2014年全国中考数学真题解析--31.圆的有关性质(118页)

圆的有关性质

一、选择题

1．（2014?浙江台州，第5题4分）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）

A ．B

．

C

．

D

．

考点：圆周角定理．

分析：根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．

解答：解：∵直径所对的圆周角等于直角，

∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．

故选B．

点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

1. （2014?珠海，第5题3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）

利用垂径定理得出=

=，

1. （2014?山东潍坊，第6题3分）如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙0上，顶点C在⊙O直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是( )

A,44°B．54°C．72°D．53°

考点：圆周角定理；平行四边形的性质．

分析：根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠ADC，再根据圆周角定理的推论由BE为⊙O 的直径得到∠BAE=90°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠ABE的度数．

解答：∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE=90°，∴∠ABC =90°－∠AEB=54°．

∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ADC=∠ABC=54°，

故选B．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了平行四边形的性质．

2.(2014年贵州黔东南6．（4分）)如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为（）

A．4cm B．3cm C．2cm D．2cm

考点：圆周角定理；等腰直角三角形；垂径定理．

专题：计算题．

分析：连结OA，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=45°，由于3⊙O的直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理得AE=BE，且可判断△OAE为等腰直角三角形，所以

AE=OA=，然后利用AB=2AE进行计算．

解答：解：连结OA，如图，

∵∠ACD=22.5°，

∴∠AOD=2∠ACD=45°，

∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，

∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，

∴AE=OA，

∵CD=6，

∴OA=3，

∴AE=，

∴AB=2AE=3（cm）．

故选B．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．

3.（2014?山东临沂,第9题3分）如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（）

4．（2014?四川凉山州，第12题，4分）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，

．cm．cm．cm或cm．cm或cm

==3

==4cm

==2

5．（2014?四川泸州，第12题，3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）

．

=2

，

PE=

=3+

6．（2014?四川内江，第7题，3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（）

=

×=

BC=2CD=2

7．（2014?甘肃兰州,第13题4分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）

=

=，

2. （2014?广西贺州，第11题3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（）

A．B．C．D．

考点：垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算．

分析：连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故

=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC 的长，再根据弧长公式即可得出结论．

解答：解：连接OC，

∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，

∴AE2+CE2=AC2，

∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，

∵sinA==，

∴∠A=30°，

∴∠COE=60°，

∴=sin∠COE，即=，解得OC=，

∵AE⊥CD，

∴=，

∴===．

故选B．

点评：本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．

3．（2014?温州，第8题4分）如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）

4.（2014?毕节地区，第5题3分）下列叙述正确的是（）

5.（2014?毕节地区，第6题3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）

AB

=

6.（2014?毕节地区，第15题3分）如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（）

．．

=

=

==，

．

7.（2014?武汉，第10题3分）如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）

．．．．

．利用

=

==，

=r ﹣（

r ==

8．（2014·台湾，第10题3分）如图，有一圆通过△ABC 的三个顶点，且的中垂线与相交于D 点．若∠B ＝74°，∠C ＝46°，则的度数为何？( )

A ．23

B ．28

C ．30

D ．37

分析：由有一圆通过△ABC 的三个顶点，且的中垂线与相交于D 点．若∠B ＝74°，∠C ＝46°，可求得与的度数，继而求得答案．

解：∵有一圆通过△ABC 的三个顶点，且的中垂线与相交于D 点，

∴＝2×∠C ＝2×46°═92°，＝2×∠B ＝2×74°＝148°＝＋＝＋＝＋＋，

∴＝12

(148﹣92)＝28°． 故选B ．

点评：此题考查了圆周角定理以及弧与圆心角的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

9．（2014·台湾，第21题3分）如图，G为△ABC的重心．若圆G分别与AC、BC相切，且与AB相交于两点，则关于△ABC三边长的大小关系，下列何者正确？()

