混凝土结构设计原理(第五版)课后习题答案

《混凝土结构设计原理》

第4章 受弯构件的正截面受弯承载力

4.1 混凝土弯曲受压时的极限压应变cu ε的取值如下：当正截面处于非均匀受压时，cu ε的取值随混凝土强度等

级的不同而不同，即cu ε＝0.0033－0.5(f cu,k －50)×10-5，且当计算的cu ε值大于0.0033时，取为0.0033；当正截面处于轴心均匀受压时，cu ε取为0.002。

4.2 所谓“界限破坏”，是指正截面上的受拉钢筋的应变达到屈服的同时，受压区混凝土边缘纤维的应变也正好达

到混凝土极限压应变时所发生的破坏。此时，受压区混凝土边缘纤维的应变c ε＝cu ε＝0.0033－0.5(f cu,k －50)×10-5，受拉钢筋的应变s ε＝y ε＝f y ／E s 。

4.3 因为受弯构件正截面受弯全过程中第Ⅰ阶段末(即Ⅰa 阶段)可作为受弯构件抗裂度的计算依据；第Ⅱ阶段可作

为使用荷载阶段验算变形和裂缝开展宽度的依据；第Ⅲ阶段末(即Ⅲa 阶段)可作为正截面受弯承载力计算的依据。所以必须掌握钢筋混凝土受弯构件正截面受弯全过程中各阶段的应力状态。正截面受弯承载力计算公式正是根据Ⅲa 阶段的应力状态列出的。

4.4 当纵向受拉钢筋配筋率ρ满足b min

ρρρ≤≤时发生适筋破坏形态；当min ρρ<时发生少筋破坏形态；

当b ρρ>时发生超筋破坏形态。与这三种破坏形态相对应的梁分别称为适筋梁、少筋梁和超筋梁。由于少

筋梁在满足承载力需要时的截面尺寸过大，造成不经济，且它的承载力取决于混凝土的抗拉强度，属于脆性破坏类型，故在实际工程中不允许采用。由于超筋梁破坏时受拉钢筋应力低于屈服强度，使得配置过多的受拉钢筋不能充分发挥作用，造成钢材的浪费，且它是在没有明显预兆的情况下由于受压区混凝土被压碎而突然破坏，属于脆性破坏类型，故在实际工程中不允许采用。

4.5 纵向受拉钢筋总截面面积A s 与正截面的有效面积bh 0的比值，称为纵向受拉钢筋的配筋百分率，简称配筋率，

用ρ表示。从理论上分析，其他条件均相同(包括混凝土和钢筋的强度等级与截面尺寸)而纵向受拉钢筋的配筋率不同的梁将发生不同的破坏形态，显然破坏形态不同的梁其正截面受弯承载力也不同，通常是超筋梁的正截面受弯承载力最大，适筋梁次之，少筋梁最小，但超筋梁与少筋梁的破坏均属于脆性破坏类型，不允许采用，而适筋梁具有较好的延性，提倡使用。另外，对于适筋梁，纵向受拉钢筋的配筋率ρ越大，截面抵抗矩系数s α将越大，则由M ＝20c 1s bh f αα可知，截面所能承担的弯矩也越大，即正截面受弯承载力越大。 4.6

单筋矩形截面梁的正截面受弯承载力的最大值M u,max ＝)5.01(b b 20c 1ξξα-bh f ，由此式分析可知，M u,max 与混凝土强度等级、钢筋强度等级及梁截面尺寸有关。

4.7 在双筋梁计算中，纵向受压钢筋的抗压强度设计值采用其屈服强度'y f ，但其先决条件是：'s 2a x ≥或

's 0a h z -≤，即要求受压钢筋位置不低于矩形受压应力图形的重心。

4.8 双筋截面梁只适用于以下两种情况：1)弯矩很大，按单筋矩形截面计算所得的ξ又大于b ξ，而梁截面尺寸受

到限制，混凝土强度等级又不能提高时；2)在不同荷载组合情况下，梁截面承受异号弯矩时。应用双筋梁的基本计算公式时，必须满足x ≤b ξh 0和 x ≥2's a 这两个适用条件，第一个适用条件是为了防止梁发生脆性破坏；

1

第二个适用条件是为了保证受压钢筋在构件破坏时达到屈服强度。x ≥2'

s a 的双筋梁出现在受压钢筋在构件破坏时达到屈服强度

'

y f 的情况下，此时正截面受弯承载力按公式：

)()2/('

s 0's 'y 0c 1u a h A f x h bx f M -+-=α计算；x ＜2's a 的双筋梁出现在受压钢筋在构件破坏时不能

达到其屈服强度'

y f 的情况下，此时正截面受弯承载力按公式：)('

s 0s y u

a h A f M -=计算。

4.9

T 形截面梁有两种类型，第一种类型为中和轴在翼缘内，即x ≤'

f h ，这种类型的T 形梁的受弯承载力计算公式与截面尺寸为'

f b ×h 的单筋矩形截面梁的受弯承载力计算公式完全相同；第二种类型为中和轴在梁肋内，即x ＞'

f h ，这种类型的T 形梁的受弯承载力计算公式与截面尺寸为b ×h ，'

s a ＝'

f h ／2，'

s A ＝A s1(A s1满足公式'

f 'f c 1s1

y )(h b b f A f -=α)的双筋矩形截面梁的受弯承载力计算公式完全相同。

4.10

在正截面受弯承载力计算中，对于混凝土强度等级等于及小于C50的构件，1α值取为1.0；对于混凝土强度等级等于及大于C80的构件，1α值取为0.94；而对于混凝土强度等级在C50～C80之间的构件，1α值由直线内插法确定，其余的计算均相同。习 题

