1992年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）

1992年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分） 设函数z=i2+，那么argz是（ ） A ． B． C． D． ﹣ 2．（3分） 如果等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的体积是16πcm3，那么它的底面半径等于（ ） A ． B．4 cm C． D．2 cm 4cm 2cm 3．（3分） A ．1 4．（3分） 函数y=log

的反函数是（ ）

B．0 的值等于（ ） C． ﹣ D． ﹣ A ．y=1+2﹣x B．y =1﹣2﹣x C．y=1+2x （x∈R）D． y =1﹣2x（x∈R） （x∈R） （x∈R） 5．（3分） 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果AB=BC=a，AA1=2a，那么点A到直线A1C的距离等于（ ） A ． B． C． D． a a a 6．（3分） 函数y=sinxcosx+ A ．π B．2 π C． 的最小正周期等于（ ）

D． 7．（3分） 有一个椭圆，它的极坐标方程是（ ） A ． B． =C．ρ= D．ρ = ρ 8．（3分） 不等式

的解集是（ ）

A ．{x|5＜x＜16} B． { x|6＜x＜18} C．{x|7＜x＜20} D． { x|8＜x＜22} 9．（3分） 设等差数列{an}的公差是d，如果它的前n项和Sn=﹣n2，那么（ ） A ．an=2n﹣1，d=B． a n=2n﹣1，d=2 C．an=﹣2n+1， d=D．a n=﹣2n+1，﹣2 ﹣2 d=2 10．（3分） 方程cos2x=3cosx+1的解集是（ ）

A ．{x|x=2k B． C．{x|x=k D．{ x|x=2kx} } } 11．（3分） 有一条半径是2的弧，其度数是60°，它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠，那么这个球冠的面积是（ ） A ．4（2﹣）π B． 2 （2﹣）C． 4 D．2 12．（3分） 某小组共有10名学生，其中女生3名．现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同的选法共有（ ） A ．27种 B．4 8种 C．21种 D．2 4种 13．（3分） 设全集I=R，集合M={x| A ．{x|x＜﹣2} ＞2}，N={x|logx7＞log37}那么M∩?UN=（ ）

D．{ x|﹣2≤x＜3} B．{ x|x＜﹣2，或C．{x|x≥3} x≥3} 14．（3分） 设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1?a2?a3?…?a30=230，那么a3?a6?a9?…?a30等于（ ） A ．210 B．2 20 C．216 D．2 15 15．（3分） 设△ABC不是直角三角形，A和B是它的两个内角，那么（ ） A ．“A＜B“是“tanA＜tanB“的充分条件，但不是必要条件． B ．“A＜B“是“tanA＜tanB“的必要条件，但不是充分条件． C ．“A＜B“是“tanA＜tanB“的充分必要条件． D ．“A＜B“不是“tanA＜tanB“的充分条件，也不是必要条件． 16．（3分） 对于定义域是R的任何奇函数f（x），都有（ ） A ．f（x）﹣f（﹣B． f （x）﹣f（﹣C．f（x）f（﹣x） D．f （x）f（﹣x）x）＞0 （x∈R） x）≤0 ≤0 （x∈R） ＞0 （x∈R） （x∈R） 17．（3分） 如果双曲线的两条渐近线的方程是那么它的两条准线之间的距离是（ ） A ． B． C． 二、填空题：把答案填在题中的横线上. 18．（3分）

，焦点坐标是（﹣D． ，0）和（，0），

= _________ ．

19．（3分） 设直线的参数方程是，那么它的斜截式方程是 _________ ．

20．（3分） 如果三角形的顶点分别是O（0，0），A（0，15），B（﹣8，0），那么它的内切圆方程是 _________ ．

21．（3分）

= _________ ．

22．（3分） 9192除以100的余数是 _________ ． 23．（3分） 已知三棱锥A﹣BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC和面DBC的面积分别是S1和S2．设面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα= _________ ．

三、解答题：解题应写出文字说明、演算步骤.

