2.静定结构的受力分析

第 4 讲：直杆、曲杆的受力分析。

要 求：熟练掌握直杆的计算並绘内力图；了解曲杆的受力特点和计算方法。 重 点：简捷法作静定单跨梁的内力图。

第二章 静定结构的内力计算

本章讨论静定结构（梁、拱、刚架、桁架等）的受力分析问题，其中包括支座反力和内力计算、绘内力图、受力性能的分析等内容。

注意结构力学与材料力学之间的关系。在材料力学中已经讨论单根杆件的计算问题；结构力学中要研究的则是整个结构的计算问题。单杆计算是结构计算的基础，结构力学常采用将整个结构分解为杆件或单元的计算问题。

先简略复习单杆受力分析，再配合构造分析讨论静定结构的一般分析方法，及梁、拱、刚架、桁架等典型结构的分析方法；最后对静定结构的受力特性和结构形式的合理选择等问题作综合性的讨论。

§2－1 直杆的受力分析

1、用截面法求指定截面的内力

在任意荷载作用下，平面杆件任一截面上一般有三个内力分量，轴力N、剪力Q、弯矩M。 ⑴ 正负号规定：

轴力以拉为正，以压为负；剪力以绕隔离体顺时针转者为正，反之为负；弯矩以水平梁下侧纤维受拉为正，反之为负。 ⑵ 隔离体受力图

计算截面内力的基本方法是截面法。应用时要注意以下几点： ① 隔离体与其周围的约束要全部截断，以相应的约束力代替。

② 约束力要符合约束的性质：截断链杆加轴力；截断受弯杆加轴力、剪力和弯矩。不同支座分别用相应的反力代替。

③ 隔离体受力图只画隔离体本身所受的荷载与截断约束处的约束力。 ④ 隔离体上的已知力按实际方向画出，未知假设为正号方向。由隔离体平衡条件解得未知力时，其符号就是其实际的正负号。 ⑶ 计算法则（材力已讨论）

① 轴力 =（±）截面任一边所有外力沿杆轴切线方向的投影的代数和。 ② 剪力 =（±）截面任一边所有外力沿杆轴法线方向的投影的代数和。 ③ 弯矩 =（±）截面任一边所有外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩的代数和。

2、荷载与内力之间的关系

⑴ 微分关系 弯矩M、剪力Q与荷载集度q的关系

在荷载连续分布的直杆段内，qx、qy 分别为沿x和y方向的荷载集度。取微段dx为隔离体如图2-3所示，其中x、qx向右为正，y、qy向下为正。由微段的三个平衡条件可得 q

y

dN??qx （2－1） dxdQ??qy （2－2） dxQ N M Q+d Q qx N+d N M+d M

dx

dM?Q （2－3） dxd2M??qy （2－4） 2dx上述微分关系的几何意义：

① 轴力图在某点的切线斜率等于该点处的荷载集度qx，但符号相反。 ② 剪力图在某点的切线斜率等于该点处的荷载集度qy，但符号相反。 ③ 弯矩图在某点的切线斜率等于该点处的剪力。 ④ 弯矩图在某点的二阶导数（曲率）等于该点的荷载集度qy，但符号相反。 内力图形的特点

① 在qx = 0的区段，N图为水平线；在qx为非零常数区段，N图为斜直线。 ② 在qx = 0的区段，Q图为水平线，M图为斜直线。在qy为非零常数区段，Q图为斜直线，M图为二次抛物；当荷载向下时，M曲线向下凸。

弯矩图的极值：剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上剪力一定等于零。

Q ⑵ 增量关系

N mQ+d Q Px Py N+d N

M M+d M

① 水平集中力Px处：轴力图发生突变，突变差值

dx 等于该集中力的大小；剪力图弯矩图不变，是连续的。

② 竖向集中力Px处：剪力图发生突变，突变差值等于该集中力的大小；弯矩图发生转折，形成尖角：轴力图不变，是连续的。

③ 力偶m作用处：剪力图不变，是连续的；弯矩图发生突变，突变差的绝对值为该集中力偶的大小。

⑶ 积分关系

3、分段叠加法作弯矩图

叠加法作某区段梁的M图 mi 如欲作i k段的M图。取出i k段，将此脱离体与相应的简支梁在均布荷载q和

两端力m i 、m k作用下的受力相比较 R i＝ mi Q ik 、R k＝ Q ki，∴两者完全相同。

步骤：

在求得区段两端的截面弯矩后，可先确定m i、m k的两个竖标，再将这两个竖标的定点以虚线相连，然后暂以虚线为基线，将相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加上去。则最后所得的图线与原定基线之间所包含的图形即为实际的弯矩图。

绘制内力图的一般步骤

⑴ 求支座反力。

⑵ 选定外力的不连续点（集中力、力偶作用点，分布荷载的起点和终点等）为控制截面，求出各控制截面的剪力值和弯矩值。

⑶ 绘内力图。根据各控制截面的剪力值和弯矩值，利用上述规律可画出各段的剪力图和弯矩图。

作内力图时规定：轴力图、剪力图要注明正负号，弯矩图绘在杆件受拉一

q

mk

Qik Qki mk

ql2/8 mi

ql2/mk

侧，不用注明正负号。

举例：

计算並绘图示外伸梁的内力图（用叠加法作DE段的M图）。

⑴ 求支座反力

VA = 11.22KN (↑) VB = 19.78KN (↑) ⑵ 简捷法作内力图

11.22 （＋）

10

10KN·m 15KN 2KN/m 5KN·m 10KN

A 2m C 2m D 3m E 1m F 1m B 1m G

Q（KN）

A

D

C

3.78

（－）

E

9.78

（＋）

B

E

5.22 4.56 10

G

M（kN m） A

10

C D

F 0.22 B

G

2.25 24.88 32.44 4、斜杆的受力分析

斜杆计算的特点：杆轴与横截面都是倾斜的，截面的轴力与剪力方向也是

倾斜的。

如图所示简支斜AB，作其内力图。

与相应简支水平梁（水平跨度、竖向荷载）比较，分别用平衡条件计算，可得以下关系： ⑴ 求支座反力

q

qlqloooXA?XA?0，YA?YA?，YB?YB?。

22B

⑵ 求任一截面上的Mc、Qc、Nc方程：

YB

∑M k = 0 ：Mc－VA x＋ qx2/2 = 0

Mc＝ VA x－ qx2/2 = M oc

α XA A ∑y’ = 0 ：Qc－VA cosα＋ qx cosα= 0

l Qc＝ ( VA－ qx) cosα

YA ＝ (ql/2－ x) cosα

q ＝ Q oc cosα

x’