4.1 查表知，环境类别为一类，混凝土强度等级为C30时梁的混凝土保护层最小厚度为25mm 。

故设a s ＝35mm ，则h 0＝h －a s ＝500－35＝465mm 由混凝土和钢筋等级，查表得：

f c ＝14.3N/mm 2，f t ＝1.43 N/mm 2，f y ＝300N/mm 2，

1α＝1.0，1β＝0.8，b ξ＝0.55

求计算系数

116.0465

2503.140.110902

6

201=????==bh f M c s αα

则

55.0124.076.01211b s =<=-=--=ξαξ，可以。

938.0)76.01(5.02

211s

s =+=-+=

αγ

故

688465

938.030010906

0s y s =???==h f M

A γmm 2

465

500

35

250

3 18

2 26850025030043.145.0)45

.0(y t s =???=>bh f f A mm 2 且250500250002.0002.0=??=>bh A s mm 2，满足要求。

选用318，A s ＝763mm 2，配筋图如图1所示。

4.2 梁自重：

25.245.002.025'k =??=g kN/m 则简支梁跨中最大弯矩设计值：

M 1＝)(2Qik Ci Qi Q1k Q1Gk G 0∑=++n

i M M M ψγγγγ

＝]8

1)(81[2k Q 2'k k G 0l q l g g ?++?γγγ ＝1.0×[222.588

14.12.5)25.25.9(812.1???+?+??

] ＝85.514kN ·m M 2＝)(1

Qik Ci Qi Gk G 0∑=+n

i M M ψγγγ

＝]8

1)(81[2k Ci Q 2'k k G 0l q l g g ψγγγ?++? ＝1.0×[222.588

17.04.12.5)25.25.9(8135.1????+?+??

] ＝80.114 kN ·m M ＝max ｛M 1，M 2｝＝85.514 kN ·m 查表知，环境类别为二类，混凝土强度等级为C40，梁的混凝土保护层最小厚度为30mm ，故设a s ＝40mm ，则h 0＝h －a s ＝450－40＝410mm

由混凝土和钢筋等级，查表得：

f c ＝19.1 N/mm 2，f t ＝1.71 N/mm 2，f y ＝360N/mm 2，

1α＝1.0，1β＝0.8，b ξ＝0.518

求计算系数

133.0410

2001.190.110514.8526

201=????==bh f M c s αα图1

3

图2

518.0143.0211b s =<=--=ξαξ928.02

211s

s =-+=

αγ

故

624410

928.036010514.856

0s y s =???==h f M

A γmm 2

192450200360

71.145.0)45

.0(y t s =???=>bh f f A mm 2 且

180450200002.0002.0=??=>bh A s mm 2，满足要求。

选用2

16＋1

18，A s ＝657mm 2，配筋图如图2所示。

4.3 取板宽b ＝1000mm 的板条作为计算单元。

（1） 计算最大弯矩设计值M

方法一：

M 砂浆＝20×0.02×1×1×0.5+20×0.02×1×1×0.5＝0.4kN ·m M 砼板＝25×0.06×1×1×0.5+25×1/2×0.02×1×1×(1/3×1)=0.83kN ·m M Gk ＝0.4+0.83＝1.23 kN ·m 方法二： M Gk ＝

??=-=???-10

1

023.1)5.08.2(1)5.08.2(dx x x x dx x kN ·m

又M Qk ＝P ×l ＝1×1＝1 kN ·m 故雨篷板根部处的最大弯矩设计值：

M 1＝

)(2

Qik Ci Qi Q1k Q1Gk G 0∑=++n

i M M M ψγγγγ

＝1.0×(1.2×1.23+1.4×1)＝2.876 kN ·m

M 2＝

)(1

Qik Ci Qi Gk G 0∑=+n

i M M ψγγγ

＝1.0×(1.35×1.23+1.4×0.7×1)＝2.6405 kN ·m

450

410

40

200

2 16

1 18

4 M ＝max ｛M 1，M 2｝＝2.876 kN ·m

（2）查表知，环境类别为二类，混凝土强度等级为C25时，板的混凝土保护层最小厚度为25mm ，故设a s ＝30mm ，

则h 0＝h －a s ＝80－30＝50mm

由砼和钢筋的强度等级，查表得：

f c ＝11.9 N/mm 2，f t ＝1.27 N/mm 2，f y ＝300 N/mm 2

1α＝1.0，b ξ＝0.550

则 097.050

10009.110.110876.226

201=????==bh f M c s αα 518.0102.0211b s =<=--=ξαξ，可以。

949.02

211s s =-+=αγ 故 20250949.030010876.26

0s y s =???==h f M

A γmm 2 4.152801000300

27.145.0)45.0(y t s =???=>bh f f A mm 2 且160801000002.0002.0=??=>bh A s mm 2，满足要求。