24． 已知关于x的方程2a2x﹣2﹣7ax﹣1+3=0有一个根是2，求a的值和方程其余的根．

25． 已知：平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β．求证：a∥α．

26． 证明不等式

（n∈N*）

27． 设抛物线经过两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段的长是，求抛物线的方程．

28． 求同时满足下列两个条件的所有复数z： ①z+

是实数，且1＜z+

≤6；

②z的实部和虚部都是整数．

1992年全国统一高考数学试卷（湖南、云南、海南）

参考答案与试题解析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分） 设函数z=i2+，那么argz是（ ） A ． B． C． D． ﹣ 考点： 专题： 分析： 解答： 复数的基本概念． 计算题． 利用特殊角的三角函数值和辐角主值的意义即可得出． 解：z=﹣1+i═2=2，∴． 点评： 2．（3分） 如果等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的体积是16πcm3，那么它的底面半径等于（ ） A ． B．4 cm C． D．2 cm 4cm 2cm 考点： 专题： 分析： 解答： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 空间位置关系与距离． 先要根据题意设出底面半径，根据圆柱体的体积公式列出方程即可求解． 解：设等边圆柱的底面半径为r， 则圆柱的高为2r， 由题意得πr2?2r=16π，r=2． 故选D． 此题主要考查了实数的运算，解答此类题目的关键是熟知圆柱的体积公式即可． 故选C． 熟练掌握特殊角的三角函数值和辐角主值的意义是解题的关键． 点评： 3．（3分） A ．1 考点： 专题： 分析： 的值等于（ ）

B．0 C． ﹣ D． ﹣反三角函数的运用． 三角函数的求值． 根据反三角函数的定义可得arcsin要求的式子化简可得结果． =，arccos（﹣）=，arctan（﹣）=﹣，代入解答： 解：==1， 点评：

故选A． 本题主要考查反三角函数的定义，属于中档题．

4．（3分） 函数y=log的反函数是（ ）

A ．y=1+2﹣x B．y =1﹣2﹣x C．y=1+2x （x∈R）D． y =1﹣2x（x∈R） （x∈R） （x∈R） 考点： 反函数． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 把y看作常数，求出x：x=﹣2﹣y+1，x，y互换，得到y=log解答： 解：把y看作常数，求出x： x﹣1=﹣2﹣y，x=﹣2﹣y+1， x，y互换，得到y=log的反函数： 的反函数． 点评： 5．（3分） 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果AB=BC=a，AA1=2a，那么点A到直线A1C的距离等于（ ） A ． B． C． D． a a a 考点： 专题： 分析： 解答： y=﹣2﹣x+1，x∈R， 故选B． 本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化． 棱柱的结构特征． 空间位置关系与距离． 由题意可得：连接A1C，AC，过A作AE⊥A1C，根据长方体得性质可得：A1C⊥平面ABCD，即可得到AC=，A1C=，再根据等面积可得答案． 解：由题意可得：连接A1C，AC，过A作AE⊥A1C，如图所示： 根据长方体得性质可得：A1C⊥平面ABCD． 因为AB=BC=a，AA1=2a， 所以AC=，A1C=， 根据等面积可得：AE=故选C． =． 点评： 本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．的最小正周期等于（ ）

6．（3分） 函数y=sinxcosx+

A ．π 考点： 专题： 分析： 解答： B．2 π C． D． 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 计算题；三角函数的图像与性质． 将y=sinxcosx+cos2x﹣转化为y=sin（2x+ ），即可求得其最小正周期． 解：∵y=sinxcosx+=sin2x+=sin2x+=sin（2x+cos2x ）， cos2x﹣﹣∴其最小正周期T==π． 点评： 7．（3分） 有一个椭圆，它的极坐标方程是（ ） A ． B． =C．ρ= D．ρ = ρ 考点： 专题： 分析： 简单曲线的极坐标方程． 圆锥曲线的定义、性质与方程． 由已知中圆锥曲线的极坐标方程为 ρ=出的极坐标方程． 解答： 解：∵圆锥曲线统一的极坐标方程 ρ=则该曲线表示离心率为 e， 对照选项，排除C． A中：，e= 故选A． 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查三角函数的周期性及其求法，属于中档题． ，我们可以判断出曲线的离心率，进而判断， ＞1，表示双曲线，故错； B中：ρ=，e=1，表示抛物线，故错； D中：故选D． 点评： ，e=＜1，表示椭圆，故正确； 本题的知识点是简单曲线的极坐标方程，其中圆锥曲线的极坐标方程统一为 ρ=其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离，就是解答本题的关键． ，

