2012年高考数学湖北文解析版

1.D

【

2 2012年湖北卷（文数）详细解析

解

?x3析】求解一元二

x|次 1R?x ?方程

x?2，得

A??|x?2xR???0?,x??????0x,???1,2?，易知B??x|0?x?5,x?N???1,2,3,4?.因为A?C?B，所以根据子集的定

义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合?3,4?的子集个数，即有2?4个.故选D.

2【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.

2.B【解析】由频率分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，样本总数为2?3?4?5?4?2?20，故样本数据落在区间[10,40)内频率为

920?0.45.故选B.

【点评】本题考查频率分布表的应用，频率的计算.对于頻数、频率等统计问题只需要弄清楚样本总数与各区间上样本的个数即可，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查.

3.D【解析】由f(x)?xcos2x?0，得x?0或cos2x?0；其中，由cos2x?0，得

2x?k???2故x??k?Z?，

k?2??4所以x?k?Z?.又因为x??0,2π?，

?π3π5π7π,,,.4444所以零点的个数为1?4?5个.故选D.

【点评】本题考查函数的零点，分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题，一般需要规定自变量的取值范围；否则，如果定义域是R,则零点将会有无数个；来年需注意数形结合法求解函数的零点个数，所在的区间等问题.

4.B【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.

【点评】本题考查特称命题的否定.求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；另外，要注意一些量词的否定的书写方法，如：“都是”的否定为“不都是”，别弄成“都不是.

5.A【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可.又已知点P(1,1)，则kOP?1,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点P(1,1)，故由点斜式得，所求直线的方程为y?1???x?1?，即

x?y?2?0.故选A.

【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用，数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线OP垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.

6.B【解析】排除法：当x?1时，y??f?x?2???f?2?1???f?1???1，故可排除A,C项；当x?2时，y??f?x?2???f?2?2???f?0??0，故可排除D项；所以由排除法知选B.

【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题，从完整的性质并不好去判断，作为徐总你则提，可以利用特殊值法（特殊点），特性法（奇偶性，单调性，最值）结合排除法求解，既可以节约考试时间，又事半功倍.来年需注意含有ex的指数型函数或含有lnx的对数型函数的图象的识别. 7.C 同理7

【解析】设数列?an?的公比为q.对于①，

f(an?1)f(an)2an?1anf(an?1)f(an)?an?1an22?q,是常数，故①符合条件;对于

2②，?2?2an?1?an，不是常数，故②不符合条件;对于③，

f(an?1)f(an)?|an?1||an|

?an?1an?q，是常数，故③符合条件;对于④,

f(an?1)f(an)?ln|an?1|ln|an|，不是常数，故④不

符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.

【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等. 8.D【解析】因为a,b,c为连续的三个正整数，且A?B?C，可得a?b?c，所以

a?c?2,b?c?1①；又因为已知3b?20acosA，所以cosA?3b20a②.由余弦定理可得

cosA?b?c?a2bc222③，则由②③可得

1573b20a?b?c?a2bc222④，联立①④，得

27c?13c?60?0，解得c?4或c??（舍去），则a?6，b?5.故由正弦定理可得，

sinA:sinB:sinC?a:b:c?6:5:4.故应选D.

【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用. 9.A【解析】当abc?1时，1a?1b?1c?abca?abcb?abcc?ab?bc? ca，

而2?a?b?c???a?b???b?c???c?a??2ab?2bc?2ca（当且仅当a?b?c，且abc?1，即a?b?c时等号成立），故1a1b1b1cca?a?b?c；

???ab?bc?但当取a?b?c?2,显然有

1a??c1?a?b?c,但abc?1,即由

1a1a?1b1b?c1c1?a?b?c不可以推得abc?1；综上，abc?1是

???a?b?c的充分不必要条件.应选A.

【点评】本题考查充要条件的判断，不等式的证明.判断充要条件，其常规方法是首先需判断条件能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件；来年需注意充要条件与其他知识（如向量，函数）等的结合考查. 10.C 同理8

【解析】如下图所示，设OA的中点为O1，OB的中点为O2，半圆O1与半圆O2的交点分别为O,F，则四边形OO1FO2是正方形.不妨设扇形的半径为2，记两块白色区域的面积分别

为

S1,S2，两块阴影部分的面积分别为S3,S4.

则S1?S2?S3?S4?S扇形OAB?而S1?S3?1214??2??, ①

122??1?212?,S2?S3???1?212?，即S1?S2?2S3??, ②

由①-②，得S3?S4.