∑x’ = 0 ：Nc＋VA sinα－q (sinα) x = 0 Nc Nc＝－ VA sinα＋q x sinα

Mc ＝－（ VA－ qx）sinα

Qc XA A α ＝－（ql /2－ qx）sinα

＝－ Q oc sinα X ⑶ 内力图的绘制：

如图2-11（b）（c）（d）所示。

YA y’ §2－2 曲杆的受力分析

曲杆计算的特点：在荷载作用下，横截面上一般有三个内力分量，轴力N、剪力Q、弯矩M。与斜直杆相比，曲杆横截面的方向是逐点变化的，需由曲杆轴线方程的一阶导数来确定。

讨论简支曲梁在竖向荷载作用下的受力特点：

与相应简支水平梁（水平跨度、竖向荷载）比较，分别用平衡条件计算，可得以下关系；（与斜杆相似）

oo， YA?YA， YB?YBo XA?XAooo， QC?QCMC?MCco?n， NC??QCsin?

式中φ是曲梁各点切线的倾角，自水平轴至杆轴切线为逆时针方向时φ为正号。

举例：

例2-3：P39图2-14 a所示简支曲梁，试求曲粱的内力。

例2-4：P39图2-15 a所示悬臂圆弧曲梁，试求曲粱的内力。

第 5 讲：静定结构支座反力的分析方法；静定多跨梁。

要 求：掌握各类静定结构的计算顺序及反力的计算；掌握静定多跨梁的计算。 重 点：静定结构反力的计算方法；静定多跨梁的计算。

§2－3 静定结构支座反力的分析方法

通过组成分析可以了解结构的组成次序，由组成次序可以说明结构各部分之间的支承关系。在荷载作用下，这种支承关系反映结构受力时各部分之间的传力关系，根据传力关系可确定结构分析的计算次序。 1、 结构分析计算次序应与其几何组成次序相反

在静定结构的受力分析中，一般需先求支座反力，支座反力计算的正确是内力计算准确的保证。

实际计算时，先选择一定的次序截取单元（杆件），然后依次取单元为隔离体，应用平衡方程求出该单元相关的约束力，当最后一个单元计算完毕，即所有的约束力全部求出。

如图2-17 a所示多跨静定梁，根据几何构造分析，组成次序为AC→CE→EG；结构受力时各部分之间的传力关系为AC←CE←EG，由传力关系可确定结构分析的计算次序为AC←CE←EG。三根梁的受力分析如图2-17 b、c、d所示。

合理选择截取单元（杆件）的次序，使其与结构的几何组成次序相反，计算可以简便地进行。

举例：

例2-6：P42图2-18 a所示静定多跨刚架，求支座反力。

解：为静定多跨刚架，先求附属部分AD、GJ，然后求CEFH部分。

例2-7：P42图2-19 a所示静定桁架，求支座反力。 2、 三铰结构的反力计算方法

例：图2-20 a所示静定三铰刚架（支座等高）。

先取刚架整体为隔离体，求竖向反力VA 、VB ，並有HA = HB ；再取半边刚架为隔离体，求水平反力HA ，並得HB 。

例：试计算如图所示三铰刚架的支座反力。 10kN/m C C

HC

E D E VC

B B HB A HB HA6m VB 6m 6m VA VB

先取刚架整体为隔离体，求竖向反力：

ΣM B = 0， VA ×12＋(15×4)×2 －(10×6)×9= 0 得 VA = 35 KN(↑) ΣM A = 0， VB ×12－(15×4)×2 －(10×6)×3= 0 得 VB = 25 KN(↑)。 再取半边刚架为隔离体，求水平反力HB ：

ΣM C = 0， HB ×6 - VB×6 = 0 得HB = VB = 25 KN (←)

15kN/m 2m 4m 4m 2m

然后取刚架整体为隔离体，求水平反力HA ：

ΣX = 0， HA- HB＋15×4 = 0 得HA = - 35 KN (←)。 例2-8：P45图2-22 a所示悬式组合结构，求支座反力。

例2-9：P46图2-23 a所示静定桁架，求支座反力。

§2－3 静定多跨梁及刚架

1、静定多跨梁

⑴ 基本部分和附属部分

基本部分：在荷载作用下，本身可以维持平衡的部分称为基本部分。 附属部分：在荷载作用下，要依靠基本部分的支承才能维持平衡的部分称为附属部分。

⑵ 层次图与传力顺序

作用在附属部分上的荷载将使支承它的基本部分产生反力和内力，而作用在基本部分上的荷载则对附属部分没有影响。 ⑶ 计算顺序

先从附属部分开始，按组成顺序的逆过程进行。即先计算附属部分上的荷 载产生反力，反向作用在基本部分上，再计算基本部分的反力，然后再按简捷 法绘内力图。

举例：

例2-10：P48试作图2-25 a所示静定多跨梁的内力图。

例：试作出图示多跨静定梁的内力图。

12KN·m 20KN/m 15KN A B 3m 3m C 1.5m D 1m 2m E

⑴ 求支座反力

DE段：VE = 5KN (↑) VD = 10KN (↑)

AD段：VA = 14.5KN (↑) VC = 55.5KN (↑) ⑵ 简捷法作内力图

14.5 10 (＋) Q（KN）

A (＋) B (－) C D (－) 5 E

44.5 12 15 M（KN·m） A B C 22.5 31.5 D 10 E

练习：试作出图示多跨静定梁的内力图。

10KN·m 40KN 10KN/m

A

15kN

A Q图（kN）

10

M图（kN m） A

B 3m 3m C 2m D 4m E 20kN

45kN 15 ㈩ ㈠ 25 B 40 20 ㈩ C ㈠ D 20 60 B 35 C 20 D

第 6 讲：静定平面刚架（Ⅰ）

要 求：掌握静定平面刚架的内力计算方法 重 点：简支刚架内力图 2、静定平面刚架：

⑴ 刚架的特点

由若干直杆组成的几何不变体系，其中结点全部或部分是刚结点。当刚架各杆轴线和外力作用线都处于同一平面由时称为平面刚架。

刚结点的特征：如图2-30所示

变形：梁与柱的联结处在构造上为刚性联结，即刚结点。当刚架受力变形时，汇交于联结处的各杆端之间的夹角保持不变。

受力：刚结点能约束杆端之间的相对转动和移动，故能够承受和传递弯矩。如图2-31所示，刚架中由于刚结点处承受弯矩，故横梁跨中弯矩峰值得到削减。 ⑵ 刚架中各杆的杆端内力

