2 行列式的基本性质与计算

线性代数

§2 行列式的基本性质与计算一、行列式的基本性质 二、行列式按任一行(列)展开

1

返回

线性代数

一、行列式的基本性质定义3 记 a11 a12 a21 a22 D a n1 a n 2

a1n a2 n ann , D' D T

a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann ,

D '(或DT )称为D的转置行列式.

注意 : D D ', 是把第 i 行换到第 i 列 ( i 1,2, n).性质1. 行列式与它的转置行列式相等,即 D D'.

2

返回

线性代数

a11

0

0 0

0 0 a11a22 ann ,

例如: D

a21 a22

an1 an 2 an 3 ann

a11 a21 an1 D' 0 0 a22 an 2 0 ann a11a22 ann D.

註：由性质1可知, 行列式中行与列具有同等地位, 行列式的性质凡是对行成立的, 对列也成立, 反之亦然.性质2. 互换两行(列),行列式改变符号.3

返回

线性代数

a11 ai 1

a1n ain a jn annri rj

a11 a j1 ai 1 a n1

a1n a jn . ain ann

即

a j1 a n1

註: 换行: ri rj ;x1 y1 y2 y3 z1 z2 z3

换列: ci c j .c1 c3

z1 z2 z3

y1 y2 y3

x1 x2 . x3返回

例如:

x2 x3

线性代数

又如: a1 a2

a3 b3 c3

b1 c1

b2 c2

r2 r3

a1 c1 b1

a2 c2 b2

a3

r1 r2 c1 a1 c3 b1 b3

c2 a2 b2

c3 a3 . b3

推论1. 若行列式 D 中某一行(列)的所有元素均 为零,则 D 0. 证明: 当第一行元素全为0时,即0 D 0 0 0 , a21 a22 a2 n an1 an 2 ann5

由行列式定义知 D = 0;

返回

线性代数

若第 i 行(i>1)的元素全为0, 即 a11 a12 a1n 0 0 (第 i 行) D 0 an1 an 2 ann0r1 ri

0

0

a11

a12 a1n = 0.

证毕.

an1 an 2 ann6

返回

线性代数

推论2. 若行列式D 中有两行(列)完全相同,则D=0.证明: 将相同的两行互换,有 D D, D 0. 性质3. 若行列式中某行(列)的所有元素是两个数 的和,则D可表示成两个新行列式之和. 例如:

a1 a2 a2 ' a3 c1 c2 c2 ' c3

a1 a2 a3 c1 c2 c3

a1 a2 ' a3 c1 c2 ' c3

D b1 b2 b2 ' b3 b1 b2 b3 b1 b2 ' b3 .性质4. 行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面. 即7

返回

线性代数

a11

a1n

a11 a1n an1 ann

kai 1 kain k ai 1 ain . an1 ann

推论3. 若行列式 D 中有某两行(列)对应元素成比 例, 则 D=0.

8

返回

线性代数

也就是a11 (第 i 行) ai 1

a1n ain

a11 ai 1 ai 1 a n1

a1n ain ain ann

(第 j 行) kai 1

k ann

推论2

0.

kain

a n1

9

返回

线性代数

性质5 把行列式中某一行(列)的各元素乘以常数k 后加到另一行(列)对应的元素上去, 行列式保持不变, 即a11 ai 1 a j1

a n1 ai 2 a12 a1n ain a j 2 a jn an 2 ann a11 ai 1 kai 1 a j 1 a n1 an 2 ai 2 a12 kai 2 a j 2 kain a jn ann ain . a1 n

10

返回

线性代数

x1又

y1 y2 y3

z1 z2 z3

x2 x3注意:

r3 kr1

x1 x2 x3 kx1

y1 y2 y3 ky1

z1 z2 z3 kz1 .

x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

r3 kr1

x3 kx1 x2 x3

y3 ky1 y2 y3

z3 kz1 z2 z3 .

註: 利用上述性质和推论可以简化行列式的运算, 即可把行列式化成上三角(或下三角)行列式来计算.11

返回

线性代数

例1. 计算D

3 5 2 1

1 1 0 51 1 0

1 3 1 33 5 2

2 4 1 3 1 3 1 2 4 1

.

解:

D

c1 c2

5 1 3 3 1 3 1 2 r2 r1 0 8 4 6 0 2 1 1 r4 5r1 0 16 2 712

返回

线性代数

1

3

1

2

1 3

1

2

r2 r3 0 2 1 1 r3 4r2 0 2 1 1 0 8 4 6 r4 8r2 0 0 8 10 0 16 2 7 0 0 10 15

5 r4 r3 0 4 0

1

3 2 0 0

1 1 8 0

25 1 2 8 40. 2 10 5 2

1

0

13

返回

线性代数

例2. 计算a D a b a b c a b c d a b c d 4a 3b 2c d .

a 2a b 3a 2b c

a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d

解: 从第四行开始, 后行减去前行, 得r4 r3 a b r3 r2 0 a

c a b

d a b c

D

r2 r1 0 a 2a 2 3a 2b c 0 a 3a b 6a 3b c14

返回

线性代数

a b

c

d

r4 r3 0 a a b a b c r3 r2 0 0 a 2a b0 0 a b 0 0 0 0 a c a 0 3a b d 2a b a

r4 r3 0 a a b a b c

a4 .

15

返回

线性代数

例3. 计算n 阶行列式

a b D b b

b a b b

b b a b

b b b . a

解: 此行列式的特点是各行 n 个数之和均为 a+(n-1)b, 故把第二列至第 n 列都加到第一列上去:

16

返回

线性代数

c1 c2 a n 1 b a b b c1 c3 D a n 1 b b a b c1 cn

a n 1 b

b

b

b

a n 1 br2 r1 r3 r1

b

b

a

a n 1 b 0 0 0

b a b 0 017

b 0 0

b 0 0

rn r1

a b

a b返回

[a ( n 1)b](a b )n 1 .

线性代数

二、行列式按任一行(列)展开根据行列式的定义和性质1, 我们知道行列式等于 它的第一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式的 乘积之和. 例如 a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a1 j A1 j . j 1 a31 a32 a33 事实上可以证明更一般的结论. 为此先证明以下 引理. 引理 一个n阶行列式，如果其中第i行(或第j列)所 有元素除 a ij 外都为零，那末此行列式等于 a ij 与它的代 数余子式的乘积，即 D aij Aij .18

a11 a12 a13

3

返回

线性代数

也就是: 若

a11 a21 D 0 a n1

a12 a22 0 an 2

a1 j a2 j aij anj

a1n a2 n 0 ,

ann

则 D a ij Aij .19

返回

线性代数

证明

: 先证 (1). 当 a ij 位于第一行第一列的情形, 即a11 D a21 a n1 0 0 . a22 a2 n an 2 ann

由定义, 按第一行展开得

D a11 ( 1)1 1 M 11 a11 A11.(2). 再证一般情形(第 i 行除 a ij 外,其它元素全为 零), 此时20

返回

线性代数

a11 a1 j a1n D 0 aij 0 .

an1 anj ann将D的第i行依次与第i 1, i 2, ,1行交换, 得 0 a ij 0

D ( 1)i 1

21

a nj

a nn返回

ai 1,1 ai 1, j ai 1,n . a n1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vlz1.html