2017年湖北省黄冈市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）（解析版

2017年湖北省黄冈市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）

一、选择题（本大题共13小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）已知集合A={x|log2x＜4}，集合B={x||x|≤2}，则A∩B=（ ） A．（0，2] B．[0，2] C．[﹣2，2]

D．（﹣2，2）

2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，i是虚数单位，则的虚部为（ ）

A．﹣ B． C．﹣ D． 3．（5分）下列四个结论： ①若x＞0，则x＞sinx恒成立；

②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”； ③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件； ④命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0＜0”． 其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（5分）?孙子算经?中有道算术题：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；每3户再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如图，则输出的值是（ ）

A．74 B．75 C．76 D．77 5．（5分）已知双曲线

的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线

上一点P使A．3

B．2

，则

C．﹣3 D．﹣2

的值为（ ）

6．（5分）已知2sinθ=1﹣cosθ，则tanθ=（ ）

1页

A．﹣或0 B．或0 C．﹣ D．

7．（5分）某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）

A．13π B．16π C．25π D．27π 8．（5分）函数

的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

9．（5分）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则

=（ ）

A． B． C． D．

10．（5分）已知（1﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2016（x﹣1）2016+a2017（x﹣1）

2017

（x∈R），则a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…﹣2016a2016+2017a2017=（ ）

B．4034

C．﹣4034 D．0

，则

A．2017

11．（5分）已知平面向量，，满足||=||=1，⊥（﹣2），||的最大值为（ ） A．0

B．

C．

D．

12．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE，构成四棱锥A1﹣BCDE，若M为线段A1C的中点，在翻转过程中有如下4个命题： ①MB∥平面A1DE；

②存在某个位置，使DE⊥A1C； ③存在某个位置，使A1D⊥CE； ④点A1在半径为

的圆面上运动，

2页

其中正确的命题个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（5分）已知函数

，如在区间（1，+∞）上存在n（n≥2）

个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值（ ）

==…=成立，则n的取值集合是

A．{2，3，4，5} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，4}

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上） 14．（5分）已知点x，y满足不等式组15．（5分）如图，在△ABC中，

则cosC= ．则三角形ABC的面积为 ．

，若ax+y≤3恒成立，则实数a的取值范围是 ．

，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=

，

16．（5分）已知{an}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5≠sin2a3+2sina5?cosa5=sin2a7，函数f（x）=dsin（wx+4d）（w＞0）满足：在且存在

，则w范围是 ．

（k∈Z），

上单调

17．（5分）设a＜0，（x2+2017a）（x+2016b）≥0在（a，b）上恒成立，则b﹣a的最大值为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18．（12分）数列{an}中，a1=2，

（n∈N*）．

3页

（1）证明数列（2）设

是等比数列，并求数列{an}的通项公式； ，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：

．

19．（12分）在如图所示的几何体中，平面ADNM⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，

，AB=2，AM=1，E是AB的中点．

（1）求证：平面DEM⊥平面ABM；

（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为若不存在，请说明理由．

？若存在，求出AP的长；

20．（12分）已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA来确定是否感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止．方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验． （1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率．

（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？ 21．（12分）如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的下方），且|MN|=3． （Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆∠BNM．

相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=

4页

22．（12分）已知抛物线G：x2=2py（p＞0），直线y=k（x﹣1）+2与抛物线G相交A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），过A，B点分别作抛物线G的切线L1，L2，两切线L1，L2相交H（x，y）， （1）若k=1，有 L1⊥L2，求抛物线G的方程；

（2）若p=2，△ABH的面积为S1，直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S2，证明：为定值．

23．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2（a∈R）．

（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围； （2）若a=0，求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值； （3）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1，x2，求证：

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

24．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0，P点的极坐标为线l经过点P，斜率为

+＞2ae．

，在平面直角坐标系中，直

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； （Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求

[选修4-5：不等式选讲]

25．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）． （1）当a=﹣1时，求f（x）≤2的解集； （2）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合

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的值．

，求实数a的取值范围．

2017年湖北省黄冈市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共13小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）（2017?黄冈模拟）已知集合A={x|log2x＜4}，集合B={x||x|≤2}，则A∩B=（ ） A．（0，2] B．[0，2] C．[﹣2，2]

D．（﹣2，2）

【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可． 【解答】解：由A中不等式变形得：log2x＜4=log216，即0＜x＜16， ∴A=（0，16），