① 内力正负号规定：（与梁相同）轴力以拉为正，以压为负；剪力以绕隔离体顺时针转者为正，反之为负；弯矩不规定正负号。

② 内力符号表示：在内力符号的右下端加两下标以标明内力所属杆件，其中第一下标代表截面所在的一端，第二下标代表杆的另一端。如图2-32所示。

③ 正确地选取隔离体。每个横截面上有三个未知内力（轴力N、剪力Q、弯矩M）。未知力N、Q都按正方向画出，未知力M按任一指定的方向画出。 ④ 注意结点隔离体的平衡条件。常用作计算的校核。

⑤ 注意正确判断截面上剪力的符号和弯矩的性质（哪一侧受拉）。 ⑶ 刚架内力图

基本作法：一般在求出支座反力后，将刚架拆成杆件，求出各杆杆端内力后，利用杆端内力及杆上荷载与内力关系规律（包括M叠加法）分别作各杆内力图，各杆内力图合在一起就是刚架的内力图。

轴力图、剪力图可画在杆的任一侧，但要注明正负号；弯矩图绘在杆的受拉纤维一边，不用注明正负号。

举例：

例：P52试作图2-34 a所示静定刚架的内力图。

例2-12：P54试作图2-36 a所示静定刚架的内力图。

例：试作图示筒支刚架的内力图。 ⑴ 计算支座反力

HE = 5KN(←)；VE = 52.5KN(↓)；VAy= 15.5KN(↑) ⑵ 作内力图

2m 5kN 16 kN/m C B D F

① 作M图：（内侧受拉的为 +）

E A M AB = 0， M CB = -5×2 = -10KN m， M CD = -10KN m，M DC = -28KN m， M DF = -8KN m， M DE = -20KN m。 1m 4m ② 作Q图：

Q BC = -5 KN， Q CD = 27.5KN， Q BC = -36.5KN， Q DF = 16KN， Q DE = 5 KN。

③ 作N图：

N AC = -27.5KN， N CD = - 5.0 KN， N DE = -52.5KN。

2m ④ 校核：

28

10 10 27.5 32 8 16 (＋) F

5 (－) 20 C B A D D (＋) (－) (＋) 36.5 C B F

C (－) 5 D F 5 27.5 (－) (－) 52.5 E A Q图（kN）

E A N图（kN）

5 kN/m E M图（kN m）

练习：试作图示静定刚架的内力图。 ⑴ 计算支座反力

HA = 10KN(←)；VB = 7.5KN(↑)；VE = 2.5KN(↑)。 ⑵ 作内力图

2m 2m E D 10 kN C B ① 作M图：（内侧受拉的为 +）

M CA = -10×2 = -20 KN m，M CB = 7.5×2 = 15 KN m，

A M DE = 2.5×2 –(5×2)×1= -5 KN m，

2m 2m M CD = -5 KN m。

② 作Q图：

Q AC = 10 KN， Q CB = -7.5 KN， Q CD = 0， Q ED = 2.5 KN， Q DE = -7.5 KN。

③ 作FN图：

N CD = -7.5 KN， N AC = 0， N BC = 0。 2.5 5 2.5 D D E E E + D (-)

5 (-) 7.5 7.5

B B C 20 B C C (-) 15 10 (+) 7.5

A A A M图（kN m） N图（kN） Q图（kN）

第 7 讲：静定平面刚架（Ⅱ）

要 求：掌握三铰刚架及多层多跨静定刚架的内力计算绘制内力图 重 点：三铰刚架及多层多跨静定刚架的计算方法 1、三铰刚架的计算

先由整体或某些部分的平衡条件，求出各支座反力，再求内力绘内力图。 举例：

例2-14：P57绘制图2-38a所示三铰刚架的内力图。

例：试作图示三铰刚架的内力图。

20 kN/m ⑴ 计算支座反力

C 先取刚架整体为隔离体，求竖向反力：

VA = 60 KN(↑)， VB = 20 KN(↑)。

D E 再取半边刚架为隔离体，求水平反力： HB = 10 KN(←)， HA = 10 KN(→)。 ⑵ 作内力图

A B ① 作M图：（内侧受拉的为 +） HA HB MDA = -10×6 = - 60 KN m， MDC = - 60 KN m，

4m 4m VA MEB = - 60 KN m， MEC = - 60 KN m。 VB ② 作Q图：

QAD = -10 KN， QBE = 10 KN， QDC = 60×Cosα-10×Sinα= 49.19 KN， QEC = -13.42KN， QDE = 49.49 -（20×4）Cosα= -22.36 KN。

③ 作N图： C 40 60 60 NDC = -35.78 KN，NCD = 0，NEC = -17.89KN。

60 60 x' 20kN/m E D N C Q D α M A B Q N y' M图（kN m） 49.19 x' x' C N M M N

Q ㈠ ㈩ α α E 22.36 ㈠ D E D 13.42 Q ㈩ 10 10 ㈠ y' y' A B H A HB

V V

Q图（kN）

20kN/m x'

N C

C ㈠D ㈠ E Q 17.89 α D 60 ㈠ 20 ㈠ 35.78 y' A B A H

CDCDDCDCDCDCDCECECECDCABABCDCDAVA N图（kN）

6m 2m

2、多层多跨静定刚架的计算

首先进行几何组成分析，分清基本部分和附属部分，然后按先附属后基本的原则求出各支座反力。然后再逐杆计算各控制截面的内力绘内力图。

举例：

例2-15：P59作图2-39 a所示多层刚架的弯矩图。

2KN

D 例：试作图示刚架的内力图。 ① 基本部分和附属部分 基本部分：BCDE的部分 附属部分：AD的部分 ② 计算顺序 先计算附属部分AD上的约束反力VA和HD、VD，再将HD、VD反向作用在基本部分上，计算基本部分的反力，然后再按

