第十一章动量矩定理习题解答

习 题

11-1 质量为m的质点在平面Oxy内运动，其运动方程为：x?acos?t,y?bsin2?t。其中a、b和w均为常量。试求质点对坐标原点O的动量矩。

???a?sin?t vy?y??2b?co2vx?xs?t

LO??mvxy?mvyx

?m(a?sin?t?bsin2?t?2b?cos2?t?acos?t) ?mab?(sin?t?sin2?t?2cos2?t?cos?t) ?ma?b(si?nt?2sin?tco?st?2co2s?t?co?st) ?2ma?bco?st(si2n?t?co2s?t) ?2mab?cos3?t

11-2 C、D两球质量均为m，用长为2 l的杆连接，并将其中点固定在轴AB上，杆CD与轴AB的交角为?，如图11-25所示。如轴AB以角速度w转动，试求下列两种情况下，系统对AB轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m。

图11-25

(1)

22 Jz?2m?(lsin?)2?2ml2sin? Lz?2m?l2sin? (2)

lm282Jz杆?2?(xsin?)2dx?ml2sin2? Jz?ml2sin?

0l338Lz?m?l2sin2?

3

11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m。

图11-26

12ml? 31l11(b) JO?ml2?m()2?ml2 LO??ml2?

126991m21m255(c) JO???l???l?ml2 LO?ml2?

122322424133(d) JO?mR2?mR2?mR2 LO?mR2?

222

11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m，高为h，试求对底边的转动惯量Jx。

(a) LO?图11-27

- 1 -

面密度为 ?A?2m bhy2m2my2m在y处 by?b dm??AdA??by?dy??b?dy?2ydy

bhbhhhh微小区域对于z轴的转动惯量

dJz?(h?y)2dm?Jz?? ?

h2my(h?y)2dy 2h02m2mh22122321y(h?y)dy?(hy?2hy?y)dy?2mh(??) h2h2?02341mh2 6

11-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。试求其对与ABC所在平面垂直的质心轴的转动惯量。

图11-28

31??1l Jz??ml2?m(h)2??3 h?23??12?1132?111Jz??ml2?m(?l)??3?(?)ml2?3?ml2

3212122?12?

11-6 如图11-29所示，物体以角速度w绕O轴转动，试求物体对于O轴的动量矩。(1) 半

径为R，质量为m的均质圆盘，在中央挖去一边长为R的正方形，如图11-32a所示。(2) 边长为4a，质量为m的正方形钢板，在中央挖去一半径为a的圆，如图11-32b所示。

图11-29

(1)

11R2m22 JC?mR?m1R m1?m?26πR2π11m3π?1JC?mR2??R2?mR2

26π6πm(π?1)m m??m??ππ3π?1(π?1)m29π?7JO?JC?m?R2?mR2?R?mR2

6ππ6π7?9πLO??JO??mR2?

6π(2)

11πa2π22JC?m(4a)?m1a m1?m?m 26216a16- 2 -

81π256?3πJC?ma2??ma2?ma2

321696π16?πm??m?m?m

1616256?3π16?π256?3π?96?8?48πJO?JC?m??(22a)2?ma2?m?8a2?mR2

9616961024?51π?mR2

9651π?1024LO??JO??mR2?

96

11-7 如图11-30所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质心为C，AC＝e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一直线上。试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B点的动量矩：(1)当轮子只滚不滑时，已知vA；(2)当轮子又滚又滑时，已知vA、w。

图11-30

LB??mvC(R?e)?JC???mvc(R?e)?(JA?me2)?

(1)

??vA vC?(R?e)? RvvvLB??m(R?e)2A?(JA?me2)A??[JA?me2?m(R?e)2]A

RRR(2)

vC?vA?e?

LB??m(vA?e?)(R?e)?JC?

??m(R?e)vA?me(R?e)??(JA?me2)? ??[m(R?e)vA?(JA?meR)?]