选用

6@120，A s ＝236mm 2。 垂直于纵向受拉钢筋布置φ6@250的分布钢筋。

4.4 f c ＝14.3 N/mm 2，f t ＝1.43 N/mm 2，f y ＝300 N/mm 2，

1α＝1.0，b ξ＝0.55 查表知，环境类别为一类，混凝土强度等级为C30，梁的混凝土保护层最小厚度为25mm ，故设a s ＝35mm ，则h 0＝h －a s ＝450－35＝415mm s A ＝804mm 219345020030043.145.0)45

.0(y t =???=>bh f f mm 2 且180450200002.0002.0=??=>bh A s mm 2，满足要求。

又203.03

.140.13000097.0c 1y

=??==f f αρξ＜b ξ＝0.55

5

满足适用条件。 故 M u ＝

)5.01(20c 1ξξα-bh f

＝)203.05.01(203.0415200

3.140.12?-?????

＝89.84kN ·m ＞M ＝70kN ·m ，安全。

4.5 f c ＝11.9N/mm 2，f y ＝

'y f ＝300N/mm 2，1α＝1.0，1β＝0.8，b ξ＝0.55

查表知，环境类别为二类，混凝土强度等级为C25，梁的混凝土保护层最小厚度为25mm ，故设'

s a ＝35mm 。假设受拉钢筋放两排，故a s ＝60mm ，则h 0＝h －a s ＝500－60＝440mm 取

ξ＝b ξ，则

's A

＝

)

()

5.01('s 0'y b b 2

0c 1a h f bh f M ---ξξα

＝)

35440(300)55.05.01(55.04402009.110.11026026-??-?????-?

＝628mm 2

s A ＝y

'

y 's y 0

c 1b f f A f bh f ?

+?

αξ

＝300

300

6283004402009.110.155.0?

+???? ＝2548mm 2

受拉钢筋选用322＋3

25的钢筋，A s ＝2613mm 2；

受压钢筋选用2

20mm 的钢筋，

's A ＝628mm 2。

配筋图如图3所示。

4.6 （1）选用混凝土强度等级为C40时

f c ＝19.1N/mm 2，f t ＝1.71N/mm 2， f y ＝

'y f ＝360N/mm 2，1α＝1.0，1β＝0.8，b ξ＝0.518

鉴别类型：

假设受拉钢筋排成两排，故取a s ＝60mm ，则

h 0＝h －a s ＝750－60＝690mm

2 20

3 25

60

200

500

440

35

3 22图3

6 )10021690(1005501.190.1)2('f 0'f

'

f c 1?-????=-h h h b f α ＝672.32kN ·m ＞M ＝500kN ·m

属于第一种类型的T 形梁。以'

f b 代替b ，可得 100.0690

5501.190.11050026

20'f c 1s =????==h b f M αα 则 518.0106.0211b s =<=--=ξαξ，可以。

947.02

211s s =-+=αγ 故 2126690947.0360105006

0s y s =???==h f M

A γmm 2 401750250360

71.145.0)45.0(y t =???=>bh f f mm 2 且375750250002.0002.0=??=>bh A s mm 2，满足要求。

选用7

20，A s ＝2200mm 2。 （2）选用混凝土强度等级为C60时

f c ＝27.5N/mm 2，f t ＝2.04N/mm 2，

y f ＝'y f ＝360N/mm 2，1α＝0.98，b ξ＝0.499

鉴别类型：

假设受拉钢筋排成两排，故取a s ＝60mm ，则

h 0＝h －a s ＝750－60＝690mm )10021690(1005505.2798.0)2('f 0'f

'

f c 1?-????=-h h h b f α ＝948.64kN ·m ＞M ＝500kN ·m

仍然属于第一种类型的T 形梁，故计算方法同（1），最后求得A s ＝2090mm 2，选用720，A s ＝2200mm 2。 由此可见，对于此T 形梁，选用C40的混凝土即可满足设计需要，表明提高混凝土强度等级对增大受弯构件正截面受弯承载力的作用不显著。

4.7 f c ＝14.3N/mm 2，y f ＝'y f ＝300N/mm 2，1α＝1.0，b ξ＝0.55

7 鉴别类型：

假设受拉钢筋排成两排，故取a s ＝60mm ，则

h 0＝h －a s ＝500－60＝440mm

)8021440(804003.140.1)2('f 0'f

'

f c 1?-????=-h h h b f α＝183.04kN ·m ＜M ＝250kN ·m

属于第二种类型的T 形梁。

)2()('0''11f f f c h h h b b f M -

-=α ＝)802

1440(80)200400(3.140.1?-??-

?? ＝91.52kN ·m M 2＝M －M 1＝250－91.52＝158.48kN ·m

286.04402003.140.11048.1582

6

20c 12s =????==bh f M αα 则 55.0346.0211b s =<=--=ξαξ，可以。

827.02

211s s =-+=αγ 1452440

827.03001048.1586

0s y 2s2=???==h f M A γmm 2

763300

80)200400(3.140.1)(y '

f 'f c 1s1=?-??=-=f h b b f A αmm 2 s A ＝s1A ＋s2A ＝1452＋763＝2215mm 2

选用622，s A ＝2281mm 2

第5章 受弯构件的斜截面承载力

5.1 ①集中力到临近支座的距离a 称为剪跨，剪跨a 与梁截面有效高度h 0的比值，称为计算剪跨比，用λ表示，即λ＝

a ／h 0。但从广义上来讲，剪跨比λ反映了截面上所受弯矩与剪力的相对比值，因此称λ＝M ／Vh 0为广义剪跨比，当梁承受集中荷载时，广义剪跨比λ＝M ／Vh 0＝a ／h 0；当梁承受均匀荷载时，广义剪跨比λ可表达为跨高比l ／h 0的函数。