A 简捷法绘内力图。

2kN/m 2kN/m 8KN E ⑴ 分析（与多跨静定粱相似）

A 2m VD HD HD VD B VB 16 16 D 6 B 2m 2KN D E 4m 2m 8KN 45 OC 2m 45 OC HC VC HB ⑵ 求支座反力

VA 附属部分AD：

VA = 8 KN (↑) HD = 8 KN (←) VD = 8 KN (↓)

基本部分BCE：

VC = 9.5 kN (↑) HC = 1.5 kN (→) VB =－7.5 KN (↓) HB = 9.5 KN (←) ⑶ 简捷法作内力图 8

8 ㈠ ㈠ A B N图（KN） 9.5 ㈠ 6 12 E A B M图（kN m） 8 6 ㈠ 1.5 E ㈩ D 1.5 A ㈩ 450 C 8 ㈩ 7.5 13.4 ㈠ ㈠ C B Q图（KN）

450 C 例：试作图示复合静

定刚架的内力图。 1、分析

该刚架由两个简支刚架和一个三铰刚架组合而成。其中三铰刚架为基本部分，两个简支刚架为附属部分。 2、求支座反力

10kN 10kN 10kN E F 2kN/m G 2kN/m 4m A 4m B 2m 2m 2m C 2m D 4m 2m 先求附属部分简支刚架的支座反力，然后求基本部分三铰刚架的支座反力，如下图所示。

18kN 18kN 18kN

VF=6kN E VD HF HG=12kN F G HG G F HF=12kN VF VG=6kN

HB=6kN B C A D HC 4m 2m 2m 2m 2m VD=6kN VA=6kN VC=9kN VB=21kN 54 54 18 18 54 54

24 24 E

24 24 F G 24 24 B C A D

M图（kN m）

27

㈩ 9

E 6 ㈠ ㈠ 18 ㈩ 18 9 ㈩ 12 12 G ㈠ F 27 6 ㈠ ㈩ 6 ㈠ ㈩ 6

B C A D

Q图（kN）

18 ㈠ 12 12 E 27 27 ㈠ ㈠ F ㈠ ㈠ G

21 21 6 ㈠ ㈠ 6

C B A D

N图（kN）

3kN/m 2kN/m 4m 2m 第 8 讲：三铰拱

要 求：了解拱的受力特点及合理拱轴的概念；会用公式求三铰拱的截面内力 重 点：三铰拱的内力计算

§2－5 三 铰 拱

由曲杆组成的三铰结构称为三铰拱。如图2- 45所示为三铰拱的两种形式。 拱的基本特点：

⑴ 水平推力：在竖向荷载作用下产生水平反力，又称水平推力（H），是区别拱与曲梁的主要标志。推力对拱的内力有重要影响。

由于水平推力的存在，对拱支座处基础要求高。为消除水平推力对墙或柱的影响，在两支座间增加一拉杆承担水平推力，如图2- 45 b所示。

⑵ 高跨比：拱高f与跨度l之比值。是拱的基本参数，常用高跨比为1 ~ 1/10 。 1、三铰拱的支座反力与内力

⑴ 支座反力

如图2- 47所示三铰拱与相应简支梁。 先取整体为隔离体，求竖向反力：

Fb?FP2b2VA?P11?lVB?FP1a1?FP2a2?ld1 a2 a1 P1 D o ?VAb2 b1 C P3 ?FlPiibφ A Piiy f B?Fla?VBo

x l1 l P1 A D C P2 B l2 再取半边拱为隔离体，求水平反力：

H?HA?VA?l1?PM1(l1?a1) ?ffoC三铰拱的竖向支座反力恰好等于相应简支梁的支座反力VA°和VB°，水平推力H 等于相应简支梁截面C的弯矩MC°除以拱高f。

推力H只与三个铰的位置及荷载有关，与各铰间的拱轴线形状无关，即只与高跨比f／l有关。当荷载和拱的跨度不变时，推力H与拱高f成反比，即f →大则H →小，反之f →小则H →大。 2、内力计算

⑴ 弯矩的计算公式 M NX’ P1 正负号：使拱内侧纤维受拉的为正，反之为负。 D φ 取AD段为隔离体，由ΣM D = 0 得D截面的弯矩

Q M =〔VA X–P1（X – a1 ）〕- H y

y’ 相应简支梁D截面的弯矩M°=〔VA X–P1（X–a1 ）〕 HA VA ∴ M = M°- H y。

即拱内任一截面的弯矩，等于相应简支梁对应截面的弯矩减去拱的推力H所引起的弯矩H y。由此可见，三铰拱中的弯矩比相应简支梁的弯矩为小。 ⑵ 剪力的计算公式

正负号规定：同梁、刚架等

Q =（VA- P1）Cosφ- H Sinφ = Q°Cosφ–H Sinφ

φ为截面K处拱轴切线的倾角（φ为锐角，在左半拱取正，而在右半拱取负）。

⑶ 轴力的计算公式

正负号规定：使截面受压的轴力为正。

N = -（VA- P1）Sinφ- H Conφ = - Q°Sinφ- H Conφ 举例：

例2-17：P66三铰拱及其荷载如图2- 48所示。拱轴方程为y?4fx?(l?x)。 l2求支座反力，并绘制内力图。

例2-18：P69如图2- 50 a所示三铰拱式屋架。上弦通常用钢筋混凝土或预应力混凝土，拉杆用角钢或圆钢，结点D、E不在下弦杆的轴线上，其偏心为e1。求支座反力和内力。

说明：偏心为e1使上弦杆两端点产生负弯矩，因而减小了正弯矩的数值。

4f例：如图示三铰拱，求截面2的内力。拱轴方程 y?2x?(l?x)。

l100 kN 20 kN/m y ⑴ 求支座反力：

C VA = 105 KN， VB = 115 KN，

4 5 3 6 2 H = 82.5 KN。

1 7 ⑵ 求截面2的内力：X2 = 1.5 m A 0 B x8 HB HA 4?4y2??3?(12?3)?3m

1221.5×8 =12 m VB VA 截面2处的切线斜率为

100kN 4f4?4220kN/m tan?2?2(l?2x)?(12?6)? 2A B 123lSinφ2 = 0.555 Cosφ2 = 0.832 M2 = M2°－FH y2 = 67.5 KN

