故可由频率特性来分析系统性能。红河学院自动化系

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例 求图所示RC电路的频率特性，并求该 电路正弦信号作用下的稳态输出响应。

解: 传递函数为 1 G(s)= Ts+1 T=RC

频率特性 1 )= ω T+1 G(j ω j 1 -j ω T 电路的稳态输出: =1+( T)2 2 ω ω 1+( T) ur(t)=Xsin ωt X sin( t-tg-ω T) 1 ω c (t)= ω √ 1+( T)2红河学院自动化系

幅频特性和相频特性 + + i 1u A( )=|G(j )| = C ω ur ω ω √ 1+( T)c2 -ω υ ( )= G(j ) =-tg 1 T ω ω

R

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频率特性 1 G(j )= ω T+1 ω j 幅频特性 A( )=|G(j )| = ω ω 1 ω √ 1+( T)2

相频特性 1 υ ( )= G(j ) =-tg-ω T ω ω

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三 频率特性的几何表示法频域分析法是一种图解分析法，常见的频

率特性曲线有以下两种。Im

1.幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线又称 奈魁斯特曲线(Nyquist图) 也称极坐标图 幅相频率特性曲线红河学院自动化系

ω ∞ 0 Re

ω ω=0

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2.对数频率特性曲线对数幅频特性 横坐标表示为：ω ω L( )=20lgA( ) dB40 20 0 -20 -40 -20dB/dec -1 0.1

斜率1 10

为方便只表示ω纵坐标表示为：

-40dB/dec 0 1

lg ω ω

L( )=20lgA(ω ) ω 单位为 dB 对数相频特性

十倍频程 decυ ( ) ω0.1 1

-20dB/dec

0 -90 -180

10

ω

对数频率特性曲线又称Bode伯德图.红河学院自动化系

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Bode图介绍

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Bode图介绍横轴按 lgw 刻度，dec “十倍频程” 按 w 标定，等距等比L(w ) 20lgG( jw ) dB “分贝”

坐标特点

纵轴lg

Pc P (贝 尔) 1

0lg c (分 贝) Pr Pr

⑴ 幅值相乘 = 对数相加，便于叠加作图；

特点红河学院自动化系

⑵ 可在大范围内表示频率特性； ⑶ 利用实验数据容易确定 L(w),进而确定G(s)。

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5.2

典型环节与系统频率特性

频率特性法是一种图解分析法，它是通 过系统的频率特性来分析系统的性能,因而可 避免繁杂的求解运算。与其他方法比较,它具 有一些明显的优点.

一、典型环节的频率特性 二、控制系统开环频率特性红河学院自动化系

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一 典型环节的频率特性 (1) Nyquist奈氏图 1.比例环节 Im A( )=K ω G(s)=K K ω G(j ) =K υ ( )= 0o ω Re 0 (2) Bode伯德图 ω L( ) dB 对数幅频特性： 20lgK L( )=20lgA(ω )=20lgK ω 0 0.1 1 ω 对数相频特性： υ ( ) ω ω 0 0.1 υ ( )=tg-1 Q( )=0o ω ω 1 P( ) ω红河学院自动化系

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2.积分环节 (1) Nyquist奈氏图 1 1 Im A( )=ω ω G(s)= s 0 Re )= j 1 υ ( )= -90o ω G(j ω ω ∞

(2) Bode伯德图 ω=0 对数幅频特性： ω L( ) dB 20 -20dB/dec L( )=20lgA(ω )=-20lgω ω 0 1 L( )=-20lg1=0dB -20 0.1 ω ω=1 ω=0.1 L( )=-20lg0.1=20dB υ (ω ) ω 0 0.1 1 o υω 对数相频特性： ( )= -90 -90红河学院自动化系

10 ω

10ω

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(1) Nyquist奈氏图 3.微分环节 ω G(s)=s A( )=ω ∞ Im ω ω ω G(j )= j υ ( )= 90o ω=0 (2) Bode伯德图 0 Re 对数幅频特性： ω L( ) dB 20 20dB/dec L( )=20lgA(ω )=20lgω ω 0 0.1 1 10 ω ω ω=1 L( )=20lg1 =0dB -20 υ ( ) ω ω ω=0.1 L( )=20lg0.1=-20dB 90 对数相频特性： ( )= 90o 0 0.1 υω 1 10ω红河学院自动化系

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