8 ②剪跨比λ的大小对梁的斜截面受剪破坏形态有着极为重要的影响。对于无腹筋梁，通常当λ＜1时发生斜压破坏；当1＜λ＜3时常发生剪压破坏；当λ＞3时常发生斜拉破坏。对于有腹筋梁，剪跨比λ的大小及箍筋配置数量的多少均对斜截面破坏形态有重要影响，从而使得有腹筋梁的受剪破坏形态与无腹筋梁一样，也有斜压破坏、剪压破坏和斜拉破坏三种。

5.2 钢筋混凝土梁在其剪力和弯矩共同作用的剪弯区段内，将发生斜裂缝。在剪弯区段内，由于截面上同时作用

有弯矩M 和剪力V ，在梁的下部剪拉区，因弯矩产生的拉应力和因剪力产生的剪应力形成了斜向的主拉应力，当混凝土的抗拉强度不足时，则开裂，并逐渐形成与主拉应力相垂直的斜向裂缝。

5.3 斜裂缝主要有两种类型：腹剪斜裂缝和弯剪斜裂缝。腹剪斜裂缝是沿主压应力迹线产生于梁腹部的斜裂缝，

这种裂缝中间宽两头细，呈枣核形，常见于薄腹梁中。而在剪弯区段截面的下边缘，由较短的垂直裂缝延伸并向集中荷载作用点发展的斜裂缝，称为剪弯斜裂缝，这种裂缝上细下宽，是最常见的。

5.4 梁斜截面受剪破坏主要有三种形态：斜压破坏、剪压破坏和斜拉破坏。斜压破坏的特征是，混凝土被腹剪斜

裂缝分割成若干个斜向短柱而压坏，破坏是突然发生的。剪压破坏的特征通常是，在剪弯区段的受拉区边缘先出现一些垂直裂缝，它们沿竖向延伸一小段长度后，就斜向延伸形成一些斜裂缝，而后又产生一条贯穿的较宽的主要斜裂缝，称为临界斜裂缝，临界斜裂缝出现后迅速延伸，使斜截面剪压区的高度缩小，最后导致剪压区的混凝土破坏，使斜截面丧失承载力。斜拉破坏的特征是当垂直裂缝一出现，就迅速向受压区斜向伸展，斜截面承载力随之丧失，破坏荷载与出现斜裂缝时的荷载很接近，破坏过程急骤，破坏前梁变形亦小，具有很明显的脆性。

5.5 简支梁斜截面受剪机理的力学模型主要有三种。第一种是带拉杆的梳形拱模型，适用于无腹筋梁，这种力学

模型把梁的下部看成是被斜裂缝和垂直裂缝分割成一个个具有自由端的梳状齿，梁的上部与纵向受拉钢筋则形成带有拉杆的变截面两铰拱。第二种是拱形桁架模型，适用于有腹筋梁，这种力学模型把开裂后的有腹筋梁看作为拱形桁架，其中拱体是上弦杆，裂缝间的齿块是受压的斜腹杆，箍筋则是受拉腹杆。第三种是桁架模型，也适用于有腹筋梁，这种力学模型把有斜裂缝的钢筋混凝土梁比拟为一个铰接桁架，压区混凝土为上弦杆，受拉纵筋为下弦杆，腹筋为竖向拉杆，斜裂缝间的混凝土则为斜压杆。后两种力学模型与第一种力学模型的主要区别在于：1)考虑了箍筋的受拉作用；2)考虑了斜裂缝间混凝土的受压作用。

5.6 影响斜截面受剪性能的主要因素有：1)剪跨比；2)混凝土强度；3)箍筋配箍率；4)纵筋配筋率；5)斜截面上的

骨料咬合力；6)截面尺寸和形状。

5.7 梁的斜压和斜拉破坏在工程设计时都应设法避免。为避免发生斜压破坏，设计时，箍筋的用量不能太多，也

就是必须对构件的截面尺寸加以验算，控制截面尺寸不能太小。为避免发生斜拉破坏，设计时，对有腹筋梁，箍筋的用量不能太少，即箍筋的配箍率必须不小于规定的最小配箍率；对无腹筋板，则必须用专门公式加以验算。

