湖北省武汉市2014届高三2月调研测试 数学理试题 Word版含答案

武汉市2014届高三2月调研测试

数 学（理科）

2014.2.20

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1．复数m(3＋i)－(2＋i)（m∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2

．

已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则，的值分别为 A．2，6 B．2，7 C．3，6 D．3，7

3．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2，则a与b的夹角为

A．30° B．60° C．120° D．150° 4．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加

416816A．尺 B．尺 C． D．尺 7291531

5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n后，输出的S∈(31，72)，则n的值为 A．5 B．6 C．7 D．8 6．若(9x－

1

3的常数项为

A．252 B．－252 C．84 D．－84

)n（n∈N）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中

*

7．设a，b∈R，则“a1－＋b1－a＝1”是“a2＋b2＝1”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．设AB＝2AA1＝2a．在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，

A

记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为P，当点E，F分别在1 棱A1B1，BB1上运动且满足EF＝a时，则P的最小值为

113137A． B． C． D．164168

D1

EDC1 G

C

A

1

9．若S1＝ 2x，S2＝ 2(lnx＋1)dx，S3＝ 2xdx，则S1，S2，S3的大小关系为

1 1 1

A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S1＜S2

10．如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆

周上．若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为

A．B．2C．D．2

＋1 ＋2 －1 －2

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在

答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． ．．．．．．．（一）必考题（11—14题）

11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．

sinx

12．曲线y＝M(π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区

域为D（包含三角形内部与边界）．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋4y的最大值为 ．

13．如下图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现

按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f(n)，则 （Ⅰ）f(5)＝ ；

（Ⅱ）f(n)＝ ．

14．已知函数f(x)x＋2cos2x＋m在

区间[0，]上的最大值为3，则

2

（Ⅰ）m＝ ；

（Ⅱ）对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为 ．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题

目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点

π

P，E为⊙O上一点，⌒AE＝⌒AC，DE交AB于点F．若AB＝4，

BP＝3，则PF＝ ．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρ(2

x＝sinθ＋cosθ，

cosθ－sinθ)－a＝0与曲线 （θ为参数）有两个不同的交点，则实数

y＝1＋sin2θ．

a的取值范围为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．

（Ⅰ）若a＝32，b10，求c；

acosC－ccosA

（Ⅱ）求

18．（本小题满分12分）

已知数列{an}满足a1＞0，an＋1＝2－|an|，n∈N*． （Ⅰ）若a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；