由B中不等式解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]， 则A∩B=（0，2]， 故选A．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）（2017?黄冈模拟）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，i是虚数单位，则

的虚部为（ ）

A．﹣ B． C．﹣ D．

【分析】由已知结合题意得到z2，代入【解答】解：∵z1=1﹣2i， ∴由题意，z2=﹣1﹣2i， 则

，

，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

∴的虚部为﹣．

故选：A．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

6页

3．（5分）（2017?黄冈模拟）下列四个结论： ①若x＞0，则x＞sinx恒成立；

②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”； ③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件； ④命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0＜0”． 其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】由函数y=x﹣sinx的单调性，即可判断①；由若p则q的逆否命题：若非q则非p，即可判断②；由复合命题“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，结合充分必要条件的定义即可判断③； 由全称命题的否定为特称命题，即可判断④．

【解答】解：①由y=x﹣sinx的导数为y′=1﹣cosx≥0，函数y为递增函数，若x＞0，则x＞sinx恒成立，故①正确；

②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”，由逆否命题的形式，故②正确；

③“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，则“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；

④命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故④不正确． 综上可得，正确的个数为3． 故选：C．

【点评】本题考查命题的真假判断，注意运用导数判断单调性，以及四种命题的性质和充分必要条件的判断，以及命题的否定形式，考查判断和推理能力，属于基础题．

4．（5分）（2017?黄冈模拟）?孙子算经?中有道算术题：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；每3户再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如图，则输出的值是（ ）

A．74 B．75 C．76 D．77

7页

【分析】由题意，输出的值是100÷（1+），计算可得结论． 【解答】解：由题意，输出的值是100÷（1+）=100÷=75． 故选B．

【点评】解决此题关键是明白每户人家前后共分到1+只鹿，进而根据求一个数里面有几个另一个数，用除法计算得解．

5．（5分）（2017?黄冈模拟）已知双曲线

的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线的离

心率为e，若双曲线上一点P使A．3

B．2

C．﹣3 D．﹣2

，则的值为（ ）

【分析】求出双曲线的a，b，c，e，运用三角形的正弦定理和双曲线的定义，求得|PF1|=4，|PF2|=2．再由余弦定理求得cos∠PF2F1，运用向量数量积的定义计算即可得到所求值． 【解答】解：双曲线

的a=1，b=

，c=

=2，

可得==2，

F1（﹣2，0），F2（2，0），P为右支上一点， 由正弦定理可得|PF1|=2|PF2|，

由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=2， 解得|PF1|=4，|PF2|=2．

在△PF2F1中，由余弦定理得cos∠PF2F1=则故选：B．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点和离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的正弦和余弦定理，以及向量数量积的定义的应用，考查运算能力，属于中档题．

6．（5分）（2017?黄冈模拟）已知2sinθ=1﹣cosθ，则tanθ=（ ） A．﹣或0 B．或0 C．﹣ D．

8页

=，

=||?|

|?cos∠PF2F1=2×4×=2．

【分析】根据同角三角函数基本关系式，求解即可． 【解答】解：由2sinθ=1﹣cosθ，sin2θ=1﹣cos2θ， 解得：cosθ=1或

当cosθ=1时，sinθ=0， 当cosθ=∴tanθ=故选A

【点评】本题考查了“弦与切”及同角三同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．

7．（5分）（2017?黄冈模拟）某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）

时，sinθ=， 或0．

A．13π B．16π C．25π D．27π

【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．

【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2

．

=5．∴r=．∴长方体外接球的表面

则长方体外接球半径为r，则2r=积S=4πr2=25π． 故选C．

【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．

9页

8．（5分）（2017?黄冈模拟）函数的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【分析】利用函数的奇偶性排除选项，特殊值的位置判断求解即可． 【解答】解：函数排除A，

是偶函数，排除B，x=e时，y=e，即（e，e）在函数的图象上，

当x=时，y=，当x=时，y=﹣=，，

可知（，排除C． 故选：D．

）在（）的下方，

【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．

9．（5分）（2017?黄冈模拟）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则A． B． C． D．

【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出

．

=（ ）

【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD， 若△APB的最大边是AB”发生的概率为， 则

=，

x，

设AD=y，AB=x，则DE=x，PE=DE=则PC=x+

x=x，

10页

则PB2=AB2时， PC2+BC2=PB2=AB2， 即（x）2+y2=x2， 即

x2+y2=x2，

x2，

则y2=

则y=x， 即=， 即

=，

故选：C．

【点评】本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域长度和试验的全部结果所构成的区域长度，两者求比值，即为概率．综合性较强，有一定的难度．

