【高考解码】2015届高三数学二轮复习(新课标) - 坐标系与参数方程(选修4-4)]

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第20讲 理 第18讲 文

坐标系与参数方程(选修4－4)

x＝－1＋cos θ，

1．(2014·北京高考)曲线 (θ为参数)的对称中心( )

y＝2＋sin θ

A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上

【解析】 因为(1，－2)为圆的对称中点，所以在直线y＝－2x上，故选B. 【答案】 B 2．(2014·广东高考)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________．

【解析】 ∵2ρcos2θ＝sin θ， ∴2ρ2cos2 θ＝ρsin θ即2x2＝y， ∵ρcos θ＝1，∴x＝1， 2 2x＝y， x＝1，y＝2，∴交点坐标为(1,2)． x＝1

【答案】 (1,2)

ππ

θ－＝1的距离等于________． 3．(2014·陕西高考)在极坐标系中，点(2，到直线ρsin 66

【解析】 将点的极坐标、直线的极坐标方程化为直角坐标、普通方程，利用点到直线的距离公式求解．

ππ31

2，化为直角坐标为3，1)，直线ρsin θ－ ＝1化为ρ θ－sin θ ＝1，点 6 6 22 2

1－1＋1

22 11313

－＝1x－y＋1＝0，点(3，1)x－＋1＝0＝222221 2＋ －3 2

2 2

1.

【答案】 1

x＝1－22，

4．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为

2

y＝2＋t 2

(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．

x＝1－22，

【解】 将直线

l的参数方程

2

y＝2＋ 2

得 2＋

代入抛物线方程y2＝4x，

2 2 2

＝41－，解得t1＝0，t2＝－2. 2 2

所以|AB|＝|t1－t2|＝82.

从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为： 1．极坐标方程

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①该考向主要考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，以及会写出简单图形的极坐标方程．

②根据新课标省份的出题特点，既可以命制选择、填空题，难度为容易题；又可以命制解答题，难度中等．

一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．参数方程及应用

①此考向主要考查参数方程与普通方程之间的互化能力，考查学生对基础公式及方法的理解和应用．

②各地都有自己的命题特点，总的趋势为以填空题形式出现时，综合力度较小；以解答题形式出现时，常常把极坐标方程与参数方程融合在一起考查，难度一般不大，填空题5分左右，解答题10分左右．

3．极坐标方程与参数方程的综合应用

①此考向主要考查极坐标与参数方程的综合应用(互化、位置关系、最值等)，突出考查转化和化归的思想及能力．

②主要以解答题的形式体现，难度中

等.

极坐标方程

【例1】 (1)(2014·安徽江南十校眹考)在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为

ππ

θ＋＝2＋1，圆C的圆心为 2， ，半径为2，则直线l被圆C所截得的弦长是ρsin 4 4 ________．

(2)(2013·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )

A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2

π

B．θρ∈R)和ρcos θ＝2

2π

C．θρ∈R)和ρcos θ＝1

2

D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1

π

θ＋2＋1，可化为直角坐标方程x＋y＝2【解析】 (1)直线l的极坐标方程为ρsin 4π

，，得圆C的圆心的直角坐标系(1,1)，所以圆心C(1，1)到直线＋2，由圆C的圆心为 4

|1＋1－22|

l的距离d＝1，又因为圆C的半径r＝2，所以直线l被圆C截得的弦长为

2

2r－d＝2.

(2)在直角坐标系中，圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.从而垂直于x轴的两条切

π

线方程分别为x＝0，x＝2，即θ＝ρ∈R)和ρcos θ＝2.

2

【答案】 (1)2 (2)B

【规律方法】 1.研究极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及角度和到定点距离时，引入极坐标系会对问题的解决带来很大的方便．

2．在极坐标方程化为直角坐标方程时，只要整体上用x代换其中的ρcos θ、y代替其中的ρsin θ即可，其中所含的ρ2也可以写成ρ2(cos2θ＋sin2θ)＝x2＋y2.

