2014年中考数学压轴题精编--广东篇(试题及答案)

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2014年南京中考数学压轴题推荐度：
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2014年中考数学压轴题精编—广东篇

1 2014年中考数学压轴题精编—广东篇

1．广东省（中山市、汕头市、东莞市等）如图，已知P 是线段AB 上的任意一点（不含端点A ，B ），分别以AP 、BP 为斜边在AB 的同侧作等腰直角△APD 和△BPE ，连接AE 交PD 于点M ，连接BD 交PE 于点N ．

（1）求证：①MN ∥AB ；②MN 1＝AP

1＋BP 1；（2）若AB ＝4，当点P 在AB 上运动时，求MN

的取值范围．

1．解：（1）①证明：∵△APD 和△BPE 都是等腰直角三角形，∴∠DAP ＝∠EPB ＝45°

∴AD ∥PE ，∴∠DAM ＝∠PEM ，∠ADM ＝∠EPM

∴△DAM ∽△PEM ，∴AD : PE ＝AM : ME 同理可得PD : BE ＝PN :

NE ， ∵AD ＝PD ，BE ＝PE ，∴AM : ME ＝PN :

NE ∴MN ∥AP ，即MN ∥AB ·············································································· 3分

②证明：∵MN ∥AB ，∴∠PMN ＝∠ACP ＝45°，∠PNM ＝∠BPE ＝45°

∴∠PMN ＝∠PNM ＝45°，∴△PMN 是等腰直角三角形

∴PM ＝2

2MN ∵∠APM ＝∠ABE ＝45°，∠P AM ＝∠BAE （公共角）

∴△APM ∽△ABE ，∴PM : BE ＝AP : AB ＝AP :(

AP ＋BP ) ∴22MN : 2

2BP ＝AP :(

AP ＋BP )[来源:Z_xx_d5f7dfa4240c844768eaee0f] 整理得：MN 1＝AP 1＋BP

1 ·········································································· 6分（2）解：∵MN 1＝AP 1＋BP

1 ∴MN ＝BP AP BP AP + · ＝AB BP AP · ＝AB AP AB AP )(- ＝AB 1[－(AP －21AB )2＋41AB 2] ∴MN ≤41AB （当AP ＝21AB 时，MN 取得最大值为4

1AB ） ∵AB ＝4，∴MN ≤1，又∵P 不与A ，B 重合，∴AP ＜AB ，∴MN ＞0

∴0＜MN

≤1 ································································································· 9分

2．广东省（中山市、汕头市、东莞市等）如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB ＝6，BC ＝4，点F 在DC 上，DF ＝2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、MN 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，可得△FMN ，过△FMN 三边的中点作△PQW ．设动点M 、N 的速度都是1个单位／秒，M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题：

A P D

B N M E A P D B N M

2014年中考数学压轴题精编—广东篇

（1）说明△FMN ∽△QWP ；

（2）设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）．试问x 为何值时，△PQW 为直角三角形？当x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？

（3）问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值．

2．解：（1）由题意知：PW ∥MN ，PQ ∥FN ，∴∠MNF ＝∠PWF ，∠PWF ＝∠WPQ

∴MNF ＝∠WPQ

同理可得：∠NFM ＝∠PQW 或∠NMF ＝∠PWQ

∴△FMN ∽△QWP ························································································· 2分（2）∵△FMN ∽△QWP ，∴当△FMN 为直角三角形时，△PQW 也为直角三角形

当0≤x ≤4时，若∠NMF ＝90°，则有MF 2＋MN 2＝FN 2

即(

2＋2 2

)＋(

4－x

)2＋(

6－x

)2＝(

4－x

)2＋4

，此方程无实数解

若∠MNF ＝90°，则有MN 2＋FN 2＝MF 2

即(

4－x

)2＋(

6－x

)2＋(

4－x

)2＋4

2＝

2＋2 2

解得x ＝4或x ＝10（舍去） ···················································· 3分若∠NFM ＝90°，则有MF 2＋FN 2＝MN 2

即(

2＋2 2

)＋(

4－x

)2＋4

2＝(

4－x

)2＋(

6－x

解得x ＝3

·············································································· 4分

所以，当x ＝34

或x ＝4时，△PQW 为直角三角形 ··············· 5分

当0≤x ＜34，3

＜x ＜4时，△PQW 不为直角三角形 ········ 6分

（3）在0≤x ≤4时间段，当x ＝4时，点M 与点A 重合，线段MN 最短，此时MN ＝2

·········································································································· 7分

当4＜x ≤6时，如图（2）

∵MN 2＝AM 2＋AN 2＝(

x －4

)2＋(

6－x

)

＝2x

－20x ＋52

＝2(

x －5

＋2 ··················································································· 8分