5.8 (1) 在均匀荷载作用下(即包括作用有多种荷载，但其中集中荷载对支座截面或节点边缘所产生的剪力值小于

总剪力值的75％的情况)，矩形、T 形和I 形截面的简支梁的斜截面受剪承载力的计算公式为：

s sb y 0sv y v 0t sb cs u sin 8.025.17.0αA f h s

A f bh f V V V +??+=+= 式中 V cs ——构件斜截面上混凝土和箍筋的受剪承载力设计值，

V cs ＝V c ＋V s ；

V sb ——与斜裂缝相交的弯起钢筋的受剪承载力设计值；

f t ——混凝土轴心抗拉强度设计值；

9 f yv ——箍筋抗拉强度设计值；

f y ——弯起钢筋的抗拉强度设计值；

A sv ——配置在同一截面内的各肢箍筋的全部截面面积，A sv ＝n ?A sv1，其中n 为在同一截面内的箍筋

肢数，A sv1为单肢箍筋的截面面积；

s ——沿构件长度方向的箍筋间距；

A sb ——与斜裂缝相交的配置在同一弯起平面内的弯起钢筋截面面积；

s α——弯起钢筋与构件纵向轴线的夹角；

b ——矩形截面的宽度，T 形或I 形截面的腹板宽度；

h 0——构件截面的有效高度。

(2) 在集中荷载作用下(即包括作用有各种荷载，且集中荷载对支座截面或节点边缘所产生的剪力值占总剪力值的75％以上的情况)，矩形、T 形和I 形截面的独立简支梁的截面受剪承载力的计算公式为：

s sb y 0sv y v 0t sb cs u sin 8.00.10.175.1αλA f h s A f bh f V V V +??++=

+= 式中 λ——计算剪跨比，可取λ＝a ／h 0，a 为集中荷载作用点至支座截面或节点边缘的距离，当λ＜1.5

时，取λ＝1.5；当λ＞3时，取λ＝3。

5.9 连续梁与简支梁的区别在于，前者在支座截面附近有负弯矩，在梁的剪跨段中有反弯点，因此连续梁斜截面的破坏形态受弯矩比+-=ΦM M /的影响很大。对于受集中荷载的连续梁，在弯矩和剪力的作用下，由

于剪跨段内存在有正负两向弯矩，因而会出现两条临界斜裂缝。并且在沿纵筋水平位置混凝土上会出现一些断断续续的粘结裂缝。临近破坏时，上下粘结裂缝分别穿过反弯点向压区延伸，使原先受压纵筋变成受拉，造成在两条临界斜裂缝之间的纵筋都处于受拉状态，梁截面只剩中间部分承受压力和剪力，这就相应提高了截面的压应力和剪应力，降低了连续梁的受剪承载力，因而，与相同广义剪跨比的简支梁相比，其受剪能力要低。对于受均布荷载的连续梁，当弯矩比Φ＜1.0时，临界斜裂缝将出现于跨中正弯矩区段内，连续梁的抗剪能力随Φ的加大而提高；当Φ＞1.0时，临界斜裂缝的位置将移到跨中负弯矩区内，连续梁的抗剪能力随Φ的加大而降低。另外，由于梁顶的均布荷载对混凝土保护层起着侧向约束作用，因而，负弯矩区段内不会有严重的粘结裂缝，即使在正弯矩区段内存在有粘结破坏，但也不严重。试验表明，均布荷载作用下连续梁的受剪承载力不低于相同条件下的简支梁的受剪承载力。由于连续梁的受剪承载力与相同条件下的简支梁相比，仅在受集中荷载时偏低于简支梁，而在受均布荷载时承载力是相当的。不过，在集中荷载时，连续梁与简支梁的这种对比，用的是广义剪跨比，如果改用计算剪跨比来对比，由于连续梁的计算剪跨比大于广义剪跨比，连续梁的受剪承载力将反而略高于同跨度的简支梁的受剪承载力。据此，为了简化计算，连续梁可以采用于简支梁相同的受剪承载力计算公式，但式中的λ应为计算剪跨比，而使用条件及其他的截面限制条件和最小配箍率等均与简支梁相同。

5.10 计算梁斜截面受剪承载力时应选取以下计算截面：1)支座边缘处斜截面；2)弯起钢筋弯起点处的斜截面；3)箍

筋数量和间距改变处的斜截面；4)腹板宽度改变处的斜截面。

5.11 由钢筋和混凝土共同作用，对梁各个正截面产生的受弯承载力设计值M u 所绘制的图形，称为材料抵抗弯矩图

M R 。以确定纵筋的弯起点来绘制M R 图为例，首先绘制出梁在荷载作用下的M 图和矩形M R 图，将每根纵筋所能抵抗的弯矩M Ri 用水平线示于M R 图上，并将用于弯起的纵筋画在M R 图的外侧，然后，确定每根纵筋的M Ri 水平线与M 图的交点，找到用于弯起的纵筋的充分利用截面和不需要截面，则纵筋的弯起点应在该纵筋

10 充分利用截面以外大于或等于0.5h 0处，且必须同时满足在其不需要截面的外侧。该弯起纵筋与梁截面高度中心线的交点及其弯起点分别垂直对应于M R 图中的两点，用斜直线连接这两点，这样绘制而成的M R 图，能完全包住M 图，这样既能保证梁的正截面和斜截面的受弯承载力不致于破坏，又能将部分纵筋弯起，利用其受剪，达到经济的效果。同理，也可以利用M R 图来确定纵筋的截断点。因此，绘制材料抵抗弯矩图M R 的目的是为了确定梁内每根纵向受力钢筋的充分利用截面和不需要截面，从而确定它们的弯起点和截断点。