8．（3分） 不等式

的解集是（ ）

A ．{x|5＜x＜16} B． { x|6＜x＜18} C．{x|7＜x＜20} D． { x|8＜x＜22} 考点： 绝对值不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 由不等式可得﹣1＜﹣3＜1，即 2＜＜4，化为 4＜x﹣2＜16，由此求得不等式的解集． 解答： 解：由不等式，可得﹣1＜﹣3＜1，故有 2＜＜4，∴4＜x﹣2＜16，点评： 解得6＜x＜18， 故选B． 本题主要考查绝对值不等式、根式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 9．（3分） 设等差数列{an}的公差是d，如果它的前n项和Sn=﹣n2，那么（ ） A ．an=2n﹣1，d=B． a n=2n﹣1，d=2 C．an=﹣2n+1， d=D．a n=﹣2n+1，﹣2 ﹣2 d=2 考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 利用即可得出． 解答： 解：当n=1时，a1=S1=﹣1． 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣n2﹣[﹣（n﹣1）2]=1﹣2n，当n=1时也成立． ∴d=﹣2． 故选C． 熟练掌握是解题的关键． 点评： 10．（3分） 方程cos2x=3cosx+1的解集是（ ） A ．{x|x=2k B． C．{x|x=k D．{ x|x=2kx} 考点： 专题： 分析： 解答： } } 二倍角的余弦． 计算题；三角函数的求值． 利用二倍角的余弦cos2x=2cos2x﹣1，将其代入已知关系式，解方程即可． 解：∵cos2x=2cos2x﹣1， ∴2cos2x﹣1=3cosx+1， ∴（cosx﹣2）（2cosx+1）=0， ∴cosx=﹣或cosx=2（舍去）．

∴x=2kπ±，k∈Z． ，k∈Z}． ∴方程cos2x=3cosx+1的解集是{x|x=2kπ±点评： 11．（3分） 有一条半径是2的弧，其度数是60°，它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠，那么这个球冠的面积是（ ） A ．4（2﹣）π B． 2 （2﹣）C． 4 D．2 考点： 球的体积和表面积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 利用度数是60°求出球冠的高，再利用球冠的面积公式求出球冠的面积即可． 解答： 解：球的半径为：r=OA=OB=2，有一条半径是2的弧，度数是60°，如图． 在直角三角形BOD中，∠BOD=30°，OB=2，∴OD=， ∴球冠的高H=CD=OC﹣OD=2﹣， ∴球冠的面积为：2πr?H=2π×2×（2﹣）=4（2﹣）π， 故选A 故选A． 本题考查二倍角的余弦，考查方程思想与余弦函数的性质，属于中档题． 点评： 本题是基础题，考查球冠的面积，考查计算能力，牢记基本公式是解题的关键．球冠面积求法公式中学不学习推导方法，记住就可以 12．（3分） 某小组共有10名学生，其中女生3名．现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同的选法共有（ ） A ．27种 B．4 8种 C．21种 D．2 4种 考点： 排列、组合及简单计数问题． 专题： 概率与统计． 分析： 由题意知选出的代表至少有1名女同学包括二种情况，一是有一女一男，二是有两女，分别用组合数表示出二种情况的结果数，根据分类计数原理“至少有1名女生当选”包含的基本事件数． 解答： 解：由题意知选出的代表至少有1名女同学包括二种情况，一是有一女一男，二是有两女， 当有一女一男时共有C31?C71=21 当有两女时共有C32=3 事件“至少有1名女生当选”所包含的基本事件数21+3=24（种） 故选D． 点评： 本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 13．（3分） 设全集I=R，集合M={x| A ．{x|x＜﹣2}

