线性代数公式总结

线性代数

①A?B?B?A

②?A?B??C?A??B?C?

③c?A?B??cA?cB ?c?d?A?cA?dA ④c?dA???cd?A

⑤cA?0?c?0或A?0。 AT??T?A

T ?A?B??AT?BT

?cA?TT?cAT。

?? ?AB??BTAT

??n?n?1??21??Cn2?n?n?1? 2D?a21A21?a22A22???a2nA2n

T转置值不变A?A

逆值变A?1?1 AcA?cnA

?,?1??2,???,?1,???,?2,?

A???1,?2,?3?，3阶矩阵 B???1,?2,?3? A?B?A?B

A?B???1??1,?2??2,?3??3?

A?B??1??1,?2??2,?3??3 A?A0??AB 0B?BE?i,j?c???1

有关乘法的基本运算

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj 线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB? 结合律 ?AB?C?A?BC? ?AB??BTAT

TAB?AB

AA?A Akklk?l

??l?Akl

k ?AB??AkBk不一定成立！

AE?A，EA?A

A?kE??kA，?kE?A?kA

AB?E?BA?E

与数的乘法的不同之处:?AB??AkBk不一定成立！

k无交换律 因式分解障碍是交换性

一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如 A?2A?3E??A?3E??A?E?

2 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当AB?0时??A?0或B?0 由A?0和AB?0??B?0

由A?0时AB?AC??B?C（无左消去律） 特别的 设A可逆，则A有消去律。

左消去律：AB?AC?B?C。

右消去律：BA?CA?B?C。

如果A列满秩，则A有左消去律，即

①AB?0?B?0

②AB?AC?B?C 可逆矩阵的性质

i）当A可逆时， A也可逆，且ATT???1?A?1。 ?A?1。

?1??T A也可逆，且Akk???1??k 数c?0，cA也可逆，?cA??1?1A。 c?1ii）A，B是两个n阶可逆矩阵?AB也可逆，且?AB??B?1A?1。

推论：设A，B是两个n阶矩阵，则AB?E?BA?E 命题：初等矩阵都可逆，且 ?E?i,j???1?E?i,j? ??1???E??i?c???

???? ?E?i?c????1?E?i,j?c????1?E?i,j??c??

命题：准对角矩阵

A11A?000000A2200?000?1可逆?每个Aii都可逆，记A?00Akk0?1A1100?1A22000000?0?10Akk

伴随矩阵的基本性质： AA*?A*A?AE 当A可逆时， AA*A*?E 得A?1?， （求逆矩阵的伴随矩阵法） AA??1?A*?A?1A?1??且得：?A*??1?A?A?1? A??n?1?????1?A?? A??伴随矩阵的其他性质

①A*?A, A*?AA

?1 ②AT*??A*?,

T?? ③?cA?*?cn?1A*, ④?AB?*?B*A*,

⑤Ak*??A*?，

k?? ⑥?A*?*?An?2?a?b?A。 n?2时， ?A*?*?A A*????cd??

??关于矩阵右上肩记号：T，k，?1，*

i) 任何两个的次序可交换， 如AT*??A*?，

T???1T ?A*???A?1?*等

?1 ii) ?AB??BTAT, ?AB? ?AB?*?B*A*

?B?1A?1，

但?AB??BkAk不一定成立！ k线性表示

0??1,?2,?,?s

?i??1,?2,?,?s

???1,?2,?,?s?x1?1?x2?2???xs?s??有解

???1,?2,?,?s?x??有解x??x1,?,xs? Ax??有解，即?可用A的列向量组表示 AB?C??r1,r2,?,rs?，A???1,?2,?,?n?， 则r1,r2,?,rs??1,?2,?,?n。

?T?

?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s，

则存在矩阵C，使得??1,?2,?,?t????1,?2,?,?s?C

线性表示关系有传递性 当?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s?r1,r2,?,rp，

则?1,?2,?,?t?r1,r2,?,rp。 等价关系：如果

?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t互相可表示

?1,?2,?,?s???1,?2,?,?t 记作?1,?2,?,?s??1,?2,?,?t。

线性相关

s?1，单个向量?，x??0

?相关???0

?1,?2相关?a1:b1?a2:b2???an:bn

s?2，?1,?2相关?对应分量成比例

①向量个数s=维数n，则?1,?,?n线性相（无）关??1??n????0 A???1,?2,?,?n?，Ax?0有非零解?A?0

如果s?n，则?1,?2,?,?s一定相关

Ax?0的方程个数n?未知数个数s ②如果?1,?2,?,?s无关，则它的每一个部分组都无关

③如果?1,?2,?,?s无关，而?1,?2,?,?s,?相关，则???1,?2,?,?s

④当???1,?,?s时，表示方式唯一??1??s无关

（表示方式不唯一??1??s相关）

⑤若?1,?,?t??1,?,?s，并且t?s，则?1,?,?t一定线性相关。 各性质的逆否形式

①如果?1,?2,?,?s无关，则s?n。

②如果?1,?2,?,?s有相关的部分组，则它自己一定也相关。

③如果?1??s无关，而????1,?,?s，则?1,?,?s?无关。

⑤如果?1??t??1??s，?1??t无关，则t?s。

推论：若两个无关向量组?1??s与?1??t等价，则s?t。 极大无关组

一个线性无关部分组?I?，若#?I?等于秩?1,?2,?4,?6??I?，?I?就一定是极大无关组 ①?1,?2,?,?s无关?? ??1,?2,?,?s??s

②???1,?2,?,?s? ? ??1,?2,?,?s,???? ??1,?,?s? 另一种说法： 取?1,?2,?,?s的一个极大无关组?I?