11-8 曲柄以匀角速度w绕O轴转动，通过连杆AB带动滑块A与B分别在铅垂和水平滑道中运动，如图11-31所示。已知OC＝AC＝BC＝l，曲柄质量为m，连杆质量为2m，试求系统在图示位置时对O轴的动量矩。

图11-31

?AB?? (顺时针) LO?LOC?LAB

LOC?12ml? 3124(2m)(2l)2(??AB)?2ml2??ml2??ml2? 1233LAB?2mvCl?- 3 -

LOC?52ml? 3

11-9 如图11-32所示的小球A，质量为m，连接在长为l的无重杆AB上，放在盛有液体的容器中。杆以初角速度w0绕O1O2轴转动，小球受到与速度反向的液体阻力F＝kmw，k为比例常数。问经过多少时间角速度w成为初角速度的一半？

图11-32

Lz?ml2? Mz??kml?

dLz?Mz dt得

d?k??? dtl?0

0??k ln??t

?0ll?l t?ln0 t?ln2

kk???d????tkdt l

11-10 水平圆盘可绕z轴转动。在圆盘上有一质量为m的质点M作圆周运动，已知其速度大小v0=常量，圆的半径为r，圆心到z轴的距离为l，M点在圆盘上的位置由f角确定，如图11-33所示。如圆盘的转动惯量为J，并且当点M离z轴最远（在点M0）时，圆盘的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，试求圆盘的角速度与f角的关系。

图11-33

?Mz?0 Lz?常量

Lz0?mv0(l?r) Lz?Jz??m(l2?r2?2lrcos?)??mv0r?mv0lcos?

Jz??m(l?r?2lrcos?)??mv0r?mv0lcos??mv0(l?r) ??

11-11 两个质量分别为m1、m2的重物M1、M2分别系在绳子的两端，如图11-34所示。两绳分别绕在半径为r1、r2并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O轴的转动惯量为JO，试求鼓轮的角加速度。

图11-34

Lz?JO??m1v1r1?m2v2r2 v1?r1? v2?r2?

22ml(1?cos?)v0 22Jz?m(l?r?2lrcos?)- 4 -

Lz?(JO?m1r12?m2r22)? ?Mz?m1gr1?m2gr2

dLz??Mz dt22 (JO?m1r1?m2r2)??m1gr1?m2gr2

??

m1gr1?m2gr2 22JO?m1r1?m2r211-12 如图11-35所示，为求半径R＝0.5m的飞轮A对于通过其重心轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳的末端系一质量为m1＝8kg的重锤，重锤自高度h＝2m处落下，测得落下时间t1＝16s。为消去轴承摩擦的影响，再用质量为m2＝4kg的重锤作第二次试验，此重锤自同一高度落下的时间t2＝25s。假定摩擦力矩为一常数，且与重锤的重量无关，试求飞轮的转动惯量和轴承的摩擦力矩。

图11-35

vJ?mR2Lz??(J??mvR)??(J?mvR)??()v

RR?Mz?Mf?mgR

dLz??Mz dtJ?mR2)a?mgR?Mf (R(J?mR2)a?(mgR?Mf)R

22h (J?mR)2?(mgR?Mf)R t(mgR?Mf)Rt22 J?mR?

2h第一次试验

(8?g?0.5?Mf)?0.5?162 J?8?0.5?

2?2 J?2?32(4g?Mf) (1)

2第二次试验

(4?g?0.5?Mf)?0.5?252 J?4?0.5?

2?2 J?1?78.125(2g?Mf) (2)

2(1)-(2)

- 5 -

由式(2)、(3)消去F得

aAa?m2AR2?FTr?FTR R?rR?r?2?R2 m2aA?FT(R?r)

R?r m2?2将式(1)代入上式 m2aA?(m1g?m1aA)(R?r)

R?r?2?R2 m2aA?m1aA(R?r)?m1g(R?r)

R?rm1g(R?r)2 aA? 222m1(R?r)?m2(??R)

11-22 半径为r的均质圆柱体质量为m，放在粗糙的水平面上，如图11-45所示。设其中心C的初速度为v0，方向水平向右，同时圆柱如图所示方向转动，其初角速度为w0，且有rw0

图11-45

由 maC??F???FN???mg 得 aC???g

由 JC(??)??Fr mr2???mgr

?2?R2122?g r vC?v0?aCt?v0??gt

2?g ???0??t??0?t

r纯滚时 vC?r?

得 ??即 v0??gt?r?0?2?gt v0?r?0?3?gt t?v0?r?0 3?g2v0?r?0 3 vC?v0??gt?

11-23 如图11-46所示，长为l，质量为m的均质杆AB一端系在细索BE上，另一端放在光滑平面上，当细索铅直而杆静止时，杆对水平面的倾角f＝45o，现细索突然断掉，试求杆A端的约束反力。

- 11 -

图11-46

细索突然断掉瞬时 ??0

质心运动守恒，C点沿铅垂线向下运动 基点法(以A为基点，分析C点)

τn aC?aA?aCA ?aCAn aCA?0 τ aC?aA?aCA

τ aC?aCAcos? (1)

平面运动微分方程

FN?G??maC (2)

1lml2(??)??FNcos? (3) 122由式(1)代入式(2)得 FN?mg?m??cos?

l2glcos?6gcos? 2再代入式(3)得 ???211(1?3cos?)l22(?cos?)l124ml?mg ?26cos?1?3cos?2当??45?时，FN?mg

5由(3)得 FN?

