福建省漳州市2009-2010学年高三上学期期末诏安一中、长泰一中、

福建省漳州市2009-2010学年高三上学期期末诏安一中、长泰一中、龙海二中、

平和一中、南靖一中五校联考考数学（理科）试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

一、单项选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。）

(1?i)21．复数= （ ）

i2A．2

B．－2 C．－2i

D．2i 2. 已知命题p:?x?R,使sinx?论：

①命题“p?q”是真命题 ③命题“?p?q”是真命题； 其中正确的是 （ ） A．②③ B．②④ 3．已知函数f(x)?sin(x?5;命题q:?x?R,都有x2?x?1?0.给出下列结2②命题“p??q”是假命题 ④命题“?p??q”是假命题 C．③④

D．①②③

?6)cos(x??6),则下列判断正确的是 （ ）

A．f(x)的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为x?B．f(x)的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为x?C．f(x)的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为x??12

?6?12?D．f(x)的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为x?

6 4. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1?面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为（ ） A. 4 B. 2

C _ A_ AB_ _ B3 C. 22 D. 3 ??

C1 A_ 1 B1 A1 _ 正视图

B1 俯视图

5．在等差数列an中，已知a1?a3?a11?6，那么S9?（ ） A.2 B.8 C. 36 D. 18

??6．若平面四边形ABCD满足AB+CD?0,(AB-AD)?AC?0,则该四边形一定是（ ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形

开始

??????7．若右面的程序框图输出的S是126，则①应为 A．n?5？ B.n?6？

n?1,S?0 C．n?7？ D．n?8？

8．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)?否 ① 12??10e(x?80)2200(x?R)，则下列命题不正确

是 输出S 的是 （ ）

A．该市这次考试的数学平均成绩为80分

B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学成绩标准差为10

9．在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(n?N)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数：

①f(x)?sin2x； ②g(x)?x3 ③h(x)?(); ④?(x)?lnx， 其中是一阶整点函数的是 ( )

A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④

?S?S?2n 结束 n?n?1 13x10．设a、b、m为整数（m>0),若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为

2192320a≡b(mod m)。已知a=1+C120+C20·2+C20·2+?+C20·2，b≡a(mod 10)，则b的值

可以是（ ）

A．2011 B．2010 C．2008 D．2006

第Ⅱ卷

二、填空题(本题共5小题，满分20分)

?x?y?5?02211．设x,y满足约束条件??x?y?0,则x?y的最大值为 。

?x?3?12．设?an?是正项数列，其前n项和Sn满足：4Sn?(an?1)(an?3),则an= .

3n?1n?613．若C23?C23(n?N?)且(3?x)n?a0?a1x?a2x2???anxn,

则a0?a1?a2???(?1)nan? . 14．过抛物线y?4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则

211?＝ 。 AFBF15．如果一个自然数n，我们可以把它写成若干个连续自然数之和，则称为自然数n的一个“分拆”。如9=4+5=2+3+4，我们就说“4+5”与“2+3+4”是9的俩个“分拆”。请写出70的三个“分拆”：70= 三、解答题:本大题共6个小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16．已知向量m?(sinA,sinB),n?(cosB,cosA),m?n?sin2C,且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角 （1）求角C的大小；

（2）若sinA,sinC,sinB成等差数列,且CA?(AB?AC)?18，求c边的长。 17．f1(x)?x,f2(x)?x,f3(x)?x,f4(x)?sinx,f5(x)?cosx,f6(x)?lg(x?1).分别写在六张卡片上，放在一盒子中。

（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函

数的概率；

（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数卡

片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数?的分布列和数学期望．

18．如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。 （1）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值； （2）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线

23

x2y219．如图，已知直线L:x?my?1过椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点F，且交椭

ab圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G:x?a上的射影依次为点D，K，E. （1）若抛物线x2?43y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；

（2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且MA??1AF,MB??2BF，当

2m变化时，求?1??2的值；

（3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点

N，请求出N点的坐标并给予证明；否则说明理由.

20．已知函数f(x)?12x?lnx?(a?4)x在(1,??)上是增函数. 2 （I）求实数a的取值范围；

a2 （II）在（I）的结论下，设g(x)?|e?a|?2xx?[0,ln3]，求函数g(x)的最小值．

21．本题有⑴、⑵、⑶三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

?1a?（1）曲线x?4xy?2y?1在二阶矩阵M??的作用下变换为曲线x2?2y2?1， ??b1?22①求实数a,b的值；②求M的逆矩阵M?1.

?x?1?cos?（2）在曲线C1：?(?为参数）,在曲线C1求一点，使它到直线C2：

y?sin??1?x??22?t??2的距离最小，并求出该点坐标和最小距离. (t为参数）??y?1?1t??2（3）设函数f(x)?x?1?x?2?a．

①当a??5时，求函数f(x)的定义域；

②若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．

诏安一中、长泰一中、龙海二中、平和一中、南靖一中五校联考

2009-2010学年上学期期末考高三数学（理科）试题参考答案

1-5 CACBD 6-10CBBDA 11. 73 12. 2n?1 13. 256 14.1 15．70=16+17+18+19=12+13+14+15+16=7+8+9+10+11+12+13 16．解：（1）m?n?sinA?cosB?sinB?cosA?sin(A?B)

????2分

对于?ABC,A?B???C,0?C???sin(A?B)?sinC，

?m?n?sinC.

