11.3 极坐标系下二重积分的计算法

第三节

极坐标系下二重积分 的计算法

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例1

计算 eD

x2 y2

dxdy ,其中 D 是由中心

在原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域.计算 1 x 2 y 2 dxdy,其中 D 是由D

例2

中心在原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域.

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一、将直角坐标系下的二重积分化为 极坐标系下二重积分 f ( x , y )d D|| || 0

lim

f ( , ) i 1 i i

n

i

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1 1 2 2 i ( ri ri ) i ri i 2 2 r ri ri 1 ( 2ri ri ) ri i r ri 2 ri ( ri ri ) ri i 2 ri ri i ,oD

i i i

i

x

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f ( x , y )d D

|| || 0 n

lim

f ( , ) i 1 i i i i

n

i

lim

|| || 0

f (r cos i 1

, r i sin i )ri ri i

f ( r cos , r sin )rdrd .D

f ( x, y)dxdy f ( r cos , r sin )rdrd .D D

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二、二重积分化为二次积分 公式(1)区域特征如图 ,r 1 ( )r 2 ( )

1 ( ) r 2 ( ).

f (r cos , r sin )rdrd D

d

2 ( )

1 ( )

f ( r cos , r sin )rdr .上页 下页 返回

区域特征如图

r 1 ( )

,

r 2 ( )

1 ( ) r 2 ( ).

f (r cos , r sin )rdrd D

d

2 ( )

1 ( )

f ( r cos , r sin )rdr .上页 下页 返回

二重积分化为二次积分的公式(2)区域特征如图r ( )

,0 r ( ).

f (r cos , r sin )rdrd D

d

( )

0

f ( r cos , r sin )rdr .上页 下页 返回

二重积分化为二次积分的公式(3)区域特征如图0 2 ,0 r ( ).r ( )

D

o

A

f (r cos , r sin )rdrd d 0

D

2

( )

0

f ( r cos , r sin )rdr .

极坐标系下区域的面积

rdrd .D上页 下页 返回

例 1 将二重积分 f ( x , y )dxdy用极坐标化为D

二次积分，其中积分区域如图.

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例 2 写出积分 f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形D

式，其中积分区域

D {( x , y ) | 1 x y 1 x , 0 x 1}.2

x r cos 解 在极坐标系下 y r sin

x2 y2 1

1 直线方程为r , sin cos

所以圆方程为 r 1,

x y 1

f ( x, y )dxdy D

2

0

d

1

1 sin

cos

f ( r cos , r sin )rdr .上页 下页 返回

练习 计算二重积分 y x 2 y 2 dxdy, 其中D为圆周D

x 2 y 2 1与x 2 y 2 4所包围的区域在第一象 限部分。

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例3 求球面x 2 y 2 z 2 4a 2与圆柱面x 2 y 2 2ax(a 0) 所围成立体的体积 .(指含在圆柱体内的部分 )

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例4 求球面x 2 y 2 z 2 R 2与半顶角为 的圆锥面 z cot x y (0 2 2

2

)所围成立体的体积 .(指含在

圆锥面内的部分 )

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例5 求由双纽线

( x 2 y 2 ) 2 4a 2 xy(a 0)

围成的平面区域在圆 x 2 y 2 a 2之外部分的面积 .

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例6

计算 eD

x2 y2

dxdy ,其中 D 是由中心

在原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域.

解

在极坐标系下

D: 0 r a , 0 2 .

eD

x2 y2

dxdy d e0 0 a2

2

a

r 2

rdr

(1 e

).上页 下页 返回

例7 计算I eD

y x y

dxdy, 其中D是由直线

x 0, y 0及x y 1所围成的区域 .

极坐标下二重积分适用情形： 被积函数为：x y f ( x 2 y 2 ), f ( ), f ( ) 等 y x

积分区域为：圆域、圆环、扇形等

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练习

计算 ( x 2 y 2 )dxdy,其 D 为由圆D

x 2 y 2 2 y , x 2 y 2 4 y 及直线 x 3 y 0 , y 3x 0 所围成的平面闭区域. y 3x 0 2 解3

x 2 y 2 4 y r 4 sin 6 x 2 y 2 2 y r 2 sin x 3 y 0 1 3

( xD

2

y )dxdy 2

6

d r rdr 15( 3 ). 2 sin 24 sin 2上页 下页 返回

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