VAo VBo L0LQ2?Q2Cos?2?HSin?2?105?0.832?82.5?0.555?41.6KN R0RQ2?Q2Cos?2?HSin?2?5?0.832?82.5?0.555??41.6KN L0LN2?Q2Sin?2?HCon?2?105?0.555?82.5?0.832?126.9KN R0RN2?Q2Sin?2?HCon?2?5?0.555?82.5?0.832?71.4KN

2、三铰拱的压力线

三铰拱中任一截面D的内力（MD、QD、ND）及其合力RD如图2-51所示。

MD?RD?rD QD?RD?sin?D ND?RD?con?D

其中，rD是由截面形心到合力RD的垂直距离，αD是合力RD与D点拱轴切线间的夹角。

拱截面合力一般是压力，所有截面压力作用点的连线称之为压力线。如果压力线不超出截面的核心，则截面上不出现拉应力。矩形截面拱，截面的核心在对称轴上三等分的中段范围。 3、三铰拱的合理拱轴：

4m 在给定荷载作用下，选取一适当的拱轴线，使拱上各截面只承受轴力，而弯矩为零。此时，任一截面上正应力分布将是均匀的，拱体材料能够得到充分地利用，这样的拱轴线称为合理拱轴。

求合理拱轴方程

任一截面的弯矩 M = M°- H y。当拱的跨度和荷载为已知时，M°不隨拱轴线改变而变，而- H y则与拱的轴线有关。因此可以在三个铰之间选择拱的轴线形式，使拱中各截面弯矩为零。即M = M°- H y = 0

Mo∴ y?

H例2-19：（P72）试求图2-53示对称三铰拱在均布荷载q作用下的合理拱轴。 解：相应简支梁的弯矩方程为

111 M0?qlx?qx2?qx(l?x)

22212ql0MC8ql2H???

ff8fy q C f A B xl 合理拱轴方程为

1qx(l?x)oM4f2??x(l?x) y?ql2FHl28fq A B 例2-20：（P73）试证明均匀水压力作用下三铰拱的合理拱轴是圆弧曲线。图2-5所示。（不详细讨论）

例2-21：（P73）设在三铰拱上填土，填土表面为一水平面，试求在填土荷载作用下三铰拱的合理轴线。（不详细讨论）

在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一倒悬链线。

在工程实际中，同一结构往往要受到各种不同荷载作用，通常是以主要荷载作用下的合理轴线作为拱的轴线。这样，一般荷载作用下拱产生的弯矩不大。

悬索是一种无弯矩受力状态的结构形式，常用于悬桥。索是柔软的，只受轴向拉力作用；支座处有竖向反力和向外的水平拉力以维持索的平衡。

图2-56所示为一竖向荷载作用下支座等高的悬索。与相应简支梁比较，可

Mo得： VA?V、 VB?V； 悬索的方程（由M = 0得）为： y?

HoAoB可见，悬索的平衡形式与三铰拱的合理轴线相同，不同的是：在向下的竖向荷载作用下，拱的水平反力是向内的推力，而悬索的水平反力是向外的拉力；拱是向上突起的形状，而悬索是下垂的形状；拱受压而悬索受拉。

第 9 讲：静定平面桁架（Ⅰ）

要 求：掌握静定平面桁架的内力计算方法 重 点：桁架内力计算

§2－6 静定平面桁架

1、桁架的特点和组成

桁架广泛应用在大跨度结构中，如图2-57、58、59所示的屋架、桥梁等。 凡各杆轴线和荷载作用线位于同一平面内的桁架称为平面桁架。实际工程中的桁架一般是空间桁架，但有很多可以简化为平面桁架来分析。

