ch6_4现代功率谱估计

数字信号处理 第二版 陈后金

离散随机序列的特征描述 平稳随机序列通过LTI系统 平稳随机序列通过LTI系统 经典功率谱估计 现代功率谱估计

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现代谱估计简介问题提出 平稳随机信号的参数模型 AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与线性预测滤波器的关系 AR模型参数与线性预测滤波器的关系 Y-W方程的L-D递推算法 方程的L 伯格(Burg)递推算法 伯格(Burg)递推算法 利用MATLAB进行 模型功率谱估计 利用MATLAB进行AR模型功率谱估计 进行AR功率谱估计

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问题提出经典法存在问题: 经典法存在问题: 1. 方差性能不好，不是Px( )的一致估计 方差性能不好，不是 的一致估计 2. 平滑周期图和平均周期图改善了周期图的方差 性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。 性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。 3. 可能使短序列的功率谱估计出现错误的结果 出现问题的原因: 出现问题的原因: 将观测数据以外的数据一律视为零，与实际不符。 将观测数据以外的数据一律视为零，与实际不符。功率谱估计

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参数模型法的基本思想根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外 根据所研究信号的先验知识， 的数据作出某种比较合理的假设。 的数据作出某种比较合理的假设。 方法： 方法： (1) 选择一个好的模型，在输入是冲激函数或白噪声 选择一个好的模型， 的情况下，使其输出等于所研究的信号， 的情况下，使其输出等于所研究的信号，至少也 是对该信号的一个良好近似。 是对该信号的一个良好近似。 (2) 利用已知的自相关函数或数据求模型的参数。 利用已知的自相关函数或数据求模型的参数。 (3) 利用求出的模型参数或数据估计该信号的功率谱。 利用求出的模型参数或数据估计该信号的功率谱。

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平稳随机信号的参数模型 平稳随机序列通过线性时不变系统的响应仍是 平稳随机序列。 平稳随机序列。 因果线性时不变离散时间系统的系统函数为

B( Z ) = H (Z ) = A( Z ) 1+ ∑ a zl =1 p l n n =1 n

1+ ∑b zq

l

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平稳随机信号的参数模型AR模型 AR模型

H (z) =

1 1 + ∑ an zn=0q

p

n

1 = A( z )

MA模型 MA模型

H ( z ) = 1 + ∑ bl z ll =1

ARMA模型 ARMA模型

H (z) =

bl z l ∑ 1 + ∑ an zn=0 l =0 p n

q

B( z ) = A( z )

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平稳随机信号的参数模型若输入白噪声的功率谱

Pe ( ) = σ 2则输出序列的功率谱为

Px ( ) = H(e ) P ( ) = σ H(e ) e2

j 2

j 2

若能确定模型中各参数a 就可以求得功率谱P 若能确定模型中各参数an和bl就可以求得功率谱 x( )功率谱估计

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ARMA、MA和AR的关系 、 和 的关系

任何有限方差的 任何有限方差的ARMA或MA模型的

平 或 模型的平 稳随机过程可以用无限阶的AR模型表示 模型表示； 稳随机过程可以用无限阶的 模型表示； 任何有限方差的 任何有限方差的ARMA或AR模型的平 或 模型的平 稳随机过程可以用无限阶的MA模型表 稳随机过程可以用无限阶的 模型表 示；

功率谱估计

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AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与自相关函数的关系 描述 模型的差分方程为 描述AR模型的差分方程为

y[k ] + ∑ a y[k n] = η[k ]p n =1 n

将上式两端同乘以 将上式两端同乘以y[k-m]再求数学期望，可得 再求数学期望， 再求数学期望

R [ m] = ∑ a R [ m n] + R [ m]p y n =1 n y yη

式中 R η [m]为输出与输入噪声序列的互相关函 数。y

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AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与自相关函数的关系R [m] 可用系统的单位脉冲响应表示为yη

R [m] = h[ m] R [m] = σ h[ m]2 yη

η

对于因果系统， 对于因果系统，上式可写为

0 R [ m] = σ h[ m]yη 2

m>0 m≤0

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AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与自相关函数的关系 P阶AR模型输出序列的自相关函数 阶 模型输出序列的自相关函数

R [ m] = ∑ a R [ m n]p y n =1 n y

m>0

上式就是著名的Y—W方程。 方程。 上式就是著名的 方程

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AR模型参数与自相关函数的关系 AR模型参数与自相关函数的关系

Yule-Walker(Y-W)方程 ( ) R y [0] R [1] y R y [2] M R y [ p] R y [1] R y [0] R y [1] M R y [ p 1] R y [2] R y [1] R y [0] M R y [ p 2] L L L M L R y [ p ] 1 σ 2 R y [ p 1] a1 0 R y [ p 2 ] a 2 = 0 M M M R y [0] a p 0