＞2}，N={x|logx7＞log37}那么M∩?UN=（ ）

D．{ x|﹣2≤x＜3} B．{ x|x＜﹣2，或C．{x|x≥3}

x≥3} 考点： 专题： 分析： 解答： 交集及其运算． 不等式的解法及应用． 解根式不等式或对数不等式，求出M，N，依据补集定义求出?UN，再根据交集的定义求出 M∩（?UN）． 解：由＞2，得x＜﹣2或x＞2，∴M={x|x＜﹣2或x＞2}． 点评： 14．（3分） 设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1?a2?a3?…?a30=230，那么a3?a6?a9?…?a30等于（ ） A ．210 B．2 20 C．216 D．2 15 考点： 等比数列的通项公式． 专题： 计算题． 分析： 由等比数列的通项公式，可得a1?a2?a3=（）3，同理a4?a5?a6=（）3，…，a28?a29?a30=（3∵N=x|logx7＞log37}={x|1＜x＜3}，∴?UN={x|x≤1或x≥3}． ∴M∩（?UN）={x|x＜﹣2，或x≥3}． 故选B． 本题考查两个集合的交集、补集的定义和运算，对数函数的单调性和特殊点． ），故原式a1?a2?a3?…?a30=（）3=230，将q=2代入，即可求出a3?a6?a9?…?a30的值．解答： 解：∵a1?a2?a3=??a3=（）3，a4?a5?a6=??a6=（）3，…，a28?a29?a30=（）3， ∴a1?a2?a3…a30=（）3?（）3…（）3=（）3=230， 点评： 又∵q=2， ∴a3?a6?a9??a30=220． 故选B． 本题考查了等比数列的通项公式，找出已知a1?a2?a3?…?a30和未知a3?a6?a9?…?a30的关系是解题的关键． 15．（3分） 设△ABC不是直角三角形，A和B是它的两个内角，那么（ ） A ．“A＜B“是“tanA＜tanB“的充分条件，但不是必要条件． B ．“A＜B“是“tanA＜tanB“的必要条件，但不是充分条件． C ．“A＜B“是“tanA＜tanB“的充分必要条件． D ．“A＜B“不是“tanA＜tanB“的充分条件，也不是必要条件． 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 探究型． 分析： 利用充分条件和必要条件的定义分别判断． 解答： 解：因为△ABC不是直角三角形，A和B是它的两个内角， 所以A≠90°，B≠90°． 若A=30°，B=45°，满足A＜B，则tan30°＜tan45°，

点评： 16．（3分） 对于定义域是R的任何奇函数f（x），都有（ ） A ．f（x）﹣f（﹣B． f （x）﹣f（﹣C．f（x）f（﹣x） D．f （x）f（﹣x）x）＞0 （x∈R） x）≤0 ≤0 （x∈R） ＞0 （x∈R） （x∈R） 考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 探究型． 分析： 利用奇函数的性质分别进行判断． 解答： 解：因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）． 则A．f（x）﹣f（﹣x）=2f（x），不一定大于0，所以A错误． B．f（x）﹣f（﹣x）=2f（x）不一定小于等于0，所以B错误． C．f（x）f（﹣x）=﹣f2（x）≤0，所以C正确． D．f（x）f（﹣x）=﹣f2（x）≤0，所以D不正确． 故选C． 点评： 本题主要考查奇函数的应用，要求熟练掌握奇函数的性质． 17．（3分） 如果双曲线的两条渐近线的方程是那么它的两条准线之间的距离是（ ） A ． B． C． 考点： 专题： 分析： ，焦点坐标是（﹣D． 若A=30°，B=135°，满足A＜B，则tan30°＞tan45°， 所以A，B的大小与tanA，tanB的大小没有关系． 所以“A＜B“不是“tgA＜tgB“的充分条件，也不是必要条件． 故选D． 本题主要考查正切函数的图象和性质以及充分条件和必要条件的应用． ，0）和（，0），

双曲线的简单性质． 计算题；空间位置关系与距离． 根据题意，设双曲线方程为﹣=1，可得关于a、b的方程组：=且a2+b2=26，联解可得解答： a=2，b=3，由此求出双曲线的两条准线，即可得到两条准线之间的距离． 解：∵双曲线的焦点坐标是（﹣，0）和（，0）， ∴设双曲线方程为由渐近线的方程是又有a2+b2=26…② 将①②联解，得a=2﹣=1（a＞0，b＞0） ，得=…① ，b=3， ，即x= 因此，双曲线的准线方程为x=可得两条准线之间的距离是点评： 故选：A 本题给出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，求它的两条准线间的距离，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