桁架计算简图引用的假定

⑴ 桁架结点都是理想铰。 ⑵ 各杆轴线平直並通过铰心。

⑶ 荷载和支座反力都作用在结点上。 理想桁架各杆均为二力杆，只产生轴

力，截面上的应力均匀分布，故材料能得到充分的利用。

实际桁架的情况

实际桁架不能完全符合上述理想情况，其中某些杆件将发生弯曲而产生弯曲应力。按桁架理想情况计算出来的内力称为主内力，不能完全符合理想情况而产生的附加内力称为次内力。

桁架按几何构造特点分类

⑴ 简单桁架：由一个基本铰结三角形开始，依次增加二元体组成的桁架，如图2- 61所示。

⑵ 联合桁架：由两个或几个简单桁架按照几何不变体系的简单组成规则联成一个桁架，如图2- 62所示。

⑶ 复杂桁架：不按上述方式组成的其他形式的桁架，如图2- 63所示。

有关名称

⑴ 弦杆：上弦杆、下弦杆； ⑵ 腹杆：竖杆、斜杆； ⑶ 节间：弦杆上相邻两结点之间的区间。

2、结点法、截面法及其联合应用 轴力与斜杆长的关系

轴力及其分力与斜杆长及其投影的相似 三角形对应边成比例关系：

B NXY?? llXlYN A ly lx N x

y

利用比例关系，可简便地由X或Y推算N，或由N推算X或Y。 ⑴ 结点法

取桁架的结点为隔离体，作用于任一结点的各力组成一个平面汇交力系，可列两个平衡方程解算。

计算中常先假设杆的末知轴力为拉力，计算结果为正，表示为拉力，如为负值，表示为压力。

计算桁架的轴力时，一般先求出支座反力，然后从只有两个未知轴力的结点开始，依次考虑各结点的平衡，求出未知轴力。

举例：

例2-22：P78图2- 65所示为一施工托架的计算简图，求各杆轴力。

例：试用结点法求各杆轴力。 ⑴ 计算支座反力

V1 = 30 KN(↑)，V8 = 10 KN(↑)。 ⑵ 各杆的内力

结点受力图上，假定未知力为拉力，如所得结果为负，则为压力。

结点1：

N13 = - 44.72 KN，N12 = 40 KN。

结点2：

N23 = 0， N25 = N12 = 40 KN。 结点3：

N34 = - 22.36 KN，N35 = - 22.36 KN。 结点平衡的特殊情况（零杆）

⑴ 无荷载作用的两杆结点，则该两杆均为零杆。

⑵ 无荷载作用的三杆结点，其中两杆在一直线上，则另一杆为零杆，在同一直线上的两杆内力相等。

⑶ 无荷载作用的四杆结点，其中每两杆在一直线上，则在同一直线上的两杆内力相等。

N1 N2 N4 N1 = 0 N1 = N2 N1 = N2 α α α N3 = N4

N2 N3 = 0 N2 = 0 N3 N1

举例：

例2-23：P80用结点法求图2- 67所示桁架各杆轴力。

对结点法较熟练后，可不画结点的隔离体图，而在桁架上直接运算，並在图上记下各结点的计算结果。

例：P131判别题2-6-2 e图所示桁架的零杆。

⑵ 截面法

取桁架的某一部分（两个以上结点）为隔离体，作用于隔离体上的各力组成平面一般力系，可列三个平衡方程解算。

计算桁架的轴力时，一般先求出支座反力，然后切断待求杆件（未知轴力）取桁架的某一部分，列平衡方程（力矩方程、投影方程）求出未知轴力。

计算时注意以下方面使计算简化：

① 适当选取截面（平面、曲面或封闭面），一般所截断的杆不多于三根。 ② 适当选择矩心，一般以未知轴力的交点为矩心，尽可能使一个方程只含一个未知轴力，方便计算。未知斜杆轴力可移至适当的位置分解，使其中一个分力对着矩心，求另一分力，再利用比例关系求得轴力。

③ 对平行弦桁架求腹杆内力时，注意用投影方程计算。

N31 N32

10KN 1 2 V1 20KN 3 N34 α 10KN 20KN 3 5 2×4 =8 m 4 2m 7 8 6 V8 N35

举例：

例2-24：P80求图2- 68所示桁架中1、2、3三杆的轴力。

例：试用截面法求出25、34、35三杆的内力。 ⑴ 计算支座反力

V1 = 30 KN(↑)，V8 = 10 KN(↑)。 ⑵ 求杆的内力

10KN 1 2 5 6 V8 20KN 3 2 N34 N35 N25

10KN 20KN 3 4 2m 7 8 2×4 =8 m 隔离体受力图上，假定未知力为 V1 拉力，如所得结果为负，则为压力。

设想用截面Ⅰ－Ⅰ将25、34、35三杆截断，取桁

10KN 架左边部分为隔离体。

由ΣM3 = 0 得 N25 = 40 KN 1 由ΣM5 = 0 得 N34 = - 22.36 KN

V1 由ΣM1 = 0 得 N35 = - 22.36 KN

例：试求出图示静定桁架中1、2、3三杆的内力。

VA = 21 KN(↑)，VB = 15 KN(↑)。 ⑵ 求杆的内力

A 2 1 B 根据零杆判别方法得： N1 = 0。

3 设想用截面Ⅰ－Ⅰ将2、3等三杆

12kN 24kN 截断，取桁架左边部分为隔离体。 2m 2m 2m 2m

由ΣY = 0 得

12?25?8KN N2?(21?12)?15KN 由ΣM C = 0 得 N3?33

1.5m 1.5m ⑴ 计算支座反力 C 第10讲：静定平面桁架（Ⅱ）；组合结构的内力计算。

要 求：较熟练掌握桁架的内力计算方法；会计算组合结构的内力。 重 点：桁架内力计算示例 ⑶ 结点法与截面法的联合应用

计算中有时联合使用结点法与截面法更为便利。

图2-73 a示一简单桁架，拟求斜杆1、2的轴力。由图2-73 b示结点G的平衡（K形结点），可确定X1与X2的关系，从而建立了Y1与Y2的关系；再由m-m截面左部分的平衡，可计算出Y1与Y2，即可求出N1与N2。

举例：

例2-25：P83求图2-25所示桁架中1、2、3杆的轴力。

练习与讲解：

1、试求出图示静定桁架中1、2、3三杆的内力。 ⑴ 计算支座反力

10KN 2 B 3m ⑵ 求杆的内力

根据零杆判别方法分析得： N2 = 10 KN。

4m 5结点A：由ΣX = 0 得N1?17.07??27.51KN

3

2、试求出图示静定联合桁架中1、2、3三杆的内力。 ⑴ 计算支座反力

VA = 30 KN(↑)， VB = 10 KN(↑) ⑵ 求杆的内力

截面Ⅰ－Ⅰ将1等三杆截断，取桁架左边部分为隔离体。

由ΣM C = 0 得

5m 5 kN A E 10 kN D 10 kN 10 kN 4 3 2 1 6m C 5 kN 1 A 3m B 5m 25?8?30?48×2 = 16 m N1??20KN VA 4截面Ⅱ－Ⅱ将1、2、3、4等四杆截断，取桁架左边部分为隔离体。

VB 由ΣM D = 0 N2?Sin60o?2?25?4?10?2?20?3?0 得N2?20?11.55KN 320??6.67KN 3320?65?3?0 得N4???21.67KN 由ΣM E = 0 N4??5?25?5?10?3?10?1?353由ΣM C = 0 N3?3?25?8?10?6?10?4?20?6?0 得N3??3、图解法（略）

4、通路法和代替杆法（略）

5、用零载法检验桁架的几何不变性（简单扼要介绍）

4m 4m VA = 17.07 KN (↑)，HA = 10 KN (←)；

HB = 17.07 KN (→)。

10KN 6、桁架的形式及其力学特性 ⑴ 梁式桁架

讨论平行弦桁架（图2-87 a示）在均布竖向结点荷载作用下的受力特点。 ① 弦杆轴力：

设与桁架同跨度、同荷载的相应简支梁（图2-87 b示）在相应于各结点处（对应矩心）的截面弯矩为Mo，则桁架弦杆的轴力可表示为

Mo N??h式中：下弦杆受拉取正号，上弦杆受压取负号；弦杆轴力变化与Mo图成正比，即端部弦杆轴力小，中部弦杆轴力大。

② 腹杆的轴力：

包括竖杆和斜杆。斜杆的竖向分力和竖杆的轴力分别等于相应简支梁对应桁架节间的剪力Qo，即

Y??Q

式中：斜杆受拉取正号，竖杆受压取负号；腹杆轴力变化与Qo图成正比，即端部腹杆轴力大，中部腹杆轴力小。

图2-88 a所示给出了平行弦桁架结点荷载P = 1作用下各杆内力值（系数）。 以上分析表明，平行弦梁式桁架的受力与相应梁有相似之处。桁架上下弦杆主要承受弯矩，相当于工字梁上下翼缘的作用；腹杆主要承受剪力，相当于工字梁中腹板的作用。但不同的是桁架各杆截面上的正应力均匀分布，且上下弦杆之间的力臂较大，能有效地承受较大的荷载。外形上象一根挖空的梁，整体承受弯矩和剪力，局部只受轴力。 ⑵ 三角形桁架