[创新预测] 22

1．(1)曲线C的直角坐标方程为x＋y－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

π

(2)(2013·北京高考)在极坐标系中，点(2，到直线ρsin θ＝2的距离等于________．

6

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【解析】 (1)利用公式法转化求解．

直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.

(2)将极坐标转化为直角坐标求解．

π

极坐标系中点(2，)对应的直角坐标为3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标

6

系中直线y＝2.故所求距离为1.

【答案】 (1)ρ＝2cos θ (2)1

参数方程及应用

x＝2＋t，x2y2

【例2】 (2014·全国新课标Ⅰ高考)已知曲线C＝1，直线l： (t为参

49 y＝2－2t，

数)．

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

x＝2cos θ，

【解】 (1)曲线C的参数方程为 (θ为参数)．

y＝3sin θ，

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为

5

d＝θ＋3sin θ－6|.

5

d4

则|PA|＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.

sin 30°53

225

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

525

当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为5

【规律方法】 将曲线的参数方程化为普通方程时，要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公

1

式：cos2θ＋sin2θ＝1，1＋tan2θ＝.

cosθ

[创新预测]

2．

(1)(2013·陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．

x＝t，

(2)(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l： (t为参数)过椭圆C：

y＝t－a x＝3cos φ，

(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________． y＝2sin φ

【解析】 (1)利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程．

11

将x2＋y2－x＝0配方，得(x－)2＋y2＝∴圆的直径为1.设P(x，y)，则x＝|OP|cos θ＝1×cos

24

θ×cos θ＝cos2θ，y＝|OP|sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，

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2

x＝cosθ， 22

∴圆x＋y－x＝0的参数方程为(θ为参数)． y＝sin θcos θ

(2)将参数方程化为普通方程后求解．

x＝t，

直线l： 消去参数t后得y＝x－a.

y＝t－a

x＝3cos φ，x2y2

椭圆C： 消去参数φ后得1.

94 y＝2sin φ

又椭圆C的右顶点为(3,0)，代入y＝x－a得a＝3.

x＝cos2θ，

【答案】 (1) (θ为参数)

(2)3

y＝sin θcos θ

极坐标方程与参数方程的综合应用

【例3】 (2014·全国新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半

π

轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈[0，]．

2

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

【解】 (1)∵ρ＝2cos θ， ∴ρ2＝2ρcos θ，

∴x2＋y2＝2y，(0≤y≤1)．

C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得C的参数方程为 x＝1＋cos t (t为参数，0≤t≤π)． y＝sin t

(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D

π

处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t3，t＝.故D的直角坐标为(1＋cos

3

ππ33sin ，即()． 3322

【规律方法】 1.要判断参数方程或极坐标方程所描述的方程类型，常常是将其转化为直角坐标系下的普遍方程．但是，对于一些常见的参数方程或极坐标方程，如果能够快速识别方程的形式，理解对应参数的几何意义，则可使问题得到快速的突破．

2．在坐标系与参数方程的考查中，最能够体现坐标方法的解题优势，灵活地利用坐标方法可以使问题得到简捷的解答．

[创新预测]

3．(2014·福建厦门质检)在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0，直线l的参数方程为

x＝－222t y＝－4t 2

，(t为参数)．

(1)写出圆C的直角坐标方程；

(2)若点P为圆C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．

222 ρ＝x＋y

【解】 (1)由 得，x2＋y2－8x＋12＝0，

ρcos θ＝x

所以圆C的直角坐标方程为(x－4)2＋y2＝4.

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(2)直线l的普通方程为x－y－2＝0.

|4＋m|

设与直线l平行的直线l′的方程为x－y＋m＝0，则当直线l′与圆C＝2，

2

解得m＝－22－4或m＝2－4(舍去)，

|－22－4－ －2 |

所以直线l与直线l′的距离d22，即点P到直线l距离的最大

2

值22.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vlq1.html