∴当x ＝5时，MN 2

有最小值2，即线段MN 最短，此时MN ＝2

图（1）

图（2）

图（1）

2014年中考数学压轴题精编—广东篇

3 综上所述，当x ＝5时，线段MN 最短，此时MN ＝2 ···························· 9分

3．（广东省广州市）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是弧 ⌒APB

上的任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．

（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由；

（3）记△ABC 的面积为S ，若2DE S

＝34，求△ABC 的周长．

3．解：（1）如图，连结OA 、OB ，设OP 与AB 的交点为F ，则有OA ＝1

∵弦AB 垂直平分线段OP ，∴OF ＝21

OP ＝21

，AF ＝BF

在Rt △AOF 中，∵AF ＝2

2OF OA －＝22211)( －＝23

∴AB ＝2AF ＝3 ·························································································· 4分

（2）∠ACB 是定值 ······························································································· 5分

理由：由（1）易知∠AOB ＝120°

连结AD 、BD ，∵点D 为△ABC 的内心，∴∠CAB ＝2∠DAB ，∠CBA ＝2∠DBA

∵∠DAB ＋∠DBA ＝21

∠AOB ＝60°，∴∠CAB ＋∠CBA ＝120°

∴∠ACB ＝60°（定值） ················································································· 8分

（3）记△ABC 的周长为l ，设AC 、BC 与⊙D 的切点分别为G ，H ，连结DG ，DC ，DH

则有DG ＝DH ＝DE ，DG ⊥AC ，DH ⊥BC ∴S ＝S △ABD ＋S △ACD ＋S △BCD

＝21

AB ·DE ＋21

AC ·DG ＋21

BC ·DH ＝21

(AB ＋BC ＋AC )·DE ＝21

l ·DE ∵2DE S

＝34，∴2·21DE DE l ＝34，∴l ＝38DE

∵CG ，CH 是⊙D 的切线，∴∠GCD ＝21

∠ACB ＝30°

P D

B A E C

P D O

A E F G

2014年中考数学压轴题精编—广东篇

∴在Rt △CGD 中，CG ＝

30tan DG ＝3

DE ＝3DE ，∴CH ＝CG ＝3DE 又由切线长定理可知AG ＝AE ，BH ＝BE

∴l ＝AB ＋BC ＋AC ＝32＋32DE ＝

，解得DE ＝31

················ 13分

∴△ABC 的周长为

8 ············································································· 14分 4．（广东省广州市）如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－

x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；

（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

4．解：（1）由题意得点B 的坐标为（3，1）

若直线经过点A （3，0）时，则b ＝23

若直线经过点B （3，1）时，则b ＝

5 若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1

①若直线与折线OAB 的交点在OA 上，即1＜b ≤2

时，如图1 此时E （2b ，0） ∴S

＝

21OE ·CO ＝2

×2b ×1＝b ································································· 4分 ②若直线与折线OAB 的交点在BA 上，即23＜b ＜2

时，如图2 此时E （3，b －

），D （2b －2，1） ∴S

＝S 矩形OABC

－(S △COD ＋S △AOE ＋S △BDE )

＝3－[21(2b －2)×1＋21×3(b －23)＋21

(5－2b )(25－b )]

＝

b －b

2014年中考数学压轴题精编—广东篇

∴S

＝?????b （1＜b ≤2

）25b －b

（1＜b ≤23）

····································································· 8分

（2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC

的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积

由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 为平行四边形根据轴对称知，∠MED ＝∠NED 又∠MDE ＝∠NED ，∴∠MED ＝∠MDE

∴MD ＝ME ，∴平行四边形DNEM 为菱形 ······················ 10分过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H 由题易知，tan ∠DEN ＝

，DH ＝1，∴HE ＝2 设菱形DNEM 的边长为a ，则在Rt △DHN 中，由勾股定理得： a

2＝(2－a

)2＋1

，∴a ＝

5 ········································································ 12分 ∴S 四边形DNEM

＝NE ·DH ＝

45×1＝4

5 ·························································· 13分故矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 重叠部分的面积不发生变化，面积始终为

····································································································· 14分

5．（广东省深圳市）如图是一圆形纸片，AB 是直径，BC 是弦，将纸片沿弦BC 折叠后，劣弧BC 与AB 交

于点D ，得到BDC ︵

．（1）若BD ︵＝CD ︵，求证：BDC ︵

必经过圆心O ；

（2）若AB ＝8，BD ︵＝2CD ︵

，求BC 的长．

5．解：（1）过C 作CE ⊥AB 于E ，连接CA 、CD

∵∠CDA ＝∠BCD ＋∠CBD ＝21BDC ︵＝2

1BmC ︵

＝∠CAD

∴AC ＝CD ∵BD ︵＝CD ︵

，∴BD ＝CD ，∴BCD ＝∠CBD

∴∠CDA ＝2∠CBD ，∴∠CAD ＝2∠CBD ∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°