① 弦杆的轴力：上弦杆水平分力和下弦杆轴力的表达式为：

Mo N??ro式中：Mo是相应简支梁对应矩心的弯矩值，Mo图是抛物线规律变化；r为弦杆至矩心的力臂，自跨中向两端按直线规律变化，要比Mo减少得快，因此，弦杆的轴力由中间向两端递增，即端部弦杆轴力大，中部弦杆轴力小。

② 腹杆的轴力：

由截面法应用力矩方程可看出，两端腹杆轴力小，中间腹杆轴力大；且斜杆是压杆，竖杆是拉杆。

⑶ 抛物线形桁架

① 弦杆的轴力：

上弦结点均落在一抛物线上，竖杆长度和相应简支梁Mo图的纵坐标都是按抛物线规律变化。

因Mo和r的变化规律相同，所以各节间的上弦杆水平分力和下弦杆轴力都相等。因上弦杆倾斜坡度变化不大，因此上弦杆的轴力也接近相等。

② 腹杆的轴力：

因上弦杆水平分力和下弦杆轴力大小相等，但性质相反，故其内力全为零。

由上面分析可得如下结论：P96～97。 ⑵ 拱式桁架（有推力）

拱式桁架支座反力的计算与实体三铰拱相同。求出反力后，各杆的轴力计算与一般桁架相同。

由于推力的作用，拱式桁架弦杆的轴力比梁式桁架的轴力小得多，且杆件主要是承受压力。适用于大跨度结构

悬式桁架桥的水平支座反力是向外受拉的，如图2- 92所示。 7、组合结构

由轴力杆和梁式杆组成。

轴力杆为两端铰接的链杆，内力只有轴力，梁式杆为受弯构件，内力一般有弯矩、剪力、轴力。图2- 93 a所示为下撑式五角形屋架。

组合结构的计算顺序：先求轴力杆的内力，再计算梁式杆的内力。 举例：

例2-30：P100试作图2-95 a所示下撑式五角形组合屋架的内力图。 本例题的进一步讨论：影响下撑式五角形组合屋架内力状态的主要因素 ⑴ 高跨比 f / l。轴力NDE可用三铰拱的推力公式计算 NDE = Mco/ f 高跨比愈小，轴力NDE愈大，屋架轴力也愈大，与三铰拱类似。

⑵ f1 与 f2 的关系。当高度f确定后，内力状态随f1 与 f2 的比例不同而改变。图2-96中所示为三种情况，从中可看出：

弦杆轴力的变化幅度不大，但上弦杆弯矩的变化幅度很大。

当坡度（f1）减小时，上弦杆负弯矩增大；当f1 = 0时，上弦坡度为零，为下撑式平行弦组合结构，上弦全部为负弯矩。

当坡度（f1）加大时，上弦杆正弯矩增大；当f2 = 0时，为一个帶拉杆的三铰拱式屋架，上弦全部为正弯矩。

当f1 =（ 0.45～0.5）f 时，上弦杆结点F处的负弯矩值与两个节间的最大正弯矩值大致相等，比上述两种极限情形小得多。

12kN/m 例：试计算示静定组合结构。 A B VA = VB = 72 KN(↑) ⑵ 求轴力杆的内力

用截面法将FG杆截断及拆除铰C，取结构左边部分为隔离体： 由ΣM C = 0得

72?6?72?3NFG??108KN

2取梁式杆AC为隔离体：

12?6?3NDF??54KN

4取结点F为隔离体：由ΣX = 0 得 NFA?54?5?120.7KN ⑶ 绘梁式杆的内力图

NAC = NCB = 106 kN

A D C 4m

2m 4m

⑴ 计算支座反力

D F C E G 2m 2m

12kN/m HC VC 2m NFA α NFD VA 4m

F 2m 24 NFG

24 24 F NFG

A 24 D C E 30 ㈩ C ㈠ E 24 B M图（kN m） 18 A ㈩ 24 ㈩ ㈠ D 30 B ㈠ 18 Q图（kN）

第11讲：用刚体虚位移原理求静定结构内力；静定结构总论

要 求：了解用虚位移原理求静定结构内力的方法；了解静定结构的性质受力

特点；提高、深化对结构分析方法的理解。 重 点：虚位移原理；静定结构分析方法

§2－8 应用刚体体系虚位移原理求静定结构内力

刚体体系：不考虑材料应变，各杆只发生刚体运动的体系。 1、虚位移原理

质点系的虚位移原理：一个具有理想约束的质点系在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：所有作用于此质点系的主动力在任意虚位移上所作功的总和恒等于零。

虚位移是指为约束条件所允许而虚设的无限小位移，也称“可能位移”。“虚设”是指位移和实际力系彼此无关，而可独立地设定。

理想约束是指其约束力在可能位移上所作的功恒等于零的那种约束。光滑铰结和刚性链杆是理想约束的例子。刚体本身不能变形，是具有理想约束的质点系。刚体内力在刚体的可能位移上所作的功恒等于零。将虚位移原理应用于刚体体系，便可利用虚功方程来确定体系在平衡状态下的未知约束力。

刚体体系的虚位移原理：刚体体系在任意平衡力系作用下，体系上所有主动力在任一与约束条件相符合的无限小刚体位移上所作的虚功之和等于零。

如图2-111 a所示扛杆，求扛杆平衡时在A点需施加的力X。

扛杆是可绕C点自由转动的几何可变体系。把绕C点的刚体转动取作虚位移，可建立虚功方程如下： XΔX + PΔP = 0 ???（a） 其中：ΔX和ΔP分别为沿X和P方向的虚位移。 X P X???PP