5.12 为了保证梁的斜截面受弯承载力，纵筋的弯起、锚固、截断以及箍筋的间距应满足以下构造要求：1)纵筋的弯

起点应在该钢筋充分利用截面以外大于或等于0.5h 0处，弯终点到支座边或到前一排弯起钢筋弯起点之间的距离，都不应大于箍筋的最大间距。2)钢筋混凝土简支端的下部纵向受拉钢筋伸入支座范围内的锚固长度l as 应符合以下条件：当V ≤0.7f t bh 0时，l as ≥5d ；当V ＞0.7f t bh 0时，带肋钢筋l as ≥12d ，光面钢筋l as ≥15d ，d 为锚固钢筋直径。如l as 不能符合上述规定时，应采取有效的附加锚固措施来加强纵向钢筋的端部。3)梁支座截面负弯矩区段内的纵向受拉钢筋在截断时必须符合以下规定：当V ≤0.7f t bh 0时，应在该钢筋的不需要截面以外不小于20d 处截断，且从该钢筋的充分利用截面伸出的长度不应小于1.2l a ；当V ＞0.7f t bh 0时，应在该钢筋的不需要截面以外不小于h 0且不小于20d 处截断，且从该钢筋的充分利用截面伸出的长度不应小于1.2l a ＋h 0；当按上述规定的截断点仍位于负弯矩受拉区内，则应在该钢筋的不需要截面以外不小于1.3h 0且不小于20d 处截断，且从该钢筋的充分利用截面伸出的长度不应小于1.2l a ＋1.7h 0。4)箍筋的间距除按计算要求确定外，其最大间距应满足《规范》规定要求。箍筋的间距在绑扎骨架中不应大于15d ，同时不应大于400mm 。当梁中绑扎骨架内纵向钢筋为非焊接搭接时，在搭接长度内，箍筋的间距应符合以下规定：受拉时，间距不应大于5d ，且不应大于100mm ；受压时，间距不应大于10d ，且不应大于200mm ，d 为搭接箍筋中的最小直径。采用机械锚固措施时，箍筋的间距不应大于纵向箍筋直径的5倍。

习 题

5.1 （1）验算截面条件

4325.2200

355000w <=-==b h b h ，属厚腹梁 c β＝1 465

2003.14125.025.00c c ????=bh f β=332475N

＞V ＝1.4×105N

截面符合要求。

（2）验算是否需要计算配置箍筋 46520043.17.07.00t ???=bh f ＝93093N ＜V ＝1.4×105

故需要进行配箍计算。

（3）配置箍筋（采用HPB235级钢筋）

0sv1yv 0t 25.17.0h s

nA f bh f V ??

+≤ 46521025.193093104.1sv15???+=?s nA

11 则 384.046521025.193093104.15sv1=??-?=s nA 选配箍筋φ8@200，实有

384.0503.0200

3.502sv1>=?=s nA （可以） 200

503.0sv1sv sv ===bs nA bs A ρ＝0.25％ 210

43.124.024.0y v t min sv,?=?

=f f ρ＝0.163％＜sv ρ（可以） 5.2 （1）当V ＝6.2×104 N 时

1）截面符合要求

2）验算是否需要配置箍筋 0.7f t bh 0＝93093N ＞V ＝6.2×104 N

仅需按构造配置箍筋，选配箍筋

φ8@300 （2）当V ＝2.8×105N 时

1）截面符合要求

2）验算是否需要计算配置箍筋

0.7f t bh 0＝93093N ＜V ＝2.8×105

故需要进行配箍计算

3）配置箍筋（采用HRB335级） V ≤0sv1y v 0t 25.17.0h s

nA f bh f ??+ 则 072.1465

30025.193093108.25sv1=??-?=s nA 选配箍筋

10@120，实有 308.1120

5.782sv1=?=s nA ＞1.072（可以） 200

308.1sv =ρ＝0.654％＞30043.124.024.0y v t min sv,?=?=f f ρ ＝0.114％（可以）

5.3 （1）求剪力设计值

如图4所示为该梁的计算简图和内力图，计算剪力值列于图4中。

12 4500A

1800

q=40kN/m

B 75.6kN 72kN 104.4kN

1890

71.442kN·m

64.8kN·m

图4

（2）验算截面条件

取a s ＝35mm ，4825.1200354000w <=-==b h b h 属厚腹梁 c β＝1

3652003.14125.025.00c c ????=bh f β=260975N 此值大于截面A 、左B 、右B 中最大的剪力值左B V （＝104400N ），故截面尺寸符合要求。 （3）配置箍筋（采用HPB235级钢筋） 截面A ：V A ＝75600N

0.7f t bh 0＝0.7×1.43×200×365＝73073N ＜V A ＝75600N 必须按计算配置箍筋

V A ＝0sv1y v 0

t 25.17.0h s nA f bh f ??+ 则 026.036521025.173********sv1=??-=s nA 选配箍筋φ6@150，实有

377.0150

3.282sv1=?=s nA ＞0.026（可以）

13 200377.0sv =ρ＝0.189％＞21043.124.024.0y v t min sv,?=?=f f ρ ＝0.163％（可以） 截面左B ：左B V ＝104400N

