2007美国大学生数学建模竞赛B题特等奖论文翻译

美国航空公司的下一个顶级模型

Sara J. Beck

Spencer D. K'Burg Alex B. Twist

University of Puget Sound Tacoma, WA

Advisor: Michael Z. Spivey 摘要

我们根据当前能够实现的程序，进行了一个模拟，即复制乘客登不同型号飞机的行为。并且指定一个当前不在使用中的计划。我们的模型的变量是确定的或随机的，包括步行时间、装载时间、就坐时间。用这些变量的总和来衡量登机延误程度。我们用物理模型和观察常见的交互来精确地反映登机时间。 我们就飞机的大小和登记计划的不同组合进行了500次的模拟。我们就飞机大小和结构分析了每个登机算法的灵敏度以及乘客位移算法。我们使用仿真结果来比较登机方案的效果。我们发现对于所有飞机的大小来说,一个被称为“过山车”的新颖的登机方案是最有效的。这个“过山车”算法本质上“由外向内”的方法修改了登机方法 。乘客在他们登机前排队,然后按字母顺序登机。这使得大多数干扰被避免。它加载的一架小型飞机比第二最佳选择快67%的速度。一个中型飞机比第二最佳选择快37%的速度,和一个大飞机比第二个快67%的速度35%的速度。 介绍

在我们的研究目标是:

1．尽可能快的登上不同大小的飞机。 2．找到一个对乘客既高效又简单的方案。 记住这一点：

3．我们调查的时间来将他们的行李安放到一个乘客和清除过道。

4．我们调查当另一位乘客是坐在他们和他们的座位之间时乘客清理过道的时间。 5．我们回顾当前应用到航空公司登机上面的技术。

6．我们研究三种不同大小的飞机地板布局，在一个确定的登机计划前提下，随着飞机尺寸的增加和飞机布局的改变，来比较登机效率的差异。

7．我们构造一个模拟器,在不同的技术下，模拟典型的乘客在登机过程的行为。 8．我们意识到,在保持客户满意度的情况下，没有很多的时间来下机。

9．我们通过跟踪和惩罚模拟过程中的不同类型的干扰来计算某一给定型号的飞机在一定的登机方案下用于登机所消耗的时间。

10．作为对目前登机技术的替代，我们给出了一个可选择的方案并用我们的模拟器评估。 11．我们根据对小型，中型，大型的被证明最有效的算法给出建议。

干扰和延迟登机

有两个基本原因干扰某人阻塞一个乘客。在一个通道,人们排成一行阻塞乘客。通道干扰产生了当乘客在你已经停止移动,并且阻止你继续沿着通道前行到达你的座位。队列干扰产生了当你已经达到既定的

队列但是已经就坐在过道和你的座位之间的乘客阻止你立即就坐。引起过道干扰的一个主要原因是乘客郑经理排队干扰。

我们进行了实验,用一排椅子来模拟飞机上的队列。一队人张开双臂作为头顶上的间隔。来估计有动作引起的延误的参数。 这次,我们发现通过我们的实验是表1中给出。

我们把这些时间用在我们的模拟中来建立登机速度的模型。我们分别建立由通道干扰和队列干扰引起的延误的登机模型。两者都用如下定义的混合分布来模拟：:

Y = min { 2,X },

其中X是一个通常随机分布的变量他的均值和标准偏差是固定的在我们的实验中。我们选择的随机分布变量是正常的只要偏差不大于2。其他替代和常见分布很容易产生一个很小的值，因此是不切合实际的。.我们发现队列干扰的平均时间约为4s,标准差为2s。然而通道干扰的平均时间是7s，标准差是4s。基于我们在飞机上积累的经验，这些值被稍微调整了。

典型飞机布局。

对于我们的模型必不可少的是不同大小客机的布局的行业标准。我们使用一架空客320飞机模型了小飞机(85 - 210名乘客)和波音747模拟中型飞机(210 -330名乘客)。因为在市场上缺乏大型飞机,我们修改了波音747，通过消除一等舱和扩展二等仓客段。这使得波音747接近它的最大容量。这种改进型波音747已经有55排,所有的都和波音747二等舱客段的尺寸一样。空客正在设计一种能够容纳800乘客的飞机。空客A380是双层甲板在三个不同的客舱能够容纳555人。

但是我们从我们的模拟中排除了这种双层模型。因为这更大的，底部甲板是限制因素，而不是更小的上部甲板。

当前登机技术

我们检查以下行业登机步骤: *随机顺序 *由外向内

*前后颠倒的(几组大小)