二、填空题：把答案填在题中的横线上. 18．（3分） 考点： 专题： 分析： = ﹣1 ．

二倍角的正切． 计算题；三角函数的求值． 由于=×，利用公式tan=即可求得答案． 解答： 解：∵tan====﹣1． 点评： 故答案为：﹣1． 本题考查二倍角的正切，考查观察与运用公式的能力，属于中档题． 19．（3分） 设直线的参数方程是 考点： 专题： 分析： 解答： 解：∵直线的参数方程为，那么它的斜截式方程是 ．

直线的参数方程． 直线与圆． 把直线的参数方程消去参数化为普通方程可得 y﹣3=最后再化成斜截式方程即可． （x﹣2），从而得到直线的普通方程，（t为参数），消去参数化为普通方程可得y﹣3=（x﹣2），那么它的斜截式方程是 故答案为：． ． 点评： 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，直线斜截式方程，属于基础题． 20．（3分） 如果三角形的顶点分别是O（0，0），A（0，15），B（﹣8，0），那么它的内切圆方程是 （x+3）2+（y﹣3）2=9 ． 考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆． 分析： 利用截距式求得AB的方程为 15x﹣8y﹣120=0．设内切圆的圆心为（a，﹣a），且﹣8＜a＜0，则半径为|a|=解答： ，求得a的值，可得圆心和半径，从而求得它的内切圆方程． ，即 15x﹣8y﹣120=0． 解：利用截距式求得AB的方程为

设内切圆的圆心为（a，﹣a），且﹣8＜a＜0，则半径为|a|==， 点评： 21．（3分） 解得 a=﹣3，故圆心为（﹣3，3），半径为 3，故它的内切圆方程是 （x+3）2+（y﹣3）2=9，故答案为 （x+3）2+（y﹣3）2=9． 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，求圆的标准方程，求出圆心和半径，是解题的关键，属于中档题． =

．

考点： 专题： 分析： 解答： 点评： 22．（3分） 考点： 专题： 分析： 解答：

极限及其运算；数列的求和． 计算题；导数的概念及应用． 首先利用列项相消法求出数列的和，然后取极限即可得到答案． 解： = = ==． 故答案为． 本题考查了列项相消法求数列的前n项和，考查了数列极限的求法，是基础的运算题． 9192除以100的余数是 81 ． 二项式定理的应用． 计算题． 利用二项式定理展开9192，可得展开式中，除了最后一项992外，其余的项都能被100整除，故9192除以10的余数是 992．再用二项式定理展开 992=（10﹣1）92，可得992=﹣919=﹣10×100+81，从而得到答案． 解：由于9192=（100﹣9）92=+++…++， 在此展开式中，除了最后一项外，其余的项都能被100整除，故9192除以100的余数等价于 =992除以100的余数， 而 992=（10﹣1）92=+++…++ +， 故992除以100的余数等价于 + 除以100的余数，

而 +=﹣919=﹣10×100+81，故9192除以100的余数是点评： 81， 故答案为 81． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于中档题． 23．（3分） 已知三棱锥A﹣BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC和面DBC的面积分别是S1和S2．设面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα= 考点： 专题： 分析： ．

解答： 二面角的平面角及求法． 计算题；作图题． 作出三棱锥A﹣BCD，过顶点A向底面BCD作AH⊥平面BCD，在平面ABC内作AE⊥BC，连结HE，从而得到二面角 A﹣BC﹣D的平面角，把三棱锥的高AH用体积和底面积表示，把斜高用△ABC的面积和边BC的长度表示，在直角三角形AHE中可求角α的正弦值． 解：如图，过顶点A向底面BCD作AH⊥平面BCD， 在平面ABC内作AE⊥BC，连结HE， 根据三垂线定理可知，HE⊥BC， 所以∠AEH是二面角A﹣BC﹣D的平面角，则∠AEH=α， 由已知S△BCD=S2，三棱锥A﹣BCD的体积为V=，AE=2， ，AH=， sinα===． 所以面ABC和面DBC所成二面角的正弦值为故答案为． ． 点评： 本题考查了二面角的平面角的求法，考查了锥体的体积公式，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题． 三、解答题：解题应写出文字说明、演算步骤.