11-24 如图11-47所示的均质长方体质量为50kg，与地面间的动摩擦因数为0.2，在力F作用下向右滑动。试求：(1)不倾倒时力F的最大值；(2)此时长方体的加速度。

图11-47

长方体平动 ??0 平面运动微分方程

4F?Fd?maC (1) 53FN?F?mg?0 (2)

5430??F?300?F?150?Fd?300?FN?(150?d) (3)

55 Fd??FN??(mg?F) 临界状态 d?0

由式(3)得 ?150F?300Fd?150FN?0

- 12 -

35 ?F?2Fd?FN?0 ?F?(1?2?)FN?0 ?F?(1?2?)(mg?3F)?0 535 F?(1?2?)mg?(1?0.4)mg?0.6mg?216.18N

331.361?(1?2?)1?(1?0.4)?553此时 Fd??(mg?F)

5 ?[1?(1?2?)]F?(1?2?)mg?0 由式(1)得

443F?FdF??(mg?F)0.92F?0.2mg0.92?216.2?0.2?50?9.85 aC?5?5??mmm502 aC?2.02m/s

11-25 如图11-48所示的均质长方形板放置在光滑水平面上。若点B的支承面突然移开，试求此瞬时点A的加速度。

图11-48

点B的支承面突然移开 ??0

质心运动守恒，C点沿铅垂线向下运动 基点法(以A为基点，分析C点)

τn aC?aA?aCA ?aCAn aCA?0 τ aC?aA?aCA

τ aC?aCAcos? τ aCA?AC?

故 aC?AC?cos??平面运动微分方程

l? (1) 2maC?mg?FA (2)

1lm(l2?b2)(??)??FA (3) 122由式(1)代入式(2)得 FA?mg?m?? 再代入式(3)得

l21llm(l2?b2)(??)??(mg?m??) 1222- 13 -

??11m(l2?b2)?ml2124mgl2?6gl 4l2?b2l3gl2aC???22

24l?b3gl2b3glbaA?aCtan??22??22

4l?bl4l?b

11-26 均质细长杆AB，质量为m，长为l，CD＝d，与铅垂墙间的夹角为?，D棱是光滑的。在图11-49所示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C的加速度和D处的约束力。

图11-49

maCx??Fxe maCx?FDcos? (1)

maCy??Fye maCy?FDsin??mg (2)

1ml2??FDd (3) JC???MC(Fe) 12基点法(以D为基点，分析C点)

τnτn aC?aD?aD (?a?a?aaCDCDDCDC?0)

τ aCx?aDsin??aCDcos? (4)

τ aCy??aDco?s?aCDsin? (5)

ml2?由(3)得 FD? (6)

12d将式(4)、(5)、(6)代入(1)、(2)

ml2?m(aDsin??acos?)?cos?

12dml2?τm(?aDcos??aCDsin?)?sin??mg

12dτCD即

ml2?m(aDsin??acos?)?cos?

12dml2?τm(?aDcos??aCDsin?)?sin??mg

12d2l?τaD?aCDcot??cot? (7)

12dl2?gτ (8) ?aD?aCDtan??tan??12dcos?τCD(7)+(8)得

l2?g ?a(tan??cot?)?(tan??cot?)?12dcos?τCD- 14 -

τaCD?d?

??l2(d?)(tan??cot?)12dgcos??12dgsin? 12d2?l2代入(3)得

mgl2sin? FD? 2212d?lFDcos?gl2sin?cos?由(1)得 aCx? ?22m12d?lFDsin??mg12d2?l2cos2?由(2)得 aCy???g 22m12d?l

11-27 均质圆柱体A和B的质量均为m，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，如图11-50所示。摩擦忽略不计。试求：(1)圆柱体B下落时质心的加速度；(2)若在圆柱体A上作用一逆时针转向，矩为M的力偶，试问在什么条件下圆柱体B的质心加速度将向上。

图11-50

(1)

圆柱体A

JO(??A)??FTr

a1 mr2A?FTr

2r1 maA?FT (1)

2圆柱体B

JB(??B)??FTr

a?aA1 mr2B?FTr

2r1 m(aB?aA)?FT (2)

2maB?mg?FT (3)

式(1)+(2)，得

1maB?2FT 2FT?maB 4代入式(3)，得

- 15 -

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