此外,我们将探讨这一不被当前航空公司使用的创新技术:

*“过山车”登机:乘客在登机前先排好队。乘客需要从飞机的后部到前部依次排队。他们安坐以字母为

序的小群组登机。这是一个经过模拟的从里到外的登记技术，差别在于在同一组的乘客在登机前已经排好队了。图一显示这种排序是如何发生的。这样以模拟，大部分干扰就可以避免了。

图1.“过山车”登机法

当前下飞机技术

当前下飞机采用这样的顺序，与窗口相邻通道边上的人，从前到后下飞机。这种下飞机的方法来源于一位乘客渴望尽可能快的下飞机。这种技术的任何修改可能会导致客户的不满,因为乘客可能被迫等待而坐在他们身后的人正在下飞机。

登机模拟

通过设计一种模拟过程即在不同的飞机结构，大小以及不同的登机算法下模拟登机过程并且运行这个模拟过程。我们然后比较那个算法能够产生最高效的登机过程。 假设

在登机过程中飞机内的环境不可能模拟的非常精确。使我们的模型更易于处理,我们进行了如下简化假设：

1．没有一等的或特殊的座位。因为标准的行业因为行业标准要求首先使这些乘客登机，因为他们仅仅构成整个飞机容纳量的较小的一部分。任何对整个登记技术的改变都将不适用于乘客登机。 2．当乘客所在的登机组被叫到时，他们便开始登机。没有乘客晚登机或者提前登机。

3．乘客不通过彼此之间的过道,过道太窄。登机组之间没有差别，当前一个登机组结束登机时，航空公司工作人员加下一组登机。

4．乘客不要结伴旅行。通常,航空公司允许登机团体，尤其是带有年幼的儿童团体,以一种很方便的方式登机而不是按照登机计划。这些事很难被模型精确的预测到

5．飞机是满员。一个满员的飞机会引起大部分乘客受到干扰。这使得我们能够在模型中看到最糟糕的方案。

6．每一排包含了相同数量的座椅。事实上每一排座椅的数量是随着工程上的需要或则是为了容纳头等舱的乘客。

实现

我们制定登机过程如下:

1．飞机的布局有一个矩阵呈现,行代表成排的座位,每个列描述是每一排是否挨着窗口,过道等。具体尺寸随每架飞机类型而不同。整数参数记录那些列是过道。

2．用一列随着登机进行而减小的整数数组表示乘客登机的队列。

3．这项登机技术是在一个与飞机布局矩阵相同大小的矩阵里模拟进行。矩阵充满了正数。这是一个针对每位乘客的矩阵，被分配给一个子阵，代表每位乘客所在登机组的位置。

4．每一个地方的干扰都会被记录。这些干扰会被投进上面定义的概率分布函数，该函数会产生一个对时间延误评定值。

5．在到达指定座位之前乘客会等待他们身旁的干扰过去；如果干扰产生了,乘客就会倒计时等待时间的延迟。

6．当由干扰引起的时间耽误降到零，所有的乘客在指定的位子做好后，模拟过程就结束了。

模型的优点和缺点

优点

1.该模型对各种构造和尺寸的飞机来说是健壮的。我们设计的算法只需较小的努力就可以在很多的的飞机上实现。因为我们调整了飞机的参数，所以模型产生了很合理的结果。例如大飞机需要更多地时间登机。那些具有很多过道的飞机就比那些具有较少过道的相似的飞机登机快。

2.这个模型考虑到乘客行为产生的合理方差。尽管可以做更多的彻底的实验，得到一个更加精确随机的描述与干扰相关的误机时间的模型。

3.我们的模型很容易做到上述改进。此外,我们努力使我们的模拟过程复杂度最小化，这使得我们能够在一个较长的时间内模拟更多的登机过程。并且使可能发生的异和误差最小化。

4.这是相当实际的。在观察模型运行的过程中，我们能够观察乘客登机，彼此碰撞，花时间装载行李，等待他前方的乘客让出路。它能够将这样的复杂行为综合起来并减少的能力是我们完成既定目标的关键。 弱点