∴∠CAD ＋∠CBD ＝90°，∴2∠CBD ＋∠CBD ＝90°

图3

2014年中考数学压轴题精编—广东篇

∴∠CBD ＝30°，∴∠CDA ＝60°

∴△CAD 是等边三角形，∴AD ＝CD

∴AD ＝BD ，∴BDC ︵

必经过圆心O ····························································· 4分

（2）∵AC ＝CD ，∴AC ︵＝CD ︵

∵BD ︵＝2CD ︵，∴AC ︵＝21BD ︵＝31BDC ︵＝31BmC ︵＝41

半圆

连接CO ，则∠OPC ＝4

×180°＝45°

∴CE ＝OE ＝

22OC ＝2

2×4＝22 ∴BE ＝OE ＋OB ＝22＋4

∴BC ＝2222422 )()(

＋+＝224+ ·

··············································· 7分

6．（广东省深圳市）如图，抛物线y ＝ax

＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2，0），B （－1，－3）．（1）求抛物线的解析式；

（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；

（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点

P 的坐标．

6．解：（1）∵抛物线y ＝ax

＋c 经过A （－2，0），B （－1，－3）

∴?????4a ＋c ＝0a ＋c ＝－3 解之得：?

????a ＝1

c ＝－4 ∴抛物线的解析式为y ＝x

－4 ····································· 3分

（2）如图1，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点

设BD 的解析式为y ＝kx ＋b

则?????2k ＋b ＝0－k ＋b ＝－3 ∴?

????k ＝1b ＝－2 ∴BD 的解析式为y ＝x －2，令x ＝0，则y ＝－2

∴M （0，－2） ······························································································· 5分（3）如图2，连接AM ，设BC 与y 轴的交点为N ，则N （0，－3）

由（2）知，OM ＝OA ＝OD ＝2，∠AMB ＝90°

图1

2014年中考数学压轴题精编—广东篇

∴BN ＝MN ＝1，AM ＝22，BM ＝2 ∴S △ABM ＝

AM ·BM ＝22×2＝2 设P （x ，x

－4），依题意有：2

AD ·|

2－4|＝4×2 即

×4·|

2－4|＝4×2，整理得：|

2－4|＝4 解之得：x 1＝22，x 2＝22－，x 3＝0

故符合条件的P 点有三个：P 1（22，4），P 2（22－，4），P 3（0，－4）

······································································································· 9分

7．（广东省深圳市）如图1，以点M （－1，0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－

33x －3

5与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；

（2）如图2，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP : PH ＝3 :

2，求cos ∠QHC 的值；

（3）如图3，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．

7．解：（1）OE ＝5，r ＝2，CH ＝2 ························································· 3（2）如图2，连接QC 、QD ，则∠CQD ＝90°

∠PHC ＝∠PDQ ，∠CPH ＝∠QPD ∴△CPH ∽△QPD ，∴

CH QD ＝

即2

QD ＝23

，∴QD ＝3

∵CD ＝4，∴cos ∠QHC ＝cos ∠QDC ＝

······················· 6（3）如图3，连接AK 、AM ，延长AM ，与圆交于点G ，连接TG ，则∠GTA ＝90°

∴∠1＋∠2＝90°

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8 ∵∠3＝∠2，∴∠1＋∠3＝90°

∵∠4＋∠3＝90°，∠5＝∠4，∴∠1＝∠5

又∠NMA ＝∠AMK ，∴△NMA ∽△AMK ∴AM MN ＝MK

AM ，即MN ·MK ＝AM 2＝4 故存在常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，常数a ＝4

············································································· 9分

8．（广东省珠海市）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝6，AC ＝4，D 是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连结P A 、PB 、PC 、PD ．（1）当BD 的长度为多少时，△P AD 是以AD 为底边的等腰三角形？并证明；（2）若cos ∠PCB ＝55，求P A 的长．

8．解：（1）当BD ＝AC ＝4时，△P AD 是以AD 为底边的等腰三角形 ∵P 是优弧BAC 的中点，∴PB ︵＝PC ︵

∴PB ＝PC

∵BD ＝AC ＝4，∠PBD ＝∠PCA

∴△PBD ≌△PCA

∴P A ＝PD ，即△P AD 是以AD 为底边的等腰三角形

·········································································································· 4分

（2）由（1）可知，当BD ＝4时，PD ＝P A ，AD ＝AB －BD ＝6－4＝2

过点P 作PE ⊥AD 于E ，则AE ＝

1AD ＝1 ∵∠PCB ＝∠P AD

∴cos ∠P AD ＝cos ∠PCB ＝PA AE ＝55 ∴P A ＝5 ······································································································ 9分

9．（广东省珠海市）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCO （O 为原点），点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，且C 点坐标为（0，6）．将BCD 沿BD 折叠（D 点在OC 边上），使C 点落在OA 边的E 点上，并将BAE 沿BE 折叠，恰好使点A 落在BD 的点F 上．