0.7f t bh 0＝73073N ＜左B V ＝104400N 必须按计算配置箍筋

左B V ＝0sv1y v 0t 25.17.0h s nA f bh f ??+ 则 327.036521025.173073104400sv1=??-=s nA 仍选配箍筋φ6@150，实有

377.0150

3.282sv1=?=s nA ＞0.327（可以） 200

377.0sv =ρ＝0.189％＞min sv,ρ＝0.163％（可以） 截面右B ：右B V ＝72000N

0.7f t bh 0＝73073N ＞右B V ＝72000N 仅需按构造配置箍筋，选配

φ6@300。

5.4 （1）求剪力设计值 支座边缘处截面的剪力值最大

76.5502

1210max ??==ql V ＝144kN （2）验算截面条件

h w ＝h 0＝600－35＝565mm 426.22505650w <===b h b h ，属厚腹梁 c β＝1 5652503.14125.025.00c c ????=bh f β=504969N

＞V max ＝144000N

截面符合要求。

（3）验算是否需要计算配置箍筋

14 0.7f t bh 0＝0.7×1.43×250×565＝141391N ＜V max ＝144000N 故需要进行配箍计算

（4）只配箍筋而不用弯起钢筋（箍筋采用HPB235级钢筋）

V max ≤0sv1y v 0

t 25.17.0h s nA f bh f ??

+ 则 018.056521025.1141391144000sv1

=??-=s nA 选配箍筋φ8@200，实有

503.0200

3.502sv1=?=s nA ＞0.018（可以） 250

503.0sv =ρ＝0.201％＞21043.124.024.0y v t min sv,?=?=f f ρ ＝0.163％（可以）

（5）既配箍筋又设弯起钢筋

根据已配的425纵向钢筋，可利用125以45°弯起，则 弯筋承担的剪力

833082/23009.4908.0sin 8.0s y sb sb =???==αf A V N 混凝土和箍筋承担的剪力

V cs ＝V max －V sb ＝144000－83308＝60692N

0.7f t bh 0＝141391N ＞V cs ＝60692N

仅需按构造配置箍筋，选用φ8@350，实有

V cs ＝141391＋1840205653503.50221025.1=???

?N 验算弯筋弯起点处的斜截面，该处的剪力设计值（如图5所示）

V ＝11500088.258.088.2144000=-?N ＜V cs 所以可不再配置弯起钢筋。

（6）当箍筋配置为φ8@200时，实有

V cs ＝0sv1y v 0t 25.17.0h s

nA f bh f ??+ ＝565200

3.50221025.1141391????+ ＝215992N ＞V max ＝144000N 弯终点弯起点144kN 115kN 58050图5

15 故不需要配置弯起钢筋。

5.5 （1）求所需纵向受拉钢筋

如图6所示为该梁的计算简图和内力图，M max ＝100kN ·m

10001000100kN

1000100kN A

C D B

100kN·m

100kN·m

100kN

100kN M

V

设a s ＝35mm ，则h 0＝h －a s ＝400－35＝365mm

假定纵筋选用HRB335级钢筋，则由混凝土和钢筋等级，查表得

f c ＝14.3 N/mm 2，f t ＝1.43 N/mm 2，f y ＝300 N/mm 2， 1α＝1.0，1β＝0.8，b ξ＝0.55 计算系数

262.03652003.140.11010026

20c 1s =????==bh f M αα 则 55.0311.0211b s =<=--=ξαξ，可以。

845.02

211s s =-+=αγ 故 1081365845.0300101006

0s y s =???==h f M

A γmm 2 172400200300

43.145.0)45.0(y t =???=>bh f f mm 2 且160400200002.0002.0=??=>bh A s mm 2，满足要求。

纵向受拉钢筋选用3

22mm 的钢筋，A s ＝1140mm 2 （2）只配箍筋而不用弯起钢筋（箍筋采用HPB235级钢筋） 最大剪力值V max ＝100kN

图6

16 3652003.14125.025.00c c ????=bh f β=260975N

＞V max ＝100000N

截面符合要求。

在AC 段：

74.2365

10000===h a λ 4884636520043.11

74.275.1175.10t =???+=+bh f λN ＜V max ＝100000N

需要进行配箍计算

0sv1y v 0t max 175.1h s nA f bh f V ??++≤

λ 则 667.0365

21048846100000sv1

=?-=s nA 选配箍筋φ8@150，实有

667.0671.0150

3.502sv1>=?=s nA （可以） 150

671.0sv =ρ＝0.336％＞21043.124.024.0y v t min sv,?=?=f f ρ ＝0.163％（可以） 在CD 段：只受弯矩不受剪力，可以不配置箍筋。 在DB 段：箍筋配置同AC 段，选配φ8@150。

（3）既配箍筋又设弯起钢筋（箍筋采用HPB235级钢筋） 根据已配的322纵向钢筋，可利用1

22以45°弯起，则 弯筋承担的剪力

64505223001.3808.0sin 8.0s y sb sb =???==αf A V N

混凝土和箍筋承担的剪力

V cs ＝V max －V sb ＝100000－64505＝35495N 0t 1

75.1bh f +λ＝48846N ＞V cs ＝35495N

17

仅需按构造配置箍筋，选用

φ8@300，实有

V cs ＝48846＋74549365300

3

.502210=???