（Ⅱ）是否存在a1，使数列{an}为等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．

（Ⅰ）求直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值；

（Ⅱ）在线段BC1上确定一点D，使得AD⊥A1B的值．

BD1

20．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，1

负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为1

2局甲当裁判．

（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；

（Ⅱ）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望． 21．（本小题满分13分）

如图，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以

→

→

→

→

HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知OR＝λOF，CR′＝λCF，其中0＜λ

＜1．

（Ⅰ）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：y2＝1上；

2

（Ⅱ）若点N是直线l：y＝x＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分14分）

－

（Ⅰ）已知函数f(x)＝ex1－tx， x0∈R，使f(x0)≤0，求实数t的取值范围；

（Ⅱ）证明：

x2

b－abb－a

＜ln，其中0＜a＜b； 11

（Ⅲ）设[x]表示不超过x的最大整数，证明：[ln(1＋n)]≤[1＋≤1＋[lnn]（n∈N*）．

2n

武汉市2014届高三2月调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题

1．B 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D 9．A 10．D 二、填空题

3π

11．＋3 12．4 13．（Ⅰ）41；（Ⅱ）2n2－2n＋1

2211

14．（Ⅰ）0；（Ⅱ）40或41 15． 16．[0，52三、解答题

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝C)．

2

∵△ABC是锐角三角形，

∴A－B－C，即A－B＋C＝， ①

22又A＋B＋C＝π， ② 由②－①，得B＝

4

由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得10)2＝c2＋(32)2－2c×2cos

4即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．

当c＝2时，b2＋c2－a2＝10)2＋22－(32)2＝－4＜0， ∴b2＋c2＜a2，此时A为钝角，与已知矛盾，∴c≠2．

故c＝4． 6分

π

ππ

π

π

π3π3π

（Ⅱ）由（Ⅰ），知B＝A＋C＝C＝－A．

444

∴

acosC－ccosAsinAcosC－cosAsinCsin(A－C)3π2sin(2A)． bsinB42

∵△ABC是锐角三角形，

πππ3ππ

∴A＜，∴－2A 42444

∴－故

acosC－ccosA3π＜sin(2A－，∴－1＜1． 242acosC－ccosA

(－1，1)． 12分 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵a1＞0，∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|．

2

当0＜a1≤2时，a3＝2－(2－a1)＝a1，∴a21＝(2－a1)，解得a1＝1．

当a1＞2时，a3＝2－(a1－2)＝4－a1，∴a1(4－a1)＝(2－a1)2，解得a1＝2－2（舍去）或a1＝22．

综上可得a1＝1或a1＝22． 6分 （Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则

由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1)＝a1＋(2－|2－a1|)，即|2－a1|＝3a1－2． 当a1＞2时，a1－2＝3a1－2，解得a1＝0，与a1＞2矛盾；

当0＜a1≤2时，2－a1＝3a1－2，解得a1＝1，从而an＝1（n∈N*），此时{an}是一个等差数列；

综上可知，当且仅当a1＝1时，数列{an}为等差数列． 12分

19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵AA1C1C为正方形，∴AA1⊥AC．

∵平面ABC⊥平面AA1C1C， ∴AA1⊥平面ABC， ∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．

由已知AB＝3，BC＝5，AC＝4，∴AB⊥AC．

如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)，

→→→

∴A1B＝(0，3，－4)，A1C1＝(4，0，0)，B1C1＝(4，－3，0)． 设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则 → n·A1B＝0， 3y－4z＝0， 即

→4x＝0． n·A1C1＝0．

令z＝3，则x＝0，y＝4，∴n＝(0，4，3)．

设直线B1C1与平面A1BC1所成的角为θ，则 →

|B1C1·n|3×412

sinθ＝|cos＜B1C1，n＞|＝．

→5×525|B1C1||n|

→

12

故直线B1C1与平面A1BC1． 6分

25→→

（Ⅱ）设D(x，y，z)是线段BC1上一点，且BD＝λBC1（λ∈[0，1]），

∴(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)，

∴x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ， →

∴AD＝(4λ，3－3λ，4λ)． →

又A1B＝(0，3，－4)，

→→

由AD·A1B＝0，得3(3－3λ)－4×4λ＝0， 9

即9－25λ＝0，解得λ＝∈[0，1]．

25

故在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B．

BD9

此时λ． 12分

125

20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，

A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A表示事件“第4局甲当裁判”． 则A＝A1·A2．

P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝4分

（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．

记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”， B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，

B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”， B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．

1则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，

8-·B)＝P(B-)P(B)＝， P(X＝2)＝P(B1313

1

4

14

P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝

∴X的分布列为

115848

15∴E(X)＝0×＋1×＋2×． 12分

8848

21．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知，得F(2，0)，C(2，1)．

→→→→

由OR＝λOF，CR′＝λCF，得Rλ，0)，R′，1－λ)． 又E(0，－1)，G(0，1)，则 直线ER的方程为y＝

1

x－1， ① λλ直线GR′的方程为y＝－

x＋1． ②

2

2λ1－λ

由①②，得M(，．

1＋λ1＋λ2λ2()1＋λ1－λ224λ2＋(1－λ2)2(1＋λ2)2∵＋()＝＝＝1，

21＋λ(1＋λ)(1＋λ)∴直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y2＝1上． 5分

2

x2

（Ⅱ）假设满足条件的点N(x0，y0)存在，则

直线NF1的方程为y＝k1(x＋1)，其中k1＝

0＋1yy， ．

直线NF2的方程为y＝k2(x－1)，其中k2＝

0－1

y＝k(x＋1)， 21

222

由 x消去y并化简，得(2k21＋1)x＋4k1x＋2k1－2＝0． 2

2y＝1．

2k24k21－2设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－x1x2＝

21＋121＋1∵OP，OQ的斜率存在，∴x1≠0，x2≠0，∴k21≠1． ∴kOP＋kOQ＝＋

x1＋x2y1y2k1(x1＋1)k1(x2＋1)