（1）直接写出∠ABE 、∠CBD 的度数，并求折痕BD 所在直线的函数解析式；

（2）过F 点作FG ⊥x 轴，垂足为G ，FG 的中点为H ，若抛物线y ＝ax

2＋bx ＋c 经过B 、H 、D 三点，求抛

物线的函数解析式；

（3）若点P 是矩形内部的点，且点P 在（2）中的抛物线上运动（不含B 、D 点），过点P 作PN ⊥BC 分别交BC 和BD 于点N 、M ，设h ＝PM －MN ，试求出h 与P 点横坐标x 的函数解析式，并画出该函数的简图，

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9 分别写出使PM ＜MN 、PM ＝MN 、PM ＞MN 成立的x 的取值范围．

9．解：（1）∠ABE ＝∠CBD ＝30° ······················································································· 1分

在△ABE 中，AB ＝6

BC ＝BE ＝ 30cos AB ＝34

CD ＝BC ·tan30°＝34×33

＝4

∴OD ＝OC －CD ＝6－4＝2 ∴B （34，6），D （0，2）设BD 所在直线的函数解析式为y ＝kx ＋b 则???34k ＋b ＝6b ＝2 ∴?????k ＝3

b ＝2

∴BD 所在直线的函数解析式为y ＝33

x ＋2 ·············································· 3分

（2）∵EF ＝EA ＝AB ·tan30°＝32，∠FEG ＝180°－∠FEB －∠AEB ＝60°

又∵FG ⊥OA

∴FG ＝EF ·sin60°＝3，GE ＝EF ·cos60°＝3，OG ＝OA －AE －GE ＝3

又H 为FG 中点

∴H （3，23

） ···························································································· 4分

∵抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过B （34，6）、H （3，23）、D （0，2）三点

∴?????48a ＋34＋c ＝63a ＋3b ＋c ＝23c ＝2 ∴?????a ＝6

b ＝－

3c ＝2

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10 ∴抛物线的解析式为y ＝6

1x 2－33x ＋2 ····················································· 5分（3）∵PM ＝(33x ＋2)－(61x 2－33x ＋2)＝－6

2＋332x MN ＝6－(33x ＋2)＝4－33x h ＝PM －MN ＝(－61x 2＋332)－(4－33x )＝－6

2＋3x －4 ················ 6分由－61x 2＋3x －4得x 1＝32，x 2＝34 该函数的简图如图所示： ········································7分

当0＜x ＜32时，h ＜0，即PM ＜MN

当x ＝32时，h ＝0，即PM ＝MN 当32＜x ＜34时，h ＞0，即PM ＞MN ·············9分

10．（广东省佛山市）一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：

如图，在△ABC 中，∠ACB ＞∠ABC ．

（1）若∠BAC 是锐角，请探索在直线AB 上有多少个点D ，能保证△ACD ∽△ABC （不包括全等）？

（2）请对∠BAC 进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB 上能保证△ACD ∽△ABC （不包括全等）的

点D 的个数．

11．解：（1）（ⅰ）如图①，若点D 在线段AB 上

由于∠ACB ＞∠ABC ，可以作一个点D 满足∠ACD ＝∠ABC

使得△ACD ∽△ABC ····················································································· 2分

（ⅱ）如图②，若点D 在线段AB 的延长线上

则∠ACD ＞∠ACB ＞∠ABC ，与条件矛盾

因此，这样的点D 不存在 ············································································ 4分

（ⅲ）如图③，若点D 在线段AB 的反向延长线上

由于∠BAC 是锐角，则∠BAC ＜90°＜∠CAD

不可能有△ACD ∽△ABC

因此，这样的点D 不存在 ············································································ 6分

A B C

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11 综上所述，这样的点D 有一个 ···································································· 8分

注：（ⅲ）中用“∠CAD 是钝角，△ABC 中只可能∠ACB 是钝角，而∠CAD ＞∠ACB ”说

明不存在点D 亦可

（2）若∠BAC 为锐角，由（1）知，这样的点D 有一个 ····································· 9分

若∠BAC 为直角，这样的点D 有两个 ······················································ 10分

若∠BAC 为钝角，这样的点D 有一个 ······················································ 11分

注：（2）的第一个解答不写不扣分，第二个解答回答“这样的点D 有一个”给1分

12．（广东省茂名市）如图，在直角坐标系xO y 中，正方形OCBA 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，点B

坐标为(6，6)，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，且3a －b ＝－1．

（1）求a ，b ，c 的值；

（2）如果动点E 、F 同时分别从点A 、点B 出发，分别沿A →B 、B →C 运动，速度都是每秒1个单位长度，

当点E 到达终点B 时，点E 、F 随之停止运动．设运动时间为t 秒，△EBF 的面积为S ．

①试求出S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；

②当S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以点E 、B 、R 、F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R 的坐标；如果不存在，请说明理由．

