2014高考数学 考前冲刺第四部分专题十六 坐标系与参数方程

2012考前冲刺数学第四部分专题十六 坐标系与参数方程

1.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 解析： ∵(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)， ∴ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)．

ρ＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，

θ＝π(ρ≥0)表示x轴的负半轴，是一条射线，故选C. 答案： C

2．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－3)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是( )

π??A.?1，－? 3??

π??C.?2，－? 3??

?4π?B.?2，?

3??

4π??D.?2，－? 3??

4．设直线过极坐标系中的点M(2,0)，且垂直于极轴，则它的极坐标方程为________． 解析： 设所求直线的任一点的极坐标为(ρ，θ)，由题意可得ρcos θ＝2. 答案： ρcos θ＝2

π??5．在极坐标系中，直线ρsin?θ＋?＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．

4??π??22

解析： 直线ρsin?θ＋?＝2可化为x＋y－22＝0，圆ρ＝4可化为x＋y＝16，

4??

用心 爱心 专心 1

由圆中的弦长公式得2r－d＝2答案： 43

224－?

2

?22?2

?＝43. 2??

1??x′＝x，26．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为???y′＝3y，

则在这一坐标变换下正弦曲线

y＝sin x的方程变为________．

??S＝OA·OB·sin?－?＝3.

36

?

?

答案： 3

π?π?8．在极坐标系中，直线θ＝截圆ρ＝2cos?θ－?(ρ∈R)所得的弦长是________． 6?6?解析： 把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为y＝

33??

x和?x－?2＋32??

1

2

ππ

?y－1?2＝1. ?2???

显然圆心?

3?31?

，?在直线y＝x上．

3?22?

故所求的弦长等于圆的直径的大小，即为2. 答案： 2

9．直线2x＋3y－1＝0经过变换可以化为6x＋6y－1＝0，则坐标变换公式是________． 解析： 设直线2x＋3y－1＝0上任一点的坐标为(x，y)，经变换后对应点的坐标为(x′，

用心 爱心 专心 2

??x′＝kxy′)，设坐标变换公式为?

?y′＝hy?

.

1

x＝x′??k∴?1

y＝??hy′

23

，将其代入直线方程2x＋3y－1＝0，得x′＋y′－1＝0，将其与

kh11

6x＋6y－1＝0比较得k＝，h＝.

32

1x′＝x??3

∴坐标变换公式为?1

y′＝??2y1

x′＝x??3

答案： ?1

y′＝??2y

.

10．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．

所以ρ＝

2

2

(ρcos θ＋ρsin θ)． 2

2

2

转化为直角坐标方程为x＋y＝

2

(x＋y)， 2

用心 爱心 专心 3

即?x－即以?

??2?2?2?21?＋?y－?＝4， 4??4?

12??2

，?为圆心，为半径的圆．

24??4

1

x′＝x??2

12．同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换?1

y′＝??3y为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．

后，曲线C：x＋y＝36变

22

?π??π?13．已知两点A，B的极坐标分别为?4，?，?4，?.

2??6??

(1)求A，B两点间的距离； (2)求直线AB的极坐标方程．

?π?14．在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C?2，?，半径R＝5，求圆C的极坐标

3??

方程．

?π?解析： 将圆心C?2，?化成直角坐标为(1，3)，半径R＝5，故圆C的方程为(x3??

用心 爱心 专心

4

－1)＋(y－3)＝5.

再将C化成极坐标方程，得

(ρcos θ－1)＋(ρsin θ－3)＝5. π??2

化简，得ρ－4ρcos?θ－?－1＝0，

3??此即为所求的圆C的极坐标方程．

π??5??15．在极坐标系中，已知三点M?2，π?，N(2,0)，P?23，?.

6??3??(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标． (2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．

2

2

25

圆O的直角坐标方程为：x＋y＝x＋y，即x＋y－x－y＝0，

π?2?直线l：ρsin?θ－?＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程

4?2?为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.

??x＋y－x－y＝0

(2)由?

?x－y＋1＝0?

2

2

2222

??x＝0

得?

?y＝1?

，

?π?故直线l与圆O公共点的极坐标为?1，?.