????3分

又?m?n?sin2C，

?sin2C?sinC,cosC?1?,C?. 23????6分

sinA ,sin C ,sin B 2 sinC ? sinA ? sinB 成等差数列 ,得

（2）由

由正弦定理得2c?a?b.

， ????8分

?CA?(AB?AC)?18,?CA?CB?18，

即abcosC?18,ab?36.

????10分

由余弦弦定理c2?a2?b2?2abcosC?(a?b)2?3ab， ????11分

?c2?4c2?3?36,c2?36，

?c?6.????13分

17．解：（1）计事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，

C321所以P(A)?2?.??????????????5分

C65111C3C3C313 （2）?可取1，2，3，4． P(??1)?1?,P(??2)?1?1?，

210C6C6C51111111C3C3C3C3C2C2C131；????10分 P(??3)?1?1?1?,P(??4)?1?1?1?1?C6C5C420C6C5C4C320故ξ的分布列为

ξ P 1 2 3 4 1 23 103 201 20E??1?713317?2??3??4??. 答：?的数学期望为.????13分

421020204

18．设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.

则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得MN=(-1,1,2). 又DA=（0，0，2）为平面DCEF的法向量， 可得cos(MN,DA)=MN?DA||MN||DA|??63·

所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为

MN,DA?63cos· ??7分

(Ⅱ)假设直线ME与BN共面， ??9分 则AB?平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB?平面DCEF。

又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线， 所以AB//EN。 又AB//CD//EF，

所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ??13分 19．解：（1）易知b?3

?b2?3,又F(1,0)

y ?c?1a2?b2?c2?4

22xy??1???????????4分 43A 1 （2）?l与y轴交于M(0,?)

m

M ?椭圆C的方程为O F B x

设A(x1,y1),B(x2,y2)?x?my?1 由?22?3x?4y?12?0??144(m2?1)?0

?(3m2?4)y2?6my?9?0?

112m??(*)????????????????4分 y1y23?(x1,y1?1)??1(1?x1,?y1) m

又由MA??1AF

??1??1?11 同理?2??1? my1my211128(?)??2??? my1y233

??1??2??2?

8??1??2????????????????9分

32 （3）?F(1,0),k?(a,0)

先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK中

a2?1,0) 点N，且N(2

a2?1,0)????????8分 猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(2证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),E(a2,y2),D(a2,y1) 当m变化时首先AE过定点N

?x?my?12222222??22即(a?bm)y?2mby?b(1?a)?02222?bx?ay?ab?0??4a2b2(a2?m2b2?1)?0(?a?1) 又KAN??y1?y2,K?ENa2?11?a2?my122a2?1(y1?y2)?my1y22? 221?aa?1(?my1)22而KAN?KEN

a2?1a2?12mb2b2(1?a2)(?(y1?y2)?my1y2??(?2)?m?222a?m2b2a?m2b2

222(a?1)?(mb?mb)??0)222a?mb

?KAN?KEN?A、N、E三点共线

同理可得B、N、D三点共线

a2?1,0)????????14分 ∴AE与BD相交于定点N(21?a?4. ????????????????? 2分 x20．解：（I）f?(x)?x??f(x)在(1,??)上是增函数,11?a?4?0在(1,??)上恒成立,即a?4?(x?)恒成立.xx 1?x??2(当且仅当x?1时,等号成立),x1?4?(x?)?2.x?x? 所以a?2. ????????????????????????7分

a2. ?0?x?ln3,?1?t?3.??8分 （II）设t?e,则h(t)?|t?a|?2x?a2?t?a?,1?t?a,??2 当 2?a?3时,h(t)?? ??????????10分

2?t?a?a,a?t?3.?2?a2h(a)?. ????????????????11分 ?h(t)的最小值为2a2. 当a?3时,h(t)??t?a?2a2h(3)?a?3?. ??????????????13分 ?h(t)的最小值为2a2 所以，当2?a?3时,g(x)的最小值为,当a?3时,

2a2g(x)的最小值为a?3?.?????????????????? 14分

221．A.（1）设P(x,y)为曲线x2?2y2?1上任意一点，P'(x',y')为曲线x2?4xy?2y2?1

?x?x'?ay'?1a??x'??x?上与P对应的点，则? ????????2分 ?'????，即??''?y?bx?y?b1??y??y?代入的(x'?ay')2?2(bx'?y')2?1得1?2b2x?2??2a?4b?x?y??a2?2y?2?1， ?1?2b2?1?及方程x2?4xy?2y2?1，从而?2a?4b?4，解得a?2,b?0， ???????4分

?2?a?2?212?0，故M?101?1?1???0??1?2?1??1?2???? ?????????7分 1??01???1?????（2）因为M?B.直线C2化成普通方程是 x?y?1?22?0?????????????????2分

设所求的点为P(1?cos?,sin?),则C到直线C2的距离

d?|1?cos??sin??22?1|2 ??????????????????4分

? =sin(??)?2 ?????????????????????????5分

4当???4?3?5?时，即??时，d取最小值1 ????????????6分 24?22?此时，点P的坐标是?1?,?????????????????????7分 22??C.（1）由题设知：x?1?x?2?5?0，

如图，在同一坐标系中作出函数y?x?1?x?2和y?5的 图象（如图所示）,知定义域为???,?2???3,???.???4分 （2）由题设知，当x?R时，恒有x?1?x?2?a?0，

54321-3-2-1yy=x+1+x-2y=5O123x即x?1?x?2??a， 又由（1）x?1?x?2?3，∴ ?a?3,即a??3 ????7分

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