12．解：（1）由已知A （0，6）、B （6，6）在抛物线上

得方程组：?????c ＝636a ＋6b ＋c ＝63a －b ＝－1

········································································· 1分

A B C D 图① A B C D 图② A B C D 图②

2014年中考数学压轴题精编—广东篇

解得：???a ＝－

1b ＝32c ＝6

·························································································· 3分

（2）①运动开始t 秒时，EB ＝6－t ，BF ＝t

S ＝21EB ·BF ＝21(6－t )t ＝－2

＋3t ··············· 4分

∵S ＝－21t

2＋3t ＝－21(t －3)2＋2

∴当t ＝3时，S 有最大值2

······························ 5分

②当S 取得最大值时，由①知t ＝3，所以BF ＝3，CF ＝3，EB ＝6－3＝3 若存在某点R ，使得以E 、B 、R 、F 为顶点的四边形是平行四边形，则FR 1＝EB 且FR 1∥EB ，即可得R 1为（9，3）、（3，3） ·························· 6分

或者ER 2＝BF 且ER 2∥BF ，可得R 2为（3，9） ·········································· 7分

再将所求得的三个点代入y ＝－91x

2＋3

x ＋6，可知只有点（9，3）在抛物线上，因此抛物

线上存在点R 1（9，3），使得四边形EBRF 为平行四边形 ························· 8分

13．（广东省茂名市）已知⊙O 1的半径为R ，周长为C ．

（1）在⊙O 1内任意作三条弦，其长分别是l 1、l 2、l 3．求证：l 1＋l 2＋l 3＜C ；（2）如图，在直角坐标系xO y 中，设⊙O 1的圆心O 1（R ，R ）． ①当直线l ：y ＝x ＋b （b ＞0）与⊙O 1相切时，求b 的值； ②当反比例函数y ＝x

（k ＞0）的图象与⊙O 1有两个交点时，求k 的取值范围．

13．（1）证明：∵l 1≤2R ，l 1≤2R ，l 1≤2R

∴l 1＋l 2＋l 3≤3×2R ＜π×2R ＝C ······························································· 2分 ∴l 1＋l 2＋l 3＜C ·························································································· 3分

（2）解：①如图，根据题意可知⊙O 1与与x 轴、y 轴分别相切

设直线l 与⊙O 1相切于点M ，则O 1M ⊥l ，过点O 1作直线NH ⊥x 轴，与l 交于点N ，与x 轴交于点H

（备用图）

2014年中考数学压轴题精编—广东篇

∵直线l 与x 轴、y 轴分别交于点E （－b ，0）、F （0，b ） ∴OE ＝OF ＝b ，∴∠NEO ＝45°，∴∠ENO 1＝45° 在Rt △O 1MN 中，O 1N ＝O 1M ÷sin45°＝2R

∴点N 的坐标为N （R ，2R ＋R ） ···························· 4分把点N 坐标代入y ＝kx ＋b 得：2R ＋R ＝R ＋b ，解得：b ＝2R

··························································································②如图，设经过点O 、O 1的直线交⊙O 1于点A 、D

则由已知，直线OO 1：y ＝x 圆与反比例函数图象的对称轴

当反比例函数y ＝x k

的图象与⊙O 1直径AD 相交时（点A 、D 则反比例函数y ＝x k

的图象与⊙O 1有两个交点

过点A 作AB ⊥x 轴交x 轴于点B ，过O 1作O 1C ⊥x 轴于点C 则OO 1＝O 1C ÷sin45o

＝2R ，OA ＝2R ＋R ∴OB ＝AB ＝OA ·sin45o ＝(2R ＋R )·22＝R ＋2

2R ∴A （R ＋

22R ，R ＋22R ），将点A 的坐标代入y ＝x

解得：k ＝(2

＋2)R 2 ············································································ 6分

同理可求得点D 的坐标为D （R －

22R ，R －2

2R ）将点D 的坐标代入y ＝x k ，解得：k ＝(23

－2)R 2 ······························· 7分

∴当反比例函数y ＝x

（k ＞0）的图象与⊙O 1有两个交点时，k 的取值范围是：

(23－2)R 2＜ k

＜(2

＋2)R 2 ····························································· 8分

14．（广东省湛江市）如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点P ，PD ⊥AC 于点D ，且PD 与⊙

O 相切．

（1）求证：AB ＝AC ；

（2）若BC ＝6，AB ＝4，求CD 的值．

14．（1）证明：连接OP

∵PD

与⊙O 相切，∴OP ⊥PD ∵AC ⊥PD ，∴OP ∥AC

B B

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14 ∵OP ＝OA ＝OB ＝21AB ，∴OP ＝2