?X A C B b δP

为计算方便，沿X方向的虚位移可设为单位位移，用记号“δ”表示，即

?X?1，?Pb。 ??（负号表示与P方向相反）aA 1δX aB ∴ X???PP?bp。

?Xa归纳几点：

⑴ 虚功方程实际上是平衡方程。通过计算体系的虚功求未知力，称为虚功法。 ⑵ 虚位移是人为虚设的，可设δX = 1。虚位移和实际力系彼此独立无关的。 ⑶ 求解时的一个重要步骤是得出虚位移之间的几何关系。 2、应用虚位移原理求静定结构的约束力 求静定结构某一约束力X的方法：

⑴ 撤除与X（拟求约束力）相应的约束，使原来的静定结构变成具有一个自由度的机构，使原来的约束力X变成主动力。

⑵ 把机构可能发生的刚体体系位移当作虚位移。设与未知力X和荷载P相应的虚位移分别为δX = 1和δP。可写出虚功方程如下：

Xδ

⑶ 求出δ

X + ∑（PδP）= 0

??? （2-21）

X和δP之间的几何关系。代入上式可

X =－∑（PδP） ??? （2-24）

关键的步骤是撤去与拟求约束力相应的约束，并在拟求约束力正方向虚设单位位移，正确地画出虚位移图，用几何关系求出δP。

举例：

例2-34：P112求图2-114 a所示静定多跨梁C点的支座反力X。

例2-35：P113求图2-115 a所示简支梁C截面的弯矩MC。

§2－9 静定结构总论

1、静定结构受力分析的方法

利用用平衡方程解算支座反力和内力，作结构的内力图。 隔离体分析是受力分析的基础：从结构中截取单元（隔离体），将未知的反力和内力暴露出来，使其成为作用于单元（隔离体）上的外力，然后应用平衡方程计算反力和内力。

受力分析注意点：

⑴ 单元的形式及未知力

从结构中截取的单元：结点、杆件或者从结构中截出一部分。

桁架的结点法?结点为单元，桁架的截面法?截出一部分为单元；多跨静定梁分解为若干单跨梁（杆件）? 杆件为单元；刚架分析中常取杆件为单元计算杆端剪力，取结点为单元计算杆端轴力。

在截取的单元上，未知力数目是由所截断约束性质决定的。在链杆截断处，轴力是未知力；在梁式杆截断处，有轴力、剪力、弯矩是未知力；在铰截断处，有水平未知力和竖向未知力。例如图2-118所示。 ⑵ 计算的简化与截取单元的次序

每一个单元常有几个平衡方程，计算未知力时，要注意选择平衡方程使计算简化。目的在于避免解联立方程，尽可能用一个方程求出一个未知力。

合理选择截取单元的次序，对多跨或多层静定结构，先计算附属部分，然后计算基本部分。对联合桁架，先用截面法求出连接杆求轴力，然后计算其他杆件的轴力。例如图2-120所示多跨多层静定刚架的受力分析。

2、静定结构的一般性质

静定结构与超静定结构的差别

⑴ 在几何组成方面：都是几何不变体系，静定结构无多余约束，超静定结构有多余约束。

⑵ 在静力平衡方面：静定结构的内力（反力）可由平衡条件完全确定，超静定结构的内力由平衡条件不能确定，需要同时考虑变形条件才能得唯一的解答。

静定结构的特性

⑴ 温度改变、支座的位移和制作误差等因素在静定结构中不会引起内力（反力）。例如图2-121所示（P117）。 ⑵ 静定结构的局部平衡特性。

在荷载作用下，如果静定结构中的某一局部（最小几何不变部分）可以与荷载维持平衡，则其余部分的内力（反力）必为零。例如图2-122、123所示。 ⑶ 静定结构的荷载等效特性：

当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的

内力不变。等效荷载是指荷载分布虽不同，但其合力彼此相等。例如图2-124所示。

⑷ 静定结构的构造变换特性。

当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，其余部分的内力不变。例如图2-125所示。

⑸ 计算自由度W = 0的体系可能存在自内力状态是体系几何可变的标志。

3、各种结构型式的受力特点

结构型式不同角度的分类方法

⑴ 无推力结构和有推力结构：梁和梁式桁架为无推力结构；三铰拱、三铰刚架、拱式桁架等为有推力结构。

⑵ 将杆件分为链杆和梁式杆：桁架的各杆都是链杆；梁、刚架的各杆都是梁式杆；组合结构中的杆件有的是链杆，有的是梁式杆。

链杆中只有轴力作用，杆截面上的正应力均匀分布，能充分利用材料的强度。梁式杆有弯矩作用，杆截面上的正应力为三角形分布，在中性轴附近应力很小，没有充分利用材料的强度。

各种结构型式的特点

⑴ 在伸臂梁、多跨静定梁中，利用杆端的负弯矩可减小跨中的正弯矩。 ⑵ 在有推力结构中，水平推力的作用使杆截面的弯矩峰值减小。 ⑶ 在桁架中，利用杆件的铰接及荷载的结点传递，可使各杆处于无弯矩状态。在三铰拱中，采用合理轴线可使拱处于无弯矩状态。从力学角度来看，无弯矩状态是一种合理的受力状态。

几种结构型式主要内力数值的比较

例如图2-129（P121）所示。

几种结构型式在相同跨度和相同荷载（全跨均布q）作用下的主要内力值： ⑴ 简支梁：跨中弯矩（Mmax）M16OCql2。 ?8⑵ 伸臂梁：使支座负弯矩与跨中正弯矩相等，伸臂长为0.207l。此时弯矩峰

O值（｜Mmax｜）下降为MC。

⑶ 带拉杆的三角形三铰结构：

O1O拉杆中拉力H?MC。由此拉力作用，上弦杆的弯矩峰值下降为MC。

f4⑷ 抛物线三铰拱：

OMC由于拱轴是合理轴线，拱处于无弯矩状态。拉杆中拉力仍为 H?。 f⑸ 梁式桁架：

OMC在结点荷载作用下，各杆处于无弯矩状态。中间下弦杆的轴力为N? h⑹ 组合结构：使上弦杆负弯矩与跨中正弯矩相等，取f1 = 5 f /12，f2 = 7 f /12。此

O1MOC时上弦杆弯矩峰值下降为MC，中间下弦杆的轴力为N?。 24f不同结构型式，均有其各自适用的范围，选择时，应进行全面的分析和比

较，获得最佳方案。

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