＋＝2k1＋k1·121212

4k22k＝k1(2)＝－．

2k1－2k1－1

同理可得kOS＋kOT＝－

2k 2－1

2

k1k22－k1＋k1k2－k2

∴kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝－2(＝－2

k1－1k2－1(k1－1)(k2－1)

kk2(k1＋k2)(k1k2－1)＝－

(k1－1)(k2－1)

∵kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0，∴－

2(k1＋k2)(k1k2－1)

＝0，即(k1＋k2)(k1k2－1)＝0． (1－1)(k2－1)

由点N不在坐标轴上，知k1＋k2≠0， ∴k1k2＝1，即

·＝1． ③

0＋10－1

yy又y0＝x0＋2， ④ 53

解③④，得x0＝－，y0＝．

44

53

故满足条件的点N存在，其坐标为（－）． 13分

44

22．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）若t＜0，令x＝，则f(＝e

1

1

1

t－1

－1＜0；

若t＝0，f (x)＝ex1＞0，不合题意； 若t＞0，只需f(x)min≤0．

－

求导数，得f ′(x)＝ex1－t． 令f ′(x)＝0，解得x＝lnt＋1．

当x＜lnt＋1时，f ′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，lnt＋1)上是减函数； 当x＞lnt＋1时，f ′(x)＞0，∴f(x)在(lnt＋1，＋∞)上是增函数． 故f(x)在x＝lnt＋1处取得最小值f(lnt＋1)＝t－t(lnt＋1)＝－tlnt． ∴－tlnt≤0，由t＞0，得lnt≥0，∴t≥1．

综上可知，实数t的取值范围为(－∞，0)∪[1，+∞)． 4分

－

（Ⅱ）由（Ⅰ），知f(x)≥f(lnt＋1)，即ex1－tx≥－tlnt．

－－

取t＝1，ex1－x≥0，即x≤ex1．

当x＞0时，lnx≤x－1，当且仅当x＝1时，等号成立， 故当x＞0且x≠1时，有lnx＜x－1．

－

令x＝，得ln＜－1（0＜a＜b），即ln＜

b

abbaaaabb－a

．

aa

ba－bbb－a

，亦即ln＞

令x＝，得ln＜－1（0＜a＜b），即－ln综上，得

a

b－abb－a

＜ln9分 b－abb－a

ln＜． k＋111

ln ＋1（Ⅲ）由（Ⅱ），得

令a＝k，b＝k＋1（k∈N*），得对于ln

k＋11

，分别取k＝1，2， ，n， kk

将上述n个不等式依次相加，得

n＋12311

lnln1＋＋ ＋ 12211

∴ln(1＋n)＜1＋ ＋ ①

2对于

k＋11

＜ln，分别取k＝1，2， ，n－1， ＋1将上述n－1个不等式依次相加，得

11123n111＋ ＋＜lnln＋ ＋ln，即＋ ＋＜lnn（n≥2）， 23n12n－123n11

∴1＋1＋lnn（n∈N*）． ②

211

综合①②，得ln(1＋n)＜1＋≤1＋lnn．

2易知，当p＜q时，[p]≤[q]，

11

∴[ln(1＋n)]≤[1＋]≤[1＋lnn]（n∈N*）．

2又∵[1＋lnn]＝1＋[lnn]，

11

∴[ln(1＋n)]≤[1＋]≤1＋[lnn]（n∈N*）． 14分

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vk31.html