1AC ∴AB ＝AC ···························································6分

（2）解：连接AP

∵AB ＝AC ，P 为BC 的中点，∴AP ⊥BC

在Rt △CDP 与Rt △CP A 中，∠C ＝∠C

∴Rt △CDP ∽Rt △CP A ，∴PC CD ＝AC

PC ∵BC ＝6，AB ＝4，∴PC ＝3，AC ＝4，∴3CD ＝43 ∴CD ＝4

9 ································································································ 12分

15．（广东省湛江市）如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为（－3，－4），线段OB 绕原点逆时针旋转

后与x 轴的正半轴重合，点B 的对应点为点A ．

（1）直接写出点A 的坐标，并求出经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点C ，使BC ＋OC 的值最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，

请说明理由；

（3）如果点P 是抛物线上的一个动点，且在x 轴的上方，当点P 运动到什么位置时，△P AB 的面积最

大？求出此时点P 的坐标和△P AB 的最大面积．

15．解：（1）A （5，0） ······································································································· 1分

由抛物线经过点O ，可设抛物线的解析式为y ＝ax 2

＋bx ··························· 2分把A （5，0）、B （－3，－4）代入y ＝ax 2＋bx ，得：

?????25a ＋5b ＝09a －3b ＝－4 解得?????a ＝－61b ＝6

5 ·································································· 4分 ∴抛物线的解析式为y ＝－61x 2＋6

5x ·························································· 5分（2）如图①，∵y ＝－61x

2＋65x ＝－61( x －25)2＋24

25 ∴抛物线的对称轴是直线x ＝25，点O 、A 关于直线x ＝25对称

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15 连接AB 交直线x ＝2

5于点C ，则点C 使BC ＋OC 的值最小 ···················· 6分设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b

则?????5k ＋b ＝0－3k ＋b ＝－4 解得?????k ＝21b ＝－2

5 ∴直线AB 的解析式为y ＝21x －2

5 ························8分把x ＝25代入y ＝21x －25，得y ＝－4

5 ∴点C 的坐标为（25，－45） ································9分（3）如图②，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点D ，设点P 的横坐标为x ，

则P （x ，－61x 2＋65x ），D （x ，21x －2

5） ··············································· 10分 ∴S △P AB ＝S △P AD ＋S △PBD ＝2

1PD ·(x A －x B ) ＝2

1(y P －y D )(x A －x B ) ＝21[(－61x 2＋65x )－(21x －25)]×[5－(－3)] ＝－32x 2＋34x ＋10＝－32(x －1 )2＋332 ∴当x ＝1时，S △P AB 的最大值为332 ···················· 12分把x ＝1代入y ＝－61x 2＋65x ，得y ＝3

2 ∴此时点P 的坐标为（1，32） ·································································· 13分

16．（广东省肇庆市）已知二次函数y ＝x

2＋bx ＋c ＋1的图象过点P （2，1）．

（1）求证：c ＝－2b －4；（2）求bc 的最大值；

（3）若二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），△ABP 的面积是

43，求b 的值．

16．（1）证明：将点P （2，1）代入y ＝x 2＋bx ＋c ＋1得：1＝2 2

＋2b ＋c ＋1 ·················· 1分整理得：c ＝－2b －4 ·················································································· 2分

（2）解：∵c ＝－2b －4，∴bc ＝b (－2b －4)＝－2(b ＋1)2＋2 ································· 4分

∵－2＜0，∴当b ＝－1时，bc 有最大值2 ·············································· 5分

（3）解：由题意得：21AB ×1＝4

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16 ∴AB ＝| x 2－x 1|＝23，即|

x 2－x 1|2＝4

9 ··················································· 6分亦即(x 1＋ x 2)－4x 1x 2＝49 ·········································································· 7分由根与系数的关系得：x 1＋

x 2＝－b ，x 1x 2＝c ＋1＝－2b －4＋1＝－2b －3 ··································································································· 8分

代入(x 1＋ x 2)－4x 1x 2＝49得：(－b )2－4(－2b －3)＝4

9 整理得：b 2＋8b ＋4

39＝0 ········································································· 9分解得：b 1＝－23，b

2＝－213，经检验均合题意 ···································· 10分

17．（广东省清远市）在⊙O 中，点P 在直径AB 上运动，但与A 、B 两点不重合，过点P 作弦CE ⊥AB ，在AB ︵上任取一点D ，直线CD 与直线AB 交于点F ，弦DE 交直线AB 于点M ，连接CM ．