又由图象观察可知，S4?S扇形OAB?S扇形O???1?22FB?S扇形OAF?S正方形OOFO

11214??1?214??1??1?2212??1?1?2212??1.

故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率 P?S3?S4S扇形OAB?2S4S扇形OAB???2??1?2?.

【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.

11. 6【解析】设抽取的女运动员的人数为a，则根据分层抽样的特性，有故抽取的女运动员为6人.

【点评】本题考查分层抽样的应用.本题实际是承接2012奥运会为题材，充分展示数学知识在生活中的应用.分层抽样时，各样本抽取的比例应该是一样的，即为抽样比. 来年需注意系统抽样的考查或分层抽样在解答题中作为渗透考查. 12. 3【解析】因为

3?bi1?i?a?bi，所以3?bi??a?bi??1?i??a?b??b?a?i.又因为a,b都

a42?856，解得a?6.

?a?b?3,?a?0,为实数，故由复数的相等的充要条件得?解得?所以a?b?3.

b?3,b?a?b,??【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可

以求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，基本概念（共轭复数），基本运算等的考查.

13.（Ⅰ）??3102510?；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）由a=?1,0?,b=?1,1?，得2a?b=?,??10?510??13,??.

?310x?,22??x?y?1,?10设与2a?b同向的单位向量为c=?x,y?，则?且x,y?0，解得?故

10?3y?x?0,?y?.?10??310?31010?10?2a?b.即与同向的单位向量的坐标为. c=?,,????10???10?10???10（Ⅱ）由a=?1,0?,b=?1,1?，得b?3a=??2,1?.设向量b?3a与向量a的夹角为?，则

cos???b?3a??ab?3aa???2,1???1,0?5?1??255.

【点评】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等.与某向量同向

的单位向量一般只有1个，但与某向量共线的单位向量一般有2个，它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查. ?x?y??1,?14.2 【解析】作出不等式组?x?y?1,所表示的可行域(如下图的?ABM及其内部）.

?3x?y?3?目标函数z?2x?3y在?ABM的三个端点A?2,3?,B?0,1?,M?1,0?处取的值分别为13,3,2，比较可得目标函数z?2x?3y的最小值为2.

【点评】本题考查线性规划求解最值的应用.运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目

标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值. 来年需注意线性规划在生活中的实际应用.

15.12?【解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是

22V???2?1?2???1?4?12?.

【点评】本题考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景，考查常见组合体的表面积. 16. 同理12

【解析】由程序框图可知：

第一次:a=1,s=0,n=1,s=s+a=1,a=a+2=3,满足判断条件n?3?; 第二次:n=2,s=4,a=5,满足判断条件n?3?;

第三次:n=3,s=9,a=7,此时不满足判断条件n?3?，故终止运行，输出s的值. 综上，输出的s值为9.

【点评】本题考查程序框图及递推数列等知识.对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果，仔细计算，一般不会出错，属于送分题.来年需注意判断条件的填充型问题.

17.（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k?5k?1?2【解析】易知an?n(n?1)2，写出数列?an?的若干项

依次为：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210，?,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,190,210，故b1?10?a4,b2?15?a5. 同理，b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15,b7?a19,b8?a20.

5k?5k?1?2从而由上述规律可猜想：

b2k?a5k?，

b2k?1?a5k?1??5k?1??5k?1?1?2?5k?5k?1?2（k为正整数）.

故b2012?b2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是数列?an?中的第5030项.

【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.

18.【解析】

【点评】本题考查三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查转化与划归，运算求解的能力.二倍角公式，辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的地位，可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期，一般运用公式T?2??来求解;求三角函

数的值域，一般先根据自变量x的范围确定函数?x??的范围.来年需注意三角函数的单调性，图象变换，解三角形等考查. 19.【解析】

【点评】本题考查线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直?线面垂直?面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法；四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成，只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行，面面平行特别是线面平行，以及体积等的考查. 20. 同理18 【解析】

【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式an?a1??n?1?d求解；有时需要利用等差数列的定义：an?an?1?c（c为常数）或等比数列的定义：

anan?1?c'（c'为常数，

c'?0）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数

列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.

21. 同理21 【解析】

【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.

22.【解析】

【点评】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有e,lnx等的函数求导的运算及其应用考查.

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【点评】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有e,lnx等的函数求导的运算及其应用考查.

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