N

由于该梁在AC 段中剪力值均为100kN ，所以弯筋弯起点处的剪力值

V ＝100000N ＞V cs ＝74549N

宜再弯起钢筋或加密箍筋，考虑到纵向钢筋中必须有两根直通支座，已无钢筋可弯，故选择加密箍筋的方案。 重选

φ8@150，实有

V cs ＝48846＋100253365150

3

.502210=???

N ＞100000N （可以）

5.6 （1）求剪力设计值

如图7所示为该梁的计算简图和剪力图。

A

B

P

P

P=70kN

q=34kN/m

15001500

1500

1500

C

D

E

105

35

35

105

102

102

207

156

86

3535

86156

图7

（2）验算截面条件

426.2250

356000w <=-==b h b h 属厚腹梁 c β＝1

5652503.14125.025.00c c ????=bh f β=504969N ＞

B

A

V V

截面尺寸符合要求。

V 集

V 均

V 总

18 （3）确定箍筋数量（箍筋采用HPB235级钢筋）

该梁既受集中荷载，又受均布荷载，但集中荷载在两支座截面上引起的剪力值均小于总剪力值的75％

A 、

B 支座：207

105＝总集

V V ＝50.7％ 故梁的左右两半区段均应按均布荷载下的斜截面受剪承载力计算公式计算。由于梁所受的荷载是对称分布的，配筋亦是对称布置的，因此，可将梁分为AC 、CD 两个区段来计算斜截面受剪承载力。

AC 段：

0.7f t bh 0＝0.7×1.43×250×565＝141391N ＜V A ＝207000N

必须按计算配置箍筋。

0sv1y v 0t 25.17.0h s nA f bh f V ??

+= 则 442.0565

21025.1141391207000sv1

=??-=s nA 选配箍筋φ8@200，实有

442.0503.0200

3.502sv1>=?=s nA （可以） 250

503.0sv =ρ＝0.201％＞21043.124.024.0y v t min sv,?=?=f f ρ ＝0.163％（可以）

CD 段：

0.7f t bh 0＝141391N ＞V C ＝86000N

仅需按构造配置箍筋，选用φ8@350

由于此梁对称配筋，所以DE 段选配箍筋

φ8@350，EF 段选配箍筋φ8@200。 5.7 （1）首先求由正截面受弯承载力M u 控制的P 值

a s ＝60mm ，h 0＝550－60＝490mm

A s ＝22246??π

＝2281mm 2

26055022030043.145.0)45

.0(y t =???=>bh f f mm 2 且242550220002.0002.0=??=>bh A s mm 2，满足要求。

19 图8 55.0444.03

.140.13000212.0b c 1y

=<=??==ξαρξf f 满足适用条件。

)5.01(20c 1u ξξα-=bh f M

)444.05.01(444.04902203.140.12?-?????= ＝260.92kN ·m

该梁的内力图如图8所示，在集中荷载作用点处的弯矩值最大：

M max ＝2.132?P ＝0.8P 令M max ＝M u ，得：P 1＝326.15kN （2） 再求由斜截面受剪承载力V u 控制的P 值 bs nA bs A sv1sv sv ==ρ %305.0150

2203.502=??= y v t

min ,24.0f f sv =>ρ %163.0210

43.124.0=?=（可以） 423.2220/490//0w <===b h b h 属厚腹梁 0c c u 25.0bh f V β≤＝0.25×1.0×14.3×220×490＝385385N AC 段：

45.2490

12000===h a λ 0sv1y v 0t u 175.1h s

nA f bh f V ??++=λ 490150

3.50221049022043.1145.275.1???+???+= ＝147206N

故 V u ＝min ｛147206，385385｝＝147206N

该梁在AC 段中的剪力值均为2P/3，令2P/3＝147206，得P 2＝220.81kN 1200

V 2P/3

M

A

2400P/3

0.8P

C B P

20 CB 段：

390.449024000>===

h a λ，取3=λ 0sv1y v 0t u 175.1h s

nA f bh f V ??++=λ 490150

3.50221049022043.11375.1???+???+= ＝136454N

故 V u ＝min ｛136454，385385｝＝136454N

该梁在CB 段中的剪力值均为P/3，令P/3＝136454，得：P 3＝409.36kN 由以上计算结果可知，该梁所能承受的最大荷载设计值P ＝min ｛P 1，P 2，P 3｝=220.81，此时该梁发生斜截面受剪破坏。

5.8 如图9所示为该梁的计算简图和剪力图。 P

P P 1500

150015001500A

C D E B

1.5P

0.5P 0.5P

1.5P a s ＝35mm ，h 0＝h －a s ＝550－35＝515mm

由于梁所受的荷载为对称分布，可将梁分为AC 、CD 两个区段进行计算。 AC 段：配置箍筋φ8@150

bs nA bs A sv1sv sv ==ρ%268.0150

2503.502=??= y v t min ,24

.0f f sv =>ρ%163.021043.124.0=?=（可以） 406.2250/515//0w <===b h b h 属厚腹梁 0c c u 25.0bh f V β≤＝0.25×1.0×14.3×250×515＝460281N 图9

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