（1）如图1，当点P 运动到与O 点重合时，求∠FDM 的度数；

（2）如图2、图3，当点P 运动到与O 点不重合时，求证：FM ·OB ＝DF ·MC ．

17．（1）解：当点P 与点O 重合时（如图1）

∵CE 是直径，∴∠CDE ＝90° ·················································· 1分

∵∠CDE ＋∠FDM ＝180°，∴∠FDM ＝90° ···························· 2分

（2）证明：当点P 在OA 上运动时（如图2）

∵OP ⊥CE ，∴AC ︵＝AE ︵＝2

1CE ︵，CP ＝EP ∴CM ＝EM ，∴∠CMP ＝∠EMP

∵∠DMO ＝∠EMP ，∴∠CMP ＝∠DMO

∴∠CMP ＋∠DMC ＝∠DMO ＋∠DMC

∴∠DMF ＝∠CMO ································································ 3分

∵∠D 所对的弧是CE ︵，∠COM 所对的弧是AC ︵

图1 B O (P ) F D C E M 图2 A B O F D C E M P 图3 B O F D C E M P 图1 A B O (P ) F D C E M

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∴∠D ＝∠COM ····································································· 4分

∴△DFM ∽△OCM ，∴OC DF ＝

MC FM

∴FM ·OC ＝DF ·MC

∵OB ＝OC ，∴FM ·OB ＝DF ·MC ······································· 5分当点P 在OB 上运动时（如图3）

证法一：连结AC ，AE

∵OP ⊥CE ，∴BC ︵＝BE ︵＝21CE ︵

，CP ＝EP

∴CM ＝EM ，∴∠CMO ＝∠EMO

∵∠DMF ＝∠EMO ，∴∠DMF ＝∠CMO ································· 6分

∵∠CDE 所对的弧是CAE ︵，∠CAE 所对的弧是CE ︵

∴∠CDE ＋∠CAE ＝180°

∵∠CDE ＋∠FDM ＝180°，∴∠FDM ＝∠CAE

∵∠CAE 所对的弧是CE ︵，∠COM 所对的弧是BC ︵

∴∠CAE ＝∠COM

∴∠FDM ＝∠COM ·································································· 7分

∴△DFM ∽△OCM ，∴OC DF ＝

MC FM

∴FM ·OC ＝DF ·MC

∵OB ＝OC ，∴FM ·OB ＝DF ·MC ······································· 8分

证法二：∵OP ⊥CE ，∴BC ︵＝BE ︵＝21CE ︵，AC ︵＝AE ︵＝2

1CAE ︵

，CP ＝EP

∴CM ＝EM ，∴∠CMO ＝∠EMO

∵∠DMF ＝∠EMO ，∴∠DMF ＝∠CMO ···················································· 6分 ∵∠CDE 所对的弧是CAE ︵

∴∠CDE ＝CAE ︵

度数的一半＝AC ︵

的度数＝180°－BC ︵

的度数

∴∠FDM ＝180°－∠CDE ＝180°－(180°－BC ︵)＝BC ︵

的度数

∵∠COM ＝BC ︵

的度数

∴∠FDM ＝∠COM ····················································································· 7分

∴△DFM ∽△OCM ，∴OC DF ＝

MC FM

∴FM ·OC ＝DF ·MC

∵OB ＝OC ，∴FM ·OB ＝DF ·MC ·························································· 8分

18．（广东省河源市、梅州市）如图，△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过P 作直线MN ∥BC ，设

图2

M P 图3

B O

F D C

M P

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18 MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．

（1）求证：PE ＝PF ；

（2）当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由；

（3）若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且

BC AP ＝23，求此时∠A 的大小．

18．（1）证明：∵CE 平分∠BCA ，∴∠BCE ＝∠PCE 又MN ∥BC ，∴∠BCE ＝∠PEC

∴∠PCE ＝∠PEC ，∴PE ＝PC ····················· 2分

同理可证PF ＝PC

∴PE ＝PF ····················································· 3分

（2）解：不可能 ·························································· 4分

理由如下：方法1：∵由（1）可知，PE ＝PF ＝PC ，又PC ＋PF ＞CF

∴PE ＋PF ＞CF

即EF ＞CF ································································································· 5分

又菱形的四条边都相等，所以四边形BCFE 不可能是菱形 ··················· 6分

方法2：若四边形BCFE 为菱形，则BF ⊥CE

由（1）可知CF ⊥CE ··············································································· 5分

因为在平面内过同一点F 不可能有两条直线同垂直于一条直线，所以BF ⊥CE 不能成立，

所以四边形BCFE 不可能是菱形 ····························································· 6分

（3）解：若四边形AECF 是正方形，则AP ＝CP ，∠ACE ＝2

1∠ECF ＝45° ∵∠BCE ＝∠PCE ，∴∠BCA ＝90° ···························································· 7分又∵BC AP ＝23，∴BC

AC ＝3 即tan ∠B ＝3 ·························································································· 8分

∴∠B ＝60°，∴∠A ＝30° ·········································································· 9分

19．（广东省河源市、梅州市）如图，直角梯形OABC 中，OC ∥AB ，C （0，3），B （4，1），以BC 为直径的圆交x 轴于E ，D 两点（D 点在E 点右方）．