10．（5分）（2017?黄冈模拟）已知（1﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2016（x﹣1）

2016

+a2017（x﹣1）2017（x∈R），则a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…﹣2016a2016+2017a2017=（ ）

B．4034

C．﹣4034 D．0

A．2017

【分析】对（1﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2016（x﹣1）2016+a2017（x﹣1）2017（x∈R），两边求导，取x=0即可得出．

【解答】解：∵（1﹣2x）2017=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2016（x﹣1）2016+a2017（x﹣1）

2017

（x∈R），

∴﹣2×2017（1﹣2x）2016=a1+2a2（x﹣1）+…+2017a2017（x﹣1）2016， 令x=0，则﹣4034=a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…﹣2016a2016+2017a2017， 故选：C．

【点评】本题考查了二项式定理的应用、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11页

11．（5分）（2017?黄冈模拟）已知平面向量，，满足||=||=1，⊥（﹣2），

，则||的最大值为（ ）

A．0

B．

C．

D．

【分析】设平面向量，的夹角为θ，由||=||=1，⊥（﹣2），可得?（﹣2）=2

=0，解得θ=

．不妨设=（1，0），=

=

．可得||=

.=（x，y）．由的最大值．

﹣，

可得：（x﹣1）2+

【解答】解：设平面向量，的夹角为θ，∵||=||=1，⊥（﹣2），∴?（﹣2）=﹣2解得θ=

=1﹣2cosθ=0， ．

.=（x，y）．

=0，

不妨设=（1，0），=∵

化为（x﹣1）2+则||=故选：C．

≤

，∴x（x﹣2）+

=

． +

=

．

【点评】本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

12．（5分）（2017?黄冈模拟）如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE，构成四棱锥A1﹣BCDE，若M为线段A1C的中点，在翻转过程中有如下4个命题： ①MB∥平面A1DE；

②存在某个位置，使DE⊥A1C； ③存在某个位置，使A1D⊥CE； ④点A1在半径为

的圆面上运动，

其中正确的命题个数是（ ）

12页

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故①正确

∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直， ∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确，故②不正确．

由CE⊥DE，可得平面A1DE⊥平面ABCD时，A1D⊥CE，故②正确． ∵DE的中点O是定点，OA1=故选：C．

，∴A1是在以O为圆心，

为半径的圆上，故④正确，

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，难度中档．

13．（5分）（2017?黄冈模拟）已知函数

，如在区间（1，+∞）

上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值则n的取值集合是（ ）

A．{2，3，4，5} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，4} 【分析】

=

=…=

==…=成立，

的几何意义为点（xn，f（xn））与原点的连线有相同的斜

率，利用数形结合即可得到结论．

13页

【解答】解：∵

的几何意义为点（xn，f（xn））与原点的连线的斜率，

∴==…=

的几何意义为点（xn，f（xn））与原点的连线有相同的斜率，

函数

个，2个或者3个， 故n=2或n=3，

即n的取值集合是{2，3}． 故选：B．

的图象，在区间（1，+∞）上，与y=kx的交点个数有1

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解是解答的关键．

==…=的含义，

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上） 14．（5分）（2017?黄冈模拟）已知点x，y满足不等式组实数a的取值范围是 （﹣∞，3] ．