1．它不考虑经济舱的乘客以外的其他乘客。

2．它不能模拟可能加快登机过程的登机口结构上的差异。例如,一些在欧洲的航空公司一次从两个不同的入口登机。

3．它不能考虑人们达登机门口迟到的情况。 4．它没有考虑到乘客的偏好或满意度。

结果和数据分析

对于不同飞机的布局和登机算法，我们进行了500次的模拟登机，计算平均时间和标准偏差。后者是重要的，因为飞机荷载的可靠度对航班日程安排是非常重要的。

我们对几种可能的规模组用从后到前的方法模拟。由于飞机上座位排数的不同，而不是所有规模组有可能性在所有飞机上实现。

小型飞机

对于小型飞机,图2显示了所有登机技巧尤其“过山车式”比随机方式减缓了登机过程。随着越来越多的结构方式添加到登机的过程,当乘客座位继续随机分配在每个规模组，乘客倒退干扰越来越严重。当乘客随机登机,由于一些人在其他人进入飞机立刻就座的时候向后走动而在乘客之间产生间隙，从而阻止更多的人走出机门和走上飞机。这些间隙妨碍了早早登机且必须走到飞机后面的乘客而引起对他们身后许多乘客的干扰。然而,当我们施行“过山车”算法时,让唯一引起过通道干扰的乘客成为每个分组最后的登机者，从而消除了座位的干扰。

有趣的是,小型飞机的登机时间和中型飞机相比，较他们各自的登机时间在所有的算法里是更长的!这是因为每通道每排座位的数量在小型飞机比中型飞机更多。 中型飞机

由图3所示结果源自对中型飞机的模拟，以及这些同小型飞机不相上下。

再次,这个“过山车”方法被证明是最有效的。

大型飞机

图4显示了对于一个大型飞机的登机时间,不同于其他机型的布局,从随机登机算法变到“由外向内”登机算法会减少。在模拟中观测乘客的变动，很明显,由于更大数量的乘客在这样的大型飞机上,间隙更容易在过道的乘客之间产生,那些已经登机的人使得其余乘客更顺畅的移动。并没有被那些已经在移动板。然而,这两个“从后向前”方式登机的实例制造了太多情形以至于这些间隙再度形成。同样,由于消除了它导致的座位排的干扰,“过山车”被证明是最有效的登机方法。

总的来说

这个“过山车”登机算法对于任何体型的飞机是最快的。和相邻最快的登机程序相比,它使得大型飞机快35%，中型飞机快37%,小型飞机快67%。这个“过山车”登机程序的额外一个好处就是非常低的偏差标准，从而为航空公司提供一个更可靠的登机时间。对于“从后向前”登机算法随登机组的数量而增长并且总是比随机登机流程要慢。

“从后向前”登机算法背后的构想是,一直到飞机后部的乘客都已经登上飞机，避免掉了飞机前部的干扰。在这个过程的一个缺陷是,让大家在飞机上排成一队会造成阻塞,实际上反而增加了装载时间。这个“由外到内”(“威尔玛,”或窗口,中间,过道)算法优于随机登机程序也仅对大型飞机。随机登机程序的好处是，它将在整个飞机的干扰均匀的分散,因而它们较少可能的影响很多乘客。

验证以及灵敏度分析

我们开发了一个飞机结构测试，唯一目的就是在所有规格的飞机上实现我们的登机算法，由24到600个不同的乘客以及一、两个通道进行。

我们还研究了性能低至70%的情形,我们看到满负载时折射在这些较低性能的动态趋势。“从前向后”和“由内到外”的算法在开始执行地更好;但是这增加的效果相对较小,而“过山车”算法依然显著优于这二者。无论在何种情况下,我们算法的测试是健壮的。也就是说,这些算法按照航空公司使用的登机计划的意图来给乘客分配座位，而且使乘客以一种符合实际的方式移动。 建议

我们建议这个“过山车”登机计划在没有豪华阶层和特殊需求乘客的各种体型构造的飞机上施行。随着

飞机体型的增大,和相邻最好的方法相比其边际成效将减少；但我们有信心,“过山车”方法将被证明是健壮的。我们建议登机团体在上其余的飞机之前同时移动,因为这样的团体会对登机造成干扰以致减缓登机过程。在理想情况下,这样的团体应在登机前进行排序。

未来的展望

某些乘客会迟到以及按他们的预定时间未能上飞机的情形是不可避免的。此外,我们相信允许随身行李的数量将比特定的登机计划对登机时间产生更大的影响，施行的模型会证明此见解是深刻。我们也建议修改模型来反映一起旅行(和登机)的团体;这对“过山车”登机程序尤为重要,这也是为什么我们建议登机团体在上其余的飞机之前登机。

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