2??

π

17．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x3

??x＝2cos α，

轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为?

?y＝1＋cos 2α?

(α为参数)，求

用心 爱心 专心 5

直线l与曲线C的交点P的直角坐标．

π

解析： 因为直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，

3所以直线l的普通方程为y＝3x，①

??x＝2cos α，

又因为曲线C的参数方程为?

??y＝1＋cos 2α

(α为参数)，

12

所以曲线C的直角坐标方程为y＝x(x∈[－2,2])，②

2联立①②解方程组得?

?x＝0，???y＝0

或?

?x＝23，

?y＝6.

根据x的范围应舍去?

?x＝23，?y＝6，

故P点的直角坐标为(0,0)．

18．如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程．

解析： 设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点，连结OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.

由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ得ρ0＝8cos θ0，所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ，

故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ，它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．

因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ＝4ρcos θ，所以x＋y＝4x，即x＋y－4x＝0为圆的直角坐标方程．

19．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．

2

2

2

2

2

用心 爱心 专心 6

证明： 建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为ρ＝.PQ是抛

1－cos θ物线的弦，若点P的极角为θ，则点Q的极角为π＋θ.

因此有FP＝，

1－cos θ

ppFQ＝

pπ＋θ

1－

＝

p1＋cos θ

. 111－cos θ1＋cos θ所以＋＝＋ FPFQpp2

＝(常数)．

p

20．如图，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA(O，

P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．

π??得点P的轨迹的极坐标方程为2ρcos?θ－?＝4.

4??

用心 爱心 专心 7

π??由2ρcos?θ－?＝4得ρ(cos θ＋sin θ)＝4， 4??

3π

∴点P的轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜角为的直线．

4

?x＝1＋cos θ??21．已知圆M：??y＝sin θ

?x＝2pt?

?(θ为参数)的圆心F是抛物线E：??y＝2pt2

的焦点，

过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求AF·FB的取值范围.【解析方法代码108001169】

4

所以AF·FB＝|t1t2|＝2.

sinθ

因为0

22．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝.

6(1)写出直线l的参数方程；

??x＝2cos θ

(2)设l与圆?

?y＝2sin θ?

2

(θ是参数)相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离

之积．

3

?x＝1＋t?2

解析： (1)直线的参数方程是?

1y＝1＋t??2

(t是参数)．

(2)∵点A，B都在直线l上，∴可设点A，B对应的参数分别为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A?1＋

?

?31??31?t1，1＋t1?，B?1＋t2，1＋t2?， 22??22?

用心 爱心 专心

8

将直线l的参数方程代入圆的方程x＋y＝4， 整理得t＋(3＋1)t－2＝0.①

∵t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2， ∴|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.

2

22

?x＝2＋t，

23．已知直线l的参数方程为?

?y＝3t2θ＝1.

(1)求曲线C的普通方程；

(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρcos

2

(2)求直线l被曲线C截得的弦长.【解析方法代码108001170】

从而弦长为|t1－t2|＝t1＋t2

2

－4t1t2＝4－

2

－

??x＝4－2t，

24．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?

?y＝t?

(t为参数)，椭圆C的

用心 爱心 专心 9

??x＝2cos θ，方程为?

?y＝sin θ?

(θ为参数，θ∈R)．试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的

距离最小．

解析： 方法一：直线l的普通方程为x＋2y－4＝0， 设P(2cos θ，sin θ)，点P到直线l的距离为

d＝π??|2cos θ＋2sin θ－4|1??＝?4－22sin?θ＋??，

4???55?

π??所以当sin?θ＋?＝1时，d有最小值．

4??

π?π?π?π?ππ2????θ＋－?＝sin?θ＋?cos －cos?θ＋?sin ＝， 此时sin θ＝sin???4?4?4?4?442????

x??＋y2＝1，

联立?4

??x＋2y＝m2

2

消去x，得8y－4my＋m－4＝0.

22

因为l′与椭圆C只有一个公共点， 所以Δ＝16m－32(m－4)＝0， 解得m＝22或m＝－22.

2

l′与l的距离为d＝

|m－4|

， 5

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11

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