【分析】画出不等式满足的平面区域，由ax+y≤3恒成立，结合图形确定出a的范围即可． 【解答】解：满足不等式组

的平面区域如右图所示，

，若ax+y≤3恒成立，则

由于对任意的实数x、y，不等式ax+y≤3恒成立， 根据图形，可得斜率﹣a≥0或﹣a＞kAB=

=﹣3，

14页

解得：a≤3，

则实数a的取值范围是（﹣∞，3]． 故答案为：（﹣∞，3]．

【点评】此题考查了简单线性规划，画出正确的图形是解本题的关键．

15．（5分）（2017?黄冈模拟）如图，在△ABC中，上，且AD=2DC，BD=

，则cosC=

．则三角形ABC的面积为

，点D在线段AC ．

【分析】在△ABC中，，由半角公式可得cosB=，在△ABC，和ABD，BDC

中利用余弦定理关系，求解边长BC和AC．可得cosC和三角形ABC的面积 【解答】解：在△ABC中，

，由半角公式可得cosB=，

在△ABC中，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得cos∠ADB=

cos∠CDB=

∵∠ADB与∠CDB互补， ∴cos∠ADB=﹣cos∠CDB，

∴=…①

15页

由cosB==…②

由①②解得a=3，b=1， BC=3，AC=3， 那么cosC=则sinC=

，

．

=

．

∴三角形ABC的面积为S=BC?ACsinC=故答案为：3，

．

【点评】本题考查三角形中余弦定理的灵活应用，考查转化思想和方程思想，以及化简计算能力．属于中档题．

16．（5分）（2017?黄冈模拟）已知{an}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5≠sin2a3+2sina5?cosa5=sin2a7，函数f（x）=dsin（wx+4d）（w＞0）满足：在且存在

，则w范围是 0＜w≤． ．

上单调且存（k∈Z），上单调

【分析】推导出sin4d=1，由此能求出d，可得函数解析式，利用在在

，即可得出结论．

（k∈Z），

【解答】解：∵{an}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5≠sin2a3+2sina5?cosa5=sin2a7， ∴sin2a3=2sin∴sin4d=1， ∴d=

．

coswx，

上单调且存在，

cos

?2cos

2sina5cosa5=sin2a7

sin

﹣

=2sina5cos2d?2cosa5sin2d，

∴f（x）=∵在∴

，

∴0＜w≤．

16页

故答案为0＜w≤．

【点评】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，是中档题．

17．（5分）（2017?黄冈模拟）设a＜0，（x2+2017a）（x+2016b）≥0在（a，b）上恒成立，则b﹣a的最大值为 2017 ．

【分析】由题意可得x2+2017a≥0，x+2016b≥0或x2+2017a≤0，x+2016b）≤0成立，若x+2016b≥0在（a，b）上恒成立，则a+2016b≥0，即b

，此时当x=0时，x2+2017a=2017a

≥0不成立；若x+2016b≤0在（a，b）上恒成立，则b+2016b≤0，即b≤0，若x2+2017a≤0在（a，b）上成立，则a2+2017a≤0，即﹣2017≤a＜0．由此即可求得b﹣a的最大值． 【解答】解：∵（x2+2017a）（x+2016b）≥0在（a，b）上恒成立， ∴x2+2017a≥0，x+2016b≥0或x2+2017a≤0，x+2016b）≤0成立， ①若x+2016b≥0在（a，b）上恒成立，则a+2016b≥0，即b此时当x=0时，x2+2017a=2017a≥0不成立；

②若x+2016b≤0在（a，b）上恒成立，则b+2016b≤0，即b≤0，若x2+2017a≤0在（a，b）上成立，

则a2+2017a≤0，即﹣2017≤a＜0． 故b﹣a的最大值为2017． 故答案为：2017．

【点评】本题考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18．（12分）（2017?黄冈模拟）数列{an}中，a1=2，（1）证明数列（2）设

是等比数列，并求数列{an}的通项公式； ，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：

． （n∈N*）．

，

【分析】（1）将原式两边除以n+1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得证； （2）求得

=

，可得4n≥4n2，即有

≤

=（

﹣

），运

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用数列的求和方法：裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证． 【解答】解：（1）证明：数列{an}中，a1=2，

=?则

，则数列

（n∈N*），

是首项为2，公比为的等比数列；

=2?（）n﹣1，

即为an=2n?（）n﹣1；

（2）证明：=

=，

+…+

+1≥2n，

由2n=（1+1）n=1+n+则4n≥4n2， 即有

≤

=（﹣+

）， +﹣

+…+）

数列{bn}的前n项和是Tn=≤（1﹣+﹣+﹣+…+=（1﹣则

．

）＜，

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用构造法和等比数列的定义及通项公式，考查数列的求和和不等式的证明，注意运用放缩法和裂项相消求和以及不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

19．（12分）（2017?黄冈模拟）在如图所示的几何体中，平面ADNM⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，

，AB=2，AM=1，E是AB的中点．

（1）求证：平面DEM⊥平面ABM；

（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为若不存在，请说明理由．

？若存在，求出AP的长；

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【分析】（1）推导出DE⊥CD，ND⊥AD，从而ND⊥DE，进而DE⊥平面NDC，由此能证明平面MAE⊥平面NDC．

（2）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面PEC的一个法向量、平面ECD的法向量．利用向量的夹角公式，建立方程，即可得出结论．