若已知R 方程解出各参数a 若已知 y[n] ,由Y-W方程解出各参数 1, a2,…, 方程解出各参数 ap,则可由 模型参数获得功率谱 y( )的估计值。 则可由AR模型参数获得功率谱 的估计值 模型参数获得功率谱P 的估计值。功率谱估计

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AR模型参数与线性预测滤波器的关系 AR模型参数与线性预测滤波器的关系前向线性预测滤波器 y[k]的预测值 y[k ] 由其过去值 1], y[k 2],…, y[k p] 由其过去值 过去值y[k 的预测值 … 的线性加权得到。 的线性加权得到。 前向预测误差f e p [k ] = y[k ] y[k ] = y[k ] + ∑ a p (n) y[k n] n =1 p

前向预测误差滤波器系统函数

1 + ∑ a p ( n) z nn =1f e p [k ]

p

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AR模型参数与线性预测滤波器的关系 AR模型参数与线性预测滤波器的关系后向线性预测滤波器 个数据预测数据y[k 由y[k],y[k 1], …, y[k p+1] p个数据预测数据 p] 个数据预

测数据

e b [k ] = y[k p ] y[k p ] 后向预测误差 p

= y[k p ] + ∑ a p (n) y[k + n p ]前向预测误差滤波器系统函数n =1

p

e b [k ] p

A b ( z ) = z p [1 + ∑ a p ( n ) z n ] = z p A ( z 1 )n =1功率谱估计

p

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Y-W方程的L-D递推算法 方程的L(1) 计算自相关函数的估计值a1 , a 2 , L , a p , σ 2 (2) 由自相关函数的估计值，递推 由自相关函数的估计值， p R y [1] σ 12 = R y [0](1 a11 ) 2 a1 (1) = R y [ 0]

R y [ p] + ∑ a p 1 (n) R y [ p n] a p ( p) = n =1

p 1

σ 2 1 p(n = 1,2,L , p 1)

a p (n) = a p 1 (n) + a p ( p)a p 1 ( p n)

σ 2 = [1 a p ( p ) ]2 σ 2 1 p p功率谱估计

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Y-W方程的L-D递推算法 方程的L(3) 求出功率谱估计

PAR ( ) =

σ21 + ∑ an en =1 p 2 j n

功率谱估计

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伯格(Burg)递推算法 伯格(Burg)递推算法L-D算法缺点： 算法缺点： 在计算相关函数估计时， 在计算相关函数估计时，对N个观测数据以 个观测数据以 外的数据作零的假设，故谱估计误差较大。 外的数据作零的假设，故谱估计误差较大。 伯格(Burg)递推算法基本思想 伯格(Burg)递推算法基本思想： 递推算法基本思想： 直接从观测的数据利用线性预测器的前向和 后向预测的总均方误差之和为最小的准则来估计 反射系数，进而通过L-D算法的递推公式求出 算法的递推公式求出AR 反射系数，进而通过 算法的递推公式求出 模型优化的参数。 模型优化的参数。功率谱估计

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伯格(Burg)递推算法 伯格(Burg)递推算法伯格(Burg)递推算法步骤 伯格(Burg)递推算法步骤 (1) 确定初始条件b e0f [k ] = e0 [k ] = y[k ]

1 2 σ0 = N

N 1 k =0

∑

y[k ]

(2) 从p=1开始迭代计算 计算 模型参数 开始迭代计算: 开始迭代计算 计算AR模型参数f 2 ∑ e p 1[k ]e b 1[k 1] p N 1

Kp =

k= p

N 1 k= p

∑

f {e p 1[k ] 2 + e b 1[k 1] 2 } p

a p ( n ) = a p 1 ( n ) + K p a p 1 ( p n )

递推p阶均方误差 递推 阶均方误差

功率谱估计

2 σ 2 = (1 K p )σ 2 1 p p

( n = 1, 2, L , p 1)

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伯格(Burg)递推算法 伯格(Burg)递推算法伯格(Burg)递推算法步骤 伯格(Burg)递推算法步骤 (3) 递推高一阶前、后向预测误差 递推高一阶前、f e p [k ]b e p [k ]

==

f e p 1[k ] +b e p 1[k

b K p e p 1[k

1]

1] +

f K p e p 1[k ]

(4) 若阶数小于 ，则阶数加1,回到步骤 进行下 若阶数小于p,则阶数加 ，回到步骤(2)进行下 一次迭代，直到达到预定阶数p。 一次迭代，直到达到预定阶数 。 σ2 PAR ( ) = (5) 估计功率谱 21 + ∑ a n e j n功率谱估计

p

n =1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vkk4.html