24． 已知关于x的方程2a2x﹣2﹣7ax﹣1+3=0有一个根是2，求a的值和方程其余的根．

考点： 专题： 分析： 解答： 根的存在性及根的个数判断． 计算题． 先用待定系数法解出a的值再解指数方程即可求其余根． 解：由已知 2a4﹣2﹣7a2﹣1+3=0 2a2﹣7a1+3=0?a=或 a=3 当a=时，原方程就是 解得 或 故有 x=2 或x=1+log1/23 当a=3时，原方程就是 2?32x﹣2﹣7?3x﹣1+3=0 解得 或 3x﹣1=3 故有 x=1﹣log32 或 x=2 综上所述，当a=时，方程的另一个根是1+log1/23； 当a=3时，方程的另一个根是1﹣log32 本题主要考查了指数方程的解法，做题过程中注意指数运算律的应用． 点评： 25． 已知：平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β．求证：a∥α． 考点： 直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由平面α⊥平面β，故可在α内作直线c，使c⊥β．再由直线a⊥平面β，可得a∥c，根据直线和平面平行的判定定理，可得 a∥平面α． 解答： 证明：∵平面α⊥平面β，故可在α内作直线c，使c⊥β． ∵直线a⊥平面β，∴a∥c． 而c?α，a?α， ∴根据直线和平面平行的判定定理，可得 a∥平面α． 点评： 本小题考查直线与平面、平面与平面的位置关系以及逻辑推理和空间想象能力，属于中档题． 26． 证明不等式 考点： 专题： 分析： （n∈N*）

用数学归纳法证明不等式． 证明题；转化思想． 证法一：利用数学归纳法证明（1）当n=1时，验证不等式成立；（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，然后证明当n=k+1时，不等式也成立．即可． 证法二：构造函数f（n）=，通过函数单调性定义证明f（k+1）解答： ＞f（k） 然后推出结论． 证法一：（1）当n=1时，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立； （2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+则 ＜2，

∴当n=k+1时，不等式也成立． 综合（1）、（2）得：当n∈N*时，都有1+证法二：设f（n）=那么对任意k∈*＜2， ． 都有： ∴f（k+1）＞f（k） 因此，对任意n∈N* 都有f（n）＞f（n﹣1）＞…＞f（1）=1＞0， ∴点评： ． 本题考查数学归纳法证明不等式的应用，构造法与函数的单调性的应用，考查逻辑推理能力，计算能力以及转化思想． 27． 设抛物线经过两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）对称轴与x轴平行，开口向右，直线y=2x+7被抛物线截得的线段的长是，求抛物线的方程． 考点： 直线与圆锥曲线的关系． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）的中点为（﹣1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y﹣2）2=2p（x+a）．（p＞0）．由于点（﹣1，6）在抛物线上，代入可得2p（﹣1+a）=16，化为p（a﹣1）=8．因此． 设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，化为4（a﹣1）x2+（20a﹣36）x+9a﹣25=0．（a＞0，a≠1），解答： 利用根与系数的关系、弦长公式即可得到a，p． 解：∵两点（﹣1，6）和（﹣1，﹣2）的中点为（﹣1，2），因此可设要求的抛物线方程为（y﹣2）2=2p（x+a）．（p＞0）． ∵点（﹣1，6）在抛物线上，∴2p（﹣1+a）=16，化为p（a﹣1）=8．∴设直线y=2x+7与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立∴x1+x2=∵|AB|=，x1x2=． ，化为4（a﹣1）x2+（20a﹣36）x+9a﹣25=0．（a＞0，a≠1） ． =，

∴∵a＞0，∴a=． ∴=16． =16×10，化为2a2﹣a﹣3=0，解得a=﹣1或a=． ∴抛物线的方程为点评： ． 熟练掌握抛物线的对称性、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等是解题的关键． 28． 求同时满足下列两个条件的所有复数z： ①z+

是实数，且1＜z+

≤6；

②z的实部和虚部都是整数． 考点： 复数代数形式的混合运算． 专题： 计算题． 分析： 根据题意，对于①从整体角度思考，可视z+解答： 为一个整体t，进行整体换元，得到 z2﹣tz+10=0，对于②利用求根公式解出 z，再利用z的实部和虚部都是整数，求出t，即得满足条件的复数z．解：设z+=t，则 z2﹣tz+10=0．∵1＜t≤6，∴△=t2﹣40＜0， 解方程得 z=± i． 点评：

又∵z的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6， 故满足条件的复数共4个：z=1±3i 或 z=3±i． 本题考查一元二次方程在判别式小于0时的解法，体现了换元的思想．

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