【解答】证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AD=AB，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形， E为AB中点，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD， ∵ADMN是矩形，∴ND⊥AD，

又平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD， ∴ND⊥平面ABCD，∴ND⊥DE， ∵CD∩ND=D，∴DE⊥平面NDC，

∵DE?平面MDE，∴平面MDE⊥平面NDC． 因为面ABM∥面NDC，∴平面DEM⊥平面ABM； （2）解：设存在P符合题意．

由（Ⅰ）知，DE、DC、DN两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz（如图）， 则D（0，0，0），A（≤1）． ∴则

=（0，﹣1，h），

=（﹣

，2，0），设平面PEC的法向量为=（x，y，z），

h，

）

，﹣1，0），E（

，0，0），C（0，2，0），P（

，﹣1，h）（0≤h

令x=2h，则平面PEC的一个法向量为=（2h，

取平面ECD的法向量=（0，0，1）， cos45°=

，解得h=

∈[0，1]，

，此时AP=

．

即存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为

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【点评】本题考查线面垂直，考查二面角，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题

20．（12分）（2017?黄冈模拟）已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通过对其化验病毒DNA来确定是否感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止．方案乙：将6只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验，若存在病毒DNA，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．

（1）求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率．

（2）首次化验化验费为10元，第二次化验化验费为8元，第三次及其以后每次化验费都是6元，列出方案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要化验费多少元？ 【分析】（1）方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验，可得恰含有病毒的概率为

×

．第

二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为×

．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．

（2）设方案甲化验的次数为ξ，则ξ可能的取值为1，2，3，4，5，对应的化验费为η元，利用相互独立事件的概率计算公式可得：P（ξ=1）=P（η=10），P（ξ=2）=P（η=18），P（ξ=3）=P（η=24），P（ξ=4）=P（η=30），P（ξ=5）=P（η=36）．

【解答】解：（1）方案乙中所需化验次数恰好为2次的事件有两种情况： 第一种，先化验一组，结果不含病毒DNA，再从另一组任取一个样品进行化验， 则恰含有病毒的概率为

×

=．

第二种，先化验一组，结果含有病毒DNA，再从中逐个化验，

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先证+＞2，即证＜，

即证ln＜=（﹣）

令=t，即证lnt＜（t﹣）

设φ（t）=lnt﹣（t﹣），则φ′（t）==＜0，

函数φ（t）在（1，+∞）上单调递减，∴φ（t）＜φ（1）=0， ∴

+

＞2，

又∵ae＜1， ∴

+

＞2ae．

【点评】本题考查了，利用导数求函数的最值，运用分类讨论，等价转化思想证明不等式．是一道导数综合题，难题较大．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

24．（10分）（2017?黄冈模拟）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0，P点的极坐标为直角坐标系中，直线l经过点P，斜率为

，在平面

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； （Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求

的值．

【分析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0，即ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，即可写出曲线C的直角坐标方程；直线l经过点P（0，3），斜率为

，即可写出直线l的参数方程；

（Ⅱ）

（t为参数）代入圆的普通方程，整理，得：t2+

t﹣3=0，利用参数的几何

意义，求的值．

【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0，即ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0；

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直线l经过点P（0，3），斜率为，直线l的参数方程为（t为参数）；

（Ⅱ）

（t为参数）代入圆的普通方程，整理，得：t2+

t﹣3=0，

设t1，t2是方程的两根，∴t1?t2=﹣3，t1+t2=﹣∴

=

=

=

．

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

25．（2017?黄冈模拟）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）． （1）当a=﹣1时，求f（x）≤2的解集； （2）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合

，求实数a的取值范围．

【分析】（1）根据绝对值的选项得到f（x）≥2，求出满足条件的x的值即可； （2）根据绝对值的性质求出x的范围，结合集合的包含关系求出a的范围即可． 【解答】解：（1）a=﹣1时，f（x）=|2x+1|+|2x﹣1|≥|2x+1﹣2x+1|=2， 即x=±时，“=”成立， 故不等式的解集是{x|x=±}；

（2）由|2x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|得：|2x﹣a|≤|2x+1|﹣|2x﹣1|≤|2x+1﹣2x﹣1|=2， 故﹣2≤2x﹣a≤2，故故[，1]?[

，

≤x≤]，

，

故，解得：a∈[0，3]．

【点评】本题考查了绝对值的性质，考查集合的包含关系以及转化思想，是一道中档题．

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