A．BC＜AC B．BC＞AC C．AB＜AC D．AB＞AC

分析：G为△ABC的重心，则△ABG面积＝△BCG面积＝△ACG面积，根据三角形的面积公式即可判断．

解：∵G为△ABC的重心，

∴△ABG面积＝△BCG面积＝△ACG面积，

又∵GH a＝GH b＞GH c，

∴BC＝AC＜A B．

故选D．

点评：本题考查了三角形的重心的性质以及三角形的面积公式，理解重心的性质是关键．

10．（2014?浙江湖州，第4题3分）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）

A．35°B．45°C．55°D．65°

分析：由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．

解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，

∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选C．

点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

1.（2014?湖北宜昌,第12题3分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（）

A．∠ACD B．∠ADB C．∠AED D．∠ACB

考点：圆周角定理．

分析：根据圆周角定理即可判断A、B、D，根据三角形外角性质即可判断C．

解答：解：A、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACD对的弧也是AD，

∴∠ABD=∠ACD，故本选项正确；

B、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ADB对的弧也是AB，而已知没有说弧AD=弧AB，

∴∠ABD和∠ACD不相等，故本选项错误；

C、∠AED＞∠ABD，故本选项错误；

D、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACB对的弧也是AB，而已知没有说弧AD=弧AB，

∴∠ABD和∠ACB不相等，故本选项错误；

故选A．

点评：本题考查了圆周角定理和三角形外角性质的应用，注意：在同圆或等哦圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

2.（2014衡阳，第11题3分）圆心角为120 ，弧长为12π的扇形半径为【】

A．6 B．9 C．18 D．36

n rπ

【考点】弧长计算公式l=

180

【解析】本题直接把n=120°,l=12π带入解方程即可.

【答案】C

【点评】正确解答本题只需牢记弧长公式.

3．（2014?重庆A,第9题4分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若

∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）

A．30°B．45°C．60°D．70°

考点：圆周角定理．

专题：计算题．

分析：先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以

∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．

解答：解：∵∠ABC=∠AOC，

而∠ABC+∠AOC=90°，

∴∠AOC+∠AOC=90°，

∴∠AOC=60°．

故选C．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

4．（2014?湖北荆门,第6题3分）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）

A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．A D2=BD?CD D．A D?AB=AC?BD 考点：相似三角形的判定；圆周角定理．

分析：由∠ADC=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．

解答：解：如图，∠ADC=∠ADB，

A、∵∠ACD=∠DAB，

∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；

B、∵AD=DE，

∴=，

∴∠DAE=∠B，

∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；

C、∵AD2=BD?CD，

∴AD：BD=CD：AD，

∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；

D、∵AD?AB=AC?BD，

∴AD：BD=AC：AB，

但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误．

故选D．

点评：此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

5．（2014?山西，第8题3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）

A．30°B．40°C．50°D．80°

考点：圆周角定理．

分析：根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．

解答：解：∵OA=OB，∠OBA=50°，

∴∠OAB=∠OBA=50°，

∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°，

∴∠C=∠AOB=40°．

故选：B．

点评：此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

6. （2014?乐山，第9题3分）在△ABC中，AB=AC=5，sinB=，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r=，则OA的值（）

=

BD=

，

OD=

7. （2014?丽水，第9题3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）

．．

8．(2014年贵州安顺，第10题3分)如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）

A．B．1C．2D．2

考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．

分析：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得

∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=OA，即为PA+PB的最小值．

解答：解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，

则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，

∵∠AMN=30°，

∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，

∵点B为劣弧AN的中点，

∴∠BON=∠AON=×60°=30°，

由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，

∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，

∴△AOB′是等腰直角三角形，

∴AB′=OA=×1=，

即PA+PB的最小值=．

故选A．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．

9．(2014年广西南宁，第6题3分）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）

A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm

考点：垂径定理的应用；勾股定理．

分析：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．

解答：解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，

∵直径为200cm，AB=160cm，

∴OA=OE=100cm，AM=80cm，

∴OM===60cm，

∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．

故选A．

点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

11.（2014?孝感，第10题3分）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：

①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．

其中正确结论的序号是（）

是劣弧的中点，

是劣弧

=6×cm

cm

，

是劣弧

12.（2014?呼和浩特，第6题3分）已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）

的半径为

=120°∠

=

=

，

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