?I?也是?1,?2,?,?s,?的极大无关组??I?,?相关。 矩阵的秩的简单性质 0?r?A??mi?nm,n? r?A??0?A?0 A行满秩：r?A??m A列满秩：r?A??n n阶矩阵A满秩：r?A??n

A满秩?A的行（列）向量组线性无关 ?A?0 ?A可逆

?Ax?0只有零解，Ax??唯一解。 矩阵在运算中秩的变化

初等变换保持矩阵的秩 ①rA???r?A?

T ②c?0时，r?cA??r?A? ③r?A?B??r?A??r?B?

④r?AB??min?r?A?,r?B??

⑤A可逆时，r?AB??r?B?

弱化条件：如果A列满秩，则??AB????B?

⑥若AB?0，则r?A??r?B??n（A的列数，B的行数） ⑦A列满秩时r?AB??r?B? B行满秩时r?AB??r?A?

⑧r?AB??n?r?A??r?B? 解的性质

1．Ax?0的解的性质。 如果

?1,?2,?,?e是一组解，则它们的任意线性组合

c1?1?c2?2???ce?e一定也是解。

?i,A?i?0?A?c1?1?c2?2???ce?e??0 2．Ax?????0?

①如果?1,?2,?,?e是Ax??的一组解，则

c1?1?c2?2???ce?e也是Ax??的解?c1?c2???ce?1 c1?1?c2?2???ce?e是Ax?0的解?c1?c2???ce?0

A?i????i

A?c1?1?c2?2???ce?e??c1A?1?c2A?2???ceA?e ??c1?c2???ce??

特别的： 当?1,?2是Ax??的两个解时，?1??2是Ax?0的解 ②如果?0是Ax??的解，则n维向量?也是Ax??的解??解的情况判别

方程：Ax??，即x1?1?x2?2???xn?n?? 有解????1,?2,?,?n

??0是Ax?0的解。

???A|?????A?????1,?2,?,?n,??????1,?2,?,?n?

无解???A|?????A? 唯一解???A|?????A??n

无穷多解???A|?????A??n 方程个数m：

??A|???m,??A??m

①当??A??m时，??A|???m，有解

②当m?n时，??A??n，不会是唯一解 对于齐次线性方程组Ax?0，

只有零解???A??n（即A列满秩） （有非零解???A??n） 特征值特征向量

?是A的特征值??是A的特征多项式xE?A的根。

两种特殊情形：

（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

?? 1?A? ?0?0? xE?A?*? 20*???? ? 3???*x?? 20?*????x?? 1??x?? 2??x?? 3? x?? 3x?? 100 （2）r?A??1时：A的特征值为0,0,?,0,tr?A? 特征值的性质

命题：n阶矩阵A的特征值?的重数?n?r?? E?A? 命题：设A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则 ①? 1? 2?? n?A ②? 1?? 2???? n?tr?A? 命题：设?是A的特征向量，特征值为?，即A????，则 ①对于A的每个多项式f?A?，f?A???f?x??

②当A可逆时，A???11??，A*??|A|??

命题：设A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则

①f?A?的特征值为f?? 1?,f?? 2?,?,f?? n? ②A可逆时，A的特征值为

?1111 ,,?,? 1? 2? n A*的特征值为

|A||A||A| ,,?,? 1? 2? n ③A的特征值也是? 1,? 2,?,? n 特征值的应用

①求行列式|A|?? 1,? 2,?,? n ②判别可逆性 ?是A的特征值?T? E?A?0?A?? E不可逆 A?? E可逆??不是A的特征值。

当f?A??0时，如果f?c??0，则A?cE可逆

若?是A的特征值，则f???是f?A?的特征值?f????0。 f?c??0?c不是A的特征值?AcE可逆。 n阶矩阵的相似关系

当AU?UA时，B?A，而AU?UA时，B?A。 相似关系有i）对称性：A~B?B~A U?1AU?B，则A?UBU?1

ii）有传递性：A~B，B~C，则A~C

U?1AU?B，V?1BV?C，则

?1 ?UV?A?UV??V?1U?1AUV?V?1BV?C 命题 当A~B时，A和B有许多相同的性质 ①A?B

②??A????B?

③A，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

?是A的属于?的特征向量?U?1?是B的属于?的特征 A与B的特征向量的关系：

向量。

A?????BU?1???U?1?? ? ????

U?1A???U?1??U?1AUU?1???U?1?正定二次型与正定矩阵性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性

??f?x1,x2,?,xn?变为g?y1,y2,?,yn?，则它们同时正定或同时不正定

A~?B，则A，B同时正定，同时不正定。

T 例如B?CAC。如果A正定，则对每个x?0

xTBx?xTCTACx??Cx?ACx?0

T （C可逆，x?0，?Cx?0！） 关于正定的性质 A正定?A~?E

?存在实可逆矩阵C，A?CC。 ?A的正惯性指数?n。 ?A的特征值全大于0。

?A的每个顺序主子式全大于0。 判断A正定的三种方法： ①顺序主子式法。 ②特征值法。 ③定义法。

T

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