A B N F D

C E M P A B N

F D C E M P

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19 （1）求点E 、D 的坐标；

（2）求过B 、C 、D 三点的抛物线的函数关系式；

（3）过B 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．

19．解：（1）方法1：∵B （4，1），则A （4，0），设OD ＝x ，则DA ＝4－x

∵D 是以BC 为直径的圆与x 轴的交点，∴∠CDB ＝90°

∴∠ODC ＋∠BDA ＝90°

∵∠OCD ＋∠ODC ＝90°，∴∠OCD ＝∠BDA

∴Rt △OCD ∽Rt △ADB ∴OD OC ＝AB AD ，即x 3＝14x

- ······································································ 1分

解得x 1＝1，x 2＝3

∴D （3，0），E （1，0） ··············································································· 2分

方法2：设BC 的中点为G ，过G 作GH ⊥x 轴于H ，连接GD 、GE ∵24

0+＝2，21

3+＝2 ∴G （2，2），∴H （2，0） ········································ 1分 ∵BC ＝22134)( - ＋＝52，GH ＝2－0＝2 又DG ＝EG ＝BG ＝21

BC ＝5

∴HD ＝EH ＝2225 －)(＝1

∴D （3，0），E （1，0） ··············································································· 2分

（2）设过B 、C 、D 三点的抛物线的函数关系式为y ＝ax 2

＋bx ＋c ，则

?????16a ＋4b ＋c ＝1

c ＝3

9a ＋3b ＋c ＝0

···························································································· 3分

解得???a ＝2

b ＝－2

5c ＝3

····························································································· 4分

∴所求抛物线的函数关系式为y ＝21

x 2－25x ＋3 ········································ 5分

（3）方法1：假设存在这样的点Q ，分两种情况讨论：

①当∠BDQ ＝90°时，由于∠BDC ＝90°，且点C 在抛物线上，故点Q 与点C 重合

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20 ∴Q 1（0，3） ································································································· 7分

②当∠DBQ ＝90°时，过点B 作平行于DC 的直线BQ ，假设直线BQ 交抛物线于另一点Q 由D （3，0），C （0，3）可得直线DC 的解析式为y ＝－x ＋3

∵BQ ∥DC ，故可设直线BQ 为y ＝－x ＋m

将B （4，1）代入，得m ＝5（或将直线DC 向上平移2个单位与直线BQ 重合） ∴直线BQ 为y ＝－x ＋5

由?????y ＝－x ＋5

y ＝21x 2－25x ＋3 得

?????x ＝－1y ＝6 或 ?????x ＝4y ＝1 又点B （4，1），∴Q 2（－1，6）

故该抛物线上存在两点（0，3），（－1，6）满足条件 ··········· 9分

方法2：假设存在这样的点Q （x ，21x

2－2

5x ＋3）过Q 作QN ⊥x 轴于N ，分两种情况讨论： ①当∠BDQ ＝90°时，则∠NDQ ＋∠BDA ＝90°

∵∠DNQ ＝∠BAD ＝90°，∴∠NDQ ＋∠NQD ＝90°

∴∠NQD ＝∠BDA ，∴△NDQ ∽△ABD ∴AD NQ ＝AB

ND ，即1325212+-x x ＝13x - ···················································· 6分解得x 1＝0，x 2＝3

当x 1＝0时，y 1＝3；当x 2＝3时，y 2＝0

∴Q 1（0，3），Q 2（3，0）（与点D 重合，舍去） ······································· 7分

②当∠DBQ ＝90°时，则有DQ 2＝BD 2＋BQ 2

∵B （4，1），D （3，0），Q （x ，21x 2－2

5x ＋3） ∴DQ 2＝(x －3)2＋(21x 2－25x ＋3)2 BD 2＝(4－3)2＋(1－0)2

＝2

BQ 2＝(x －4)2＋(21x 2－2

5x ＋3－1)2 ∴(x －3)2＋(21x 2－25x ＋3)2＝2＋(x －4)2＋(21x 2－25x ＋3－1)2 整理得：x 2

－3x －4＝0，解得x 3＝－1，x 4＝4 ············································· 8分当x 3＝－1时，y 3＝6；当x 4＝4时，y 4＝1

∴Q 3（－1，6），Q 4（4，1）（与点B 重合，舍去）

综上所述，抛物线上存在点Q 1（0，3）和Q 2（－1，6），使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形 ··········································································································· 9分

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20．（广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试）已知抛物线y ＝ax

＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ．

（1）当△ABC 为直角三角形时，求b 2

－4ac 的值；

（2）当△ABC 为等边三角形时，求b

－4ac 的值．

224．解：（1）设A （x 1，0），B （x 2，0）

当△ABC 为直角三角形时，显然∠ACB ＝90° 由抛物线的对称性可知△ABC 为等腰直角三角形如图1，过C 作CD ⊥AB 于D ，则AB ＝2CD ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b

－4ac ＞0

AB ＝|x 1－x 2|＝212214x x x x -+)( ＝a c a b 42--)(＝2

24a ac